Clase práctica.

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Ciencia de los Materiales I
Preparaduría Tema 3
Prof. Helen Reverón
I. NOTACIÒN DE MILLER
1.1) Ubicar los puntos reticulares en los sistemas a) bcc, b) fcc
Se depende de las posiciones relativas de la celda unitaria con respecto
a los ejes coordenados X, Y y Z
a) En bcc
b) En fcc, los índices de las esquinas del cubo son iguales en bcc ya que
ocupan la misma posición relativa. Los índices de los átomos en el centro
de las caras (en rojo) se muestran a continuación
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1.2)Direcciones
a) ¿Qué puntos reticulares caen a lo largo de la dirección [111] en las
celdas unitarias bcc, tetragonal centrada en el cuerpo y ortorrómbica
centrada en el cuerpo?
En las tres estructuras, la dirección [111] es una diagonal que atraviesa
toda la celda y pasa por el centro. Así en las tres estructuras, se tocan los
puntos 000; ½ ½ ½ ; 111
b) Identificar la familia de direcciones <100>
[100] [100] [010] [010] [001] [001]
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1.2) Planos
a) Dibujar los planos (111) y (020) en un sistema cúbico
Los índices planares representan el inverso del punto de corte con la
celda unitaria.
El plano (111) corta al eje X en 1/1=1; al eje Y en 1/1=1; al eje Z en 1/(1)= -1
Una vez dibujado el plano puede ser trasladado al origen
De igual forma, el plano (020) corta al eje X en 1/0 =  (es decir, no lo
corta), al eje Y en ½; al eje Z en 1/0 =  (no lo corta)
b) Nombrar las intersecciones de los planos (311) y (220)
De nuevo, se tienen los índices hkl de los inversos. Los puntos son para:
(311)
1/3 en X; 1 en Y; 1 en Z
(220)
½ en X; ½ en Y;  en Z
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c)Identificar el plano de la figura
Si se toman de una vez los inversos de los puntos de corte, tendríamos
1/0 en X; 1/0 en Y; en Z se tienen infinitos puntos de corte. Luego el
plano sería
(  0). Pero los planos deben ser escritos con números enteros. Para
determinar el plano, éste no debe pasar por el origen del sistema de
coordenadas. Sin embargo, se puede hacer una traslación del plano a
una celda vecina, o sea:
Este plano corta al eje X en –1; al eje Y en 1; al eje Z en . El plano es
entonces (1/(-1) 1/1 1/)
(110)
II. DENSIDADES ATÓMICAS
2.1) Calcular la densidad lineal del litio y del plomo en la dirección
[111]
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El litio tiene estructura bcc. En sistemas cúbicos la densidad atómica
lineal es el inverso de la distancia interatómica de repetición “r”, que en
este caso, es igual a dos radios atómicos (entre el origen y el átomo
central) en la dirección [111]
 = 1/ (2rLi) = 1/ (2 x 0,152 nm) =3,28 nm-1
Por otra parte, el plomo es fcc. En esta
dirección se interceptan los átomos en los
vértices a una distancia 3a , siendo “a” el
parámetro reticular que, en fcc, está
determinado por la diagonal de las caras
como se muestra en la figura de abajo. De
aquí,
rPb  2rPb  rPb  2a
4rPb  2a
4
 a  0,495nm
2rPb
Donde rpb es el radio atómico del plomo
(0,175 nm). Entonces la distancia de
3a  0.857nm  r
repetición es luego
1
1
 
 1,166nm1
r 0,857
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2.2) Calcular la densidad planar del aluminio en (110)
El plano tiene un área de
A  a x 2a  2a 2 donde
2a  4rAl  4(0,143)  0,572nm así
a  0,404nm
A  2 (0,404) 2  0,231nm2
Por otra parte el plano pasa por 4 átomos
en las esquinas (ocupando la cuarta parte
de cada uno) y dos átomos en la mitad de
las dos caras (ocupando la mitad de cada uno). La densidad planar es
1
1
x4  x2
at
2
  4
 8,658
0,231
nm 2
III. DENSIDAD DE MATERIALES
3.1) Calcular la densidad del cloruro de sodio y comparar con su valor
experimental (2,16 gr/cm3)
Por definición,  
m
, se depende de cuán compacto sea el arreglo de la
V
celda unitaria del NaCl.
Se tiene que la masa depende del número
de átomos tal que m 
n
M Na  M Cl  donde
N
*n es el número de átomos por celda
unitaria
*M es el peso atómico
*N es el número de Avogadro
1
1
át
Luego, n  8   6   4
8
tanto al sodio como al cloro, serían 8 en total
 2
celda
Corresponde
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El volumen es a3, pero el parámetro reticular viene dado por la longitud
de las aristas del cubo
a  2rNa  2rCl  2(0,102)  2(0,181)  0,566nm
a  0,566x10 7 cm
át 
gr
gr 
4
 35,45
 22,9

gr
ol
m ol
La densidad es finalmente   celda  7 m
 2,14 3
3
cm
0,566x10 cm 
23 át 
 6,023x10

celda
m ol



Por tanto se tiene una buena aproximación al valor experimental
IV. TRANSFORMACIONES ALOTRÓPICAS
4.1) Determinar el cambio relativo de volumen cuando se produce la
transformación alotrópica de -Fe a -Fe
El hierro pasa de estructura bcc a estructura fcc. El Volumen en bcc es
Vo  a 3
3a  4rFe  4(0,124)  0,496nm  a  0,286nm  Vo  2,348x10 2 nm3
Pero debe considerarse que en una estructura bcc se tienen dos átomos
por celda y en estructura fcc se tienen 4 átomos por celda. Así se
requieren dos celdas bcc para convertirse a una celda fcc
Entonces el volumen inicial es Vo´ 2Vo  4,696x102 nm3
El volumen final es el de una celda fcc tal que
Vf  a fcc
3
2a  4rFe  4(0,124)  0,496nm  a´ 0,350nm  Vf  4,314x10 2 nm3
El cambio relativo en volumen es
V
4,314x102  4,696x102
x100 
x100  8,13%
V
4,696x10 2