1.- Un colectivo se supone que se comporta de forma que tiene un tanto instantáneo de mortalidad de (x)=0.0002x. Determinar a que edad una cohorte inicial de 100000 individuos se verá reducida a 70000 Conocemos (x), l0,lx y queremos determinar el valor de x. Por lo tanto debemos relacionar estas funciones biométricas: Por un lado tenemos: l0 S ( x) lx 70000 l ( x) 0.7 x p0 S ( x) l0 10000 l0 S (0) l (0) Y por otro lado: x ( y ) dy S ( x) e 0 Por lo tanto: x e 0.0002 y dy 0 e[0.0001 y S ( x) 0.7 e0.0001x x 2 2 2 x ]0 e0.0001x 2 ln 0.7 ln 0.7 x 59.72 años 0.0001 0.0001 2.- Se conoce de una determinada población asegurada que la probabilidad de que un individuo de A años sobreviva T años más es de 0.9 y que la probabilidad de que un individuo de A años sobreviva (T-1) y muera antes de alcanzar los T años más es de 0.025 . Determinar la probabilidad de un individuo muera a la edad de A+T-1 años Sabemos que : TpA=0.9 y que T-1/1qA= T-1/ qA =0.025 Como la probabilidad de sobrevivir hasta t la podemos escindir en hacerlo hasta T-1 y luego de A+T-1 a A+T tendremos que : TpA = T-1pA. pA+T-1 Y por otro lado la probabilidad la probabilidad diferida T-1/ qA también se puede ver como la probabilidad de primero sobrevivir hasta A+T-1 y luego fallecer al año siguiente: T-1/ qA = T-1pA. qA+T-1 Sumando las dos ecuaciones tendremos que : 0.9 T 1 p A . pAT 1 T p A T 1 p A . p AT 1 0.925 T 1 p A 0.025 p . q T 1/ q A T 1 p A .q AT 1 T 1 A A T 1 (Ya que pA+T-1+ qA+T-1=1) Y sustituyendo y despejando en la segunda: 0.025 T 1 pA .qAT 1 0.025 0.925.qAT 1 qAT 1 0.025 0.027 0.925 3.- Se sabe que l37=95190 y que m37= 0.002 Determinar el número de fallecidos a los 37 años. d37 d37 2d37 2.m37l37 2.95190 0.002 m37 (2l37 d37 ) 2d37 d37 L37 l d37 2l37 d37 2 m37 2.002 37 2 d37 190.19 190 m37 4.( Similar a Pavia 59) Sabiendo que la mortalidad de un población sigue una ley de Sang según la cual: ( B x B ) l ( x) l0 (1 B ) Donde es infinito actuarial , que en esta población es 115 y B es una parámetro propio de esta ley que para esta población toma el valor de 0.97.Calcular el tanto instantáneo de mortalidad para una persona de 60 años. l0 ln B.B x (1 B ) S ( x) l ( x) ln B.B x ln B ln B ( x) x x x x S ( x) l ( x) (B B ) 1 B l0 ( B B ) B 1 (1 B ) Que para B=0.97 y =115 nos da : ln 0.95 ln 0.95 ( x) (60) 0.05319 115 x 0.95 1 0.9511560 1 5. (Similar a Pavía 60) La función de supervivencia de cierto colectivo es : S ( x) 1 0.015 x e 1.6347 0.015 x con 0 x 120 4 a)Determinar la edad para la cual el número de fallecidos es máximo y determinar el valor de esta magnitud b)Determinar la edad para la que la probabilidad de fallecimiento qx es máxima . a)El número de fallecidos es : 1 1 d x l0 S ( x) S ( x 1) l0 e 0.015 x 1.6347 0.015 x l0 e 0.015 x 1 1.6347 0.015 x 1 4 4 1 1 0.015 x 1 d x l0 (e 0.015 x e 0.015 x 0.015 x 1) l0 e 0.015 x (1 e 0.015 ) 0.015 4 4 Y esta expresión será máxima cuando lo sea e0.015 x (1 e0.015 ) ya que el resto no depende de la edad ( Derivando e igualando a cero podremos obtener el máximo, derivar es posible porque aunque dx sea una magnitud discreta esta definida para todo x de 0 a 120 y a través de funciones continuas y derivables en ese intervalo: La derivada de e0.015 x (1 e0.015 ) será: y ' (0.015).e 0.015 x (1 e 0.015 ) 0.015 0.015e 0.015 e 0.015 x Se observa que y’ es siempre NEGATIVA y es creciente aunque nunca se anulara (tiende asintóticamente a cero) eso quiere decir que y será decreciente y que por lo tanto su valor máximo se alcanza en su primer valor x=0 por lo tanto el máximo de la función de falleciemientos también se alcanza en cero dando un valor para la función de: 1 1 d 0 l0 e0.015.0 .(1 e 0.015 ) 0.015 l0 (1 e 0.015 ) 0.015 0.5 l0 4 4 b) A pesar de lo que pudiera parecer para cualquier población la probabilidad de fallecimiento qx es siempre máxima a la edad -1 que alcanza el valor 1 ya que en no sobrevive ya nadie. 6. (Similar a Pavía 61) La función de supervivencia de una población sigue una ley de De Moivre, con máximo tiempo de vida 120 años x S ( x) 1 120 a) expresar dx en función de la cohorte inicial b) como es el tanto instantáneo de mortalidad c) Determina la esperanza de vida al nacer y la vida media probable (mediana de la variable vida residual) al nacer. a) x x 1 x 1 x l0 d x l0 S ( x) S ( x 1) l0 1 1 120 120 120 120 120 Es decir cada año fallece un 120-avo de la población hasta desaparecer a los 120 años 1 S ( x) 120 1 b) ( x) x 120 x S ( x) 1 120 Que es una función “aceleradamente” creciente c) xt ) 120 x 120 x t S (x t) 120 ex t px dt dt dt dt x S ( x) 120 x 0 0 0 0 1 120 120 x 1 1 t 2 120 x ex 120 x t dt [120 t xt ]0 120 x 0 120 x 2 120 x 120 x 120 x 1 2 120 x 1 1 1202 x2 2 2 120 120 x 120 x x 120 x 120(120 x) (120 x) x 120 x 120 x 2 2 2 120 x ex 2 1 1202 x 2 120 x 2 120 x 120 x 2 2 120 x 2 Que al nacer será una esperanza de vida de 60 años Respecto a la vida media probable al nacer es la mediana de la edad de fallecimiento y por tanto:F(x)=0.5 S(x)=0.5 60 años