UNIDAD 4 : Vectores . Recta y plano. Posiciones relativas Calcula el

UNIDAD 4 : Vectores . Recta y plano. Posiciones relativas
Calcula el valor de m para que sean paralelos la recta r y el plano  de
ecuaciones:
2x – 3y = -1
r:
: mx – y + z = 5
x+y–z=2
Busquemos la recta r en parametricas y su ur
2x = - 1 +3y  x = - ½ + 3/2 y
r:
- ½ + 3/2 y + y – z = 2  z = - 1/ 2 - 2 + 3/2 y + y  z = - 5/2 + 5/2 y
x = - ½ + 3/2 λ
y= λ
ur = (3/2, 1, 5/2) = (3, 2, 5) y nπ = (m, -1, 1)
z = - 5/2 + 5/2 λ
Para que r ǀǀ π  ur ┴ nπ  ur · nπ = 0 ; 3m – 2 + 5 = 0  3m + 3 = 0
m = -1
Ademas podemos asegurar el paralelismo, viendo que el A(- ½ , 0, -5/2) ε r pero
- (- ½ ) – 0 – 5/2 – 5 ≠ 0 luego A no pertenece al plano  r ǀǀ π
Calcular la ecuación del plano que contiene a la recta definida por el
punto (1, 1, 1) y el vector ( 0, -5, 3) y que pasa por el punto P (1, 0, -5).
A (1,1,1)
ur ( 0, -5, 3)
α (x, y, z)
uπ = K . ur = ( 0, -5, 3)
vπ = AP = (0, -1 , -6)
AQ = (x - 1, y – 1, z - 1)
AQ
uπ, vπ y AQ son l.d. → rg uπ
vπ
x–1
0
0
y–1
-5
-1
z–1
3
=0;
-6
=2 →
AQ
uπ = 0
vπ
33 ( x -1 ) = 0 ;
x-1=0;
π≡ x=1
Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto p( 1, 0, -1), es
paralelo a la recta
x - 2y = 0
r:
, y es perpendicular al plano 2x - y + z + 1 = 0
z=0
El punto P( 1, 0, -1)  al plano pedido  .
Como r es paralelo al plano  ur es paralelo al u , es decir, u= k · ur
x - 2y = 0 ; x = 2y
Como r
z=0

z=0
x = 2
y= 
z=0
 ur
=(
2, 1, 0)
Como el plano dado es perpendicular al pedido  el n vector característico de  y el
v deberán de ser paralelos.  v = k · n ;
Como 
2x - y + z + 1 = 0  n = ( 2, -1, 1)  v = ( 2, -1, 1)
Si Q( x, y, z) es un punto genérico de  , PQ, u , v son linealmente dependientes.
PQ
u
v
x-1 y z+1
=0 
2 1 0
=0;
2 -1 1
x - 1 - 2y – 4·(z + 1) = 0  x - 2y - 4z - 5 = 0
Comprueba que los puntos A(0, 1, 0) B(2, 1, 1), C(-1, 3, -2) y
D(-2, -1, 0) no son coplanarios y determinar el volumen del tetraedro.
  
Si A, B, C y D no son coplanarios AB, AC yAD son li.



AB  OB  OA  2,0,1

 AB 
 
rg  AC   3
 
 AD 


1
Vtetraedro 
6
2
0
1
2
2 2

AB

AB 

AD



AC  OC  OA  (1,2,.2)
;



AD  OD  OA  (2,2,0)
2
2 
0
1
6
1
 1 2  2 = 2 + 4 – 8  0 l.i.
2 2 0
V paralelipedo 
1
0
1
6
2 48 





1
AB  AC  AD 
6
2 1 3
 u
6 3
x+y+z=1
Considera la recta r ≡
Determinar a para que el
– x – 2y + z = 0
plano π, de ecuación 2x + y + az =b sea paralelo a r. Determinar para que
valor de b, la recta está contenida en el plano.
nπ
ur
nπ ┴ ur si
r║π
→ nπ ∙ ur = 0
π ≡ 2x + y + az – b = 0 → nπ = (2, 1, a)
x+y+z=1
x+y=1–z
– x – 2y + z = 0
-x – 2y = - z
r≡
y = - 1 + 2z
x = 2 – 3z
nπ ∙ ur = 0
r≡
x=2–3λ
y=-1+2λ
z=λ
- y = 1 – 2z ;
x – 1 + 2z = 1 – z ;
ur = ( -3, 2 , 1) ;
; 2· (-3) + 1 · 2 + 9 ∙ 1 = 0 ;
-4+a=0; a=4→r║a
Si quiero que r Є π obliguemos que A Є r Є π ; A Є r = ( 2, -1, 0)
2 . 2 + (-1) + 4 . 0 = b ; b = 3
x = -1 + 2
Considera la recta de ecuaciones paramétricas r: y = - 1 + 
z=1
y los puntos P(1,1,2) y Q(1,-1,2). Determina la posición relativa de r y la
recta que pasa por P y Q.
a) Calculamos la recta s que pasa por P y Q.
x=1
us = PQ = (0, -2, 0) s ≡ y = 1 - 2λ
z=2
Para calcular la posición relativa entre r y s, se calcula el rag
AP
ur
us
Como A(-1, -1, 1)  AP = (2, 2, 1) ; ur = (2, 1, 0) y us = (0, -2, 0)
2 2 1
AP
2 1 0 = - 4 ≠ 0 rg ur
0 -2 0
us
=3
r y s se cruzan en el espacio
x-2 y+1 z-m
x = 1 - 3
Considera las rectas r: ------ = ------- = -------- y s: y = -1 + 4
2
-1
2
z=5-
Determinar m para que las rectas se corten. Hallar el punto de corte.
ur = (2, -1, 2)
us = (-3, 4, -1)
rg
AB
ur
us
A (2, -1, l -m)
AB = (-1, 0, 5+m)
B (1, -1, 5)
AB
= 2
para que r y s se corten
ur
=0
us
-1 0 5 + m
2 -1
2
= 0; - 1 + 8·(5 + m) – 3· (5 + m) + 8=0
-3 4 -1
5· (5 + m) + 7 = 0 ; 5 + m = - 7/5 ; m = -7/5 - 5 ; m = - 32/5
Además no son paralelos pues ur  us para m = - 32/5 y  m ya que
2
-1
2
---- ≠ ----- ≠ -----3
4
-1
Para hallar el punto de corte ponemos r en paramétricas.
x = 2 + 2
r y=-1- 
z = 32/5 + 2
x = 1 - 3
s y = -1 + 4
z =5-
2 + 2 = 1 - 3
- 1 -  = -1 + 4
32/5 + 2 = 5 - 
2 + 3 = -1
-  - 4 = 0
2 +  = - 7/2
;
2 + 3 = -1
- 5 = -1 ;  = 1/5
;
- 2 - 8 = 0
P(1 - 3/5 , -1 + 4/5 , 5 - 1/5) = (2/5, -1/5, 24/5).
¿Cuales son las condiciones para que un plano dado por su ecua-ción
en forma implicita, sea paralelo a la dirección de un vector dado por sus
coordenadas?.¿Por que?.
Sea   ax + by + cz + d = 0 el plano y sea v = (v1,v2,v3) el vector.
Para que el plano y el vector sean paralelos, es necesario y suficiente que el vector
normal
al plano w = (a,b,c) y el vector v sean ortogonales.
w.v = 0 ====> a.v1 + b.v2 + c.v3 = 0
x + 2y + z = 1
Dada la recta de ecuaciones
explicar el significado
3y - z = 2
geometrico de (3y - z - 2) + ·(x + 2y + z - 1) para todo  perteneciente a
R.
Al venir la recta dada por sus ecuaciones reducidas, esto nos indica que la recta viene
dada por la intersección de dos planos.
Si en cada uno de los planos, pasamos el termino independiente al primer termino y
realiza-mos una combinación lineal de ambos, nos queda:
(3y - z -2) + .(x + 2y + z - 1) que nos representa la ecuación del haz de planos que
tiene por base a la recta dada.
Dada la recta definida por:
a) Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y
contiene a r
b) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es
perpendicular a r
a)
b)
x=3+
Dada la recta en paramétricas: r: y = 1 + 2 halla: a) una
z = -2 + 3
ecuación en forma continua, b) una de sus expresiones implícitas,
c) dos puntos diferentes de dicha recta.
x–3
y–1
z+2
a) ------- = ------- = ------1
2
3
2·(x – 3) = y – 1
2x – y = 5

b)
3·(x – 3) = z + 2
c)  = 0 A(3, -1, 2)
 = 1 B(4, 3, 1)
3x – z = 11
Dadas las rectas
x = 1 + 2λ
2x – 3y = 13
r: y = 3 - 3λ
s:
z = -2 + λ
x – 2z = a - 3
Calcular el valor de a para que las dos rectas estén en el mismo plano.
Para que las rectas estén en el mismo plano lo único que no pueden hacer es cruzarse,
AB
es decir
ur ≠ 0. En caso contrario ó son coincidentes ó son paralelos ó se cortan en un punto.
us
A ( 1, 3, - 2)
De r :
ur = ( 2, - 3, 1)
-3y = 13 – 2x
; y = - 13/3 + 2/3x
-2z = a - 3- x
; z = - (a – 3)/2 + 1/2x
De s :
s:
x=λ
y = -13/3 + 2/3λ
z = - (a - 3)/2 + 1/2λ
B ( 0, - 13/3, - a + 3/2)
us = ( 1, 2/3, 1/2) ≈ ( 6, 4, 3)
AB = ( -1, -13/3 – 3, -a + 3/2 + 2) = ( - 1, - 22/3, -a + 7/2)
-1
- 22/3
-a + 7/2
2
-3
1
6
4
3
≠ 0
;
9 – 4a + 28 – 9a + 63 + 4 ≠ 0
9 – 44 + 4 · ( -a + 7) + 9 · ( -a + 7) + 4 + 44 ≠ 0
a = - 104 / 13
r y s se cortan para este valor de a, ya que no pueden ser paralelas ni coincidentes pues
ur ≠ K . us
x–y+z=1
Dados A(-2,-4,-3) y B(2,6,5) y la recta r:
2x + y – 3z = 2
averigua si existe alguna recta que contenga los puntos A y B y corte a r.
Razona la respuesta
ur
Ax
Calculamos la recta s que pasa por A y B
xC
xB
y luego comprobemos si corta o no a la recta r
us = AB = (4, 10, 8) = (2, 5, 4)
x–y=1–z
+  3x = 3 + 2z  x = 1 + 2/3 z
Calculemos las parametricas de r
2x + y = 2 + 3z
y = x – 1 + z = 1 + 2/3 z – 1 + z 
x = 1 + 2/3 λ
r ≡ y = 5/3 λ
z=λ
 C(1, 0, 0)
y = 5/3 z
y ur = ( 2/3, 5/3, 1) = (2, 5, 3)
Para estudiar la posición relativa entre r y s necesitamos el vector AC, ademas del ur y del
us con lo que AC = ( 3, 4, 3 )
rg

AC
ur
us
rg
3
= rg 2
2
AB
ur
us
= 3
4
5
5
3
3
4
;
3
2
2
4
5
5
3
3 = 60 + 24 + 30 – 30 – 32 – 45
4
=7≠0
r y s se cruzan y no se cortan.
Dados la recta r de ecuaciones paramétricas:
x = -1 + 2t
r: y = -1 + t
y los puntos P(1,1,2) y Q(1,-1,2), halla la posición
z= 1
relativa de r y la recta s determinada por P y Q.
Calculemos la recta s que pasa por P(1,1,2) y Q(1,-1,2),
x=1
us = PQ = (0, -2, 0)  y = 1 - 2λ
z=2
Como ur = (2, 1, 0) y A(-1, -1, 1)  AP = ( 2, 2, 1)
rg

AP
ur
us
rg
2
= rg 2
0
AB
ur
us
= 3
2
1
-2
1
0
0
2
2
0
;
2
1
-2
1
0 = -4≠0
0
r y s se cruzan
Dados el plano  : x + y + az = b y la recta r:
x+y–2=0
2y + z – 4 = 0
calcula a y b de modo que: a) r y  sean secantes. ¿En qué punto se
cortan?. b) r y  sean paralelos, c) r este contenida en .
x=2–y
Pongamos la recta en parametricas
x=2-λ
 y=λ
z = 4 – 2y
z = 4 - 2λ
ur = ( -1, 1, -2)
 : x + y + az = b  nπ = (1, 1, a).
Calculamos ur · nπ = (-1) · 1 + 1 · 1 + (-2) · a = - 2a
Si -2a = 0  a = 0  ur · nπ = 0 
2+0+0=b  b=2
Aεπ
Para a = 0 y b = 2
 r≡π
Para a = 0 y b ≠ 2  r paralela a π
Para a ≠ 0 y para todo b  r incide en π
r≡π
ó
 A(2, 0, 4) ε r
r parelela a π
Dados, el plano Л ≡ x – y + z + k = 0, donde k ϵ R, y la recta
r ≡ (x – 3) / 2 = y + 1 = - z, se pide:
a) Demuestra que para cualquier k ϵ R, la recta r es paralela al plano
Л.
b) Determina el valor de k ϵ R de forma que la recta r esté contenida
en el plano Л.
a) nл = (1, -1, 1)
ur = (2, 1, -1)
Para que л sea paralelo a r;
1·2 – 1·1 – 1·1 = 0
A = (3, -1, 0)
ur · nл = 0
2 -1 -1 = 0
y no depende del valor de k.
b) Sustituyo el punto A de la recta en la ecuación del plano para que r esté contenida en el
plano, porque si A (punto de la recta) pertenece también al plano, r pertenecerá al plano.
3·1 – 1· (-1) + 0 + k = 0;
k = -4 para este valor de k , r estara contenida en
Л ≡ x – y + z -4 = 0 , ya que el punto A sustituido en la ecuación del plano hace que esta se
verifique.
x + y +1 = 0
Dados el punto A (1,-2, -3), la recta r =
y el plano
z=0
π = x – 2y -3z + 1 = 0 se pide: a) Ecuación del plano que pasa por A, es
paralelo a r y perpendicular a π. b) Ecuación de la recta que pasa por A,
corta a r y es paralela a π.
a)
Pasamos r a paramétricas
Sacamos nπ (a partir del plano)
Formamos el
x = -1 - λ
y= λ
z=0
r=
(1, -2, -3)
AP
π’=
nuevo plano
π’=
=
1
-2
-3
-1
1
0
uπ´= ur
=0
vπ´= nπ
x-1 y+2 z+3
π’=
A (-1, 0, 0)
ur = (-1, 1, 0)
= 3y + 6 + z + 3 -2z -6 + 3x – 3 =0
π’ = 3x + 3y – z = 0
b) Necesitamos construir un plano π’ que sirva de apoyo a la recta que se pide, por lo
que debe ser paralelo a π y pasar por A, por lo que sustituimos el punto para sacar d:
π = x - 2y – 3z + a = 0
1 - 2 · (-2) – 3 · (-3) + d = 0; 1 + 4 + 9 + d = 0;
d = -14
El nuevo plano π’= x – 2y -3z - 14 = 0
Ahora estudiamos la posición relativa entre la recta r y π’:
uπ´ · ur = 1 · (-1) + (-2) · 1 – 3 · 0 ≠ 0
r incide en π’
Necesitamos buscar el punto en el que r incide en π’, para ello metemos las coordenadas x, y, z de la recta r en paramétricas (apartado anterior) en la ecuación del plano:
(- 1 – λ) – 2λ – 3 · 0 - 14 = 0;
-3λ – 15 = 0; λ = -5
sustituyendo en la ecuación
de la recta r nos queda M (-6, -5, 0).
Ahora sólo nos queda buscar el vector director de nuestra nueva recta t, que lo
obtenemos a partir de A y M.
x = 1 - 7λ
t=
y = -2 - 3λ
z = -3 + 3λ
AM = (-6, -5, 0) – (1, -2, -3) = (-7, -3, 3)
Dados los planos: β : ax + y = 1
determina los valores de a para
:x+y+z=1
 : x + (a – 1)z = 0
los que: a) los planos se cortan en un solo punto. b) se cortan en una
recta de puntos.
Para que se corten en un punto rg C = rg A = 3 = n· incognitas.
a 1 0
│c│= 1 1 1
= a · ( a – 1 ) + 1 – (a – 1) = a2 - a + 1 – a + 1 = a2 – 2 a + 2
1 0 a- 1
_____
2±√4–8
│c│= 0
a2 – 2a + 2 = 0 ; a = ---------------- no existe a que haga │c│= 0
2
∀a ;
│c│ ≠ 0 existe m.p. de orden 3  rg C = rg A = 3 = n· incognitas
λ , β y ɣ se cortan en 1 punto . ∀a perteneciente a R
π : mx + y + z = 1
Dados los planos π´ : x + my + z = 1
Estudiar la posición
π´´: x + y + mz = 1
relativa de los mismos según los valores de m.
Para estudiar la posición relativa de 3 planos, veamos cuanto valen los rangos de la matriz
de coeficientes y de la ampliada según los valores de m.
m
1
1
1
m
1
1
1
m
1
1
1
C
=
m
1
1
1
m
1
1
1
m
= m³ + 1 + 1 – m – m – m
= m³ - 3m + 2
Rufini
1
0
-3
2
1
1
1
-2
----------------------------1
1
-2
0
-1 ± √1 + 8
m=1
m² + m – 2 = 0 ; m = ---------------- =
2
m=-2
Los valores a discutir son m = 1 , m = -2 , ∀ m ≠ 1, -2
m=1
x+y+z=1
x+y+z=1
x+y+z=1
m = -2
-2x + y + z = 1
x – 2y + z = 1
x + y – 2z = 1
Es obvio que los 3 planos son coincidentes
Como
C = 0 ---> rgC < 3
Existe
-2
1
1 =4–1≠0
-2
rg C = 2
Ampliemos con los términos independientes:
-2
1
1
1
-2
1
1
1 = 4 + 1 + 1 + 2 + 2 – 1 ≠ 0  rgA = 3 y rgC = 2
1
Sistema incompatible, no existen soluciones de corte.
Geométricamente se observa que los planos no son paralelos dos a dos.
-2
1
1
-2 1 1
1 -2
1
--- ≠ --- ≠ --- ;
--- ≠ --- ≠ --- ; --- ≠ --- ≠ --1
-2 1
1 1 -2
1
1 -2
Por lo que los planos solo pueden estar formando un triedro.
∀ m ≠ -2 , 1  C ≠ 0  rgC = 3 y el rgA = 3 pues no existen menores de orden 4.
Si rgC = rgA = nº de incógnitas = 3  Sistema compatible determinado  existe una única
solución que geométricamente indica que los 3 planos se cortan en un punto.
Dados los vectores a y b del espacio. ¿Siempre es posible encontrar
otro vector c tal que multiplicado vectorialmente por a nos de el vector
b?. ¿Por que ?.
No siempre será posible. El vector a x c, cualquiera que sea c, será perpendicular tanto
al a como al c. Por tanto solamente podrá ser igual al b en el caso de que el a y el b sean
perpendiculares.
En este caso, basta con tomar un vector c que forme un Angulo cualquiera  con el a y
de modo que c.b = 0 y además que
│b│
│b│ = │a│.│c│. sen  es decir │c│ = --------------│a│. sen 
Uno de los productos a x c o c x a deberá ser igual al b
Dados en R3 : u = (a,1,a) , v = (0,a,1) y w = (2,1,1) , a) ¿Para qué
valores de a son linealmente dependientes los tres vectores?. b) obtén en
cada caso una com-binación lineal de los mismos cuyo resultado sea el
vector nulo y los coeficientes distintos de cero.
a) Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado por los tres
vectores ha de valer cero.
a
0
2
1
a
1
a
1
1
= a2 + 2 – 2a2 – a = - a2 – a + 2  - a2 – a + 2 = 0
-1±√1+8
-1±3
1
a2 + a – 2 = 0  a = ---------------- = --------- =
2
2
-2
Para a = 1 y para a = -2 , los tres vectores son linealmente dependientes.
Para a = 1  1·u + 2·v + 3·w = 0
1 = - 2·3
2 = - 1 -  3   2 = 3
1 + 2·3 = 0
Sistema homogeneo
1 + 2 + 3 = 0 compatible indeterminado
1 + 2 + 3 = 0   soluciones con i  0
una combinacion lineal sera: -2·u + v + w para 3 = 1
-21 + 2·3 = 0
Sistema homogeneo
Para a = - 2  1·u + 2·v + 3·w = 0 1 - 22 + 3 = 0 compatible indeterminado
-21 + 2 + 3 = 0   soluciones con i  0
1 = 3
2 = (1 + 3)/2  2 = 3
una combinacion lineal sera: u + v + w para 3 = 1
Dados los planos
Л1: x + 2y – z = 1,
Л2: 3x - z = 3
Л3: - x + 2y + z = 7,
rg
Л1
Л2
Л3
= 3
Estudiar la posición relativa.
porque
1 2 -1
3 0 -1 ≠0
-1 2 1
Rg C = 3, existe menor principal de orden 3 en C
Rg A= 3, no existe menor principal de orden 4 en A
Л1, Л2, Л3 se cortan en un punto porque rgC = rgA = 3 = nº de incógnitas, existe solución
única que es el punto de corte.
Dados los vectores de R3 : u = (1,2,-1) y v = (2,1,0) añade un vector w
para que los vectores u, v y w sean: a) linealmente independientes , b)
linealmente dependientes.
a)
b)
u
v
w
 0 El w puede ser (0,-1,1) 
1
2
0
2 -1
1 0 = 1 + 2 – 4 = - 1  l.i.
-1 1
u
v
w
= 0 El w puede ser (3,3,-1) 
1
2
3
2 -1
1 0 = -1 –6 + 3 + 4 = 0  l.d.
3 -1
Dados los vectores u = (1, 2 ,0) y v= (2, 1, 1) , encuentra un vector w
de modulo  35 y perpendicular a los dos anteriores.
w = (wx, wy, wz )
w
u ;
wx + 3wy + 0wz = 0
wx = - 3 w
2wx + wy + wz = 0
wy = -2 · (-3 wy ) - wy
wx 2 + 3wy 2 + 0 wz 2 = 0
wz = 5 wy
9wy 2 + 25wy 2 + wy 2 = 35
; 35wy 2 = 35 ; wy 2 = 1 ; wy =  1
wy = 1 ; wx = - 3 ; wz = 5 ; w = ( -3 , 1, 5 )
wy = -1 ; wx = 3 ; wz = -5 ; w = ( 3 , -1, -5 )
Dados los vectores u = (1, 4, x) y v = (0, 3, y), obtén x e y con la
condición de que u y v sean perpendiculares y de que v = 5.
u
v ; u · v = 0 ; 1· 0 + 4· 3 + x · y = 0
v = 5
= 5 ; 9 + y 2 = 25 ; y 2 = 16 ; y =  4
0+9+y2
y=4
12 + 4x = 0 ; 4x = - 12 ; x = - 3
y= - 4
12 – 4x = 0 ; 4x = 12 ; x = 3
Dados los vectores u (3,2,1) , v(-1,0,2) y w(1,1,0) obtén:
a) u · (v + w) ; b) u x (v - w) ; c) u x (v+w) ; d) u · (v -w) :
a) u · (v + w) = (3, 2 ,1) · (0, 1, 2) = 3·0 + 2·1 + 1·2 = 4

i

j

k
b) u x (v - w) = 3
2
1 = 5i - 8j +k
 2 1 2
  
i j k
c) u x (v + w) = 3 2 1 = 3i – 6j + 3k
0 1
2
d) u · (v - w) = (3, 2 ,1) · (-2, -1, 2) = - 6 - 2 + 2= - 6
Dados los vectores u= (9, 3, –3) y v= (1, 2, 3), calcula: a) modulo de u y
v respectivamente; b) producto vectorial de u y v; c) vector unitario de u
y de v; d) área del paralelogramo que tiene por lados los vectores u y v.
_________
___
= √ 81 + 9 + 9 = √ 99
a) u (9, 3, –3) u
b) u x v =
i
9
1
j
k
3 –3
2 3
v = (1, 2, 3)
v
________
___
= √ 1 + 4 + 9 = √ 14
= 15 i –30 j +15 k
u
(9, 3, –3)
3
1
1
c) u ´ = ------- = ------------ = ------ , ------- , ------u
3 √11
√ 11
√ 11
√ 11
v
(1, 2 3)
1
2
3
v ´ = ------ = ----------- = ------- , -------- , ------v
√ 14
√ 14
√ 14
√ 14
d) S paralelogramo=
uxv
________________
_____
___
= √ 152 + (–30) 2 + 152 = √ 1350 = 15 √ 6 u2
Dados los vectores: u = (a, 1+a, 2a) , v = ( a,1,a) , w = (1,a,1) se pide:
a) Determina los valores de a para los que los vectores u, v y w sean linealmente independientes. b) Estudia si x = (3,3,0) depende linealmente
de los vectores u, v y w para el caso a = 2. Justifica la respuesta.
u, v y w son vectiores l.i si
a
a
1
1+a
1
a
2a
a
1
u
v
w
0
= a + a · (a+1) + 2a3 – 2ª -a · (1+a) – a3 = a + a2 + a + 2a3 – 2a - a – a2 – a3 = a3 - a
a=0
Si a – a = 0 ; a · (a – 1) = 0  a = 1  a  0, 1 , -1 los tres vectores son l.i.
a = -1
3
2
 a  0, 1 , -1 los tres vectores son l.i. y siempre se podra poner x como combinacion
lineal de u, v y w.
Si x = (3,3,0)  (3,3,0) = 1 · (2,3,4) + 2 · (2,1,2) + 3 · (1,2,1)
3 = 21 + 22 + 3
3 = 31 + 2 + 23  3 = 1 + 32
 3 + 3/2 = 32  2 = 3/2
0 = 41 + 22 + 3
3 = - 21  1 = - 3 / 2
3 = 2 · (-3/2) + 2 · (3/2) + 3  3 = 3
Las nuevas coordenadas del x seran x = (-3/2, 3/2, 3)
Determina el modulo del vector v + w sabiendo queu =20 , u ·v = 6 ,
u · w = 4 y el ángulo que forman u con (v + w) es 60º
u · (v + w)
u·v+u·w
cos ( u ,v ,w)= ------------------ = ------------------u ·v + w u  ·v + w
 20 = 20v + w  v + w= 1

6+4
1
cos 60º = --------------- = --20v + w
2
x= 2+
Determina el punto de intersección de la recta r: y = 3 - 2 con el
z = 4 - 3
plano: : 2x + 3y – 5z + 6 = 0
Sustituimos la x, y y z de las parametricas de la recta en las del plano
2·(2 + ) + 3·(3 - 2) – 5·(4 - 3) + 6 = 0
4 + 2·λ + 9 – 6·λ – 20 + 15·λ + 6 = 0  11·λ – 1 = 0  λ = 1 / 11
El punto de interseccion se obtiene sustituyendo λ en las parametricas de r
C(2 + 1/11, 3 – 2/11, 4 – 3/11) = (23/11, 31/11, 41/11)
Determinar la ecuación de un plano que pasa por el punto (1, 0, 2) y es
paralelo a la vez a las rectas
y+4
x y
x = ------- = - z
-- = -- = z + 1
2
2 3
x y+4 z
recta r  -- = ------- = -1
2
-1
==> u = (1, 2, -1)
x y z+1
recta s  -- = -- = ------ ==> v = (2, 3, 1)
2 3
1
El plano pedido tendrá como vectores dirección los proporcionales al u y al v y tomando
un punto genérico P(x,y,z), el vector AP pertenecerá también al plano.
Los tres vectores deberán ser linealmente dependientes, luego
x-1 y z-2
1
2 -1
= 0 ==> 5.(x - 1) - 3y - (z - 2) = 0
2
3
1
El plano será : 5x - 3y - z - 3 = 0
Determinar el valor de a para que los puntos (1, 2, -1) , (a, 3, 0) y (2a, 5,
2) estén alineados. Hallar las ecuaciones de la recta que deter-minan para
ese valor de a.
Para que tres puntos A, B y C estén alineados, será necesario que AC = .AB
AB = (a-1, 1, 1)
AC = (2a-1, 3, 3)
2a-1 3 3
------ = -- = -- ==> 2a - 1 = 3.(a - 1)
a-1
1 1
2a - 1 = 3a - 3 ==> a = 2
Si a = 2 el vector AB = (1, 1, 1)  r
x-1
y-2
z+1
r  ------ = ------ = ------- Escrita en reducidas queda
1
1
1
x-1=y-2 ;
x-1=z+1 ;
x-y+1=0
x-z-2=0
Determinar la posición relativa de las rectas:
x+4
r≡
y-7
=
=
-3
s≡
4
x+4
r≡
x + 2y – 5z – 5 = 0
z
y-7
=
-3
2x + y + 2z – 4 = 0
1
z
A (–4, 7, 0)
1
Ur = (–3, 4, 1)
=
4
x + 2y – 5z – 5 = 0
x + 2y = 5 + 5z
2x + y + 2z – 4 = 0
2x + y = 4 – 2z
s≡
5+5z 2
4–2z 1
x=
=
1
2
1
2
–3+9z
5+5z–8+4z
2
1
–3
1– 4
5+5z
4–2z
=
=
2
1
Us = (–3, 4, 1)
–3
Us = (–3, 4, 1)
Ur
rg
B (1, 2, 0)
= 2 + 4z
1–4
Ur = (–3, 4, 1)
x = 1 - 3
y = 2 + 4
z=
–6–12z
4–2z–10–10z
y=
1
2
= 1 – 3z
=
AB= (5, –5, 0)
Ur
Ur = Us
rg
Us
=1
Us
AB
5
–5
0
rg Ur
= rg –3
4
1
Us
–3
4
1
5
–3
–3
–5
4
4
5
0
r y s son paralelas
=2
0
1 =0
1
=5≠0
–3
1
No existe menor principal de orden 3
Existe menor principal de orden 2
Determinar la recta que pasa por el punto A(1,-1,0) y que corta a las
rectas:
x
y-2 z
x-2 y z-1
r  -- = ------ = -- s  ------ = -- = -----1
-1
2
3
2
1
La recta t que corta a las rectas r y s vendrá dada
como intersección de dos planos  y '

A(1, -1 ,0)
u  r = (1,-1,2)  
B(0, 2, 0)  r   ==> AB = (-1, 3, 0)  
x-1 y+1 z
1
-1
2 = 0 ==> - 6.(x-1) - 2.(y+1) + 2.z = 0
-1
3
0
  - 6x – 2y + 2z + 4 = 0

3x + y - z - 2 = 0
A(1, -1, 0)
'  v  s = (3, 2, 1)  '
C(2, 0, 1)  s  ' ==> AC = (1, 1, 1)  '
x-1 y+1 z
3
2
1
1
1
1
= 0 ==> x - 1 – 2 ·(y + 1) + z = 0

x - 2y + z - 3 = 0
3x + y - z = 2
La recta t 
En parametricas resolvemos el sistema
x - 2y + z = 3
Determinar los valores de los parámetros a y b , para que las rectas:
2x – y = 0
r:
x + by = 3
s:
ax – z = 0
se corten ortogonalmente
y+z=3
Primero obligamos a que r y s se corten ;
x=
r:
 y = 2   R 
z = ax
z = a
y = 2x
A(0, 0, 0)
ur = (1, 2, a)
AB = (3, 0, 3)
x = 3 – by
s:
x = 3 – b·
 y= 
  R
z =3–y
z=3-
Para que r y s se corten  rg
- 6 + 3 + 6b – 3a = 0
AB
ur
us
B(3, 0, 3)

us = (- b, 1, -1)
=2 
- 3 + 6b – 3a = 0 
3
1
-b
0
2
1
3
a
-1
= 0
a – 2b + 1 = 0
Para que sean perpendiculares ur y us lo deben de ser 
ur · us = 0
 (1 , 2 , a) · (-b , 1 , -1) = 0  - b + 2 – a = 0
a+b–2=0
Restando 3b – 3 = 0 ; b = 1
a – 2b +1 = 0
y
a+1–2=0 ;a=1
Discute y resuelve según los valores de m, la posición relativa de los
siguientes planos, indicano las figuras geometricas que determinan.
π1 ≡ x – y = 1 ; π2 ≡ 2x + 3y – 5z = - 16 ; π3 ≡ x + my – z = 0
1
2
1
C=
m=0
1
-1
0
3 -5 = - 3 + 5 – 2 + 5m = 5m ; Si
m -1
No existe m.p. orden 3 en C ;  existe m.p. orden 2 en C  rg C = 2
-1
= 3 + 2 = 5 ≠ 0  existe m.p. orden 2 en C  rg C = 2
C´ =
A=
C = 0  5m = 0  m = 0
2
3
1
2
1
-1
1
3 -16 = 16 – 3 = 13 ≠ 0  existe m.p. orden 3 en A  rg A = 3
0
0
Si rg C < rg A  sistema incompatible, no existe ningun punto de corte
Si buscamos el paralelismo o coincidencia de dos en dos planos, vemos que siempre se
cortan en rectas.
En este caso podemos asegurar que los tres planos se cortan 2 a 2 en rectas paralelas
(Triedro de planos)
Si m ≠ 0 
C ≠ 0  existe m.p. orden 3 en C  rg C = 3
Como no existe menor de orden 4 en A  rg A = 3
Si rg C = rg A = nº incognitas  sistema compatible determinado  solucion unica.
Los tres planos se cortan en un punto.
Discute sin resolver, según los valores de m, la posición relativa de los
siguientes planos, indicano las figuras geometricas que determinan.
π1 ≡ x – y – mz = 1 ; π2 ≡ -3x + 2y + 4z = m ; π3 ≡ -x + my + z = 0
1
C = -3
-1
-1 -m
2 4 = - 2 + 3m2 + 4 – 2m – 3 – 4m = 3m2 – 6m + 3 ;
m 1
1
Si C = 0  m2 – 2m + 1 = 0  m =
1
m=1
 No existe m.p. orden 3 en C ;  rg C < 3
1
-1
-3
2
1
A = -3
-1
-1
2
1
= 2 - 3 = -1 ≠ 0  existe m.p. orden 2 en C  rg C = 2
C´ =
1
1 = 1 – 3 + 2 – 1 = -1 ≠ 0  existe m.p. orden 3 en A  rg A = 3
0
Si rg C < rg A  sistema incompatible, no existe ningun punto de corte
Si buscamos el paralelismo o coincidencia de dos en dos planos, vemos que los planos
1 -1 -1
π1 y π3 son paralelos ya que --- = --- = --- y π2 los corta a cada uno en rectas paralelas.
-1
1
1
Si m ≠ 1  C ≠ 0  existe m.p. orden 3 en C  rg C = 3
Como no existe menor de orden 4 en A  rg A = 3
Si rg C = rg A = nº incognitas  sistema compatible determinado  solucion unica.
Los tres planos se cortan en un punto.
Discute y resuelve según los valores de m, la posición relativa de los
siguientes planos, indicano las figuras geometricas que determinan.
π1 ≡ x – y = 1 ; π2 ≡ 2x + 3y – 5z = - 16 ; π3 ≡ x + my – z = 0
1
2
1
C=
m=0
1
-1
0
3 -5 = - 3 + 5 – 2 + 5m = 5m ; Si
m -1
No existe m.p. orden 3 en C ;  existe m.p. orden 2 en C  rg C = 2
-1
= 3 + 2 = 5 ≠ 0  existe m.p. orden 2 en C  rg C = 2
C´ =
A=
C = 0  5m = 0  m = 0
2
3
1
2
1
-1
1
3 -16 = 16 – 3 = 13 ≠ 0  existe m.p. orden 3 en A  rg A = 3
0
0
Si rg C < rg A  sistema incompatible, no existe ningun punto de corte
Si buscamos el paralelismo o coincidencia de dos en dos planos, vemos que siempre se
cortan en rectas.
En este caso podemos asegurar que los tres planos se cortan 2 a 2 en rectas paralelas
(Triedro de planos)
Si m ≠ 0 
C ≠ 0  existe m.p. orden 3 en C  rg C = 3
Como no existe menor de orden 4 en A  rg A = 3
Si rg C = rg A = nº incognitas  sistema compatible determinado  solucion unica.
Los tres planos se cortan en un punto.
Dos vectores unitarios u y v forman un ángulo de 60º. Hallar:
a) su producto escalar. b) el vector proyección ortogonal de v sobre u.
c) el vector proyección ortogonal de u sobre v.
a) u · v = │u │· │v │· cos α = 1 · 1 · cos 60 = 0,5
b)
│u · v │ 0,5
│proy u v │ = ---------- = ----- = 0,5
│u │
1
proy u v = 0,5 · u
c)
│u · v │ 0,5
│proy v u │ = ---------- = ----- = 0,5
│v │
1
proy v u = 0,5 · v
Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1,1,1) y B(0,2,0).
El centro del paralelogramo es O(0,0,1). Se pide: a) las coordenada de los
otros dos vértices; b) el área del paralelogramo.
D
C
AB = OB –OA= (0, 2, 0) – (1, 1, 1) = (–1, 1, 1)
O
C (x, y, z)
A
B
AC = 2 AO
AC = (x–1, y–1, z–1)
AO = (0, 0 1) – (1, 1, 1) = (–1, –1, 0)
x–1
y–1
z –1
------ = ------- = ------ = 2
–1
–1
0
x – 1= –2; x = –1
y – 1= –2
y = –1
z–1=0
z = –1
C (–1, –1, 1)
Como
CD = (x ´ +1, y ´ +1, z ´ –1)
x ´ +1
y ´ +1
z ´ –1
y AB = – CD ------- = -------- = --------- = –1;
-1
1
1
Area= AB x AD
=
i j k
–1 1 –1
–1 –3 1
x´=0
y ´= –2
z ´= 2
= –2 i + 2 j + 4 k
D (0, –2, 2)
= √ 4 + 4 + 16 = √ 24 u2
En R3, el vector x = (5,-1,2), ¿es combinación lineal de los vectores
u = (3,-1,2) y v = (1,0,4) ?.
Para que x sea combinación lineal de los vectores u y v es necesario que el rango de la
matriz formada por los tres vectores sea 2 , o lo que es lo mismo que no exista menor
principal de orden 3 en la matriz.
5
3
1
-1
-1
0
2
2
4
= - 20 – 2 + 2 + 12 = - 8 ≠ 0
Como si existe menor principal de orden 3  rango A = 3  los tres vectores son
linealmente independientes por lo que el vector x no es combinación lineal de u y v.
En R3 , el vector x = (1,6,-5), ¿depende linealmente de los vectores
u1 = (0,1,1) , u2 = (2,1,0) , u3 = (-1,1,-2) ?.
El que un vector x dependa linealmente de otros tres vectores u1, u2, y u3 es lo mismo
que decir que x se puede poner como combinación lineal de los tres.
x = λ1· u1 + λ2· u2 + λ3· u3  (1,6,-5) = λ1· (0,1,1) + λ2· (2,1,0) + λ3· (-1,1,-2)
1 = 2λ2 – λ3
6 = λ1 + λ2 + λ3 Al resolver el sistema deben salir tres λ unicos
-5 = λ1 - 2λ3
1 = 2λ2 – λ3
3 = 6 λ2 – 3 λ3
11 = λ2 + 3 λ3
11 = λ2 + 3 λ3
 14 = 7 λ2  λ2 = 2
11 – 2 = 3 λ3 
λ3 = 3
y 6 = λ1 + 2 + 3  λ1 = 1
Al ser los tres λ reales y unicos puedo asegurar que el vector x es combinación lineal de
los otros tres.
Escribe la ecuación implicita de un plano que pasa por el origen de
coordenadas y que es paralelo a las rectas
x–3 y–7 z–8
r ≡ ------ = ------ = ------ y s ≡ x = y = z
2
3
4
ur
O
uπ = k· ur
vπ = k· us
A x
us
Bx
P
Como ur = (2, 3, 4) y us = (1, 1, 1) , al proyectarlos paralelamente sobre el plano pedido,
podremos asegurar que
uπ = k· ur = (2, 3, 4) , que vπ = k· us = (1, 1, 1) y que el OP = (x, y, z)
Como OP, uπ y vπ deben de ser l.i  rg
x
2
1
y
3
1
z
4
1
=0

OP
uπ
vπ
= 2 
OP
uπ = 0
vπ
3x + 3y + 2z – 3z – 2y – 4x = 0  - x + 2y – z = 0
π ≡ x – 2y + z = 0
Escribir la ecuación de una recta paralela al eje OY y que pasa por el
punto (1, -2, 3)
x=0
Las ecuaciones parametricas del eje OY son : y = λ
z=0
Como r ǀ ǀ eje OY  ur = k · (0, 1, 0) = (0, 1, 0) y como A(1, -2, 3) ε r
x=1
r ≡ y = -2 + λ para todo λ ε R
z=3
Estudia la dependencia e independencia lineal en R3 de los vectores:
u = (-1,3,4) , v = (2,1,1) y w(-4,5,7) .
-1 3 4
Calculemos el
2 1 1 = - 7 – 12 + 40 + 16 – 42 + 5 = 0
-4 5 7
Al ser el determinante de orden 3 igual a cero  No existe menor principal de orden 3 al
calcular el rango de la matriz formada por los tres vectores  los tres vectores son
linealmente dependientes
Estudia la posición relativa de las rectas:
x+1
z–1
x+y+1=0
r: ------ = y = ------- y s:
y calcula el ángulo que
-2
2
z=0
forman.
Para estudiar la posición relativa de r y s necesitamos
x=-1–λ
r≡
s≡ y=λ
ur = (-2, 1, 2)
z=0
A(-1, 0, 1)
AB
0
ur = -2
us
-1
0
1
1
-1
2
0
B(-1, 0, 0)
AB = (0, 0, -1)
us = (-1, 1, 0)
=2–1=1≠0
AB
 rg ur
us
=3
r y s se cruzan en el espacio.
u r · us
-2·(-1) + 1·1 + 2·0
3
α (r,s) = arc cos ------------- = arc cos ------------------------------ = arc cos ----------│ ur · us│
√4+1+4·√1+1+0
√9·√2
α (r,s) = arc cos 1 / √ 2 = 45 º
Estudia la posición relativa de las rectas:
x = 2 – 3t
x=1-t
r: y = 3 + 5t
s: y = 2t
z=t
z=5
En el caso en que se corten, obtén el punto de corte.
A(2, 3, 0)
B(1, 0, 5)
r≡
s≡
AB = (-1, -3, 5)
ur = (-3, 5, 1)
rg

AB
ur
us
rg
= rg
AB
ur
us
ur
rg
us = (-1, 2, 0)
-1
-3
-1
-3
5
2
5
1
0
-1
-3
-1
-3
5
2
5
1
0
= 3 – 30 + 25 + 2 = 0
= 2
-3
5
1
-1
2
0
= rg
us
;
= 2 por ser vectores l.i.
r y s se cortan en un punto P.
2 – 3t = 1 - λ
3 + 5t = 2 λ
t= 5
 t = 5  P( 2 – 15 , 3 + 25, 5) = (-13, 28, 5)
Estudiar la posición de los planos:
x- y+ z=0
3x + 2y - 2z = 1
especificando si es vacía, o se trata de un
5x
=1
punto , de una recta o de otra figura.
Vamos a calcular los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada que forman mis
tres planos.
C
1 -1 1
= 3 2 -2 = 10 – 10 = 0
5 0 0
A
=
rg C = 2 ya que si existe m.p.orden 2 en C
1 -1 0
3 2 1 =2–5+3=0
5 0 1
rg A = 2 ya que si existe m.p.orden 2 en A
rg C = rg A = 2 < nº de incógnitas ==> sistema compatible indeterminado con infinitas
soluciones, las cuales representan los infinitos puntos de la recta común a los tres planos.
La ecuación de la recta común será :
y = 1/5 + z
- y + z = - 1/5
5x = 1 ==> x = 1 / 5
y = 1/5 + 
z=
Estudiar la posición relativa de dos rectas r y s y calcular el ángulo que
forman.
x-1
y
z
x=2+ λ
r: ------ = ---- = ---- ;
s: y = 3 + 2λ
2
3
4
z = 4 + 3λ
Sacamos los vectores
ur =(2,3,4) y us = (1,2,3)
Y los puntos A=(1,0,0) y B=(2,3,4)  AB=(1,3,4)
rg
AB
ur
us
AB
1 3 4
ur = 2 3 4
us
1 2 3
Existe m. p. orden 3 
| ur ∙ us |
α = arc cos --------------- =
| ur | ∙ | us |
= 9 + 16 + 12 – 12 – 8 – 18 = 1 ≠ 0
r y s se cruzan en el espacio.
2∙1+3∙2+4∙3
arc cos -------------------------------- =
√ 4 + 9 + 16 ∙ √ 1+5+4
20
= arc cos ----------------- = arc cos 0.99 = 8.1º
√ 29 ∙ √ 14
Estudiar la posición relativa de las rectas:
x = 2 – 3t
x=1-t
r: y = 3 + 5t
s: y = 2t
z=t
z=5
En el caso en que se corten, obtén el punto de corte.
A(2, 3, 0)
B(1, 0, 5)
r≡
s≡
AB = (-1, -3, 5)
ur = (-3, 5, 1)
AB
ur
us
rg

rg
-1
= rg -3
-1
AB
ur
us
ur
rg
us = (-1, 2, 0)
-3
5
2
;
-1
-3
-1
-3
5
2
5
1
0
= 3 – 30 + 25 + 2 = 0
= 2
-3
5
1
= rg
us
5
1
0
= 2 por ser vectores l.i.
-1
2
2 – 3t = 1 - λ
3 + 5t = 2 λ
t= 5
r y s se cortan en un punto P.
0
 t = 5  P( 2 – 15 , 3 + 25, 5) = (-13, 28, 5)
Estudiar la posicion relativa de las siguientes rectas. Hallar, en su
caso, el punto de intersección.
x–2
y
z+1
x = -2 λ
r: -------- = ------ = -------- s: y = -12 + λ
1
6
2
z = -5 + 4 λ
A (2 , 0 , -1)  r
ur = (1 , 6 , 2)
AB = (-2 , -12 , -4)
us = (-2 , 1 , 4) B(0, -12 , -5) r
AB
rg ur
us
=
-2
1
-2
rg
-12
6
1
-4
2
4
-2 -12
1
6
-2
1
;
-4
2
4
=-2
1
1
-2
6
6
1
2
2 =0
4
No existe m.p. orden 3
1 6
-2 1
AB
= 1 + 12 = 13  0
Existe m.p. orden 2  rg ur = 2
us
ur
1 6 2
Además rg us = rg -2 1 4 = 2
Existe m p orden 2
r y s se cortan en un punto
r=
x=2+µ
y = 6µ
z = -1 + 2µ
2 + µ = -2λ
6µ = -12 + λ
-1 + 2µ = -5 + 4 λ
s=
µ + 2λ = -2
6µ - λ = -12
2µ - λ = -4
Punto de corte entre r y s
x = -2λ
y = -12 + λ
z = -5 + 4 λ
µ + 2λ = -2
13µ = - 26 ; µ = - 2
12µ - 2λ = -24
2λ = - 2 + 2 ; λ = 0
x = 2 + (-2) = 0
y = 6 ·(-2) = 12
z = - 1 + 2 ·(-2) = - 5
P (0 , -12 , -5)
x = 2 - 1
Estudiar la posicion relativa de la recta r: y = -2 -  con respecto a
z = 8 + 4
cada uno de los ejes coordenados. Hallar, en cada caso, los puntos de
corte.
x=
a) con eje ox y = 0
z=0
B (-1, -2, 8) 
A (0, 0, 0)
rg
x =-1 + 2
r: y = -2 - 
z = 8 + 4
AB = (-1, -2, 8) ur = (2, -1, 4) uox = (1, 0, 0)
AB
-1 -2 8
uox = rg 1 0 0 ;
ur
2 -1 4
-1 -2
1 0
= 2 ≠ 0 existe m.p orden 2 rg
uox
rg
-1 -2 8
1 0 0 = - 8 + 8 = 0 no existe m.p orden 3
2 -1 4
1 0
= rg
ur
1
= - 1 ≠ 0 existe m.p orden 2 rg = 2
2 -1
x=0
b) con eje oy y = 
z=0
2 -1
 = - 1 + 2
0=-2-
0 = 8 + 4
x = -1 + 2
r: y = -2 - 
z = 8 + 4
0 = -1 + 2 ; 2 = 1 ;  = ½
=-2-
0 = 8 + 4 ; 4 = - 8 ;  = -2
-1 -2 8
Rg 0 1 0
2 -1 4
c) con eje oz
-1 -2 8
0 0 1
2 -1 4
=2
0
;
r y el eje ox se cortan
AB
uox
ur
;  = - 2  = -1 - 4 = - 5
A( -5, 0, 0) es el punto de corte.
¿se cortan r y el eje oy?
no existe  único  no se cortan
-1 -2 8
0 1 0 = - 4 - 16 = - 20 ≠ 0 existe m.p orden 3 rg = 3
2 -1 4
r yel eje oy se cruzan
x=0
y= 0
z=
x = - 1 + 2
r: y = - 2 - 
z = 8 + 4
=-4-1=-5≠0
existe m.p orden 3 rg = 3
r y el eje oz se cruzan.
Estudiar la posición relativa de las rectas ‘r’ y ‘s’, según los valores de
‘b’:
r:
=
=
s:
ur = (3, 4, -1)
A= (2, 1, -6)
us = (-6, b + 2, 2)
B= (-1, 1, 3)
=
=
AB = (-3, 0, -9)
Calculemos el rg
= - 12 + 27 ·(b + 2) + 108 – 3· (b + 2) =
;
= - 12 + 27b + 54 + 108 – 3b – 6 = 24b + 144; | C| = 0
24b + 144 = 0; 24b = -144;
b=-6
Si b = - 6
| |3x3 = 0
Luego rg
=2
m.p. orden 3; Como
Calculamos rg
Ya que
Si rg
b
= 1 y rg
- 6 | |3x3
0
=-6
0
m.p. orden 2
rg
1
m.p. orden 2
=2
m.p. orden 3
r y s son paralelas
rg
=3
r y s se cruzan
Estudiar la posición relativa de los planos:
ά: 2x + y - 3z - 1 = 0
β: 8x + 9y - 17z + 7 = 0
γ : x - 2y + z -6 =0
2x + y - 3z = 1
8x + 9y - 17z = -7
x- 2y + z = 6
m.p.orden 3 en C
Si rg C = rg A = 2 < nº incógnitas;
sistema compatible indeterminado; 
Soluciones
Los 3 planos se cortan en una recta que forma parte del haz de planos.
¿Existe algún plano que pase por los puntos A(1,-1,3) , B(2,-2,0) y
C(3,-3,-3)?. ¿Por qué?
Depende de si los puntos estan alineados en una recta en donde existiran infinitos planos
pertenecientes al haz de planos o de que los puntos no esten alineados en cuyo caso existira
un unico plano.
Para ver si estan o no alineados AB y AC deben o no ser proporcionales
1
-1
-3
AB = ( 1, -1, -3) y AC = (2, -2, -6)  ----- = ----- = ----2
-2
-6
Al ser proporcionales
los vectores estan alineados en una sola recta de vector direccion ur = AB y punto base
el A
x–1
y+1
z–3
-x+1=y+1
x+y=0
------- = ------- = ------- 

1
-1
-3
-3x + 3 + 3 z – 3
3x – 3z = 0
La ecuación del haz de planos sera:
λ · (x + y) + µ · (3x – 3z) = 0
(λ + 3µ) · x + λ · y - 3µ · z = 0
Expresa la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(2,-3,1) y tiene
como vector dirección v = (3,-2,0) : a) En forma vectorial, b) en forma
paramétrica, c) en forma continua, d) en forma implícita o cartesiana.
a) E. vectorial
(x, y, z) = (2, -3, 1) + λ·(3, -2, 0)
b) E parametricas
x = 2 + 3·λ
y = -3 – 2·λ
z=1
x–2
y+3
z–1
c) E. Continua ------- = ------- = ------3
-2
0
-2·(x – 2) = 3·(y + 3)
2x + 3y = - 13

d) E Reducidas
0 = 3· (z – 1)
z=1
Expresa la ecuación de la recta r que pasa por los puntos A(3,-1,-2) y
B(1,4,-5) en forma de: a) vectorial, b) paramétrica, c) continua, d)
cartesiana.
Ur = AB = OB – OA = ( 1 – 3, 4 + 1, -5 + 2) = (-2, 5, -3)
a) (x, y, z) = (3, -1, -2) + λ·(-2, 5, -3)
x = 3 – 2·λ
b) y = - 1 + 5·λ
z = - 2 – 3·λ
x–3
y+1
z+2
c) ------- = ------- = -------2
5
-3
5·(x – 3) = -2·(y + 1)
5x + 2y = 13

d)
-3·(x – 3) = -2· (z + 2)
3x – 2z = - 5
Hallar la ecuación de un plano que pasa por Q(1,-2, 0) y que
pertenece al haz de arista:
2x – 1
3y
z+1
r: ---------- = ----- = -------2
-1
6
El haz de planos se halla a partir de las reducidas de r.
- 2x + 1 = 6y
2x + 6y = 0
2x + 6y – 1 + ( 6x – z – 4 ) = 0 pasa por Q
6x - 3 = z + 1
6x – z – 4 = 0
2 . 1 + 6 ( - 2) – 1 + λ ( 6 . 1 – 0 – 4 ) = 0 ; - 11 + 2λ = 0 ; λ = 11/2
2x + 6y – 1 + 11/2 ( 6x – z – 4 ) = 0 ; 4x + 12y – 2 + 66x – 11z – 44 = 0
70x + 12y – 11z – 46 = 0
Hallar la ecuación de un plano paralelo a : 5x – y +3z -1 = 0 que pase
por el punto Q (-12, 1, 4)
´//   n´ = k n
n = (5, -1, 3) 
n´ = (5, -1, 3)
´ 5x – y + 3z + d= 0
Para que pase por Q (-12, 1, 4)
- 1/9 + d = 0
5· (-12) – 1 + 3· (4) + d = 0
d = 1/9
´  5x – y + 3z + 1/9 = 0
Hallar la ecuación general del plano paralelo a las siguientes rectas y
que pasa por (0, 0,0):
r => x = y + 1 = z
s => x = 2 + 3t / y=2 / z = -1
Se halla el vector director de cada una de las rectas:
De r: A (0, -1, 0) ur (1, 1, 1)
De s: B (2, 2, -1) us (3, 0, 0)
Se halla el plano con el punto (0, 0, 0) y los vectores de las anteriores rectas:
x
1
3
y
1
0
z
1
0
= 3y – 3z = 0
Plano => y – z = 0
Hallar la ecuación implícita del plano determinado por el punto
A(1,-2,5) y los vectores u = (2,0,3) y v = (1,-1,2).
AP = (x – 1, y + 2, z – 5) , uπ y vπ deben de ser l.d para que sean coplanarios.
 rg
AP
uπ
vπ
=2 
x–1
2
1
y+2
0
-1
z–1
3
=0
2
3·(x – 1) – (y + 2) – 2· (z – 5) = 0  3x – y – 2z + 5 = 0
Hallar la intersección de la recta r, determinada por los puntos:
A(1, 6, 3) y B(2, 6,0), con el plano: x – y + 3z = 2
El punto P pedido se calcula
intersectando la recta r que pase por A
y B con el plano n.
P=r∩л
Para calcular r, calcularemos
ur = AB = (2 - 1, 6 - 6, 0 - 3)
Ur = (1, 0, -3) y con A (1, 6, 3) como
punto base
Calculemos las paramétricas de r.
r ≡
x = 1 + 1λ
y = 6 + 0λ
z = 3 - 3λ

x=1+λ
y=6
z = 3 - 3λ
Sustituimos en el n y nos queda:
1 + λ – 6 + 3 (3 - 3λ) = 2;
2
1
1 + λ – 6 + 9 - 9λ = 2; -8λ = -2 ; λ = ---- = ---8
4
1
3
5
9
El punto P de intersección valdrá P (1 + ---, 6 , 3 - ---- ) ; P ( ----, 6 , ---- )
4
4
4
4
Hallar la posición relativa de una recta r y el plano
x–y+z=1
r:
: 4x-7y+5z = 0. En su caso hallar el punto de corte.
x+y-z = 0
x – y = 1 – z  2x = 1; x = 1/2
Pasemos a paramétricas la recta r:
x+y=z
x = 1/2
r  y = - 1/2 + λ
z= λ
 - 2y = 1 - 2z; y = - 1/2 + z
: 4x - 7y + 5z = 0 Sustituimos las parametricas de r en la
ecuación del plano para calcular el punto
de corte, si es que existe.
4· (1/2) – 7· (- 1/2 + λ) + 5 λ = 0; 2 + 7/2 - 7 λ + 5 λ = 0
11/2 = 2 λ;
λ = 11/4 único
r y  se cortan en 1 punto.
P( ½, - 1/2 +11/4, 11/4 )  P( ½, 9/4, 11/4)
Hallar la ecuación de una recta que pasa por P (0, 0, 2) y corta a las
rectas siguientes:
x+2
y–4
x
y
z
r: ---------- = ---------- = z – 1
s: ----- = ------ = -----5
2
4
-2
3
A є r = (- 2, 4, - 1)
B є s = (0, 0, 0)
ur = (5, 2, 1)
us = (4, - 2, 3)
Π1
AQ = (x + 2, y – 4, z + 1)
AP = vπ1 = (2, - 4, 3)
ur = uπ1 = (5, 2, 1)
Π2
BQ = (x, y, z)
BP = vπ2 = (0, 0, 2)
us = uπ2 = (4, - 2, 3)
t≡
Π1 ≡
x+2
2
5
Π2 ≡
x
0
4
y–4
-4
2
y
0
-2
z+1
3
= 0 ; - 10 · (x + 2) + 13 · (y – 4) + 24 · (z + 1) = 0;
1
- 10 x + 13 y + 24 z – 48 = 0
z
2 =0; 4x+8y=0;
3
x+2y=0
10 x – 13 y – 24 z + 48 = 0
t≡
x+2y=0
Hallar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos A(1,1,-1) ,
B(2,-2,3) y C(1,0,2) en todas las formas posibles.
Elegimos como punto base el A y como vectores direccion el AB y el AC
AP = (x-1, y-1, z+1) ; uπ = AB = (1, -3, 4) ; vπ = AC = (0, -1, 3)
Ecuación vectorial :
(x, y, z) = (1, 1, -1) + λ · (1, -3, 4) + μ · (0, -1, 3)
Ecuación parametricas :
x= 1+λ
y = 1 - 3λ – μ
z = -1 + 4λ + 3μ
Ecuación general implicita: Como AP, uπ y vπ son l.d 
x–1
1
0
y-1
-3
-1
z+1
-4
3
=0
AP
uπ = 0
vπ
 -5·(x – 1) - 3·(y - 1) – (z + 1) = 0
5x + 3y + z - 7 = 0
La ecuación en forma continua de una recta es:
x–1 y z–2
------ = --- = ------ . Determina a) su vector dirección, b) su ecua2
-3
5
ción en forma paramétrica, c) Tres puntos
distintos que pertenezcan a dicha recta.
a) ur = (2, -3, 5)
b)
E.Parametricas:
x – 1 = 2·λ
y = - 3·λ
z – 2 = 5·λ

x = 1 + 2·λ
y = - 3·λ
z = 2 + 5·λ
c) Para λ= 0  A( 1, 0, 2)
Para λ= 1  B(3, -3, 7)
Para λ= -1  C(-1, 3, -3)
Mostrar que el producto vectorial no tiene la propiedad asociativa,
mediante un ejemplo en el que se multipliquen de distintas formas los
vectores de componentes (1;1;1), (1;0;0) y (1;2;3).
Sean a = (1;1;1) b = (1;0;0) c = (1;2;3) Comprobemos que (a x b) x c ╪ a x (b x c)
i j k
a x b = 1 1 1 = j - k = (0; 1; -1)
1 0 0
i j k
b x c = 1 0 0 = 2k - 3j = (0; -3; 2)
1 2 3
(a x b) x c =
i j k
0 1 -1
1 2 3
= 3i - j - k + 2i =
5i - j - k
i j k
a x (b x c) = 1 1 1 = 2i - 3k + 3i - 2j =
0 -3 2
5i - 2j - 3k
Se comprueba que el producto vectorial no tiene la propiedad asociativa.
Obtén la ecuación del plano determinado por la recta de ecuación:
x = 1 - 2
r : y = 2 + 3 y un punto A(-3,0,2) exterior a ella.
z=3-
El vector ur = ( -2, 3, -1) pertenece tambien al plano pedido uπ = ur
El punto B (1, 2, 3) perteneciente a la recta y al plano junto con el punto A que no es de r
pero si del plano, me dan el otro vector direccion del plano vπ = AB = (4, 2, 1)
Ademas puedo tomar como vector generico el BP o el AP = ( x + 3, y, z – 2)
Como los tres vectores deben de ser l.d 
x+3 y z–2
-2
3
-1
= 0  3·(x – 3) – 4y – 4·(z – 2) – 12·(z – 2) + 2y + 2·(x – 3) = 0
4 2
1
5x – 2y – 16z + 17 = 0
Obtén el producto mixto {u,v,w}sabiendo que u = (1,2,1) , v = (-1,0,1) y
w es perpendicular a u y v, siendo su modulo 2.
w
i
a u y v => w = u x v = 1
-1
u . (v x w) =
j
2
k
1
=2i–2j+2k; w=
=
0 1
=
+
+
+
=
=
=
=
= 2
Obtén un vector perpendicular a w = (-2, 3, 4) que tenga modulo 5
¿Hay más de una solución?
Sea v  (v x , v y , v z )
 
v  u ;  2v x  3v y  4v z  0
v x  v y  v z  52
2
2
2
Al ser 2 ecuaciones con 3 incógnitas habrá más de

una solución v  0,4,3
¿Para qué valores de a el conjunto de vectores (1,1,1) , (1,a,1) y
(1,1,a) es una base de R3 ?.
Para que los tres vectores formen una base, es suficiente con que sean linealmente
independientes y para ello
1
1
1
1
a
1
1
1
a
≠ 0  a2 + 1 + 1 – a – a - 1 ≠ 0 
a2 – 2a + 1 ≠ 0
Si a2 – 2a + 1 = 0  a = (-2 ± √ 4 – 4 ) / 2 = - 1
Para todos los valores de a ≠ -1 , los 3 vectores son l.i y forman una base.
¿Para qué valores de m los vectores u1 = (1,1,2) , u2 = (1,2,m) y
u3 = (m,0,0) no forman una base de R3 ?.
u1 = (1,1,2) , u2 = (1,2,m) y u3 = (m,0,0).
Para que los tres vectores no formen una base, es suficiente con que sean linealmente
dependientes y para ello
1 1
1 2
m 0
2
m
0
= 0  m2 – 4m = 0  m · (m – 4) = 0
Para los valores de m = 0 y m = 4 , los 3 vectores son l.d y no forman una base.
Prueba que en R3 son linealmente independientes los vectores:
u1 = (1,0,0) , u2 = (1,a,0) y u3 = (1,b,c) siendo a,b,y c numeros reales
cualesquiera, distintos de cero.
Para que sean linealmente independientes el determinante formado por los tres vectores
ha de ser distinto de cero
1
1
1
0
a
b
0
0
c
= a · c ≠ 0, siempre que los vectores a,b y c sean ≠ 0 que es la condición del problema
Prueba que los puntos A(3,-2,1), B(2,2,-3) y C(1,1,0) no están
alineados y halla la ecuación del plano que determinan.
AB = (2-3, 2+2, -3-1) = (-1, 4, -4) = uπ
AC = (1-3, 1+2, 0-1) = (-2, 3, -1) = vπ
AP = (x-3, y+2, z-1)
x–3
-1
-2
y+2
4
3
z-1
-4 = 0 
-1
uπ y vπ son l.i , mientras que según la definicion de plano, uπ , vπ y AP son l.d
8 · (x – 3) + 7 · (y + 2) + 5 · (z – 1) = 0
El plano pedido tiene de ecuación general: 8x + 7y + 5z – 15 = 0
¿Que vectores son los que dan el producto escalar nulo al multiplicarlos por un vector a, no nulo?. ¿Cuales son los que dan un producto
vectorial nulo (vector cero), al multiplicarlos vectorialmente por ese
vector a?.
a) Dado un vector a ╪ 0, partiendo de que a.b = │a│.│b│.cos 
Podemos observar que para que este producto escalar, se haga cero, será necesario que b
= 0 o que cos  = 0, es decir que b sea ortogonal al a.
b) Cualquiera que sea la forma en que se defina el producto vectorial de dos vectores a y
b, se sabe que el modulo del producto vectorial vale:
│a x b│ = │a│.│b│. sen 
Para que este vector a x b sea nulo hara falta que, o bien el b = 0, o bien que el
sen  = 0.
Esto ultimo quiere decir que los vectores a y b deberán formar un Angulo de 0 o de
180, o lo que es lo mismo, que el vector b debe ser paralelo al vector a ya que
b = .a ,   R
Razona si determinan un plano el punto A(3,-2,1) y los vectores:
a) u = (2,-3,1) y v = (2,-1,3)
b) u = (2,-3,1) y v = (4,-6,2)
a) AP = (x-3, y+2, z-1) Para empezar u y v deben de ser l.i
Aquí (2,-3,1) ≠ k · (2,-1,3)
2
-3
1
ya que --- ≠ ---- ≠ ---  SON L.I
2
-1
3
El plano formado con AP, u y v sera
x-3 y +2 z-1
2
-3
1 = 0
2
-1
3
-8 · (x – 3) – 4 · (y + 2) + 4 · (z – 1) = 0  -8x – 4y + 4z + 24 – 8 – 4 = 0
Π ≡ 2x + y – z – 3 = 0
2
-3
1
b) Aquí (2,-3,1) = k · (4,-6,2) ya que --- = ---- = ----  SON L.D.
4 -6
2
Luego no existe ningun plano con solo AP y u
Razonar, que si los vectores a, b, c, son perpendiculares dos a dos, el
producto escalar (a + b).(c + b) no puede ser negativo.
Por ser los vectores perpendiculares dos a dos se verifica que
a.b = 0; a.c = 0; b.c = 0
Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar
(a + b).(b + c) = a.b + a.c + b.b + b.c = b.b = │b│2
Evidentemente, el modulo al cuadrado de un vector no nulo, nunca podrá ser negativo.
Razonar por que si u , v , w son tres vectores del espacio que no estan
en el plano, el vector (v x u) x (w x u) tiene la misma dirección que el
vector u.
Si los vectores u, v y w son ortogonales, es decir perpendiculares dos a dos, vamos a ver
cual es la dirección de los productos vectoriales v x u y w x u y posteriormente la
dirección de los nuevos vectores resultantes.
Sabiendo que en general, el producto vectorial de dos vectores es otro vector
perpendicular a ellos.
v x u es un vector en la dirección del vector w
w x u es otro vector en la dirección del vector v
(v x u) x (w x u) será por tanto un vector perpendicular al w y al v, es decir en la dirección
del vector u.
Sea el triangulo de vértices A(1 , 0 ,1) ; B (1 , 1 , 0) ; C (0 , 1 , 1).
Hallar las ecuaciones de los tres lados y la ecuación del plano que
determinan.
C
A
Recta AB: AB = (0 , 1 , -1) pasa por A
x-1
y
z-1
------- = ------- = -------0
1
-1
ó
x=1
y=λ
z=1-λ
B
Recta AC: AC = (-1 , 1 , 0) pasa por A
x-1
y
z-1
------- = ------- = --------1
1
0
ó
x=1-λ
y=λ
z=1
Recta BC: BC = (-1 , 0 , 1) pasa por B
x-1
y–1
z
------- = ------- = --------1
0
1
ó
Plano ABC: u = AB = (0, 1 , -1)
v = AC = (-1, 1, 0)
AP
u = 0 para que AP, v y u
v
x=1-λ
y=1
z=λ
AP = (x – 1, y, z - 1)
sean l.d. y pertenezcan al plano .
x-1 y z-1
0
1 -1 = 0 ; 1· ( x - 1) + 1· y + 1· (z - 1) = 0 ; x - 1 + y + z - 1 = 0 ;
-1
1 0
x+y+z–2=0
Sea el vector v = e1 – 2e2 + 3e3 , expresado en una base cartesiana.
Hallar: a) sus proyecciones ortogonales sobre cada uno de los vectores de
la base, b) los ángulos que forma el vector v con cada uno de los vectores
de la base.
│v · i │ │1·1 + (-2) · 0 + 3 · 0 │
│ proy i v│ = --------- = ---------------------------- = 1
│i│
1
│v · j │ │1·0 + (-2) · 1 + 3 · 0 │
│ proy j v│ = --------- = ---------------------------- = 2
│j│
1
│v · k │ │1·0 + (-2) · 0 + 3 · 1 │
│ proy k v│ = --------- = ---------------------------- = 3
│k│
1
│v · i │
1
α ( v, i ) = arc cos --------- = arc cos ---------------------- = 74,5 º
│v│
√ 12 + (-2)2 + 32
│v · j │
2
α ( v, j ) = arc cos --------- = arc cos ---------------------- = 57.69 º
│v│
√ 12 + (-2)2 + 32
│v · k │
3
α ( v, ik) = arc cos --------- = arc cos ---------------------- = 36,7 º
│v│
√ 12 + (-2)2 + 32
y+6 z–6
Sean A, B y C los puntos de la recta x–12 = —— = —— , que están
2
3
en los planos coordenados x = 0; y = 0; z = 0, respectivamente. a) determinar razonadamente cual de los tres puntos se encuentran entre las
otras dos. b) siendo D un punto exterior a la recta, indicar razonadamente cuál de los triángulos DAB, DAC o DBC tienen mayor área.
x = 12 + λ
r≡ y=–6+2λ
z=6+3λ
A = r ∩ п1
B = r ∩ п2
C= r n п3
п1 ≡ x = 0;
п2 ≡ y = 0;
п3 ≡ z = 0;
12 + λ = 0; λ = –12  A(0, –30, –30)
– 6 + 2 λ = 0; 2 λ = 6; λ=3  B(15,0,15)
6 + 3 λ= 0; 3 λ= – 6; λ= –2  C(10, –10, 0)
AB = (15, 30, 45)
¿Se encuentra B entre A y C?
| AB | > | AC | B no esta entre A y C
AC = (10, 20, 30)
¿Se encuentra C entre A y B?
| AC | < | AB |
C está entre A y B
El DAB tiene mayor área que el DAB y que DCB ya que es la forma de estos dos.
Sean A (m-2, m, -5) , B (m, 1, -5) y C (-1, 3, m) los vértices de un
triángulo ABC, ¿cuánto vale m para que el triángulo sea rectángulo en
B?
BA ortogonal a BC
BA · BC = 0
BA = OA – OB = (m - 2, m, -5) – (m, 1, -5)
BA = (-2, m - 1, 0)
BC = OC – OB = (-1, 3, m) – (m, 1, -5) = (- 1 - m, 2, m + 5)
BA · BC = -2 · (-1 - m) + (m - 1) · 2 + 0 = 0 
4m = 0 ; m = 0
2 + 2m + 2m – 2 = 0 ;
x - 2y - 2z = 0
Se considera la recta r
x + 5y - z = 0
y el plano   2x + y + mz = n
Se pide: - ¿ Para que valores de m y n, r y  son secantes?.
- ¿ Para que valores de m y n, r y  son paralelos?.
- ¿ Para que valores de m y n,  contiene a la recta r?.
Primero calcularemos por Gauss, la matriz de coeficientes y ampliada resultante del
sistema formado por las dos ecuaciones de la recta y la ecuación del plano.
1 -2 2 0
f2-f1
1 -2
2 0
7f3-5f2
rg 1 5 -1 0 ====== rg 0 7 -3 0 =======
2 1 m n f3-2f1
0 5 m-4 n
1
= rg 0
0
-2
2
0
7 -3
0
0 7m-13 7n
Para que r y  sean secantes, será necesario que exista un solo punto de corte, es decir
que rg C = rg A = nº de incógnitas
13
Para ello será necesario que m  --- y que n  0
7
Para que r y  sean paralelos, será necesario que no exista ningún punto de corte, es decir
que rg C = 2 y que rg A = 3, con lo que el sistema será incompatible
13
Para ello será necesario que m = --- y que n  0
7
Para que la recta este contenida en el plano, será necesario que existan  puntos de corte,
es decir que rg C = rg A  nº de incógnitas, con lo que el sistema será compatible
indeterminado.
13
Para ello será necesario que m = --- y que n = 0
7
Se consideran 5 puntos cuyas coordenadas son: P1 (1, - 1, 2) ;
P2 (- 2, 2, 3) ; P3 (- 3, 3, 3) ; P4 (- 3, 3, 0) ; P5 (- 3, 4, 3). Contesta de forma
razonada a la siguiente pregunta: ¿forman parte de un mismo plano?
Calculamos el plano que pasa por 3 de ellos: P1, P 2 , P 3
P1Q
P1P 2
P1P 3
P1Q = (x – 1, y + 1, z – 2)
P1P 2 = uπ = (- 3, 3, 1)
P1P 3 = vπ = (- 4, 4, 1)
=0
x–1
-3
-4
z–1
1
1
y+1
3
4
= 0 ; - (x – 1) – (y + 1) = 0 ;
x+y=0
¿ P4 є Π?
-3+3=0
P4 (- 3, 3, 0) pertenece a Π
¿P5 є Π?
-3+4≠0
P5 (- 3, 4, 3) no pertenece a Π
Se consideran el plano π : x + ay + 2az = 4
x + y + 2z = 2
y la recta r:
x + 2y - z = 3
Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son
paralelos
  x + ay + 2az = 4
r
nπ (1, a, 2a )
x + y + 2z = 2
y = -3z = 1
x+1+3z+2z = 2
x + 2y – z = 3
y = 1 + 3z
x = 1 – 5z

x=1-5λ
y=1+3λ
z=λ
nπ · ur = 0
Ademas
ur (-5, 3, 1)
λR
 (1, 1, 0)
-5 + 3a + 2a = 0
-5 + 5a = 0
(1·1) + (1·1) + (2·0)  0 
a=1
 
y el nπ ( 1, 1, 2)
r
// 
Se consideran las rectas:
x–2 y+1 z+m
x = 1 + 3
r: ------ = ------ = ------- y s: y = -1 + 4
2
-1
2
z= 5-
Determina m de manera que las rectas se corten. Halla el punto de corte.
Para que r y s se corten es necesario que rg
A( 2, -1, -m )
B( 1, -1, 5 )
ur = (2, -1, 2)
us = (3, 4, -1)
-1
2
3
0
-1
4
AB
ur
us
ur
= 2 y que el rg
=2
us
AB = ( -1, 0, 5+m )
5+m
2
= - 1 + 8 ·(5 + m) + 3 ·(5 + m) + 8 = - 1 + 40 + 8m + 15 + 3m + 8
-1
= 11m + 62
11 m + 62 = 0  m = - 62 / 11 el rango es 2 y como los vectores direccion son l.i ,
podemos asegurar que las rectas se cortan en un punto.
Para calcular el punto de corte sustituimos el valor de m = - 62 / 11 en las paramétri-cas
de r y las igualamos a las parametricas de s.
2 + 2λ = 1 + 3µ
2λ - 3µ = - 1
- 1 – λ = - 1 + 4µ

 - 8µ - 3µ = - 1  µ = 1 / 11
-(-62/11) + 2λ = 5 - µ
λ + 4µ = 0
Y sustituyendo µ en la recta s saco el punto de corte P(1+3/11, -1 + 4/11, 5 – 1/11)
P( 14/11, - 7/11, 50/11 )
Se consideran las rectas:
x–2 y+1 z+m
x = 1 + 3
r: ------ = ------ = ------- y s: y = -1 + 4
2
-1
2
z= 5-
Determina m de manera que las rectas se corten. Halla el punto de corte.
Para que r y s se corten es necesario que rg
A( 2, -1, -m )
B( 1, -1, 5 )
ur = (2, -1, 2)
us = (3, 4, -1)
-1
2
3
0
-1
4
AB
ur
us
ur
= 2 y que el rg
=2
us
AB = ( -1, 0, 5+m )
5+m
2
= - 1 + 8 ·(5 + m) + 3 ·(5 + m) + 8 = - 1 + 40 + 8m + 15 + 3m + 8
-1
= 11m + 62
11 m + 62 = 0  m = - 62 / 11 el rango es 2 y como los vectores direccion son l.i ,
podemos asegurar que las rectas se cortan en un punto.
Para calcular el punto de corte sustituimos el valor de m = - 62 / 11 en las paramétri-cas
de r y las igualamos a las parametricas de s.
2 + 2λ = 1 + 3µ
2λ - 3µ = - 1
- 1 – λ = - 1 + 4µ

 - 8µ - 3µ = - 1  µ = 1 / 11
-(-62/11) + 2λ = 5 - µ
λ + 4µ = 0
Y sustituyendo µ en la recta s saco el punto de corte P(1+3/11, -1 + 4/11, 5 – 1/11)
P( 14/11, - 7/11, 50/11 )
Si B={u1 , u2, u3 } es una base de v3 en donde u1 · u1 = 3 ; u2 · u2 = 2 ; u3
· u3 = 1, u1· u2 = 3 , u1· u3 = 3 , u2· u3 = 6; ¿cuánto ha de valer a para que
el vector u = 2 u1 + u2 - u3 sea ortogonal al v = u1 - au2 + 2 u3 ?
u
v ; u · v = 0  2 u1· u1 + u2 · ( -a·u2) + (- u3 ) ·2 u3
u· v = 2 u1· u1 + 2 u1 · ( -a u2) + 2 u1· u3 + u2· u1 + u2· ( -a u2) + u2 · 2 u3 +
(-u3 ) ·u1 + (-u3 )· ( -au2) + (-u3 ) 2 u3 = 2 · 3 – 2a· 3 + 4 ·3 + 3 – 2 a + 2· 6 – 3 + 6a2 =

= 28 – 2 a
28 - 2a = 0  a = 14
Siendo a y b dos vectores cualesquiera del espacio, probar que el
producto escalar de a + b por el a x b , es siempre cero.
Supongamos que a y b son distintos de cero.
Al ser el vector a x b perpendicular al plano formado por los dos vectores a y b, lo será
tam-bien al vector a + b
(a + b).(a x b) = │a + b│·│a x b│· cos 90° = 0
Si alguno de los vectores a o b vale 0, el producto vectorial a x b es 0 y nos queda que
(a + b). 0 = 0
Un vector de modulo 10 se descompone en suma de otros dos de
módulos iguales y que forman un ángulo de 45°. Halla el modulo de cada
uno de los vectores sumados. PAU.
u  = w
u=v+w
w
u
α( u, v ) = 45°
u2 =  v2 +w2 – 2 v ·w· cos 135
v
100 = 3 v2 ;
 u = 10
v2 = 100 / 3
100 = v2 + w2 + 2v ·  w
u = v =
=
UNIDADES 5 y 6 : Perpendicularidad. Proyecciones. Angulos y
Distancias. Lugares geometricos
Calcular el ángulo que forman los planos 1 : x + y + z = 1 y
2 : x – 2y + z = 2.
│ nπ1 · nπ2 │
α (π1 , π2 ) = α (nπ1 , nπ2) = arc cos -------------------│ nπ1│· │ nπ2│
Como nπ1 = (1, 1, 1) y nπ2 = (1, -2, 1)
│1 – 2 + 1│
α = arc cos --------------- = arc cos 0 = 90º
√3·√6
x=0
Calcular el punto P de la recta r de forma que el
z=0
plano que contiene
x+y=1
al punto P y a la recta s sea paralelo a la recta
2x – z = -1
y+z=1
 t 
-x + y + z = 1

P (0, λ, 0)  π ε r
xP
us = uπ
S
u t = vπ
A
xQ
t

s
y=1–x
x+y=1
;
2x – z = -1
z = 1 + 2x
y+z=1
t
y = 1- x
;
-x + y + z = 1
x=0
x=λ
y=1–λ
z = 1 + 2λ
A (0,1,1)
us (1,-1,2)
x=0
y=1–λ
z=λ
El plano pedido π se calcula con los vectores AQ, uπ y vπ
x
y–1
z–1
π  1
-1
2
=0
x – (y – 1) – (z – 1) = 0
0
-1
1
Y obligando a que P(0, λ, 0) sea de π 
us (0,-1,1)
π x–y–z+2=0
- λ + 2 = 0 ; λ = 2  P (0,2,0)
Calcular la distancia del punto P(1, 3, 2) a la recta:
x – y + 3z + 1 = 0
3x + 2y + z – 2 = 0
Pasamos r a paramétricas
x - y = - 1 – 3z
-1 - 3z
2-z
3x + 2y = 2 – z
-1
2
- 2 – 6z + 2 - z
x = ---------------- = -------------------- = - z
1
3
1
3
-1 – 3z
2–z
-1
2
5
2 – z + 3 + 9z
y = ------------------ = -------------------- = 1 +
5
x = - 7/5 λ
y = 1 + 8/5 λ
z=λ
γ:
z
5
ur = ( - 7/5, 8/5, 1 )
A= ( 0, 1, 0 )
AP= ( 1, 2, 2)
i
j
k
1
2
2
| AP x ur |
-7/5 8/5 1
(2 – 16/5) i – (1 + 14/5) j + 22/5 k
d ( P, r ) = ----------------- = ------------------------ = ------------------------------------------- =
| ur |
= ------------------------------- = -------------------------------- =
u
Considera el paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo
A(1,1,1), B(2,1,1), C(2,4,1) y E(1,2,7). Halla el área de una de sus bases, el
volumen del paralelepípedo y la distancia entre las bases.
BA = (-1, 0, 0)
H
E
BC = (0, 3, 0)
G
SABCD = │BA x BC│ =
i
-1
0
j
0
3
k
0
0
= │- 3 k│
= 3 u2
F
Como AE = (0, 1, 6)
D
A
C
B
V = │AB · ( BC x AE)│ =
1
0
1
0
3
3
0
0
0
= 18 u3
d(π1, π2) = d ( E, π2)
AP = (x – 1, y – 1, z – 1)
Hay que calcular el plano π2 : AB = (1, 0, 0)
AC = (1, 3, 0)
x–1
1
1
y–1 z–1
0
0
=0
3
0
3 · (z – 1) = 0  3z – 3 = 0
│3 · 7 – 3│
18
d(π1, π2) = d ( E, π2) = ------------------- = ---- = 6 u
√ 02 + 02 + 32
3
Para hallar los puntos R ε r  d(P,R) = d(Q,R) siendo R(-1 + 2α, -1 + α, 1)
PR = (-2 + 2α, -2 + α, -1)
y QR = ( -2 + 2α, α, -1)
√ (2α – 2)2 + (α – 2)2 + (-1)2 = √ (2α – 2)2 + α2 + (-1)2
(α – 2)2 = α2  α2 - 4α + 4 = α2  4 - 4α = 0  α = 1
El punto R es R(1, 0, 1)
Considera la recta de ecuaciones
x–1
z–2
r: ------ = y – 1 = -----2
2
a) De entre los planos que contienen a la recta r, escribe la ecuación
cartesiana del plano que es paralelo a la recta s de ecuaciones
x = y –1 = z + 2 .
b) Halla la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano obtenido en
el apartado anterior(esto es, la recta intersección del plano 
obtenido en el apartado anterior con el plano que pasa por r y es
perpendicular a ).
r
El plano pedido es el del papel que contiene a r y
ur
A
es paralelo a s
P
Si ur = (2, 1, 2) y A(1, 1, 2) ε r ε π y
us = (1, 1, 1)
us
s
uπ = k · ur = (2, 1, 2)
vπ = k · us = (1, 1, 1)
AP = (x – 1, y – 1, z – 2)
x–1
2
1
y–1
1
1
z–2
2 = 0  x – 1 + 2·(y – 1) + 2·(z – 2) – (z – 2) –
1
- 2·(y – 1) – 2 (x – 1) = 0
 - x + 1 + z – 2 = 0  x – z + 1 = 0 plano pedido
Para calcular la proyeccion ortogonal de una recta que se encuentra en un plano, sobre el
mismo plano, no tenemos que realizar ningun calculo, ya que la recta s proyeccion de r es
la propia y mismisima r
r
π
x = -1 + 2
Considera la recta de ecuaciones paramétricas r: y = - 1 +  y
z=1
los puntos P(1,1,2) y Q(1,-1,2). a) Determina la posición relativa de r y
la recta que pasa por P y Q. b) Halla el punto o puntos R de la recta r
para los que el triángulo PQR es isósceles de lados iguales PR y QR.
a) Calculamos la recta s que pasa por P y Q.
x=1
us = PQ = (0, -2, 0) s ≡ y = 1 - 2λ
z=2
Para calcular la posición relativa entre r y s, se calcula el rag
AP
ur
us
Como A(-1, -1, 1)  AP = (2, 2, 1) ; ur = (2, 1, 0) y us = (0, -2, 0)
2 2 1
AP
2 1 0 = - 4 ≠ 0 rg ur
0 -2 0
us
=3
r y s se cruzan en el espacio
Para hallar los puntos R ε r  d(P,R) = d(Q,R) siendo R(-1 + 2α, -1 + α, 1)
PR = (-2 + 2α, -2 + α, -1)
y QR = ( -2 + 2α, α, -1)
√ (2α – 2)2 + (α – 2)2 + (-1)2 = √ (2α – 2)2 + α2 + (-1)2
(α – 2)2 = α2  α2 - 4α + 4 = α2  4 - 4α = 0  α = 1
El punto R es R(1, 0, 1)
Considerar un cuadrado cuyo centro es el punto C ( 1,1,-1) y tiene uno
de sus lados en
x–2
y–1
z –1
la recta: r : --------- = -------- = --------1
1
0
a) Calcular la ecuación del plano en el que se encuentra el cuadrado.
b) Calcular la longitud del lado del cuadrado.
CP= ( x - 1, y -1, z+1)
Л= uЛ = ur = (1, 1,0)
vЛ = AC = (-1, 0, -2)
Ur
p
CP, uЛ y vЛ son l.d
d
c
A(2,1,1)
x-1 y-1 z+1
1
1
0
= 0;
-1
0
-2
-2( x - 1) + 2(y - 1) + z + 1=0  -2x – 2y – z + 1= 0
Л= -2x – 2y – z + 1= 0
i j k
-1 0 -2
________
| AC x ur |
1 1 0
| 2i – 2j – k |
√4+4+1
l = 2 d ( c, r) = 2 ----------------- = 2 ----------------- = 2 ----------------- = 2 · -------------| ur |
√ 1+1+0
√2
√2
_
2∙3
6 √2
l = -------- = -------- = 3√2 u
√2
2
Consideremos el plano  de ecuación 20x + 15z – 60 = 0 a) hallar las
ecuaciones de los ejes ox, oy. oz. y los cortes de estos con el plano. b) la
distancia entre la recta OB y el eje ox. c) la distancia entre la recta AB y
el eje OZ
Lo primero es escribir las ecuaciones de los ejes OX, OY OZ.
x=
Eje OX y = 0
A’ ( , 0 , 0) es un punto cualquiera del OX
z=0
x=0
Eje OY
y=
B’(0, , 0)es un punto cualquiera de OY
z=0
x=0
Eje OZ
y=0
C’(0, 0 , ) es un punto cualquiera de OZ
z=
Hallamos los puntos de corte con el plano
A: OX pertenece a  ; 20 + 12 ·0 + 15·0 – 60 = 0 ; 20 = 60 ;  = 3 ; A(3,0,0)
B: OY pertenece a ; 20 ·0 + 12· + 15·0 – 60 = 0 ; 12 = 60 ;  = 5 ; B(0,5,0)
C: OZ pertenece a  ; 20 ·0 + 12·0 + 15 - 60 = 0 ; 15 = 60 ;  = 4 ; C(0,0,4)
C
B
como la recta OB y el eje OX se cortan en (0,0,0)
La minima distancia sera 0
A
La distancia entre la recta AB y el eje OZ estara entre el punto O(0,0,0) y la recta AB.
Calculamos un plano  a AB que pase por O. UAB es paralelo al n del plano buscado.
O
d
M
B
AB = (-3,5,0) ; n = k· AB = (-3, 5,0) k = 1
  - 3x + 5y + D = 0 ; al pasar por O(0,0,0)  0 + D = 0 ;
 D=0
luego
  - 3x + 5y = 0
A
x = 3 - 3
M  AB perteneciente a  La recta AB en parametrica vale y = 5
z=0
sustituyendo en 
-3· (3 - 3) + 5·5 = 0 ; - 9 + 9 + 25 = 0 ; 34 = 9 ;
 = 9/34 ; M(3 - 27/34, 5- 9/34 , 0) = (75/34, 45/34, 0)
________________
______________
2
2
d(0,AB ) = d(O,M) = |OM| =  (75/34) + (45/34) =  (752 + 452) / 342 =
_________
=  7650 / 34 u.
Considérese la siguiente figura, siendo :
A(1,1,0)
D
B(-1,-1,-1)
C(2,2,0)
Se pide: a) Coordenadas de D para que ABCD sea un paralelogramo.
b)Área de éste paralelogramo.
a) Llamemos a las coordenadas de D(x, y , z).Para ser paralelogramos sus lados de-ben
ser paralelos dos a dos , es decir BA y el CD deben de ser paralelos e iguales.
BA = (1+1, 1+1, 0+1)=(2, 2, 1)
CD=(x-2, y-2, z)
x-2=2
y-2=2
z=1
Igualando los vectores me quede que :
x=4
 y=4
z=1

D(4,4,1)
b) A partir de la expresión geométrica del producto vectorial de dos vectores ,
│BA x BC│= S paralelogramo
Como
BC = (2+1, 2+1, 0+1) = (3, 3, 1)
A
i
j
S=
B
C
k
(1)
2 2 1
3 3 1
= - i + j + 0k
= √ (-1)2 + 12 +02 = √ 2 u2
(1) Desarrollo por los elementos de la 1ª fila del determinante.
=
x=1
y el plano x + y + z = 0, hallar un plano
Dada la recta r:
y=3
que contenga a la recta r y corte al plano  en una recta paralela al plano
OXY.
r  ' y que , el 'corte a  en la recta s  ´    s // al plano OXY  z = 0
El plano ´ es uno de los planos del haz que contiene a la recta r, es decir
' x - 1 + ·(y -3) = 0
x – 1 + · (y - 3) = 0
Si calculo la intersección entre ' y 
x+y+z=0
1+3 
-z
1
1 + 3 + z
1+3

x= ---------------- = ---------------- = ---------- + ------ z
1

1-
1-
1-
1
1
x + y = 1 + 3a
x+y=-z
1 1+3
1
-z
-z – 1 - 3 
- (1+3 )
1
y = --------------- = -------------- = ------------- - ------- z
1

1-
1-
1-
1
1
r
1+3

x = --------- + ------ · t
1-
1-
- (1 + 3 )
1
y = --------------+ ------ · t
1+
1-
z =t
r // plano OXY

ur // z = 0
y sustituyendo en el haz de planos
ur = (  / 1 -  , -1 / 1 - , 1) = (, -1, 1 - )
 ur · n = 0  1 -  = 0 ;  = 1
'  x – 1 + 1· (y - 3) = 0 ; x + y - 4 = 0
x–1
y+1 z
Dada la recta r: ------- = ------ = -- , encuentra la ecuación del
2
-1
3
plano que la contiene y es perpendicular al plano OXY.
π´ ≡ plano OXY ≡ z = 0
r
ur
π ↄ r y π ┴ π´
A
nπ´
P
x=1+λ
r : y = 1 - λ A(1, -1, 0) ur = (2, -1, 3)
z = 3λ
vπ = nπ´ = (0, 0, 1) y AP = (x – 1, y + 1, z)
uπ = ur = (2, -1, 3)
Por ser tres vectores l.d 
x–1
2
0
y+1
-1
0
z
3
1
= - (x – 1) – 2·(y + 1) = 0  x + 2y + 1 = 0
x + 2y = 7
Dada una recta r
y un punto P (1, 2, 3), calcula la
y + 2z = 4
ecuación del plano que es perpendicular a la recta r y contiene al punto P.
Pasamos la recta a paramétricas y sacamos su vector director:
x = 7 – 2y
r =>
z=2–½y
x=7–2µ
y=µ
z = 2- ½ µ
ur ( - 2, 1, - 1/2 ) = ( 4, - 2, 1)
y el A(7, 0, 2)
ur = nπ Con esta igualdad para que el plano sea perpendicular a la recta e imponiendo la
condición de que pase por el punto dado P (1, 2, 3) hallamos el plano:
4 (1) – 2 (2) + 3(1) + d= 0
Plano => 4x - 2y + z - 3 = 0
d= - 3
x+2 y–1 z+1
Dadas las rectas r: ------- = ------- = ------3
2
-1
x–1 y–3 z
s: ------- = ------- = ---2
-2
3
determinar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.
A (-2, 1, -1)
r Ξ
s Ξ us = (-2, -2, 3)
ur = (3, 2 ,-1)
us’ || us  us’ = k · us = (-2, -2, 3) para k =1
Si P(x, y, z) es un punto genérico del plano y A  π
AP = (x + 2, y – 1, z + 1)  π
uπ = ur = (3, 2, -1)  π
vπ = us = (-2, -2, 3)  π
x+2
3
-2
y-1
2
-2
AP
uπ
vπ
= 0 por ser l. dependientes
z+1
-1 = 0  4 (x + 2)+ 7(y - 1) – 2 (z + 1) =0
3
π ≡ 4x + 7y - 2z - 1 = 0
Dadas las rectas
x – y + 2z + 1 = 0
2x + y – 3z – 4 = 0
r:
s:
3x + y –z – 1 = 0
x+y+z=0
Hallar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.
Si consideramos el plano del papel como el pedido y en él dibujamos la recta r y
paralela a él la recta s.
Dibujamos una recta s´ paralela a s y contenida en el plano cuyo vector us´ es
proporcional a us .
us
Si buscamos en r un punto base A r
s
r
y su ur  , elegimos un punto genérico
del plano P(x,y,z) y calculamos el
Us´
A x ur
vector AP, llegamos a la conclusión
s´
de que AP, ur y us´, son linialmente
P
dependientes AP= ·ur + ·us´=>
AP
ur = 0 Nos dará la ecuación general del plano.
us´
Calculamos us: Restamos los dos planos, elimino la y , y despejo x
x – 4z = 4 => x = 4 + 4z
Sustituimos en el otro plano
s
x + y + z = 0 => 4 + 4z + y + z = 0 => y = - 4 - 5z
x = 4 + 4
y = - 4 - 5
z=
us = (4,-5,1)
Calculamos ur y A : Sumamos los dos planos, elimino la y, y despejo la x
4x + z = 0 => x = – 1/4 z
sustituyendo en el otro plano saco la y
– 3/4 z + y - z = 1 => y = 1 + 7/4 z
r
x = - 1/4
y = 1 + 7/4
z=
A(0, 1, 0)
ur = (-1/4, 7/4, 1)  (-1, 7, 4)
AP = (x , y - 1, z)
π
x y-1
-1
7
4 -5
z
4 =0
1
Desarrollamos por los elementos de la 1ª
fila y sus adjuntos.
27 · x + 17(y - 1) – 23z = 0 =>
27x + 17y – 23z – 17 = 0
x–1 y+2 z–1
x+2 y–3 z-2
Dadas las rectas r: ------- = ------- = ------- s: -------- = ------- = ------3
2
4
-1
2
3
a) Estudiar su posición relativa en el espacio . b) Hallar la distancia entre
ellas
Para estudiar la posición relativa de dos rectas debemos calcular el rg
donde A  r y B  s.
A (1, -2, 1)
B (-2, 3, 2)
r≡
s≡
AB = (-3, 5, 1)
ur = (3, 2, 4)
-3 5 1
rg 3 2 4
-1 2 3
AB
ur
us
=3
us = (-1, 2, 3)
ya que
-3
3
-1
5 1
2 4 = - 18 - 20 + 6 + 2 - 45 + 24  0
2 3
esto nos indica que r y s se cruzan y no se cortan.
| AB (ur × us) |
d ( r, s) = ------------------| u r × us |
ya que con AB, ur y us se
forma un paralepípedo
cuyo V = Sbase . altura;
| AB (ur × us) | = | ur × us | · |AB |
-3 5 1
3 2 4
-1 2 3
| -51 |
51
51
d ( r, s) = ------------------- = ------------------- = -------------------- = ----------- u
i j k
| -2i -13j+ 8k|
√ 4+ 169+ 64
√ 237
3 2 4
-1 2 3
Dadas las rectas:
x=-2
2x + z = - 2
r:
s:
y–z=0
x+y=0
x–z=0
r’:
z+y=-1
Hallar las coordenadas de un punto P que está en la recta r’ y que
determina con la recta s, un plano que contiene a r.
El punto P pedido esta en r’, mientras que la recta r está en el plano del papel, el cual
debe venir determinado por el punto P y la recta s.
Si P r’ escribamos r’ en paramétricas y así tendremos cualquier punto de r’.
x–z=0  x=z
r’:
r’≡
z + y = -1  y = -1 – z
x=λ
y = -1 – λ
z =λ
P(λ, -1 -λ, λ)
Por otro lado, si las rectas r y s se cortaran en un punto Q determinarían el plano del
papel.
x = -2

y–z=0
 y=z
x = -2
x = -2
y=λ
z=λ

r≡
A(-2, 0, 0)

ur (0, 1, 1)
AB = (2, 0, -2)
2x + z = -2

z = -2 - 2x
x=λ
B(0, 0, -2)
y=-λ

z = - 2 - 2λ
us(1, -1, -2)

s≡
x+y=0

y=-x
AB
Para que r y s se corten rg u r
us
2 0 -2
0 1 1 =-4+2+2=0
1 -1 -2
El punto Q de corte será:
=2
AB
 ur
us
=0
r y s se cortan
x=-2
y=z
y=2
z = -2 - 2x = -2 + 4 = 2 ; z = 2
 Q( -2, 2, 2)
Calculemos ahora el plano que contiene a r y s.
M(x, y, z)
AM = (x + 2, y, z)
ur = (0, 1, 1)
us= (1, -1, -2)
x+2 y
0
1
1 -1
z
1
-2

=0
π ≡

AM
ur = 0
us
- (x+2) + y – z = 0 ; -x + y – z – 2 = 0 ;
x–y+z+2=0
Por último P deberá permanecer a π y a r’ por lo que P= π ∩ r’. Si sustituimos las
paramétricas de r’ en π sacamos un valor de λ y luego el punto.
x=λ
y = -1 - λ
z=λ
 λ - ( -1 - λ) +λ + 2 = 0 ; λ + 1 + λ + λ + 2 = 0
3λ = - 3 ; λ = - 1
P(-1, -1+1 , -1) = ( -1, 0, -1)
Dado el plano π, mediante la ecuación x - 2y + 2z = 3 y el punto
A(1;2;0), determinar el punto A' proyeccion ortogonal de A sobre π (pie
de la perpendicular trazada a π desde A)
Sea A'(x,y,z) el punto pedido y sea vπ = (1;-2;2) el vector asociado o perpendicular al
plano π.
Sea el vector AA' = (x-1, y-2 ,z) paralelo al vector vπ con lo que
x-1
y-2
z
------ = ------ = --- ==>
1
-2
2
Resolvamos el sistema
2 1
0
2 0 -1
1 -2 2
- 2x + 2 = y - 2
2x - 2 = z
2x + y = 4
2x - z = 2
x - 2y + 2z = 3
= -1–4–4=-9
4 1
0
2 0 -1
3 -2 2
-3–4–8
5
x = ---------------- = ------------ = ---9
-9
3
2 4
0
2 2 -1
1 3 2
8 – 4 – 16 + 6
2
y = ----------------- = ------------------ = ---9
-9
3
2 1
4
2 0
2
1 -2
3
2 – 16 – 6 + 8
4
z = ---------------- = ------------------ = ---9
-9
3

5
2 4
A´( --- , --- , --- )
3
3 3
Dado el plano de ecuación x + 2y + 3z = 1 y el punto A(1,1,1), hallar
las coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde A a ese plano,
(proyeccion ortogonal de A sobre él).
Si   x + 2y + 3z = 1 su vector perpendicular será nπ = (1,2,3).
Si llamamos A'(x,y,z) al punto pedido y calculamos el vector AA'= (x-1,y-1,z-1).
x–1 y-1 z-1
El AA' será paralelo al nπ ==> ------ = ------ = -----1
2
3
El A(x,y,z)  
==> x + 2y + 3z = 1
Resolvamos el sistema de 3 ecuaciones con las incógnitas x,y,z
2x - 2 = y - 1
3x - 3 = z - 1
x + 2y + 3z = 1
│C│=
2
3
1
2x - y = 1
3x - z = 2
x + 2y + 3z = 1
-1 0
0 -1 = 1 + 9 + 4 = 14
2 3
1 -1 0
2 0 -1
1 2 3
9
x = ---------------- = ---14
14
y = 18 / 14 – 1 = 4 / 14 = 2 / 7
z = 27 / 14 - 2 = - 1 / 14
El punto A´ ( 9/14 , 2/7 , - 1/14)
Dado el plano  de ecuación x + 2y + 3z – 1 = 0, el punto P(2,1,1) y la
x = 2z - 3
recta r de ecuaciones:
determina:
y=z+4
a) Unas ecuaciones de la recta que pasa por P y es perpendicular a .
b) La ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a la recta r.
c) Unas ecuaciones de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente a r. d) Unas ecuaciones de la recta que pasa por P, es parale-la
al plano  y tal que su vector director es perpendicular al de r.
a) s ┴ π
y Pεs
 nπ = us por lo que us = (1, 2, 3) y la recta pedida es:
x=2+λ
s ≡ y = 1 + 2λ
z = 1 + 3λ
b) π´ ┴ r
r ≡
y P ε π´
Hay que pasar la recta r a parametricas llamando a z = λ
x = - 3 + 2λ
y=4+λ
z=λ
ur = (2, 1, 1)
y la nπ´ = k · ur = (2, 1, 1)
Como PP´ = (x – 2, y – 1, z – 1) , el plano se calcula
haciendo el producto escalar PP´ · nπ´ = 0  2· (x – 2) + (y – 1) + (z – 1) = 0
 2x + y + z – 6 = 0
c) r´ ┴ 2 y P ε r´
Buscamos un plano llamado de apoyo π´´ ┴ r , de forma que
nπ´´ = k · ur = (2, 1, 1)
y como P ε r ε π´´ y puedo buscar un generico del plano
PP´ = (x – 2, y – 1, z – 1) tal que PP´ · nπ´´ = 0 , nos de la ecuación del plano de apoyo.
2·(x – 2) + y – 1 + z – 1 = 0  2x + y + z – 6 = 0 ¡ que casualidad, es el plano del
apartado anterior!.
A continuación buscamos el punto de corte de la recta r y el plano π´´ introduciendo las
parametricas de r en la ecuación general del plano.
2 · (-3 + 2λ) + 4 + λ + λ – 6 = 0  - 6 + 4λ + 4 + λ + λ – 6 = 0  6λ – 8 = 0
λ = 4 / 3 con lo que M = (- 3 + 8/3, 4 + 4/3, 4/3) y PM = ( -1/3 – 2, 16/3 – 1 , 4/3 – 1)
x = 2 - 7λ
= ( - 7/3, 13/3, 1/3) = (-7, 13, 1)  r´ : y = 1 + 13λ
z=1+λ
d) r´´ // π  ur´´ ┴ nπ
ur´´ = nπ x ur =
r´´ ┴ r  ur´´ ┴ ur
con lo que la recta r´´ :
x=2-λ
y = 1 + 5λ
z = 1 - 3λ
i
1
2
j
2
1
k
3 = -i+5j–3k
1
x–y+z=1
Dados A(-2,-4,-3) y B(2,6,5) y la recta r:
2x + y – 3z = 2
averigua si existe alguna recta que contenga los puntos A y B y corte a r.
Razona la respuesta
ur
Ax
Calculamos la recta s que pasa por A y B
xC
xB
y luego comprobemos si corta o no a la recta r
us = AB = (4, 10, 8) = (2, 5, 4)
x–y=1–z
+  3x = 3 + 2z  x = 1 + 2/3 z
Calculemos las parametricas de r
2x + y = 2 + 3z
y = x – 1 + z = 1 + 2/3 z – 1 + z 
x = 1 + 2/3 λ
r ≡ y = 5/3 λ
z=λ
 C(1, 0, 0)
y = 5/3 z
y ur = ( 2/3, 5/3, 1) = (2, 5, 3)
Para estudiar la posición relativa entre r y s necesitamos el vector AC, ademas del ur y del
us con lo que AC = ( 3, 4, 3 )
rg

AC
ur
us
rg
3
= rg 2
2
AB
ur
us
= 3
4
5
5
3
3
4
;
3
2
2
4
5
5
3
3 = 60 + 24 + 30 – 30 – 32 – 45
4
=7≠0
r y s se cruzan y no se cortan.
Dados dos planos de ecuaciones 3x - y + z = 1 y x + y - 2z = 0 , hallar
un vector cuya dirección sea paralela a ambos. Explicar como se ha
calculado.
Sea   3x - y + z = 1 y sea v = (3,-1,1) su vector perpendicular o asociado.
Sea '  x + y - 2z = 0 y sea w = (1,1,2) su vector perpendicular o asociado.
Al calcular el producto vectorial de los vectores v y w, nos dara un vector u, que será
perpendicular a los vectores v y w.
Como v y w son los vectores perpendiculares a cada uno de los planos, resultara que el
vector u será siempre paralelo a los planos  y '.
i j k
u = 3 -1 1 = i + 7j + 4k
1 -1 -2
Luego el u(1,7,4) es el vector paralelo a los planos  y '.
Dados los planos a y b de ecuaciones respectivas:
a  2x - y + 2z = 2 b  - 4x + 2y - 4z = 1
Se pide: 1º) Probar que son paralelos y determinar la distancia entre
ellos. 2º) Determinar la ecuación del plano perpendicular a ambos, que
pasa por el punto A en que el plano a corta al eje OX y por el punto B en
el que el plano b corta al eje OY.
Para ver si son paralelos, tomaremos los vectores asociados a los dos planos y
comprobaremos que son paralelos.
u = (2,-1,2) ┴ a v = (-4,2,-4) ┴ b
v = - 2u por lo que son paralelos y también los planos a y b
Ahora calculemos un punto P  al plano a dandole a x=0 e y=0 con lo que
z = 1 , es decir P = (0,0,1)
│-4.0 + 2.0 - 4.1 - 1│
5
5
d(P,b) = -------------------------- = ------ = -- 16 + 4 + 16
36
6
Calculemos las coordenadas de los puntos A y B
Como el eje OX viene dado por los planos y = 0 e z = 0 , sustituyendo en la ecuación
del plano a
2x - 0 + 0 = 2 ==> x = 1 ; A = (1,0,0)  
Como el eje OY viene dado por los planos x = 0 y z = 0 , sustituyendo en la ecuación del
plano b
1
0 + 2y - 0 = 1 ==> y = - ; B = (0,1/2,0)  
2
El vector AB   y será AB = (-1,1/2,0)
el vector u   ya que es perpendicular a los planos a o b
La ecuación del plano  
x-1 y
-1
½
2
-1
x - 1 + 2y = 0 ===>   x + 2y - 1 = 0
z
0
2
= 0
Dados los puntos A(1,-3,1), B(2,3,1) y C(1,3,-1), se pide
a) Obtener la ecuación del plano Л que los contiene
b) Calcular la distancia del origen de coordenadas al plano Л
c) Determinar el volumen del tetraedro cyos vértices son A, B, C y el
origen de coordenadas.
a)
B
A
P
C
AP= (x - 1, y - 3, z - 1)
UЛ = AB = (1, 6, 5)
VЛ = AC = (0, 6, -2)
x-1 y-3 z-1
1
6
5 = 0; - 12 (x - 1) +2 (y + 3)+ 6 (z - 1)= 0
0
6
-2
- 6 (x - 1) + (y + 3) + 3(z - 1)= 0; - 6x + y + 3z +6 = 0; Л= 6x – y – 3z –6 = 0
b)
| 6∙ 0 – 0 + 3 ∙ 0 – 6 |
6
6√46
3√46
d(0, Л) = ----------------------------- = -------- = ---------- = ---------- u
√ 36 + 1+ 9
√46
46
23
c) OA, OB y OC forman un paralelepípedo.
Vtetraedro = 1/6 Vparalelepipedo= 1/6 | OA∙(OB x OC) | = 1/6
1 -3 1
2 3 -1
1 3 -1
= 1/6 ∙ 1 = 2 u3
Determina m, si es posible, para que el plano
: 2mx – 3(m – 1)y – (m + 3)z + 2m + 4 = 0 sea ortogonal a la recta de
ecuación:
y
r: x = --- = - z
2
Como ur ( 1, 2, - 1)
y nπ = ( 2m, -3 ·(m-1), - (m+3) )
2m
- 3 · (m-1)
- ( m+3)
π ┴ r  ur // nπ  ------ = -------------- = ----------1
2
-1
4m = - 3m + 3 ; 7m = 3  m = 3 / 7
2m = -m – 3  m = 3
3m – 3 = - 2m + 6 ; 5m = 9  m = 9 / 5
Como podemos ver , no existe un valor de m unico por lo que no ewxiste ningun valor de
m que haga que r sea perpendicular a π.
Determinar la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(1,0,2) y
es perpendicular al plano determinado por el origen de coordenadas y de
la recta
x = 2z - 1
y=z–2
Al ser la recta r ┴ π . Podemos asegurar que el ur es paralelo al vector característico del
plano uπ.
ur
nπ
Para calcular π tenemos un punto O (0, 0, 0) y
una recta S contenida en π y de forma que el
vector dirección de S y el vector característico
son ┴.
O
UB
B
x = 2z – 1

Si tomamos la recta S ≡
y= z–2
x=-1+2λ
y=-2+λ
z=λ
para todo λ
perteneciente a R
Bs = (-1, -2, 0) pertenece a π
serán las parametricas de la recta
us
= (2, 1, 1) pertenece a π
Como O  π y B  π  OB  π y será OB = (-1, -1, 0)
El vector nπ buscado se puede calcular como el producto vectorial de dos de los vectores
dirección del plano.
nπ = us x OB =
i
2
-1
j k
1 1
-2 0
= +2 i - j -3 k = nπ = (2, -1, -3)
ur = k nπ  ur = ( 2, -1, -3) para k = 1
La recta pedida esta ya calculada conociendo su punto base A y su vector dirección
x=1+2λ
y=-λ
z = 2+ 3 λ
λR
x-1
y
z-2
------- = ------- = ------2
-1
-3
Determinar razonadamente si las rectas r y s se cortan o cruzan
x + y - 2z + 1 = 0
2x + y - z - 1 = 0
r: 2x - y + z - 1 = 0
s: x - y - 2z + 1 = 0
Hallar también el coseno del Angulo que forman sus direcciones.
La recta r viene dada por dos planos cuyos vectores perpendiculares serán
w = (1,1,-2) y w'= (2,-1,1) por lo que el vector dirección de la recta r será ur = w x w'
i j k
ur = 1 1 -2 = i - 4j - k - 2k - 2i - j = - i - 5j - 3k
2 -1 1
La recta s viene dada por otros dos planos cuyos vectores asociados serán v = (2,1,-1) y
v' = (1,-1,-2) por lo que el vector dirección de la recta s será us = v x v'
i j k
us = 2 1 -1 = - 2i - j - 2k - k - i + 4j = - 3i + 3j - 3k
1 -1 -2
Si tomamos un punto A  r dando a z el valor 0 y resolviendo el sistema en x e y
x + y = - 1 3x = 0 ==> x = 0 ==> y = -1
2x - y = 1
A(0,-1,0)
Si tomamos un punto B  s dando a z el valor 0
2x + y = 1
3x = 0 ==> x = 0 ==> y = 1
x-y=-1
B(0,1,0)
Formemos el vector AB = (0,2,0) y calculemos el rango formado por los vectores AB,
ur y us
-1 -5 -3
-3 3 -3 = 18 – 6 = 12  0
0 2 0
rg
-1 -5 -3
-3 3 -3 = 3
0 2 0
Al ser los tres vectores l.i , las rectas r y s se cruzan
│ur.us│
cos(r,s) = ------------ =
│ur│.│us│
1
105
= -------- = ------105
105
3 - 15 + 9
----------------------------- 1 + 25 + 9 . 9 + 9 + 9
=
-3
-------3105
x–1
y +1
z
Determinar un punto P de la recta r: --------- = -------- = ----2
1
3
que equidiste de los planos π: x + y + z = - 3
σ:
x=-3+λ
y=-λ +μ
z=-6–μ
Primero veamos la posición relativa de los 2 planos , para lo que pasaremos las
parametricas de σ a su ecuación general implicita
A (- 3 , 0 , - 6)
σ = uσ = (1 , -1 , 0)
vσ = (0 , 1 , -1)
x+3 y
1 -1
0
1
z+6
0
-1
AQ = (x + 3 , y , z + 6)
AQ , uσ y vσ son combinación lineal  l.d
=0
x + 3 + y + z + 6 = 0  σ: x + y + z + 9 = 0
π: x + y + z + 3 = 0
Los planos π y σ son paralelos pues los coeficientes de x , y , z son iguales
Para escribir cualquier punto dela recta r lo escribimos en parametricas
x=1+λ
y = -1 + λ P (1+2λ , -1+ λ , 3λ) Є r
z = 3λ
Para que P equidiste igualamos d (P , π ) = d (P , σ)
1+2λ–1+λ+3λ+3
1 + 2 λ -1 + λ + 3 λ + 9
------------------------------ =  ----------------------------- 
√ 12+12 +12
√ 12+12 +12
6λ+3=6λ+9
6 λ + 3 = -6 λ - 9
6λ+3
6λ+9
------------ =  ----------√3
√3
 3 = 9 es una incongruencia  no existe λ
 12 λ = - 12  λ = - 1
El punto P será P(1 + 2(-1) , -1 +(-1) , 3(-1)) = (-1 , -2 , -3)
Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1,1,1) y B(0,2,0).
El centro del paralelogramo es O (0,0,1). Se pide:
a) Las coordenadas de los otros dos vértices.
b) El área e paralelogramo.
D
AB = AB - OA = (0, 2, 0) – (1, 1, 1) = (-1, 1 ,-1)
C(x,y,z)
AC = (x – 1 , y – 1 , z - 1)
AO = (0,0,1) – (1,1,1) = (-1,-1,0)
C
0
A
B
x–1=-2; x=-1
y–1=-2; y=-1
z–1= 0; z=1
AC = 2AO
C(-1,-1,1)
CD = (x’ +1, y’ +1, z’ -1)
AB = - CD 
x’ + 1
y’ + 1
z’ – 1
------- = -------- = ------- = - 1 ;
-1
1
-1
Area = AB x AD =
i
-1
-1
j k
1 -1
-3 1
x’ = 0
y’ = - 2
z’ = 2
= - 2i + 2j + 4k
D( O, -2, 2 )
________
___
= √ 4 + 4+ 16 = √ 24 u2
Encontrar la ecuación del plano que contiene a los puntos P(1, 2, 1) y
Q(1, 2, 3) y al punto S, intersección de la recta ‘r’ y el plano , cuyas
ecuaciones son:
r:
:x+y+z=0
P
S
r
Q
Calculamos el punto S = r
R (x,y,z)
Sustituyo las paramétricas en
1 + 2t + 2 + 2t + 1 – 2t = 0; 4 + 2t = 0; 2t = - 4;
S
( 1 + 2 (-2), 2 + 2 (-2), 1 – 2 (-2)) = (- 3, - 2, 5)
Los vectores PQ, PR, y PS
PR = (x – 1, y – 2, z – 1);
.
t=-2
al plano pedido y deben ser l.d.
PQ = (0, 0, 2);
PS = (-4, -4, 4) = (-1, -1, 1)
= 0; 2· (x – 1) – 2· (y – 2) = 0;
x–y+1=0
2x – 2y + 2 = 0
x=t–1
2x – y = 0
Estudia sí las rectas L1: y = t + 1 y L2:
z=t
3y – 2z = 0
en caso afirmativo, encuentra la distancia entre ellas.
A(-1, 1, 0)
L1 :
uL1 = (1, 1, 1)
x=½λ
L2 = y = λ
z = 3/2 λ
se cruzan y,
B(0, 0, 0)
uL2 = (1/2 , 1, 3/2) = (1, 2, 3)
AB = (1, -1, 0) , uL1 = (1, 1, 1) , uL2 = (1, 2, 3)
1
1
1
-1
1
2
0
1 = 3+3=6≠0
3
existe menor principal de orden 3 ,
el rango de los tres vectores es 3
r y s se cruzan en el espacio.
1 -1
0
AB · (uL1 x uL2)
1
1 1
1
2
3
3–1+3–2
3
√6
d( r,s) = ---------------------------- = ----------------------- = ---------------- = ---- = ---│ uL1 x uL2 │
i
j
k
│i – 2j + k│
√6
2
1
1
1
1
2
3
Explicar como puede hallarse el área de un triangulo a partir de las
coordenadas de sus tres vértices. Aplicarlo al A(1,0,1), B(-1,0,0), C(0,2,3).
Sabiendo que el área de un triangulo es la mitad del área del paralelogramo y que esta
es igual al modulo del producto vectorial de los vectores que forman los lados del
paralelogramo.
SABC = ½ SABDC = ½ │AB x AC│
Calculando los vectores AB = (-2, 0, -1) y AC = (-1, 2, 2)
1
S = -2
i
-2
-1
j k
0 -1
2 2
3
= ½ │ 2i + 5j - 4k │ = ½ ·  4 + 25 + 16 = ½ 45 = -- 5
2
Explicar como se halla el angulo diedro formado por dos planos dados
por sus ecuaciones cartesianas. ¿Por que?.
Geométricamente, un Angulo diedro se halla trazando un plano perpendicular a la recta
de intersección de los planos del diedro.
 : ax + by + cz + d = 0
Sean las ecuaciones de los dos planos:
': a'x + b'y + c'z + d' = 0
Si tomamos los vectores normales a los dos planos 
y el w' (a',b',c') será el perpendicular al '.
w (a,b,c) es perpendicular al 
Por tanto, si  es el Angulo que forman los planos y ß es el Angulo que forman los
vectores asociados, podemos ver que  = ß, por ser los lados de los dos ángulos
perpendiculares entre si.
w.w'
a.a' + b.b' + c.c'
cos ß = ------------- = ----------------------------------│w│.│w'│
a2 + b2 + c2 . a'2 + b'2 + c'2
Explicar de manera razonada como puede obtenerse el Angulo que
forma el plano de ecuación ax + by + cz + d = 0 y la recta dada por
x-m y-n
z-p
------ = ------ = -----u
v
w
El Angulo de una recta y un plano, se define como el Angulo agudo formado por la
recta r y la recta intersección entre el plano  y el plano perpendicular al  que contenga a
r.
ur
En el dibujo, el Angulo pedido será ,
pero será mas fácil de calcular su comple-------------------------mentario ß, como el Angulo que forma el
nπ
vector dirección de la recta u (u;v;w) y
el vector asociado al plano w (a;b;c)
u·w
cos ß = ----------│u│.│w│
el  = 90 - ß
a.u + b.v + c.w
= -------------------------------- -a2 + b2 + c2 . u2 + v2 + w2
y por ultimo
Expresar la condición que han de cumplir los coeficientes de las
ecuaciones de dos planos, para que estos sean perpendiculares. ¿Por
que?.
  ax + by + cz + d = 0
Dados dos planos
'  a'x + b'y + c'z + d' = 0
Si v = (a,b,c) y v' = (a',b',c') son los vectores asociados o perpendiculares a los dos
planos  y ' respectivamente.
Al ser el Angulo que forman los dos planos igual al Angulo que forman los vectores
asociados, para que los dos planos sean perpendiculares será necesario que el Angulo
formado sea de 90.
Los vectores v y v' serán perpendiculares cuando su producto escalar sea cero.
v.v' = 0 ==>
a.a' + b.b' + c.c' = 0
Halla el punto simétrico de A(-1,3,3) respecto del plano  de ecuación
general : x + y – 2z = 5.
xA
nπ
nπ = (1, 1, -2)
xM
r:
xA´
r
ur = k·nπ (1, 1, -2)
x=-1+λ
y=3+λ
z = 3 - 2λ
M=r∩π
- 1 + λ + 3 + λ – 2·(3 - 2λ) – 5 = 0
6λ – 9 = 0  λ = 9 / 6 = 3 / 2  M( - 1 + 3/2, 3 + 3/2, 3 – 3) = ( ½, 9/2, 0)
Como M es el punto medio entre A y A´ , busquemos el extremo A´.
-1 + x
3+y
------- = 1 / 2  - 1 + x = 1 ; x = 2
------ = 9 / 2  3 + y = 9 ; y = 6
2
2
3+z
------ = 0  3 + z = 0 ; z = - 3
2
A´ (2, 6, -3)
Halla el volumen del tetraedro cuyos vértices son el punto (1,1,1) y los
puntos en los que el plano 2x + y + z = 2 corta a los ejes coordenados.
(PAU).
Calculemos los puntos A, B y C de corte del plano con cada uno de los tres ejes
2x + y + z = 2
y=0
A : eje OX
z=0
B:
C:
2x = 2  x = 1  A(1, 0, 0)
2x + y + z = 2
x=0
eje OY
z=0
y = 2  B(0, 2, 0)
2x + y + z = 2
x=0
Eje OZ
y=0
z = 2  C(0, 0, 2)
V = │OA · (OB x OC)│ =
1
0
0
0
2
0
0
0
2
= 4 u3
Halla la ecuación de la proyección ortogonal s de la recta:
x–1
z–2
r: ------ = y – 1 = ------ sobre el plano : x – 3y + 2z + 12 = 0
2
2
Primero se calcula si r corta a π ó es paraA nπ
r
lelo a él, para lo cual nπ · ur vale ó no 0
M
s
(1, -3, 2) · (2, 1, 2) = 2 – 3 + 4 = 3 ≠ 0
P
π

r incide en π
Por un lado hay que calcular el punto P ≡ r ∩ π
x = 1 + 2t
Si r ≡ y = 1 + t
z = 2 + 2t
(1 + 2t) – 3 · (1 + t) + 2 · (2 + 2t) + 12 = 0
1 + 2t – 3 – 3t + 4 + 4t + 12 = 0  3t + 14 = 0  t = - 14/3
 P ( 1 – 28/3, 1 – 14/3, 2 – 28/3) = ( - 25/3, - 11/3, - 22/3)
Por otro lado hay que calcular el punto M como interseccion de la recta AM y el plano
La recta AM pasa por A(1, 1, 2) ε r y su uAM = k · nπ = (1, -3, 2)
Recta AM ≡

x=1+λ
y = 1 - 3λ
z = 2 + 2λ
 (1 + λ) – 3 · (1 - 3λ) + 2 · (2 + 2λ) + 12 = 0 
1 + λ – 3 + 9 λ + 4 + 4 λ + 12 = 0  14 λ = - 14  λ = - 1
Con lo que el punto M (0, 4, 0) al sustituirlo en las parametricas de AM.
Para acabar, la recta proyeccion s es la que pasa por P o por M y cuyo us = PM
us = ( 25/3, 23/3, 22/3) = (25, 23, 22) y la recta s es
x = 25 µ
s ≡ y = 4 + 23 µ
z = 22 µ
Hallar el ángulo formado por la recta y el plano π:
x- 3y + 5z = 7
r:
π: x + 4y + z – 6 = 0
3x + y - 4z = 1
ur . n π
α(r,π) = arcsen -----------ur · nπ
x - 3y + 5y= 7
x - 3y = 7 - 5z
3x + y - 4z = 1
3x + y = 1 + 4z
7 – 5z -3
1 + 4z 1
7 – 5z + 3 – 12z
x = ---------------- = --------------------1 -3
1+9
3
1
1 7 – 5z
3 1 + 4z
1 + 4z – 21 + 15z
y = -------------- = --------------------1+9
1+9
x = 1 + 7/10 z
y = -2 – 19/10 z
x
r
y
ur ( ,
, 1)
( 7, 19, 10 )
nπ= (1, 4, 1)
π
z=
7·1+ 19·4 +10·1
α(r, π) = arcsen
93
= arcsen
72+192+102 ·
12+42+12
= 76,08º
√ 510 · √ 18
Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de A(2, -4, 7) y
B(0, 3,-1) ¿Qué figura forman?

 AP  ( x  2, y  4, z  7)
d(A, P) = d(B, P) 

 BP  ( x, y  3, z  1)
A
P
B
(
( x  2) 2  ( y  4) 2  ( z  7) 2  x 2  ( y  3) 2  ( z  1) 2
j
a
j
2
x  4 x s 4  y 2  8 y  16  z 2  14 z  49 = x 2  y 2  6 y  9  z 2  2 z  1
s
- 4x + 8y –(14z + 69 = - 6y + 2z + 10
- 4x + 14y (– 16z + 59 = 0
x
,
4x –y14y + 16z – 59 = 0
el lugar geométrico es un plano.
,
z
)
Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los pla-nos
de ecuaciones 3x, -4y, +5 = 0 y 2x -2y + z + 9 = 0. ¿Que puntos del eje OY
equidistan de ambos planos?
Los puntos pedidos serán de la forma P(x, y, z)
d(P, Л) = d(P, Л´) Al sustituir el punto en cada plano.
|3x – 4y + 5|
| 2x- 2y + z + 9|
------------------ = ---------------------- ;
√ 9 + 16
√4+4+1
3 ( 3x – 4y + 5) = 5 ( 2x – 2y + z + 9)
3 ( 3x – 4y + 5) = ± 5 ( 2x – 2y + z + 9)
3 ( 3x – 4y + 5) = -5 ( 2x – 2y + z + 9)
9x – 12y + 15 = 10x – 10y + 5z + 45
9x – 12y + 15 = - 10x + 10y – 5z – 45
==>
==>
x + 2y + 5z + 30 = 0
19x – 22y + 5z + 60 = 0
Hay 2 lugares geométricos que son dos planos
Hallar el punto simétrico de un punto B (5 0 9) respecto a la recta
x - 2 = y + 1/6 = z + 4/3
Para hallar B' calculamos primero el punto M como intersección
de la recta r con un plano de apoyo п que es ┴ a la recta r y contiene a B.
Calculamos el plano п
Por ser п ┴ r 
nπ ┴ ur ; nπ = k .ur = (1, 6, 3).
M ≡ r ∩ п : Pongo r en parametricas.
π ≡ x + 6y + 3z + D = 0 pasa por B (5, 0, 9);
5 + 6· 0 + 3 · 9 + D = O: D = -32
π ≡ x + 6y + 3z – 32 = 0
r ≡
x= 2 + λ
y= -1 + 6λ
z= -4 + 3λ
Sustituir en el plano.
2 + λ + 6·(-1 + 6λ) +3· (-4 + 3λ) – 32 = 0
2 + λ -6 + 36λ -12 + 9λ – 32 = 0
46λ = 48 ;
λ = 48 / 46 = 24 / 23.
M (2 + 24/3, -1 + 6·24/23, -4 + 3· 24/23) = (70/23, 121/23, -20/23)
M es punto medio entre B y B'.
70/23 = (5 + x) / 2: 140/23 = 5+x ; x = 140/23 - 5; x = 25/23
121/23 = (0 + y) / 2; y = 242/23
-20/23 = (9 + z) / 2 ; z = -40/23 – 9 ; z= -247/23
B´( 25/23, 242/23, - 247/23)
Hallar el punto simétrico de A(1, -2, 3)respecto al plano 2x - 3y + z = 7
A(1, -2, 3)
n∏
m
ur = k n∏ = (2, -3, 1) A(1,-2,3)
r≡
x = 1 + 2λ
y = -2 - 3λ
z=3+λ
M≡r∩∏
A’(x,y,z)
2· (1 + 2λ) – 3· (-2 - 3λ) + 3 + λ = 7
2 + 4λ +6 + 9λ +3 +λ – 7 = 0 ; 14λ + 4 = 0 ; λ = - 4 / 14
M (1 + 2· (-4 / 14), -2 – 3 · (-4 / 14), 3 – 4 / 14) = (1 - 4/7, -2 + 12/14, 3 - 4/14)
M (3/7, -8/7, 19/7)
3
1+x;
-- = ------ ;
7
2
-8
-2+y;
--- = --------- ;
7
2
19
3+z
--- = ------ ;
7
2
M es el punto medio entre A y A’
6 = 7 + 7x ; - 1 = 7x ; x = - 1 / 7
- 16 = - 14 + 7y ;
38 = 21 + 7z ;
- 2 = 7y ;
y=-2/7
A’(-1/7, -2/7, 17/7)
17 = 7z ; z = 17 / 7
Hallar la distancia del punto P(1,2,3) a la recta r de ecuaciones
x=t
r: y = 6 – t , determinando el punto de la recta que esta a menos
z=2+t
distancia de P.
│AP x ur │
d( P, r) = -------------│ ur │
i
AP x ur = 1
1
j
-4
-1
A(0, 6, 2) ; ur = (1, -1, 1) ; AP = (1, -4, 1)
k
1 = - 3i + 3k
1
│- 3i + 3k │
√9+9
d(P, r) = -------------------- = ---------- = √ 6 u
√ 12 + (-1)2 + 12
√3
Hallar la distancia desde el punto P(0,0,7) al plano que pasa por los
puntos O(0,0,0) , A(0,2,4) y B(4,0,2).
Calculemos el plano que pasa por A, B y C
OP = (x, y, z)
OP
π ≡ uπ = OA = (0, 2, 4)  rg uπ = 2
vπ = OB = (4, 0, 2)
vπ
x
0
4
y
2
0
z
4 = 0
2
4x + 16y – 8z = 0  x + 4y – 2z = 0
│a·x1 + b·y1 + c·z1│
│1·0 + 4·0 – 2·7│
14
14 · √ 21
d( P, π ) = -------------------------- = ----------------------- = ------ = ----------- =
√ a2 + b2 + c2
√ 12 + 42 + 22
√ 21
21
2 · √ 21
= ----------- u
3
Hallar la distancia entre las rectas r y s siendo:
Las rectas r y s no son paralelas ni coincidentes ur
k · us
Además el vector AB siendo A(0,1,-4) y B(0,0,0) es AB = (0,-1,4) que tampoco es
proporcional, luego r y s se cruzan en el espacio.
La d(A,B) es la altura del paralelepípedo formado por los 3 vectores.
Como Vparalelepípedo = Abase · altura
| AB · (ur x us) | = |ur x us | · d(A,B)  d(A,B) =
d ( A, B) 
0 1
4
2
1
3
AB·(Ur x Us)
Ur x Us
4
1  8  12  8
5
5 251



u
2
2
2
k
13i  9  k
251
13  9  1
2 3 1
1
i
1
j
1 1
4
Hallar la distancia existente entre los planos : x + y + z = 1 y
´: x + y + z = 0 .
Si estudiamos la posicion relativa entre los dos planos
1
1
1
1
--- = --- = --- ≠ --- los planos son paralelos.
1
1
1 0
A
d( π, π´ ) = d (A, π´)
Busquemos un punto A poniendo el plano en parametricas
π´
x=1–λ-µ
y=λ
A (1, 0, 0) ε π
z=µ
│1 + 0 + 0│
d( A, π´) = ----------------- = 1 / √3 = √ 3 / 3
√12 + 12 + 12
Hallar la distancia del punto P(1,2,3) a la recta r de ecuaciones r:
x=t
y = 6 – t , determinando el punto de la recta que esta a menos
z=2+t
distancia de P.
│AP x ur │
d( P, r) = -------------│ ur │
i
AP x ur = 1
1
j
-4
-1
A(0, 6, 2) ; ur = (1, -1, 1) ; AP = (1, -4, 1)
k
1 = - 3i + 3k
1
│- 3i + 3k │
√9+9
d(P, r) = -------------------- = ---------- = √ 6 u
√ 12 + (-1)2 + 12
√3
Hallar la ecuación de una recta r que pasa por el punto P(1,-1,1) y es
paralela a los planos π : 2x + y – z = 0 ; π’ : 3x + y – 2z + 5 = 0
Si r | | π
ur perpendicular nπ
ur perpendicular n‘π
ur = nπ x
n‘π
x=1–λ
r y = -1 + λ
z = 1 – λ
i
= 2
3
j
1
1
ur = nπ x n ‘π
nπ = (2,1,-1) y n‘π (3,1,-2)
k
-1 = - i + j – k = (- 1, 1, - 1)
-2
x–1
y+1
z+1
Para todo λ  R ó ------ = ------- = -------1
1
-1
Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto P(2,0,1) y corta
perpendicularmente a
x–y+z=1
r:
xP
nπ
x+y–z=4
M
Si π ┴ r
nπ
ur
ur ;
Busquemos un plano de apoyo π que sea
a r y que pase por P.
┴
n π= k u r.
Busquemos el ur poniendo r en paramétricas:
x–y=1-z
x+y=4+z
2x = 5 ; x =5/2
x = 5/2
y = 4 + z - 5/2 = z + 3/2
y = 3/2 + µ
R
ur (0, 1, 1)
z=µ
 nπ (0, 1, 1)  π ≡ y + z + D = 0
y si pasa por P
0 · 2 + 1· 0 + 1· (-1) + D = 0  D = 1;
π
El punto M = r π 
3/2 + µ + µ + 1 = 0
2µ =- 1 - 3/2 = -5/2 ; µ = -5/4
M(5/2, 3/2-5/4, -5/4) = (5/2, 1/4, -5/4).
Para calcular la recta r´ busco un ur´ = PM
ur´= ( 5/2 - 2, 1/4, -5/4 + 1) = (1/2, 1/4, -1/4)
ó
(2, 1, -1)
x = 2 + 2µ
y=µ
z = -1 - µ
Hallar la ecuación de la perpendicular común a las rectas
x-1
y
z
x=2+λ
r: —— = —— = —— ;
2
3
4
ur = (2, 3, 4)
us = (1, 2, 3)
s: y = 3 + 2λ
z = 4 + 3λ
i j k
ur × us = 2 3 4
1 2 3
A (1, 0, 0)
B (2, 3, 4)
AP = (x - 1, y, z)
π1 ≡ uπ = ur = (2, 3, 4)
vπ = ur × us = (1, -2, 1)
t≡
BP = (x - 2, y - 3, z - 4)
π2 ≡ uπ = us = (1, 2, 3)
vπ = ur × us = (1, -2, 1)
x-1 y z
2
3 4
1 -2 1
π1 ≡
π2 ≡
11·(x - 1) + 2y - 7z = 0
=0
x-1 y-3 z-4
1
2
3
1
-2
1
11x + 2y - 7z = 0
8·(x - 2) + 2·(y - 3) – 4·(z - 4) = 0
=0
4x + y - 2z -3 = 0
11x + 2y - 7z – 11 = 0
t≡
4x + y – 2z - 3 = 0
Hallar la ecuación del plano que es perpendicular a:
  5x – y + z – 1 = 0 y contiene a la recta r:
 A(0,0,2) A  r   '
r 
u r  u '
 ur(2,3,4)
n v ' ya que    '
n
Vn’
r
x y z2
 
2 3
4
ur
n  (5,1,1) ; n '  k (5,1,1)
n
A
AP  ( x, y, z  2)
AP, u ' , v ' son l.d.
x
y
AP
u '  0
v '
z2
2 3
5 1
0
4
1
7x + 18y – 17(z + 2) = 0
7x + 18y – 17z – 34 = 0
Hallar la ecuación de una recta r que pasa por el punto P(1,-1,1) y es
paralela a los planos π: 2x + y – z = 0 ; π´: 3x + y – 2z + 5 = 0
Si r | | π ur
nπ
Si r | | π´ ur
nπ
r
π´
‫ ﻸ‬P
π
ur = nπ x nπ´
nπ = (2 , 1 -1) nπ´ =(3 , 1 -2)
ur = nπ x nπ´ =
r=
i
2
3
x=1–λ
y = -1 + λ
z=1–λ
j
1
1
k
-1
-2
ó
= - i + j – k = (-1 , 1 -1)
x–1 y+1
z–1
------- = ------- = -------1
1
-1
Hallar la ecuación general del plano determinado por los puntos:
A (1,1,1) ; B (-2, 0,1) y C (1, -2, 0) . Calcular el volumen del tetraedro que
limita con los ejes coordenados.
A (1,1,1)  AP = ( x - 1, y - 1, z - 1)
π≡
ur = AB = ( -3, -1, -2)
AP, ur y vπ son L.D.
vπ = AC = ( 0, -3, -1)
x-1
-3
0
y-1
-1
-3
z-1
-2
-1
=0 
-5· (x - 1) – 3· (y - 1) + 9· (z - 1) = 0
-5x - 3y + 9z - 1 = 0
Π ≡ 5x + 3y - 9z + 1 = 0
π
C´
A´
eje ox
x=λ
y=0
z=0
5λ + 1=0 ; λ = - 1/5
x=0
y=λ
z=0
3λ + 1=0 ; λ = - 1/3
x=0
y=0
z=λ
-9λ + 1 = 0 ; λ = 1/9
A´ (-1/5, 0, 0)
π
B´
B´
eje oy
A´
B´ (0, -1/3, 0)
π
C´
eje oz
1
1
V= -----│OA´ (OB x OC) │= ---6
6
-1/5 0
0
0 -1/3 0
0 0 1/9
1
-1
= --- · ----6 135
C´ ( 0, 0, 1/9)
1
= ------ u3
810
x = 3t
Hallar la proyeccion del punto P (2,-1,3) sobre la recta r:
y = 5t – 7
z = 2t +2
y calcular la distancia del punto P a la recta r.
P
nπ
ur
Construyamos un plano π que contenga al
punto P y sea perpendicular a r.
Luego intersectamos el plano π con la
Recta r y obtenemos el punto M proyección
de P sobre r.
M
Si π ┴ r  nπ ( vector asociado y perpendicular a π )
es paralelo a ur ( vector dirección de r )
x = 3t
y = 5t -7  ur = ( 3, 5, 2) y nπ = k ur = (3k, 5k, 2k) para k = 1
z = 2t +2
 nπ = (3, 5, 2)
r≡
π ≡ 3x + 5y + 2z + D = 0 y obligamos a que contengan a P 3·2 + 5(-1) +2·3+ D = 0 ;
7 + D = 0  D = -7
π ≡ 3x + 5y + 2z -7 = 0 ; M = r  π. Sustituyo las parametricas de r en π
3 ·(3t) + 5·(5t-7) + 2·(2t+2) -7 = 0  9t +25t -35 + 4t +4 -7 = 0  38t -38 = 0  t = 1
El punto M ( 3·1, 5·1 – 7, 2·1 + 2)  M (3, -2, 4)
Para calcular la distancia de un punto a un recta. Como M es el pie de la perpendicular
basta con calcular la distancia entre P y M.
P
r
M
D (P,r) = d (P,M) = │ PM│  PM = (3 - 2, -2 + 1, 4 - 3) = (1, -1, 1) 
_____________
_
d (P,r) = √ 12 + (-12 ) + 12 = √3 u
3x-1
Hallar a) La proyección ortogonal r de la recta r: ——— = y = z
2
sobre el plano π : x + y + z = 2. b) El ángulo que forman r y r´. c) El
ángulo que forman r y π. Comparar los resultados obtenidos en b) y c)
A
nπ
M ≡ r ∩∏
M’ es s∩∏
M
M´ r´
x - 1/3
-------- = y = z
2/3
r≡
≡
x =1/3 + 2/3 λ
y=λ
z=λ
s
ur=(2/3,1,1)= (2,1,1)
M=r∩∏;
1/3 + 2/3 λ +λ + λ - 2=0
; 8/3 λ - 5/3 = 0 ; 8λ – 5 = 0 λ = 5/8
M (1/3 + 2/3 · 5/8, 5/8 , 5/8)= (3/4, 5/8, 5/8)
A є r є s = (1/3, 0, 0)
x=½+λ
y=λ
z=λ
s:
us = k nπ = (1, 1, 1)
M’ ≡ s ∩ ∏ ;
1/3 + λ + λ +λ - 2=0
3λ - 5/3 = 0
3λ = 5/3
;
λ = 5/9
M’ (1/3 + 5/9, 5/9, 5/9) = (8/9, 5/9, 5/9)
r’ ≡ recta proyección MM’
32 - 27 40 - 45, 40 – 45
--------- , -----.--- , -------- =
36
72
72
MM’ = (8/9 – ¾ , 5/9 - 5/8 , 5/9 - 5/8) =
5 -5
-5
--- , ---- , ---- = (10, -5 , -5)=(2, -1, -1)
36 72
72
x-¾
y - 5/8
z - 5/8
------- = -------- = -------2
-1
-1
ur · u r’
2·2+3·(-1)+3·(-1)
[ -2 ]
α (ur, u r’) = arc cos ----------- = arc cos ---------------------- = arc cos ---------- = 79’97º
[ur] · [ur’]
√4+9+9 · √4+1+1
√22 · √6
y pasa por M  r’≡ recta proyección
ur · n∏
2·1+1·1+1·1
4
β(r , ∏) = arc cos ------------ = arc cos ---------------------- = arc cos -------- = 79’97º
[ur] · [n∏]
√4+1+1 · √1+1+1
√6 · √3
Los dos ángulos son iguales
Hallar las ecuaciones del lugar geométrico de todos los puntos del
plano x = y que distan 1 del plano 2x – y + 2z = 2.
Si   2x – y + 2z = 2 trazamos los planos paralelos que disten 1 unidad.
Los puntos de esos planos que corten en el plano   x = y unos darán las ecuaciones
de dos rectas r y s cuyos puntos equidisten de  1 unidad.
Calcularemos 1º los planos paralelos a 
2x – y + 2z - 2 
d ( P,  ) =  = 1; 2x – y + 2z - 2 = 3
 4+ 1 + 4
 1 2x – y + 2z - 2 = 3  2x – y + 2z - 5 =0
 2 2x – y + 2z -2 = -3  2x – y + 2z +1 =0

2x – y + 2z -5 =0 ; 2z = 5- 2x + y
r  1   
x=y
s  2   
2z = 5 – x
;
x=
y=
z=5-/2
2x – y + 2z +1 = 0 ; 2z = -1 - 2x + y
x=y
;
2z = -1 – x
las rectas r y s deberían ser paralelas y lo son.
x=
y=
z = -1 -  / 2
Hallar los puntos cuya distancia al origen es el triple que su distancia a la
recta
x–y=0
r:
z=2
x–y=0
Como r
z=2
x=y
z=2
x=λ
y=λ
z=2
A (0, 0, 2) Є r
ur (1, 1, 0) Є r
Igualando las distancias y elevando al cuadrado queda:
x+2 y–1 z–3
Halla todos los puntos de la recta r: ------ = ------ = ------ que
-2
2
-1
equidisten del punto P(2,3,-1) y del plano : - 2x + y + 2z + 7 = 0.
Ponemos la recta r en parametricas para poder escribir todos los puntos Q de r en
funcion de un solo parámetro λ.
x = - 2 - 2λ
r ≡ y = 1 + 2λ  Q (- 2 - 2λ , 1 + 2λ , 3 – λ)  PQ = (-4 - 2λ, -2 + 2λ, 4 – λ)
z= 3-λ
Como d(P, Q) = d(Q, π)
│-2 · (- 2 - 2λ) + 1 + 2λ + 2 · (3 – λ) + 7 │
√ (-4 - 2λ) + (-2 + 2λ) + (4 – λ) = ---------------------------------------------------√ 4+1+4
2
2
2
3 · √ 16 + 16λ + λ2 +4 - 8λ + 4λ2 + 16 - 8λ + λ2 = │4 + 4λ + 1 + 2λ + 6 - 2λ + 7│
3 · √ 6λ2 + 36 = │4λ + 18│  9 · (6λ2 + 36) = 16λ2 + 144λ + 324
λ=0 
Q1 = (-2, 1, 3)
38 · λ – 144 λ = 0  λ· (38 λ – 144 ) = 0
2
λ = 144 / 38 
 Q2 = ( - 182/19, 163/19, - 25/19 )
Hallar un punto de la recta r :
x = 1 – 2t
y=t
que equidista del eje OX
z=1+t
y del eje OY
P Є r = (1 – 2t, t, 1 + t)
que equidista de las rectas OX y OY
0 (0, 0, 0)
0 (0, 0, 0)
Eje OX:
eje OY
uX (1, 0, 0)
u Y (0, 1, 0)
d ( P, OX) = d (P, OY)
| OP x U X | |OP x U Y |
--------------- = -----------------|U X |
| UY |
i
j
k
i
j
k
1-2t t 1+t
1-2t t 1+t
1
0 0
0
1
0
; ------------------------ = -----------------------1
1
| (1+t) j – t k |
|- (1+t) i + (1-2t) k |
------------------- = ------------------------1
1
1 + 2t +
;
- 3t + 1 = 0
1
t=
=
=
1/3
P 1 ( 1- 2, 1, 1+ 1) ; P 1 (-1, 1, 2)
Hay dos puntos P :
P 2 (1- 2/3, 1/3, 1+ 1/3) ; P 2 (1/3, 1/3, 4/3)
Los puntos P(1, –1,1) y Q (3, –3,3) son dos vértices opuestos de un
cuadrado que esta contenido en un plano perpendicular al plano de
ecuación x – y = 0
a) Determinar los vértices restantes. b) Calcular la ecuación de la recta
que pasa por los vértices calculados c) Calcular el perímetro del cuadrado
construido.
П≡x–y=0
П ┴ П ´ desde П es el plano que contiene al cuadrado.
La recta RS es // al П y RS ┴ PQ.
urs ∙ PQ = 0
y urs // nп;
Si urs (V1, V2, V3)
y nп (1, 1, 0)
V1
V2
V3
V1 = V2
—— = —— = ——
1
1
0
V3 = 0
urs = (V, V, 0) = (1, 1, 0)
La recta RS pasa por M, punto medio de PQ  M
x=2+λ
M (2, –2, 2)  RS: y = 2 – λ
z=2
1
d(R,M) = ——
2
1+3 –1–2 1+3
——, —-— , ——
2
2
2
R(2+ λ, –2+ λ, 2)
Los puntos P(4 , -2 , 3) y Q(0, 10, -5) son dos vértices opuestos de un
cuadrado contenido en el plano x + y + z = 5. Determinar las coordenadas de los otros dos vértices.
S
Q
nπ (1, 1, 1)
urs = knπ = (1, 1, 1)
M
P
4 + 0 - 2 + 10 3 – 5
M ( --------, ----------, ------ ) = (2, 4, -1)
2
2
2
R ( 2+λ , 4+λ, -1+λ)
R
d(M,R) = 1/2 d(PQ)
x = 2+λ
y = 4+λ
z = -1+λ
RS =
MR = (λ, λ, λ)
PQ = (-4, 12, -8)
1224
√ λ2+λ2 +λ2 = ½ √(-4)2 +122 + (-8)2 ; 3λ2 = -------- ; 3λ2 = 56
4
___
____
56
√6
56
56
λ2 = ----- ; λ = ± ---- R = 2 + ------ , 4 + ------ , - 1 +
3
3
3
3
S= 2-
___
56
------ , 4 3
Sea el plano x – y + z + 2 = 0 y la recta r:
____
56
------ , - 1 3
____
56
-----3
____
56
-----3
x – 3y = 0
z=4
Hallar el plano que pasa por A (3, 1, 0), es paralelo a la recta r y es
perpendicular al plano

AP
x = 3
´≡ uπ´= ur = 0
r≡ y=
ur = ( 3, 1, 0)
vπ´= nπ
z=4
x – y + z + 2 = 0
x-3
3
2
y-1 z
1
0 =0
-1
1

nπ = (2, -1, 1)
x – 3 - 3( y-1) - 5z = 0
x - 3y - 5z = 0
Sean el plano  : 2x + y - z = 0 y la recta r : x = y = z .
Hallar la recta que pasa por el origen, esta contenida en el plano  y es
perpendicular a la recta r.
De  : 2x + y - z = 0 saco el v = (2, 1, -1) ┴ 
x
y
z
De r : --- = --- = --- saco el u = (1, 1, 1)  r
1
1
1
Ahora bien, un vector dirección de la recta pedida, llamémosle w, será siempre
perpendicular al v, por estar contenida en el plano , y además será siempre perpendicular
al u, por ser perpendicular a la recta s.
w┴v
w ┴ u con lo que w = v x u
i j k
w = 2 1 -1 = 2i - 3j + k = (2, -3, 1)
1 1 1
x
y z
La recta s pedida será: -- = --- = -2 -3 1
y
Sean las rectas r: 2x = y = z y s: 2x - 4 = y - 1 = x + 3
Hallar el Angulo que forman y hallar, si existe, el plano que las contiene.
Los coeficientes de x de las dos rectas deben valer 1
x
y
z
r: 2x = y = z ==> --- = --- = --½
1
1
u = (½,1,1) = (1,2,2)  r
x-2
y-1
z+3
s: 2x - 4 = y - 1 = z + 3 ==> ------ = ------- = ------½
1
1
v = (½,1,1) = (1,2,2)  s
Al ser los dos vectores dirección iguales me indican que las dos rectas son paralelas por
lo que el Angulo formado es de 0
Para calcular el plano, elijo como punto base el (0,0,0)r
y como vectores dirección el u y el formado por los puntos
A(0,0,0) y B(2,1,-3) este ultimo  s
AB = (2,1,-3) u = (1,2,2) A(0,0,0)  los tres vectores son l.d por lo que
x y z
1 2 2 = 0 
2 1 -3
- 8x + 7y - 3z = 0  8x – 7y + 3z = 0
x+1 y z-5
Sean las rectas del espacio r: ------ = -- = -----2
3
2
s: x - 1 = y = z . Determinar las coordenadas de un vector u perpendicular a las rectas r y s.
x+1 y z-5
r  ------ = -- = ------ ==> u = (2,3,2)
2
3
2
x-1 y z
s  ------ = --- = --1
1
1
==> v = (1,1,1)
Un vector w perpendicular a u y a v a la vez será el que nos de el producto vectorial de u
por v
i j k
w=uxv= 2 3 2 = i - k
1 1 1

w = (1,0,-1)
Sean las rectas r y s y el punto P
x + 4y = 2
x+y+x=0
r:
s:
P (1, 0, 0)
2y + z = 1
y-z=0
1º) Obtener el plano que pasa por P y contiene a la recta r, y el plano
que pasa por P y contiene a la recta s.
2º) Obtener las ecuaciones de la recta t que pasa por P y corta a las
rectas r y s.
x + 4y = 2 ===> u = (1,4,0)
De r 
2y + z = 1 ===> v = (0,2,1)
w = 4i - j + 2k
i j k
w=uxv= 1 4 0
0 2 1
será ┴ a la recta r y al plano  con lo que dicho plano será
4x - y + 2z + d = 0 y pasa por P(1,0,0) ==> 4 + d = 0
d = - 4 ===>   4x - y + 2z - 4 = 0
x + y + z = 0 ===>
u' = (1,1,1)
y - z = 0 ===>
v' = (0,1,-1)
De s 
i j
w' = 1 1
0 1
k
1
-1
w' = - 2i + j + k será ┴ a la recta s y al plano ' con lo que dicho plano será
- 2x + y + z + d´ = 0 y pasa por P(1,0,0) ==> -2 + d´ = 0
d´ = 2 ===> '  - 2x + y + z + 2 = 0
Para calcular un vector dirección de la recta t basta con calcular el vector perpendicular al
w y al w' asociados a los planos.
ut = w x w' =
i j k
4 -1 2 = - 3i - 8j + 2k ==> ur = (-3,-8,2)
-2 1 2
La recta pedida será
x-1
y
z
------- = --- = ---3
-8
2
Sean las rectas r:
x 1 y 1
z


2
3
1
x
4
s: 
y  2 z 1

2
3
a) Comprobar que se cruzan.
b) Hallar la mínima distancia entre ellas.
c) Hallar la ecuación de la perpendicular común.
a)
 A(1,1,0)
r
ur(2,3,1)
 AB 
 
rg  ur  :
 
 us 
 

 B (0,2,1)
us  

us(4,2,3)
AB
1 1
ur =
2
us
4
 AB 
 
rg  ur  = 3
 
 us 
 
AB(1,1,1)
1
 1 = - 9 + 4 – 4 – 12 + 6 + 2 = - 13  0
2 3
3
r y s se cruzan.
b)
AB  (ur  us)
d ( r, s)=
=
13
405
=
ur  us
13
9 5
=
1 1 1
2
3 1
4 2 3
i
j
k
2 3 1
4 2 3
= 0’646
c)


AP  ( x  1, y  1, z )


u 1  u r  (2,3,1)
 1  

v  u  u  (7,10,16)
r
s

 1
t 
 BP  ( x  0, y  2, z  1)

  
u 1  u s  (4,2,3)
 2 

v  u r  u s  (7,10,16)

 2

=
 13
7i  10 j  16k
=
13
49  100  256
=
x 1
1  2
7
y 1
z
3
1  0
 10  16
 58( x  1)  25( y  1)  41z  0
58x  25 y  41z  83  0
x
2  4
7
y 1
z
2
3 0
 10  16
62x  85( y  z )  26( z  1)  0
62x  85 y  26z  196  0
 58x  25 y  417  83  0
t
62x  85 y  267  196  0
Sean los puntos A(5,-1,2), B(0,2,-1) y C(2,3,0). Hallar la distancia de
A a la recta BC.
BA =(5,-3,3)
Ur = BC = (2,1,1)
i j k
5 -3 3
|BA x Ur|
2 1 1
|-6i +j +11k|
√36+1+121
√158
d (A, r) = -------------- = -------------------- = ----------------- = ----------------- = ------- =
|Ur|
√22+12+12
√6
√6
√3
√79
= ------- = 5’13 u
√3
S
1
= ----- S
2
1
1
= ------ | BA x BC | = ----2
2
1
1
= ---- √36+1+121 = ---- √158 u2
2
2
i j k
5 -3 3
2 1 1
1
= ---- | -6i +j +11k | =
2
Sean P y Q los puntos de coordenadas (3,0,0) y (5,-6,-4). 1º) Hallar
la ecuación de la recta r que pasa por los puntos P y Q. 2º) Hallar los
puntos de dicha recta r que equidistan de los planos  2x + 2y + z - 3
= 0 y ' 3x + 4z + 1 = 0
1º) El vector dirección de la recta pedida será
u = PQ = (2,-6,-4) y eligiendo como punto base el P(3,0,0)
x-3 y z
r  ----- = --- = --2 -6 -4
2º) Busquemos el punto A(x,y,z) que equidiste de los dos planos
d(A,) = d(A,') 2x + 2y + z - 3 = 3x + 4z + 1
además como el punto A  r
x-3 y
----- = --- ==> - 6x + 18 = 2y
2 -6
x-3 z
----- = --- ==> - 4x + 12 = 2z
2 -4
Resolvamos el sistema:
- x + 2y - 3z = 4
- 6x - 2y = - 18
- 4x - 2z = - 12
x - 2y + 3z = - 4
3x + y = 9
2x
+ z= 6
 y = 21
y = 9 – 3x
x – 18 + 6x + 18 – 6x = - 4  x = - 4
 z = 14
z = 6 – 2x
El punto A (-4,21,14) equidista de los dos planos.
114
x-2=0
Se consideran la recta r
y el punto A(0,1,3), se pide:
y+3=0
a) Hallar la distancia de A a r. b) Determinar el plano  que pasa por
el punto A y que contiene a la recta r.
De la recta r , buscamos su vector dirección ur como el producto vectorial de los
vectores asociados a los planos que forman la recta.
x - 2 = 0 ==> v = (1,0,0)
i j k
u=vxw= 1 0 0 =k
y + 3 = 0 ==> w = (0,1,0)
0 1 0
u = (0,0,1)
Si damos a la z el valor 0, podemos sacar el valor de x e y de las ecuaciones de los
planos.
x - 2 = 0 ==> x = 2
y + 3 = 0 ==> y = - 3 B(2,-3,0)  r AB = (2,-4,-3)
i j k
2 -4 -3
│AB x u│
0 0 1
│- 4i - 2j │
d(A,r) = ------------- = ------------------ = -------------- =
│u│
1
1
= ( 16 + 4 )1/2 = 20 = 2.5
El plano estará formado por los vectores dirección u y AB y por el vector genérico
AP , teniendo que ser los tres vectores linealmente dependientes.
x-2 y+3 z
0
0
1 = 0 ===> 4(x - 2) + 2(y + 3) = 0
2
-4 -3
4x - 8 + 2y + 6 = 0 ==> 4x + 2y - 2 = 0
115
x-2=0
Se consideran las rectas r 
x - 2z = 1
s
y+3=0
y+z=3
Se pide: a) Estudiar la posición relativa de r y s
b) Hallar la mínima distancia entre ambas.
a) Calculemos el rango de la matriz formada por las 4 ecuaciones de los planos que
forman las dos rectas.
1
rg 0
1
0
0 0
1 0
0 -2
1 1
2 f3-f1
1 0 0
-3 ===== rg 0 1 0
1
0 0 -2
3
0 1 1
2f4+f2
1 0 0
====== rg 0 1 0
0 0 -2
0 0 0
rg C = 3
2 f4-f2
1 0
-3 ===== rg 0 1
-1
0 0
3
0 0
0
0
-2
1
2
-3
-1
6
2
-3
-1
11
rg A = 4
Sistema incompatible, no existe solución.
Las rectas r y s, se cruzan en el espacio y no hay solución de corte.
b) Para calcular la mínima distancia entra r y s necesitaremos conocer los vectores
dirección de las rectas , u y v, así como el vector w, resultante del producto vectorial de
u por v.
u = (1,0,0) x (0,1,0) =
i j k
1 0 0
0 1 0
= k = (0, 0, 1)
i j k
v = (1,0,-2) x (0,1,1) = 1 0 -2 = 2i - j + k = (2, -1, 1)
0 1 1
i j k
w = u x v = 0 0 1 = i + 2j = (1, 2, 0)
2 -1 1
0 0 1
2 -1 1
│u.(v x w)│
1 2 0
4+1
5
d(r,s) = -------------- = ------------- = -------- = ---- = 5
│w│
1+4
5
5
116
x=0
Se considera la recta r 
y el punto P(3,4,1).
y = 4z
Hallar el plano  que contiene a la recta r y al punto P.
Calcular la distancia de P a r.
Busquemos el vector dirección de la recta r
u = (1,0,0) x (0,1,-4) =
i j k
1 0 0 = 4j + k = (0, 4, 1)
0 1 -4
Busquemos un punto A de la recta r
x = 0, y para z = 0 , se verifica que y = 0 A(0, 0, 0)
Para calcular la ecuación del plano, necesitaremos además del
vector u , el vector AP = (3, 4, 1)
x-0 y-0 z-0
0
4
1
3
4
1
= 0 ==> 3y - 12z = 0
i j k
3 4 1
_______
│AP x u│
0 4 1
│- 3j + 12k│
 9 + 144
d(P,r) = ------------ = -------------- = ---------------- = ------------│u│
 16 + 1
 17
 17
____
 153
= ---------- = 9 = 3
 17
117
Una recta pasa por P(1, -2, 3) y Q(0, 1, -5). Otra recta pasa por
A(4, -2, 0) y B(0, 1, -2). Hallar la ecuación de la perpendicular común
a ambas así como la distancia entre ellas y el ángulo que forman.
x= 1 - λ
y = -2 +3λ
z = 3 – 8λ
r : ur = PQ = (-1, 3, -8) =
x = 4 – 4λ
y = -2 + 3λ
z = -2λ
s: us = AB = (-4, 3, -2) =
a)
π1 =
RP = (x-1, y + 2, z-3)
uπ1 = ur
vπ1 = ur x us
π2 =
RA = (x-1, y +2, z)
uπ2 = us
vπ2 = ur x us
ur x us =
i j k
-1 3 -8 = 18i + 30j + 9k
-4 3 -2
t≡
x-1 y+2 z-3
x-1 y+2 z-3
π1 = -1
3
-2 = 0 -1
3
-8
=0
18
30
9
6
10
3
π2 =
x-4 y+2 z
-4
3
-2 = 0
18
30
9
x-4 y+2 z
-4
3 -2
6
10 3
=0
89(x-1) – 45(y+2) -28(z-3) =0
89x -45y – 28z +95 =0
29(x-4) – 58z = 0
29x – 58z – 116 =0
89x – 45y – 28z +95=0
t=
29x – 58z -116 =0
3 0 -3
-1 3 -8
| PA(ur x us) |
-4 3 -2
| -18 + 9 – 36 + 72|
27
9
b) d(r,s) = ----------------- = ------------------- = ----------------------- = --------- = ------ur x us
|18i + 30j + 9k|
√182 + 302 + 92
√ 1035
√145
|ur ∙ us|
|4 +9 +16|
29
c) α(r,s) = arc cos --------- = arc cos ------------------------- = arc cos ----------|Ur| |Us|
√1+9+64 · √16+9+4
√74· √29
α(r,s) = 51,24º
118
Una recta r pasa por A (1, 6,3) con vector director u (2,-1,1). Otra
recta s pasa por B (3, 3,8) con vector director v (1, 0,1). Hallar dos
puntos P Є r y Q Є s tales que el vector PQ sea paralelo a w (1, 1,-1).
π
PQ//w
r≡
A u
w(1,1,-1)
x = 1 + 2λ
y=6-λ
z=3+λ
s≡
x=3+λ
y=3
z=8+λ
r
P (1 + 2λ, 6 - λ, 3 + λ)
v
Q (3 + λ, 3, 8 + λ)
a
PQ = (3 + λ – 1 - 2λ, 3 -6 + λ, 8 +λ - 3 - λ) = (2 - λ, - 3 + λ, 5)
2 - λ -3 + λ
5
PQ // w: ------ = -------- = ---1
1
-1
→
2 – λ = -3 + λ; 5 = 2λ; λ = 5/2
-2 + λ = 5; λ = 7
no existe λ única
3 - λ = 5; λ = -2
No existen dos puntos P y Q / el PQ // w.
Una recta pasa por A (6,-2,8) y por el origen. Otra recta esta determinada por B (0,-2,4) y el vector v (2, -3, 4). Comprobar que se cruzan
y hallar la distancia entre ellas.
O (0,0,0)
B (0,-2,4)
r≡
s≡
ur ≠ OA = (6, -2, 8)
rg
OB
ur
vs

OB = ( 0, -2, 4,)
vs = ( 2, -3, 4)
OB
0 -2 4
0 -2 4
ur = 6 -2 8 = 2 3 -1 4
vs
2 -3 4
2 -3 4
0 -2 1
= 8 3 -1 1 = - 40 ≠ 0
2 -3 1
Existe menor principal de orden 3  r y s se cruzan
0 -2 4
3 -1 4
│OB (ur x vs) │
2 -3 4
│- 40 │
40
40
d(r, s) = -------------------- = --------------- = ----------------- = ------------------= ------- u
│ur x vs│
i j k
│16i-8j-14k│ √256+64+196 √516
6 -2 8
2 -3 4
119
Una recta pasa por P(1,-2,3) y Q(0,1,-5). Otra recta pasa por
A(4,-2,0) y B(0,1,-2). Hallar la ecuación de la perpendicular común a
ambas, asi como la distancia entre ellas y el ángulo que forman.
x=1-λ
r : ur = PQ = (- 1, 3, - 8)  y = -2 + 3 λ
z=3–8λ
x=4-4λ
s: us = AB = (- 4, 3, - 2)  y = -2 + 3 λ
z = -2 λ
RP = (x - 1, y + 2, z - 3)
a)
π1 uπ1 = ur
t  vπ1 = ur x us
ur x us =
RA = (x – 1, y + 2, z)
π2 uπ2 = ur
vπ2 = ur x us
π1 =
x-1
-1
18
x–4
π2 - 4
18
y+2 z–3
-3
-8
=0
30
9
y+2 z
3
-2 = 0
30
9
x–1
-1
6
x–4
-4
6
y+2
3
10
i
j k
- 1 3 - 8 = 18i + 30j + 9k
-4 3 -2
z-3
-8 = 0
3
y+2 z
3
-2 =0
10
3
89·(x – 1) – 45·(y +2) –
- 28 ·(z + 3) = 0
89x – 45y – 287 + 95 = 0
29·(x – 4) – 58 z = 0
29x – 58 z – 116 = 0
89x – 45y – 287 + 95 = 0
t
29x – 58 z – 116 = 0
3 0 -3
-1 3 -8
| PA · ( ur x us ) |
-4 3 -2
| -18 + 9 – 36 + 72 |
b) d ( r , s ) = ------------------------ = --------------------- = ------------------------- =
| u r x us |
| 18i + 30j + 9k |
√ 182 + 302 + 92
27
9
= -------- = -------√1305
√145
| ur x us |
| 4 + 9 + 16 |
29
c) r , s ) = arc cos ---------------- = arc cos ------------------------- = arc cos -----------| ur | x | us |
√1+9+64 · √16+9+4
√74 · √145
r , s ) = 51,24 º
120
Un cubo de arista 2 esta situado en el primer octante, con un vértice
en el origen y apoyando en los ejes coordenados. Hallar la distancia
entre:
a) Dos aristas que se cruzan
b) Las diagonales de dos caras opuestas
c) Una arista y una diagonal de una cara con la que se cruza
H
G(0,2,2)
E (2,9,2)
F
D
C (0,2,0)
A(2,0,0)
B(2,2,0)
| AB (EA x BC)|
a) Aristas EA y DC |AD| = d (EA, DC)= ----------------------|EA x DC|
AD= (2, 0, 0)
EA= (0, 0, -2)
DC= (0, 2, 0)
2 0 0
0 0 -2
0 2 0
|8|
8
|AD|= ----------------------- = ------- = ----- = 2 u
i j k
|-4i|
4
0 0 -2
0 2 0
| AE x EG |
AE= (0, 0, 2)
b) Diagonales AC y EG; d(AC, EG) = d(A,EG)= ---------------- ;
| EG |
EG= (-2, 2, 0)
i j k
0 0 2
-2 2 0
| -4i-4j | √16+16
√ 32
d(A, EG)= ------------------- = ---------- = ----------- = -------- = 2 u
√ 4 +4
√8
√8
√8
|AB (EA x BG)|
|AB| = d(EA, BG)= ---------------------| EA x AG |
0 2 0
0 0 -2
-2 0 2
|8|
8
|AB|=-------------------- = ------ = ----- = 2 u
i j k
|4j|
4
0 0 -2
-2 0 2
c) Arista EA y diagonal BG ;
AD = (2, 0, 0)
EA = (0, 0, -2)
BC = (-2, 0, 2)
121
Determinar la posición relativa de las rectas:
x +4 y-7
z
x +2y -5z-5=0
r: ------ = ------- = -------- s:
-3
4
1
2x+y+2z-4=0
s:
x + 2y = 5 + 5z
2x + y = 4 - 2z
5 + 5 2
4 - 2 1
- 3 + 9
x = ----------------- = ------------- = 1 - 3
-3
-3
1
5 + 5
2
4 - 2
- 6 - 12
y = -------------------= -------------= 2 + 4
-3
-3
z=
s:
x = 1 - 3λ
y = 2 + 4λ
z=λ
B ( 1, 2, 0)
us = (- 3, 4, 1)
A(- 4, 7, 0)
r:
ur = (- 3, 4, 1)
AB = (1, 2, 0) –(- 4, 7, 0)=(5, -5, 0)
discutir según sus rango  rg
ur
Además rg us = rg
-3 4
-3 4
AB
ur
us
=1
=2
5 -5
-3
4
-3
4
0
1
1
RECTAS paralelas
122
= 0