Arreglos florales
Plan de clase (1/3)
Escuela: ______________________________________________ Fecha:_____________
Profr. (a). _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 1 Secundaria
Eje temático: MI
Contenido: 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos.
Búsqueda de recursos para verificar los resultados.
Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para resolver
problemas que impliquen obtener la cantidad de combinaciones que se pueden hacer con los
elementos de un conjunto dado.
Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.
1. Samuel vende arreglos florales y para esta semana ha conseguido cuatro clases de
flores (Fig. 1). Por cada clase de flor ofrece tres presentaciones distintas (Fig. 2).
Fig. 1 Cuatro clases de flores
Caja
Pedestal
Florero
Fig. 2 Tres tipos de presentaciones
a) Dibujen una tabla o un diagrama para contar todos los arreglos diferentes que ofrece
Samuel.
b) Con los datos proporcionados, ¿qué operación se puede realizar para obtener el
número de arreglos diferentes? _________________________________________
c) En este caso, ¿es lo mismo “flor roja y arreglo florero” que “arreglo florero y flor roja”?
_______________ Di por qué piensas eso. __________________________________
2. En una nevería se venden los siguientes sabores: fresa, vainilla, limón, nuez y
chocolate. Juan quiere comprar un helado con dos bolas de sabores diferentes.
a) Hagan una tabla o un diagrama en el que representen todas las diferentes
posibilidades en las que se puede pedir el helado y digan cuántas formas
diferentes hay. __________________________
b) ¿Qué operación u operaciones con los datos llevan al resultado? ___________
c) En este caso, ¿es diferente un helado de fresa y limón que un helado de limón y
fresa?____________ ¿Por qué? _________________________________.
d) Si además se considera la posibilidad de que ambas bolas sean de un mismo
sabor, aprovechen lo que hicieron en el punto anterior para determinar todas
las formas diferentes en que se puede pedir el helado.
e) ¿Qué operación u operaciones con los datos llevan a este resultado? ________
Consideraciones previas:
En el primer problema, los estudiantes pueden hacer un listado sistemático, un arreglo
rectangular o un diagrama de árbol; estas dos últimas representaciones son las más
apropiadas para inferir que la operación que lleva al resultado es el producto de las
cardinalidades de los conjuntos (regla del producto combinatorio). Algunos estudiantes
pueden tener la tendencia a realizar listados dibujando las flores o los helados, estas son
representaciones icónicas que se deben desincentivar poco a poco a favor del uso de
símbolos; así mismo el uso de los nombres completos (margarita, Florero) para hacer los
listados conviene reducirlos, por ejemplo (m, F) o algo equivalente.
En el segundo problema también se esperan listados, arreglos rectangulares o diagramas de
árbol, pero hay varias diferencias respecto al anterior: 1) No hay dos conjuntos diferentes, si
no las dos elecciones (sabor de la bola) se realizan sobre el mismo conjunto. 2) Si se aplica
la regla del producto debe notarse que se cuenta 2 veces un mismo tipo de helado (Fresalimón es igual a Limón-fresa).
La intención es que los estudiantes entiendan el esquema de la regla del producto
combinatorio pero que lo apliquen de manera flexible y no mecánicamente:
Si en un conjunto se puede elegir un objeto de N maneras y de otro conjunto se puede elegir
un objeto de M maneras, entonces una pareja formada por un objeto de cada conjunto se
puede elegir de N⨯M maneras.
Los recursos de los arreglos rectangulares y los diagramas de árbol sirven como un medio
para que los estudiantes comprendan y usen esta regla, pues permiten inferirla, justificarla y
controlar su aplicación. La potencia de la regla del producto combinatorio se pone de
manifiesto cuando la cardinalidad de alguno o ambos conjuntos en juego es muy grande.
Una dificultad que suelen tener los estudiantes es saber cuándo se cuenta o no el orden; por
ejemplo, en el primer problema la pareja (clase de la flor, presentación del arreglo) es la
misma que (presentación del arreglo, clase de la flor), pero al aplicar la regla del producto
(43 = 12) no se están contando ambas, sino sólo una. Es importante determinar por qué
sucede esto.
En cambio, en el problema 2, aunque también la pareja (sabor fresa, sabor vainilla) es la
misma que (sabor vainilla, sabor fresa), al aplicar la regla del producto para el caso en que
no se permite el mismo sabor (5  4 = 20) se están contando las parejas y sus recíprocas y,
por lo tanto, es necesario dividir entre 2, obteniéndose 10 diferentes tipos de helado de dos
bolas. Los estudiantes deben reflexionar y encontrar las razones por lo que esto es así; no se
trata de que obtengan una regla general sobre cuándo se cuentan o no las parejas
recíprocas, sino en cada caso particular analizar este punto.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Emplacamiento vehicular
Plan de clase (2/3)
Escuela: _____________________________________________ Fecha:_____________
Profr. (a). _____________________________________________________________
Curso: Matemáticas 1 Secundaria
Eje temático: MI
Contenido: 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos.
Búsqueda de recursos para verificar los resultados.
Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para resolver
problemas que impliquen obtener la cantidad de variaciones que se pueden hacer con los
elementos de un conjunto dado.
Consigna: Organizados en equipos lean los enunciados y hagan lo que se pide.
1. Se tienen cuatro lienzos de tela, cada uno de uno de los siguientes colores: rojo, azul,
verde y blanco, con los que se van a elaborar banderas. Cada bandera debe tener un
color en cada franja, el cual puede no repetirse o se puede repetir una o dos veces.
a) Realicen un diagrama para representar todas las banderas que se pueden hacer.
¿Cuántas banderas se puede hacer?__________________
b) ¿La bandera (rojo, azul, rojo) es diferente de la bandera (azul, rojo, rojo)?_________
c) ¿Qué operación u operaciones con los datos llevan al resultado? _________________
d) Si se requieren banderas en las que no se puede repetir el color de cada franja,
¿cómo se puede determinar el número de estas banderas? Encuentren dicho número:
____________________________________________________________________
e) ¿Qué operación u operaciones con los datos llevan al resultado? _________________
2. En un ayuntamiento las placas que deben portar los vehículos de dos ruedas para
poder circular están formadas por números de 3 cifras:
Los funcionarios del ayuntamiento, para distinguir entre placas de bicicleta de las de
motocicleta, deciden que las primeras sólo utilicen los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4.
a) Realicen un diagrama para representar todas las placas diferentes para bicicleta que
se pueden formar con esos dígitos. ¿Cuántas placas diferentes se pueden hacer?
________________________________________
b) ¿Qué operación u operaciones llevan al resultado? __________________________
c) ¿Son diferentes las placas 325 de la placa 352?_____________________ ¿Y la 324
de la 423? __________________________
d) Si se decide además no emitir placas que comiencen con el número cero, ¿cuántas
placas se pueden formar? ___________________ ¿Cuántas se deben restar al
conteo anterior? _______________________
e) Si sí se permiten las placas que comiencen con cero, pero no las que tengan dígitos
repetidos, ¿cuántas placas se pueden formar? ______________________________
f) ¿Qué operación u operaciones llevan a este resultado? _______________________
Consideraciones previas:
A diferencia de los problemas del plan anterior, en éste sí importa el orden de los elementos
de los arreglos; además se implican tres en lugar de sólo dos elecciones.
En el problema 1, igual que en los problemas anteriores, algunos estudiantes intentarán
hacer una lista sistemática dibujando las banderas completas e iluminándolas; se les debe
sugerir que utilicen símbolos y eviten las representaciones icónicas. También conviene
propiciar el uso de diagramas de árbol o, en el caso de los más avanzados, la regla del
producto; sólo conviene utilizar las listas en las primeras exploraciones; esto ayuda a decidir
cómo representar los objetos y a entender el problema.
Con estos problemas se espera que los estudiantes noten: 1) que los arreglos con los
mismos objetos son diferentes si el orden es distinto; 2) que se aplica la regla del producto
dos veces sucesivas; 3) en el caso en que no se permiten repeticiones se utiliza la
cardinalidad del conjunto original pero cada vez restando una unidad: n(n-1)(n-2).
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
De cochera en cochera
Plan de clase (3/3)
Escuela: _____________________________________________ Fecha:_______________
Profr. (a). ______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 1 Secundaria
Eje temático: MI
Contenido: 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos.
Búsqueda de recursos para verificar los resultados.
Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para resolver
problemas que impliquen obtener la cantidad de permutaciones que se pueden hacer con los
elementos de un conjunto dado.
Consigna: Organizados en equipos lean los enunciados y respondan lo que se pide.
1. En un edificio nuevo hay 5 departamentos, cada departamento cuenta con un lugar de
estacionamiento. Se han habitado sólo dos departamentos, el de Carmen y el de
Daniel, quienes pueden colocar cada noche sus coches en el lugar que prefieran, si no
está ocupado.
a) Realicen un diagrama para representar todas las formas en que se pueden estacionar
los dos coches. ¿Cuántas formas diferentes hay de estacionarlos?_______________
b) ¿Qué operación u operaciones con los datos llevan al resultado?________________
2. Supongan que se forman arreglos de tamaño cinco utilizando sólo dos letras A y tres
letras B; por ejemplo: AAABB, AABAB, etc.
a) Realicen una tabla o diagrama para representar todos los arreglos que se pueden
formar, ¿cuántos hay?_____________________________
b) ¿Qué operación u operaciones con los datos llevan al resultado?
c) ¿Qué similitud y qué diferencia tiene este problema con el problema 1 de los coches y
estacionamientos?______________________________________________________
___________________________________________________________________
Consideraciones previas:
El problema de los coches es de colocación; el razonamiento sigue este esquema: ¿De
cuántas maneras se puede escoger un estacionamiento para el coche de Carmen?
Respuesta: de 5 maneras. Una vez elegido el lugar para el coche de Carmen, ¿de cuántas
maneras se puede elegir un lugar para el coche de Daniel? Respuesta: de 4 maneras. Luego
hay 5x4=20 formas en que pueden colocar sus coches. En los problemas de colocación la
aplicación de la regla del producto requiere que el estudiante determine primero cuál es el
conjunto en el que debe elegir; se elige el estacionamiento para cada coche y no el coche
para cada estacionamiento.
El problema 2 es muy importante pues permitirá entender la expansión del binomio de
Newton. El razonamiento es similar al de los coches y estacionamientos, donde ahora las A s
juegan el papel de los coches, aunque en este caso son indistinguibles, de donde a 20 hay
que dividirlo entre 2 para obtener 10, ¿por qué? Conviene que en estos problemas se deje a
los estudiantes que utilicen sus recursos de representación (listas, arreglos rectangulares,
diagramas de árbol) con libertad y que lleguen a la solución sin apresurarlos a la aplicación
de la regla del producto. Una vez que hayan encontrado la solución con sus propios recursos
se les preguntará cómo encontrar la solución haciendo operaciones y se les puede sugerir el
razonamiento anterior como ejemplo para resolver otros problemas de colocación.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
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Arreglos florales Escuela: ______________________________________________ Fecha:_____________ Profr. (a). _______________________________________________________________ Plan de clase (1/3)

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