Propuesta de Orientación Para el Desarrollo Curricular (ODEC) para el
Área de Matemática del Currículo Nacional Base (CNB), del Ciclo Básico
del Nivel Medio
“Desarrollando el pensamiento algebraico en Primero Básico”
Mauricio Gerardo Morales Altamirano
Especialista en Matemáticas
Consultor del Programa de Apoyo a la Calidad Educativa (PACE) de GTZ
Como apoyo a la implementación del CNB del Área de Matemáticas del Ciclo
Básico del Nivel Medio en el Área Rural
En la presente Orientación para el Desarrollo Curricular se pretenden
desarrollar las siguientes competencias de Matemáticas de Primer Grado
Básico:
Competencia
1.Identifica
elementos
comunes
en
patrones
algebraicos
y
geométricos.
Indicador de logro
1.1. Usa variables
para representar
información.
Contenidos
Declarativos
Introducción a
expresiones
algebraicas
Contenidos
Procedimentales
Asociación de un
valor específico de
cada variable con
el valor de
la
expresión
algebraica.
Variables
2.Utiliza graficas y
símbolos en la
representación de
información.
3. Calcula
operaciones
combinadas de los
diferentes
conjuntos
numéricos
(naturales, enteros
y racionales) con
algoritmos
escritos, mentales,
exactos
y
aproximados.
2.1.
Construye
proposiciones
compuestas
usando conectivos
lógicos.
3.1. Opera con
seguridad,
justificando
los
pasos y métodos
que
sigue
y
verificando
sus
resultados.
Conjunto de los
números enteros
recta numérica,
valor absoluto
Conjunto de los
números
racionales
Fracciones y
decimales,
Potencias
3.2.
Realiza
conversiones
entre
diferentes
sistemas
de
medición
aplicando
las
proporciones.
5. Traduce
información
que obtiene de
su entorno o
lenguaje lógico
simbólico.
Operaciones
abiertas
(suma,
resta,
multiplicación,
división, potencias
y raíces)
Proposiciones
simples
Valor de verdad
Oraciones abiertas
Cuantificadores
Proposiciones
compuestas
Definición, manejo
y
Operaciones de
conjuntos usando
simbología.
Conjunto de los
Números
Naturales factores,
múltiplos, M.C.M y
mcd, primos
Razón, proporción
y porcentaje
Variación directa e
inversa
Sistemas
de
medición
Modelos concretos
Contenidos
Actitudinales
Disposición
abierta ante el
esfuerzo y las
dificultades en el
desarrollo de las
expresiones
algebraicas.
Resolución
de
operaciones
abiertas
(suma,
resta,
multiplicación,
división, potencias
y raíces).
Traducción
de
lenguaje común a
lenguaje
lógico
con conectivos.
Valoración del uso
de
lenguaje
simbólico
para
representar
información.
Representación de
conjuntos.
Operaciones entre
conjuntos.
Operaciones
en
los
conjuntos
numéricos:
Naturales
Enteros
Racionales
Uso apropiado de
la calculadora, del
cálculo mental y
de las
estimaciones.
Identificación
un sucesor
progresiones
aritméticas y
geométricas.
Valoración de la
aproximación y la
exactitud
en
cálculos.
Valoración de los
aportes de
profesionales en
Matemáticas.
de
en
Cálculo de
porcentajes,
descuentos e
intereses.
Conversiones.
Estimación
de
medidas.
Modelación
Justificación de
procedimientos y
selección de
las estrategias.
Verificación de
los resultados.
Disposición
trabajo
perseverante
meticuloso.
al
y
Perseverancia en
la aplicación de
estrategias
para
resolver
problemas.
Estrategia Metodológica
Como puedes darte cuenta al ver en la página anterior las competencias,
indicadores de logro y contenidos que tenemos como objetivo desarrollar y
cubrir, esta es una ODEC muy ambiciosa. Como podemos leer en la guía de
adaptación de ODECs, se recomienda tomar una o a lo más dos competencias
y sus indicadores de logro, y nosotros hemos tomado cuatro de las cinco
competencias de grado, por lo menos, parte de las cuatro competencias.
Luego, se recomienda que la ODEC sea desarrollada en un período de entre
cuatro hasta ocho semanas, y para desarrollar la presente fácilmente se
necesitarán dieciséis semanas, si no más. ¿Por qué tan grande y ambiciosa?
Las razones son las siguientes:
1) Si el nivel primario es donde desarrollamos nuestra intuición matemática,
en el nivel secundario el estudiante debe desarrollar su capacidad de
abstracción y formalización de las ideas y conceptos matemáticos. Es
decir, es a partir del ciclo básico donde desarrollamos el pensamiento
algebraico. Por lo que consideramos importantísimo dar un magnífico
comienzo al desarrollo de esta competencia – la competencia de
abstraer los aspectos relevantes de una situación determinada y
matematizarlos por medio de un lenguaje particular.
2) Consideramos el desarrollo de los contenidos, habilidades, destrezas y
competencias que se necesitan para comprender y hacer álgebra, o más
bien la parte introductoria del álgebra, el mínimo minimorum que se debe
desarrollar del CNB de matemáticas en primero básico.
3) Queremos dejar claramente explicitado y aprovecharnos del hecho de
que el álgebra corta transversalmente todo lo que se conoce como
matemática moderna. Es decir, aunque hay un área específica de las
matemáticas que se llama Álgebra, en todas las áreas de las
matemáticas modernas, absolutamente en todas, se utilizan variables, el
lenguaje, la abstracción y la generalización de los conceptos
algebraicos. Y esto hace que, por un lado, las cinco competencias de
nivel y de grado tengan que ver con álgebra. Y por el otro, que el álgebra
parte de la aritmética, de la matematización de problemas de la vida
cotidiana, y se encuentra presente por lo menos en cierto grado, en casi
cualquier proceso humano que implique un grado alto de generalización
y abstracción de patrones matemáticos implícitos presentes en dichas
situaciones de la vida real. Concretamente, vamos a utilizar tres
recursos que tenemos disponibles por ser parte del proceso de
enseñanza-aprendizaje previo, y son: a) las operaciones con números y
propiedades de los sistemas numéricos, b) la proporcionalidad y sus
aplicaciones en oficios diversos, en el cambio de monedas y en las
finanzas, entre otros, y c) la matematización de situaciones de la vida
real así como las matemáticas presentes de ante mano en dichas
situaciones. Y aprovecharemos para desarrollar las matemáticas de
estos tres aspectos que son parte del CNB.
Guía de un estudiante de Matemáticas de Nivel Secundaria
Se espera del y la estudiante guatemalteca de secundaria que:
I. Asista regular y puntualmente a sus clases.
II. Mantenga una actitud respetuosa hacia sus maestros y sus
compañeros.
III. Tenga deseos de descubrir y aprender.
IV. Lleve un registro escrito del desarrollo de la clase en su cuaderno, que
sea:
A. Limpio, ordenado y claro.
B. Completo y detallado, con definiciones, anotaciones y ejemplos.
C. Anote preguntas de palabras o conceptos que no entiende, o
dudas que quedaran durante las explicaciones o las actividades.
V. Se autoevalúe de forma crítica, planteándose metas concretas y
evaluando los avances.
VI. Estudie todos los días realizando las acciones siguientes:
A. Revise su cuaderno en casa, reescribiendo lo que hizo ese día
de preferencia con nuevos ejemplos que él o ella proponga y
contestando las dudas que tenga anotadas, buscándolas en el
diccionario, en el libro de texto, en otros libros, preguntando a sus
padres, hermanos, parientes, vecinos, o compañeros, y si no las
resuelve, pregunte al maestro al día siguiente.
B. Haga sus tareas completas y otros ejercicios.
C. Discuta las temáticas con sus compañeros
D. Realice resúmenes personales ya sea en forma descriptiva o de
diagramas, como mapas mentales u otros.
E. Reflexione acerca de lo que aprende y lo relacione con su
realidad, como una actitud permanente.
Actividad 1: Introducción al algebra
(1 día)
El rol básico que tiene el álgebra dentro del pensamiento matemático
Universal es doble: Por un lado, es una manera de generalizar resultados –
propiedades aritméticas, herramientas estadísticas, descripción de conjuntos
complejos, de relaciones y de funciones. Y por otro lado, proporciona un
lenguaje específico para representar dichas generalizaciones. Por lo que, si lo
piensas un poco, no puede existir álgebra – ni matemáticas – que no sean
pertinentes, ya que estas son generalizaciones de situaciones matemáticas
expresadas por medio de los sistemas numéricos, la estadística, la geometría y
las ciencias, principalmente, y que tienen su punto de partida en problemas de
la vida real. Si nuestra realidad manifiesta problemas un tanto diferentes, lo que
debemos hacer es transitar por este camino, de la realidad a lo numérico y, de
lo numérico a lo algebraico, y llegaremos a las mismas matemáticas.
De esta manera quiero que piensen el álgebra: descubriendo, leyendo
y escribiendo generalizaciones matemáticas.
Por ejemplo: Se enferma nuestro hermano o la abuela. Por algún motivo,
no podemos llevarla al médico en ese momento. Sin embargo, mamá, o la
vecina Casimira, o el abuelo Jonás, o alguien en la comunidad sabe que hacer.
Nos mandan a la farmacia por la medicina o nos la dan ya preparada con
raíces y plantas medicinales. Y, nos dan una serie de indicaciones acerca de
cómo administrarla. Entre estas indicaciones nos dicen algo como: Tu hermano
todavía está pequeño, dale una cucharada cada ocho horas; O, dale a tú
abuelo dos cucharadas cada cuatro horas. Estamos utilizando la noción de
dosis.
Dosis: Es la cantidad de medicina que el paciente debe consumir y a que ritmo.
Es decir: Lo que el médico, o la enfermera, o la comadrona, o el anciano, o
mamá, o quien quiera que esté recetando la medicina está haciendo es, por
experiencia, determinar la ración adecuada de medicina que mejor le cae al
enfermo y cada cuanto tiempo se le debe dar.
¿Por qué existe una ración de medicina “adecuada” para cada enfermo?
Porque las medicinas están hechas de químicos o plantas o raíces que tienen
concentraciones altas de elementos de la naturaleza con ciertas propiedades
importantes, que después de ciertos procesos internos complejos, reducen la
fiebre, alivian el dolor de cabeza, regulan la digestión, detienen una
hemorragia, matan unos parásitos, o microbios o bacterias, etc. El punto es que
la medicina ataca, en muchas ocasiones, aquello que está causando el mal que
sentimos. Pero también puede parcialmente atacar las partes sanas de nuestro
cuerpo y causar lo que se conoce como efectos secundarios. Por ejemplo, todo
medicamento tomado comienza a ser metabolizado (asimilado por el cuerpo)
por el hígado, de ahí pasa a la sangre, y desde el sistema circulatorio llega a
donde debe de llegar. Si injerimos demasiadas medicinas el primer órgano que
se reciente es el hígado. La segunda causa de cirrosis en el mundo, después
del alcoholismo, es el abuso de medicamentos.
Muy poca medicina no es suficiente para curarnos, demasiada puede hacernos
daño. Es importante determinar la medida exacta de medicina que hay que
darle a cada persona en cada caso. Esto es la dosis.
Y la dosis depende de la edad y del peso, por lo menos. En algunos casos
puede depender del género, en otros puede depender de alergias u otras
enfermedades que el paciente pudiera padecer. Mientras más compleja sea la
enfermedad, más complejo es determinar la dosis adecuada.
Pero quedémonos para nuestro propósito en esta introducción al álgebra, con
estas dos características que escribí primero: La dosis depende de la edad y
del peso.
Entonces, lo que el médico o la enfermera o la persona que está
diagnosticando y medicando al enfermo esta haciendo cuando nos dice – dale
una cucharadita cada ocho horas; o, has el té con una pizca de la hierva, no
con más; o, a ella le vas a dar solo la cuarta parte de la pastilla – o cualquier
instrucción de este tipo es asociando la edad y el peso del paciente (y otras
características) con la cantidad de medicina óptima para obtener los mejores
resultados.
Está partiendo de lo aprendido con sus maestros, con sus lecturas, y de
su experiencia, para hacer un pronóstico. El pronóstico es que a este
nuevo paciente le va a ir bien, va a mejorar en salud, sí toma esta
medicina, en estas cantidades y a este ritmo. Es decir, está generalizando.
Está diciendo: Para todo paciente que tenga un peso “p” y una edad “n” hay
que darle una cantidad de medicamento “d” cada 4, 8 o 12 horas por 2, 3, 6, ó
no se cuantos días.
Esto es dosificar. Algunas personas usan una fórmula matemática donde
sustituyen el peso de la persona, la edad que tiene, y al operar, encuentran la
cantidad de medicamento adecuado para este paciente. Otros, no lo hacen así,
sino un poquitín más “informal”, ya saben que para un bebe hay que darle
tanto, a un niño pequeño tanto, a un muchacho o muchacha menudita tanto, a
un adulto tanto, etc. Ambos están haciendo una generalización y en cierto
sentido están haciendo álgebra.
Entre paréntesis, decimos que esta persona que diagnostica y medica es
“buena para curar” si en forma recurrente (muchas veces) su pronóstico (que la
persona va a mejorar con esa medicina y esa dosis) es correcto. A mayor
conocimiento de medicina, más número de variables es capaz de incorporar,
explícitamente en una fórmula, o tácitamente en su mente para mejor
diagnosticar, medicar y dosificar, y mejor médico es.
Por ejemplo: La información que fácilmente encontramos en Internet acerca de
la conocida Aspirina – aunque ya no es tan popular como lo fue en los 1960’s y
1970’s, ahora es el acetaminofén o paracetamol – es la siguiente:
Aspirina Comp. 500 MgBayerComposiciónASPIRINA® 500 mg comprimidos y ASPIRINA® 500 mg comprimidos
masticables: Cada comprimido contiene ácido acetilsalicílico, 500 mg.ASPIRINA® 500 mg granulado: Cada sobre
contiene ácido acetilsalicílico, 500 mg, excipientes: aspartamo 5 mg y otros excipientes.ASPIRINA® C comprimidos
efervescentes: Cada comprimido contiene ácido acetilsalicílico 400 mg y ácido ascórbico 240 mg, excipientes:
hidrogenocarbonato de sodio, carbonato de sodio anhidro, citrato de sodio y otros excipientes.
Indicaciones terapéuticas Aspirina
Alivio sintomático de los dolores ocasionales leves o moderados, como dolores de cabeza, dentales, menstruales,
musculares (contracturas) o de espalda (lumbalgia). Estados febriles.
Posología
Dosis media recomendada: Adultos y mayores de 16 años: 1 comprimido o sobre cada 4 - 6 horas. Aspirina 500 mg: no
se excederá de 4 g en 24 horas. Aspirina C: no se excederá de 4 comprimidos al día. Pacientes con insuficiencia renal,
hepática o cardíaca: reducir la dosis. Forma de administración: Tomar el medicamento con las comidas o con leche,
especialmente si se notan molestias digestivas. Aspirina 500 mg comprimidos masticables: los comprimidos se toman
masticados, no siendo necesaria la ingestión simultánea de líquidos cuando no se disponga de ellos. Aspirina C
comprimidos efervescentes: los comprimidos se toman totalmente disueltos en medio vaso de agua después de las
comidas o con algún alimento, especialmente si se notan molestias digestivas. Antes de ingerir el medicamento es
necesario esperar a que cese la efervescencia. Aspirina 500 mg granulado: el granulado se ha de poner directamente
en la lengua. Se dispersa en la saliva antes de tragar por lo que no es necesaria la ingestión simultánea de líquidos
cuando no se disponga de ellos. Usar siempre la dosis menor que sea efectiva. La administración de preparado está
supeditada a la aparición de los síntomas dolorosos o febriles. A medida que éstos desaparezcan debe suspenderse
esta medicación.
¿Cuál es la dosis máxima recomendada para un adulto? __________________
¿Qué es un excipiente? ____________________________________________
¿Cuál es el componente activo de la aspirina? __________________________
¿Les parece que es clara la dosificación de la aspirina o es más complicado de
lo que parece? ¿Por qué las mamás lo hacen con tanta facilidad? __________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
¿Qué dosis le darías tú a un niño de digamos 5 años? ___________________
_______________________________________________________________
Contraindicaciones: Ácido acetilsalicílico:No administrar en caso de: úlcera gastroduodenal activa, crónica o
recurrente; molestias gástricas de repetición; antecedentes de hemorragia o perforación gástrica tras el tratamiento con
ácido acetilsalicílico u otros antiinflamatorios no esteroideos; asma; hipersensibilidad al ácido acetilsalicílico o a
cualquiera de los componentes de esta especialidad, a otros salicilatos, a antiinflamatorios no esteroideos o a la
tartrazina (reacción cruzada); enfermedades que cursen con trastornos de la coagulación, principalmente hemofilia o
hipoprotrombinemia; insuficiencia renal o hepática grave; pacientes con pólipos nasales asociados a asma que sean
inducidos o exacerbados por el ácido acetilsalicílico; niños menores de 16 años ya que el uso de ácido acetilsalicílico
se ha relacionado con el Síndrome de Reye, enfermedad poco frecuente pero grave; tercer trimestre del
embarazo.Ácido ascórbico:No administrar en caso de: terapia conjunta con anticoagulantes; pacientes con insuficiencia
renal o hepática y pacientes con litiasis renal, acompañada de oxaluria con aciduria o pH urinario normal; pacientes con
déficit de glucosa-6-fosfato deshidrogenasa, hemocromatosis, anemia sideroblástica y talasemia.
Algebraicamente, esta posología se vería algo como:
Sea d la dosis de aspirina a administrar a un paciente en tabletas de 500 ml, y
n la edad del paciente en años cumplidos:
Si n  16  d (n)  0
Si n  16  d (n)  2 cada 4 horas

d (n)  4 al día
Por supuesto esto puede ser mucho más complejo si p es el peso y k denota
alguna de las enfermedades contraindicadas, d(n,p,k)
Tarea 1
Entregar a los estudiantes esta tarea al iniciar las Actividades 1 y 2. La
Actividad 1 durará dos días y la Actividad 2 durará 3 días. Al sexto día
entregamos la tarea que debemos ir realizando día a día en casa, a medida
que vamos avanzando con las Actividades 1 y 2. El día que se entrega la tarea
se realizará una heteroevaluación. Las competencias, indicadores de logro, y
contenidos que se trabajarán durante esta semana son:
Competencia
1.Identifica
elementos
comunes
en
patrones
algebraicos
y
geométricos.
Indicador de logro
1.1.
Usa
e
interpreta
prevariables
para
representar
problemas.
Contenidos
Declarativos
Operaciones
abiertas
(suma,
resta,
multiplicación,
división, potencias
y raíces)
Contenidos
Procedimentales
Resolución
de
operaciones
abiertas
(suma,
resta,
multiplicación,
división, potencias
y raíces).
Contenidos
Actitudinales
Disposición
abierta ante el
esfuerzo y las
dificultades en el
desarrollo de las
expresiones
algebraicas.
1) Describe otra situación como la de dosificar que trabajamos en la
Introducción, donde tu pienses, se utiliza pensamiento algebraico, en el
sentido de generalizaciones asociadas a conceptos matemáticos, aunque
nos se llegue necesariamente hasta el nivel último de la fórmula.
2) Resuelve las ecuaciones abiertas siguientes:
a) □*85 = 1955
b) □ + 785 = 1473
c) 2841 + □ = 2074
d) □÷22 = 34
f) □2 = 5625
e) □3 = 64
3) Considera el problema siguiente: Leonel vendió una cantidad de ganado por
Q.28,800.00. Lo que resultó, según calculó Leonel, en un pago de Q.480.00 por
cada cabeza de ganado. ¿Cuántas cabezas de ganado vendió Leonel? ¿Qué
ecuación abierta representa este problema?
4) Se puede multiplicar números cercanos a una potencia de 10 de la manera
siguiente:
Para 9*7 hacemos 10 – 9 = 1, 10 – 7 = 3, entonces:
9*7 = (10 – 1 – 3)*10 + 1*3 = 63
Para 95*93 hacemos 100 – 95 = 5, 100 – 93 = 7, entonces:
95*93 = (100 – 5 – 7)*100 + 5*7 = 8,835
Para 979*991 hacemos 1000 – 979 = 21, 1000 – 991 = 9, entonces:
979*991 = (1000 – 21 – 9)*1000 + 21*9 = 970,189
a) Calcule usando esta manera de operar las multiplicaciones siguientes:
i) 8*8 =
ii) 92*97=
iii) 941*998=
b) Encuentre una expresión para escribir este resultado de forma general:
__________________________________________________________
Actividad 2: Las Ecuaciones Abiertas
(dos días)
Este es un tema de sexto grado, que si se desarrolla en una buena cantidad de
Establecimientos en todo el País. Por lo que, no solo este tema nos
proporciona un empalme perfecto entre Primaria y Secundaria, sino que es
conveniente comenzar con una actividad de exploración a manera de valuación
informal nuestra de la calidad de preparación con la que se graduaron nuestros
estudiantes de sus Escuelas. Podemos comenzar, entonces, con algunas
preguntas como las siguientes:
¿Quiénes de ustedes han escuchado el término “ecuaciones abiertas”?
Levanten la mano los que saben de que se trata este término.
¿Algún voluntario o voluntaria me podría explicar con sus propias palabras que
entiende por el término “ecuaciones abiertas”?
Haber, díganme cuánto vale □ en las expresiones siguientes:
(el profesor puede ir comentando una por una, como cambia el grado de dificultad y como están
involucradas otras operaciones, como una suma se convierte en resta o una resta en suma, el producto
en división, y donde aparece una raíz o un logaritmo, y donde aparece un número negativo porque la
expresión no tiene solución con números positivos o una fracción porque no tiene solución con enteros)
1. 31 + 25 = □ 2. 31 + □ = 42 3. 31 - □ = 5
4. 31 + □ = 27 5. 12*□ = 96
7. 60÷□ = 18
8. 3□ = 81
6. 12*□ = 3
9.
□2 = 961
Estos son ejemplos de ecuaciones abiertas. ¿Quiero que levanten la mano
todos los alumnos y las alumnas que no habían visto nunca, o no se recuerdan
de haber visto nunca, una expresión como esta?
□
Recuerda lo siguiente:
quiere decir que no está lleno, representa un
espacio en blanco que podemos llenar con varios números. Por eso la palabra
“abierta” – que no está “cerrada” a simplemente operar dos números. Estos
ejercicios, entonces, consisten en encontrar el valor que hay que sustituir en
□ para que se de la igualdad. Más adelante, va a resultar conveniente darle
un nombre a ese cuadrado. En lugar de ser un espacio vacío, va a pasar a ser
una “variable” y le vamos a dar un nombre. Porque en realidad no es un
espacio vacío sino un elemento de un Conjunto Numérico, el elemento
adecuado.
Ahora, quiero que trabajemos por parejas en los ejercicios siguientes:
a) Lee con atención el siguiente ejemplo:
Considera el problema siguiente:
Juan quiere comprar una camisa que cuesta Q.75.00. Tiene ahorrado
Q.30.00. ¿Cuánto dinero le falta a Juan para poder comprar la camisa?
La pregunta es la siguiente: ¿Qué ecuación abierta representa el problema
anterior?
La respuesta es: 30 + □ = 75
¿Quiero que entre los dos construyan otro ejemplo similar al que leyeron?
b) Lee con atención el siguiente ejemplo:
Considera el problema siguiente:
Antes de comprarle su vestido de quince años a Carmela, su mamá tenía
ahorrados Q.2400.00. Después de comprar el vestido, le quedaron a la
mamá, Q.1600.00. ¿Cuánto costó el vestido de quince años de Carmela?
La pregunta es la siguiente: ¿Qué ecuación abierta representa el problema
anterior?
La respuesta es: 2400 - □ = 1600
¿Quiero que entre los dos construyan otro ejemplo similar al que leyeron?
c) Lee con atención el siguiente ejemplo:
Considera el problema siguiente:
Lucía compró 3 libras y media de lomito con Q.64.75. ¿Cuánto le costó la
libra de lomito?
La pregunta es la siguiente: ¿Qué ecuación abierta representa el problema
anterior?
La respuesta es: 3*□ = 64.75
¿Quiero que entre los dos construyan otro ejemplo similar al que leyeron?
d) Lee con atención el siguiente ejemplo:
Considera el problema siguiente:
Los hongos que fermentan la leche y producen el yogurt se reproducen al doble de
lo que son cada semana. Si tengo 1 centímetro cuadrado de hongos, ¿en cuantas
semanas tendré 64 centímetros cuadrados de hongos?
La pregunta es la siguiente: ¿Qué ecuación abierta representa el problema
anterior?
La respuesta es: 2□ = 64
¿Quiero que entre los dos construyan otro ejemplo similar al que leyeron?
e) Hagan otro con división.
Actividad 3: ¿Cómo realizábamos las operaciones aritméticas?
(tres días)
Instrucciones: Observa con detenimiento el comportamiento de las siguientes
reglas que ya conoces y exprésala en una forma compacta.
Primera regla: Multiplicación por múltiplos de 10
25  10  250
36 * 100  3,600
218* 1,000  218,000
3 * 10,000  30,000
277* 100,000  271700,000
29 * 11000,000  291000,000
2.34 * 10  23.434
2.34 * 100  234.34
2.34 * 1,000  2,343.434
2.34 * 10,000  23,434.34
2.34 * 100,000  234,343.434
2.34 * 11000,00  21343,434.34
¿Cuál es la regla?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Segunda regla: Cálculo del cuadrado de un número terminado en 5.
52  25
152  225
1 * 2  2  225
25  625
2 * 3  6  625
2
352  1,225
3 * 4  12  1,225
452  2,025
4 * 5  20  2,025
552  3,025
5 * 6  30  3,025
652  4,225
6 * 7  42  4,225
752  5,625
7 * 8  56  5,625
85  7,225
8 * 9  72  7,225
95  9,025
9 *10  90  9,025
2
2
105  11,025
2
10 *11  110  11,025
¿Cuál es la regla?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Tercera regla: La multiplicación cruzada. Mira estos ejemplos:
24*35 = 2*3*100 + (2*5 + 4*3)*10 + 4*5
= 6*100 + (10 + 12 + 2)*10 + 0
= (6 + 2)*100 + 4*10 + 0 = 840
5 3 * 7 4  5 * 7 *100  (5 * 4  3 * 7) *10  3 * 4
(1) ( 2 )
( 3) ( 4 )
(1)
( 3)
(1)
( 4)
( 2)
( 3)
( 2)
( 4)
 35*100  41*10 12
 35*100  42*10  2
 39*100  2*10  2
 3,922
Contesta las preguntas siguientes:
¿De donde aparece el 100 y el 10 en la primera fila de ambos ejemplos?
Si miramos el primer ejemplo, ¿de donde aparece el 2 entre el paréntesis de la
segunda fila, y el 2 entre el paréntesis de la tercera fila?
Si miramos el segundo ejemplo, ¿por qué el 41 en la segunda fila pasa a ser 42
en la tercera fila y el 35 en la segunda fila pasa a ser 39 en la cuarta fila?
En el producto de dos números naturales de dos dígitos a 2a1*b2b1 tenemos:
(por ejemplo, en 53*74 a2=5, a1=3, b2=7 & b1=4)
Las unidades del resultado provienen de las unidades del producto a 1*b1
Las decenas del resultado provienen de las unidades de la suma de tres
cantidades: a2*b1, a1*b2 y las decenas de a1*b1.
Las centenas del resultado son la suma de dos cantidades: a2*b2 y las
decenas de a2*b1 + a1*b2 + las decenas de a1*b1.
Nota: Recuerde que en 123, por ejemplo, podemos decir que tiene 12 decenas.
Por eso decimos que:
Para multiplicar dos números naturales de dos cifras de forma cruzada
seguimos los pasos siguientes:
a) Multiplicamos las unidades de ambas cantidades. De este producto,
tomamos las unidades como unidades de nuestro resultado, y llevamos
las decenas.
b) Realizamos los productos cruzados – las unidades de una cantidad por
las decenas de la otra. Sumamos ambos resultados y la cantidad que
llevamos del inciso a). De este resultado tomamos las unidades – estas
serán las decenas de nuestro resultado. Y llevamos las decenas de
esta suma que hicimos en este inciso.
c) Multiplicamos decenas con decenas de las cantidades originales.
Sumamos este resultado parcial con lo que llevamos del inciso b), y
estas son las centenas de la respuesta. Y con esto terminamos.
Practiquemos este algoritmo calculando los productos siguientes:
I.
25*17 = _____________________
Primero calculamos las unidades.
Multiplicamos las unidades de ambas cantidades: 5*7 = ________
Tomamos las unidades de este producto como unidades del resultado ___ (1)
Y llevamos las decenas de este producto ______
En segundo lugar, calculamos las decenas.
Multiplicamos las decenas de 25 por las unidades de 17: ___*___ = ______
Multiplicamos las unidades de 25 por las decenas de 17: ___*___ = ______
Recordamos cuanto llevamos del primer producto de 5*7:
______
Sumamos estas tres cantidades:
______
Tomamos las unidades de este producto como decenas del resultado____ (2)
Llevamos las decenas de este resultado parcial_______
Y finalmente, calculamos las centenas.
Multiplicamos las decenas de 25 por las decenas de 17: ___*___ = ______
Recordamos cuanto llevamos del cálculo de las decenas:
______
Sumamos estas dos cantidades:
______ (3)
Armamos el resultado final:
( 3) ( 2 ) (1)
II.
56*39 = _____________________
Primero calculamos las unidades.
Multiplicamos las unidades de ambas cantidades: 6*9 = ________
Tomamos las unidades de este producto como unidades del resultado ___ (1)
Y llevamos las decenas de este producto ______
En segundo lugar, calculamos las decenas.
Multiplicamos las decenas de 56 por las unidades de 39: ___*___ = ______
Multiplicamos las unidades de 56 por las decenas de 39: ___*___ = ______
Recordamos cuanto llevamos del primer producto de 6*9:
______
Sumamos estas tres cantidades:
______
Tomamos las unidades de este producto como decenas del resultado____ (2)
Llevamos las decenas de este resultado parcial_______
Y finalmente, calculamos las centenas.
Multiplicamos las decenas de 56 por las decenas de 39: ___*___ = ______
Recordamos cuanto llevamos del cálculo de las decenas:
______
Sumamos estas dos cantidades:
______ (3)
Armamos el resultado final:
( 3) ( 2 ) (1)
III.
93*87 = _____________________
Primero calculamos las unidades.
Multiplicamos las unidades de ambas cantidades: 3*7 = ________
Tomamos las unidades de este producto como unidades del resultado ___ (1)
Y llevamos las decenas de este producto ______
En segundo lugar, calculamos las decenas.
Multiplicamos las decenas de 93 por las unidades de 87: ___*___ = ______
Multiplicamos las unidades de 93 por las decenas de 87: ___*___ = ______
Recordamos cuanto llevamos del primer producto de 3*7:
______
Sumamos estas tres cantidades:
______
Tomamos las unidades de este producto como decenas del resultado____ (2)
Llevamos las decenas de este resultado parcial_______
Y finalmente, calculamos las centenas.
Multiplicamos las decenas de 93 por las decenas de 87: ___*___ = ______
Recordamos cuanto llevamos del cálculo de las decenas:
______
Sumamos estas dos cantidades:
______ (3)
Armamos el resultado final:
( 3) ( 2 ) (1)
IV.
89*89 = _____________________
Primero calculamos las unidades.
Multiplicamos las unidades de ambas cantidades: 9*9 = ________
Tomamos las unidades de este producto como unidades del resultado ___ (1)
Y llevamos las decenas de este producto ______
En segundo lugar, calculamos las decenas.
Multiplicamos las decenas de 89 por las unidades de 89: ___*___ = ______
Multiplicamos las unidades de 89 por las decenas de 89: ___*___ = ______
Recordamos cuanto llevamos del primer producto de 9*9:
______
Sumamos estas tres cantidades:
______
Tomamos las unidades de este producto como decenas del resultado____ (2)
Llevamos las decenas de este resultado parcial_______
Y finalmente, calculamos las centenas.
Multiplicamos las decenas de 89 por las decenas de 89: ___*___ = ______
Recordamos cuanto llevamos del cálculo de las decenas:
______
Sumamos estas dos cantidades:
______ (3)
Armamos el resultado final:
( 3) ( 2 ) (1)
V.
69*98 = _____________________
Primero calculamos las unidades.
Multiplicamos las unidades de ambas cantidades: 9*8 = ________
Tomamos las unidades de este producto como unidades del resultado ___ (1)
Y llevamos las decenas de este producto ______
En segundo lugar, calculamos las decenas.
Multiplicamos las decenas de 69 por las unidades de 98: ___*___ = ______
Multiplicamos las unidades de 69 por las decenas de 98: ___*___ = ______
Recordamos cuanto llevamos del primer producto de 9*8:
______
Sumamos estas tres cantidades:
______
Tomamos las unidades de este producto como decenas del resultado____ (2)
Llevamos las decenas de este resultado parcial_______
Y finalmente, calculamos las centenas.
Multiplicamos las decenas de 69 por las decenas de 98: ___*___ = ______
Recordamos cuanto llevamos del cálculo de las decenas:
______
Sumamos estas dos cantidades:
______ (3)
Armamos el resultado final:
( 3) ( 2 ) (1)
Ahora quiero que calcules los productos siguientes, utilizando mentalmente el
algoritmo de multiplicación cruzada:
1. 24*31
2. 78*45
( 3) ( 2 ) (1)
5. 41*59
( 3) ( 2 ) (1)
9. 17*91
( 3) ( 2 ) (1)
( 3) ( 2 ) (1)
3. 46*98
( 3) ( 2 ) (1)
4. 97*92
( 3) ( 2 ) (1)
6. 29*99
7. 77*88
8. 67*89
( 3) ( 2 ) (1)
( 3) ( 2 ) (1)
( 3) ( 2 ) (1)
10. 39*78
11. 66*66
12. 94*84
( 3) ( 2 ) (1)
( 3) ( 2 ) (1)
( 3) ( 2 ) (1)
Este algoritmo puede lucir algo así:
Dados dos núm eros naturales de dos dígitos arbitrarios : a2 a1 , y b2b1.
Sean:
a1 * b1  d1r1
a2 * b1  a1 * b2  d1  d 2 r2
a2 * b2  d 2  r4 r3
Con 0  r1 , r2 , r3  9,
a2 a1 * b2b1  r4 r3 r2 r1.
Reto:
Desarrolla todo lo que desarrollamos en esta sección para la multiplicación
cruzada de dos números naturales de dos dígitos, para:
a) la multiplicación de un número natural de tres dígitos por otro número
natural, este de dos dígitos.
b) La multiplicación de dos números naturales de tres dígitos cada uno.
Actividad 4: Heteroevaluación 1
(1 día)
Esta evaluación tiene un carácter de prueba y se espera un ambiente y una
actitud adecuados. Es de carácter individual, no se permite consultarse entre
estudiantes, ni consultar copias ni libros. La idea de hacerlo de esta manera es
doble: Tener un indicador lo más realista posible del aprendizaje que hemos
tenido como equipo maestro-estudiantes y poder evaluar si estamos listos para
continuar el desarrollo curricular, por un lado. Y, tener una práctica de pruebas
de esta naturaleza con las que nos enfrentaremos más adelante.
1) POSOLOGÍA PARACETAMOL: Dosis usual en el niño: 40 a 480 mg según
la edad y el peso (10 mg/kg de peso). Se recomienda no administrar más de
cinco dosis en 24 horas. Un kilo es equivalente a 2.2 libras. Si una niña de
10 años pesa 70 libras, ¿es posible darle una gragea de 250 mg de
paracetamol? Justifica la respuesta.
2) En los cuadritos de las ecuaciones abiertas del lado izquierdo, escriba el
número romano que corresponde a su solución de la lista del lado derecho.
i) 478
a) *31 = 775
ii) 22
b) ÷200 = 1/4
iii) 50
c) 2 = 484
iv) 25
d)
+ 223 = 251
v) 28
e)
– 225 = 253
□
□
□
□
□
3) Considera el problema siguiente: El terreno de don Samuel es cuadrado. Si su
terreno tiene un área de 8100 varas cuadradas. ¿cuánto mide el frente del terreno
de don Samuel? ¿Qué ecuación abierta representa este problema?
4) Utilice el algoritmo que se le pide para calcular las multiplicaciones
siguientes: (Es necesario que escriba el procedimiento que utilizó para llegar a la
respuesta)
a) Utilice la multiplicación cruzada para efectuar el producto 54*73
b) Utilice la cercanía de los números a una potencia de 10 para efectuar el
producto 973*989
Valoración: 1, 2 y 3 valen 20 pts. Y la 4 vale 40 pts.
Bibliografía:
-
José Fernando Díaz Martín, Eider Arsuaga Uriarte, Jesús M. Riaño
Sierra . Introducción al Álgebra. 1º Edición. Encuadernación Cartoné.
Código 8497451287.
-
Mauricio Morales. El Arte del Cálculo Mental. Editorial Piedra Santa.
2010.
Referencias Electrónicas.
- http://www.google.com.gt/search?hl=es&biw=1276&bih=595&defl=es&q
=define:%C3%81lgebra&sa=X&ei=heqcTMz5OIWdlgfMzNmECg&ved=0
CBgQkAE
-
http://html.rincondelvago.com/algebra_4.html
-
http://html.rincondelvago.com/origen-del-algebra.html
-
http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emar
tinez/extension/indice.html Web Multimedia para la enseñanza de las
matemáticas en Secundaria. Es del Gobierno Chileno, es muy buena.
-
http://www.redem.org/secundaria%20algebra.html temas de enseñanza
del Álgebra en Secundaria
-
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/nombres/
mate3a/mate3a.htm Una buena referencia de Historia del álgebra
-
http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm Didáctica
de las Matemáticas en Secundaria.
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ODEC para desarrollar el pensamiento algebraico en Primero Básico

Asignatura: ESTRUCTURA Y TECNOLOGIA DE COMPUTADORES I Tipo examen: A PREGUNTAS TEST

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