TALLER DE MATERIALES MANIPULABLES PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMATICAS Dirigido a Profesores de Educación Básica Instructor Gilberto Marrufo Q. (CIMAT) INTRODUCCION Los materiales manipulables desempeñan un papel básico en los primeros niveles de enseñanza, son instrumentos que facilitan los procesos para contextualizar y concretar las experiencias y los conceptos, en matemáticas son instrumentos indispensables de trabajo cuya función es generar la integración de las percepciones (visual, sonora, táctil), creando con ello estructuras mentales que conforman la base para la construcción de conceptos. De esta manera, el aporte más importante del uso de los materiales manipulables en la actualización de docentes es que les permite, de manera sencilla, romper con el esquema del alumno pasivo al proporcionarle un ambiente que lo conduce a descubrir conocimientos, a desarrollar iniciativas y a construir conceptos. Este taller está orientado a presentar una serie de materiales que la mayoría de los profesores de educación básica conocen o deberían conocer desde hace muchos años pero que casi nadie utiliza debido a la masificación de la enseñanza, a la falta de tiempo fuera de clase, a la falta de dominio de contenidos y conceptos y al temor de perder el control de la disciplina del grupo. Por tanto, se mostrarán los materiales, los conceptos asociados a ellos, la metodología para su aplicación, las materias primas, las herramientas y la tecnología para fabricarlos, de tal manera que al final cada profesor participante tendrá consigo un paquete con los manipulables fabricados por él mismo junto con las notas de las actividades de aplicación de cada material. CALENDARIO (Para un taller de al menos 30 horas) Sesión 1 Sesión 2 Sesión 3 Sesión 4 Sesión 5 Análisis de Datos y Probabilidad Fabricación de Materiales Manipulables Ruleta T Números y Operaciones Geometría Medidas JUEGOS: Estacas Torres de Hanoi Burbujas de Jabón Geoplano Geoplano ROMPECABEZAS: Tangram Poliominós Teorema de Pitágoras Cubo Soma ROMPECABEZAS: Tangram Poliominós Teorema de Pitágoras ROMPECABEZAS: Bloques de Diseño Bloques Lógicos Criba de Eratóstenes Gráficas O D O S LOS MATERIALES MANIPULABLES JUEGOS: ESTACAS Este familiar juego de niños presenta el mismo desafío que todo juego de rompecabezas. Del modo que con cualquier rompecabezas, los niños aprenden hablando mientras experimentan, tratando de ver cuáles movimientos los llevan a un camino sin salida o por qué ciertas formas no permiten moverse más. Si el estudiante completa satisfactoriamente el juego de cuatro estacas, pruebe con las extensiones de seis y ocho estacas. Luego se descubren los números, patrones, estrategias, gráficas y demás conceptos matemáticos asociados a este divertido juego. LIBRO DE LOS ESPEJOS Un par de espejos rectangulares unidos a manera de libro son un gran auxiliar para formar figuras geométricas tales como polígonos regulares e irregulares en una forma interactiva, dinámica y divertida. Se pueden analizar simetrías de figuras de 2 y 3 dimensiones, calcular los ángulos centrales de polígonos y servir de base para el diseño de caleidoscopios. TORRES DE HANOI Las Torres de Hanoi, que son un clásico rompecabezas al que se le atribuye todo tipo de leyendas, puede resultar interesante, para individuos o como un proyecto para la clase, encontrar algunos de los recursos en el Internet que se apliquen a este rompecabezas. La leyenda dice que los monjes de un templo debían mover un grupo de 64 discos de una estaca a otra, después de lo cual sucedería algo significativo. Se puede mover un solo disco a la vez y los discos sólo pueden ser colocados en una estaca vacía o sobre un disco más grande. Intentando con dos o tres discos, los estudiantes deberían ser capaces de deducir que el número mínimo de movidas requeridas para mover un grupo de n discos de una estaca a otra es 2 elevado a la n, menos 1. Así, dos discos pueden ser transferidos de una estaca a otra en 4 - 1 movidas (traslados) y tres discos en 8 - 1 movidas. De hecho, transferir 4 discos en 15 movidas ó 5 discos en 31 movidas requiere algo de planificación. A medida que los estudiantes adquieran más habilidad, podrán tomar retos más desafiantes. Como una extensión para estudiantes de mayor edad, es muy agradable revivir la leyenda del templo de los monjes. Si fuera posible mover un disco por segundo, sin cometer ningún error, ¿cuánto tiempo tomaría trasladar un grupo de 64 discos de una estaca a otra? (Más de 584 trillones de años). La clase podría discutir cuántos discos podrían ser trasladados en un período de tiempo razonable. BURBUJAS DE JABON Para esta actividad se usan algunos poliedros fabricados de alambre y una solución de jabón en agua con un poco de glicerina. Al introducir y sacar el poliedro del agua se forman películas de agua con formas y colores que tienen una explicación física y matemática que se puede ir descubriendo. Es posible observar también las burbujas en al aire o en la superficie del agua, así como otras películas que forman superficies muy interesantes como bandas de Moebius y paredes de trayectorias mínimas. RULETA Es posible usar una ruleta solamente como un generador aleatorio para juegos, pero puede usarse para producir toda clase de procesos de números aleatorios. Pueden diseñarse actividades para resolver problemas de probabilidad y muestreo; con suficientes repeticiones y tal vez con varios equipos, se pueden discutir los resultados de dos o más procesos aleatorios ROMPECABEZAS TANGRAMAS Hay muchas maneras de usar los tangramas para el aprendizaje en el aula. Además de emplear juegos creativos, los estudiantes pueden competir en las construcciones. Algunas veces hay diferentes maneras de construir una figura dada. Se pueden escribir historias para ser ilustradas con tangramas de manera que puedan ser usados para acompañar actividades de lectura. Las figuras básicas y los tamaños de las piezas permiten que sean usadas para trabajar con fracciones. Si un cuadrado formado con siete piezas representa una unidad, ¿qué parte de una fracción representa cada pieza del cuadrado? Se pueden explorar muchas preguntas usando cualquier conjunto de unidades. BLOQUES DE DISEÑO DE PATRONES Los bloques de diseño de patrones se usan para describir las partes en relación con todo el grupo, para distinguir entre las características de una forma, para crear y describir patrones y para identificar líneas de simetría y crear patrones simétricos. BLOQUES LOGICOS Se trata de un conjunto de 48 piezas, diseñadas así: Tres colores: amarillo, azul y rojo. Cuatro formas: cuadrado, rectángulo, círculo, triángulo. Dos tamaños: grande, pequeño. Dos espesores: grueso, delgado. Se tienen, entonces, cuatro variables, cuyos valores producen 48 figuras diferentes, el producto de 3 x 4 x 2 x 2. El material debe ser libremente manejado por los jóvenes, antes de comenzar a plantear actividades. Es necesario que aprendan a nombrar cada uno de los bloques de acuerdo con sus cuatro características. BLOQUES DE BASES Las representaciones de bloques de base pueden ser de gran ayuda en el desarrollo de imágenes mentales de los números, el valor de posición en un número y operaciones numéricas. Haga que sus estudiantes usen el área de trabajo de base decimal para representar diferentes números. Muestre distintas representaciones en el sistema decimal y haga que los estudiantes escriban el número asociado con su representación gráfica. Los bloques de base también son de gran uso para ilustrar las reglas de agrupamiento. Pida a los estudiantes que describan la regla que determina el valor de posición de una cifra. Por ejemplo, cuando se tienen 12 cubitos en la columna de bloques, se debe hacer un grupo de diez y arrastrarlo a la columna de 10s (decenas). La regla asociada puede ser descrita de la siguiente manera: "Sólo se pueden tener 9 objetos en una columna. Cuando se añade el décimo objeto, se debe hacer un intercambio hacia la siguiente unidad más grande". Puede probarse estas descripciones usando otros sistemas de numeración. Las reglas seguirán siendo expresadas de la misma forma, el único cambio es en el número de pieza que forman un grupo. POLIOMINOS Los Poliominós se usan como una herramienta instructiva, limitada solamente por la imaginación. En el nivel principiante, los niños pueden simplemente disfrutar haciendo patrones, agregando cuadrados al área de trabajo, agrupando, rotando. Hay infinitas oportunidades para retar y explorar para los niños con más experiencia. Por ejemplo, básicamente hay una sola manera para hacer un 2-ominó, un grupo de dos cuadrados unidos por un borde común y hay sólo dos maneras diferentes para hacer 3-ominós: derecho y doblado (en forma de L). Las rotaciones y reflexiones no cambian la forma. Es un reto encontrar los cinco 4-ominós y el estudiante que trabaje en este problema debería estar preparado para convencer a sus compañeros de que no existen más. Hay doce 5-ominós (comúnmente llamado Pentominós) y es un proyecto muy sustancioso encontrar todos los 6-ominós (hay treinta y cinco). TEOREMA DE PITAGORAS Existen más de 200 demostraciones del teorema de Pitágoras cuyo enunciado dice: en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Muchas de tales demostraciones se pueden elaborar como material manipulable en forma de rompecabezas. Los estudiantes que ya hayan jugado con estos arreglos pueden resolver los rompecabezas rápidamente y los que sean novatos en esto necesitarán un poco de paciencia y tal vez algunas indicaciones. Una vez que se han resuelto algunos de los rompecabezas y se ha comprendido claramente el concepto, este teorema tiene infinidad de aplicaciones como pude verse posteriormente en el Geoplano. CUBO SOMA Este es un rompecabezas tridimensional formado por 7 piezas que a su vez son arreglos de 4 cubos seis de ellos, y uno de 3 cubos. Esta es la versión equivalente del tangram, que también tiene 7 piezas, pero en 3 dimensiones. El grado de dificultad de este juego es mayor que los anteriores y pueden diseñarse muchas actividades divertidas y formativas que ayudan a construir una intuición tridimensional muy sólida. Al igual que el tangram con este cubo pueden formarse cientos de figuras cuyos arreglos han sido codificados para su construcción. El entender y seguir estos códigos es en sí un reto muy enriquecedor. GEOPLANO Con este tablero se puede investigar, describir y razonar acerca de los resultados de subdividir, combinar y transformar figuras usando modelos y representaciones, además desarrollar, entender y usar fórmulas para encontrar el perímetro y el área de los polígonos. Para los estudiantes de grados superiores puede servir para aplicar el Teorema de Pitágoras y así calcular con mayor facilidad perímetros y áreas de figuras poligonales no regulares OTROS MATERIALES: Geoplano Isométrico Geoplano Circular Rompecabezas de Cuadrado y Cubo del Binomio Criba de Eratóstenes Tablas de Multiplicar Ábaco Secuencias de Fibonacci Razón Dorada Recta Numérica Árbol de Factores Triángulo de Pascal Diagramas de Venn Sólidos Platónicos Gráficas de Barras Gráficas de Pay EVALUACIÒN Como conclusión del taller cada participante deberá elaborar la aplicación de alguno o algunos de los materiales a un tema, para ser presentada ante el grupo del taller y preferentemente ante el grupo de sus alumnos, reportando los resultados.