TALLER DE MATERIALES MANIPULABLES PARA LA
ENSEÑANZA DE LAS MATEMATICAS
Dirigido a Profesores de Educación Básica
Instructor
Gilberto Marrufo Q. (CIMAT)
INTRODUCCION
Los materiales manipulables desempeñan un papel básico en los primeros niveles de
enseñanza, son instrumentos que facilitan los procesos para contextualizar y concretar las
experiencias y los conceptos, en matemáticas son instrumentos indispensables de trabajo cuya
función es generar la integración de las percepciones (visual, sonora, táctil), creando con ello
estructuras mentales que conforman la base para la construcción de conceptos. De esta manera,
el aporte más importante del uso de los materiales manipulables en la actualización de docentes
es que les permite, de manera sencilla, romper con el esquema del alumno pasivo al
proporcionarle un ambiente que lo conduce a descubrir conocimientos, a desarrollar iniciativas
y a construir conceptos.
Este taller está orientado a presentar una serie de materiales que la mayoría de los
profesores de educación básica conocen o deberían conocer desde hace muchos años pero que
casi nadie utiliza debido a la masificación de la enseñanza, a la falta de tiempo fuera de clase, a
la falta de dominio de contenidos y conceptos y al temor de perder el control de la disciplina
del grupo. Por tanto, se mostrarán los materiales, los conceptos asociados a ellos, la
metodología para su aplicación, las materias primas, las herramientas y la tecnología
para fabricarlos, de tal manera que al final cada profesor participante tendrá consigo un
paquete con los manipulables fabricados por él mismo junto con las notas de las actividades de
aplicación de cada material.
CALENDARIO (Para un taller de al menos 30 horas)
Sesión 1
Sesión 2
Sesión 3
Sesión 4
Sesión 5
Análisis de
Datos y
Probabilidad
Fabricación de Materiales
Manipulables
Ruleta
T
Números y
Operaciones
Geometría
Medidas
JUEGOS:
Estacas
Torres de Hanoi
Burbujas de Jabón
Geoplano
Geoplano
ROMPECABEZAS:
Tangram
Poliominós
Teorema de
Pitágoras
Cubo Soma
ROMPECABEZAS:
Tangram
Poliominós
Teorema de
Pitágoras
ROMPECABEZAS:
Bloques de
Diseño
Bloques
Lógicos
Criba de
Eratóstenes
Gráficas
O
D
O
S
LOS MATERIALES MANIPULABLES
JUEGOS:
ESTACAS
Este familiar juego de niños presenta el mismo
desafío que todo juego de rompecabezas. Del modo
que con cualquier rompecabezas, los niños
aprenden hablando mientras experimentan, tratando
de ver cuáles movimientos los llevan a un camino
sin salida o por qué ciertas formas no permiten
moverse más. Si el estudiante completa satisfactoriamente el juego de cuatro estacas,
pruebe con las extensiones de seis y ocho estacas. Luego se descubren los números,
patrones, estrategias, gráficas y demás conceptos matemáticos asociados a este
divertido juego.
LIBRO DE LOS ESPEJOS
Un par de espejos rectangulares unidos a manera de
libro son un gran auxiliar para formar figuras
geométricas tales como polígonos regulares e
irregulares en una forma interactiva, dinámica y
divertida. Se pueden analizar simetrías de figuras de 2
y 3 dimensiones, calcular los ángulos centrales de
polígonos y servir de base para el diseño de caleidoscopios.
TORRES DE HANOI
Las Torres de Hanoi, que son un clásico
rompecabezas al que se le atribuye todo tipo de
leyendas,
puede
resultar
interesante,
para
individuos o como un proyecto para la clase,
encontrar algunos de los recursos en el Internet que
se apliquen a este rompecabezas. La leyenda dice que los monjes de un templo debían
mover un grupo de 64 discos de una estaca a otra, después de lo cual sucedería algo
significativo.
Se puede mover un solo disco a la vez y los discos sólo pueden ser colocados en
una estaca vacía o sobre un disco más grande. Intentando con dos o tres discos, los
estudiantes deberían ser capaces de deducir que el número mínimo de movidas
requeridas para mover un grupo de n discos de una estaca a otra es 2 elevado a la n,
menos 1. Así, dos discos pueden ser transferidos de una estaca a otra en 4 - 1 movidas
(traslados) y tres discos en 8 - 1 movidas. De hecho, transferir 4 discos en 15 movidas ó
5 discos en 31 movidas requiere algo de planificación. A medida que los estudiantes
adquieran más habilidad, podrán tomar retos más desafiantes.
Como una extensión para estudiantes de mayor edad, es muy agradable revivir
la leyenda del templo de los monjes. Si fuera posible mover un disco por segundo, sin
cometer ningún error, ¿cuánto tiempo tomaría trasladar un grupo de 64 discos de una
estaca a otra? (Más de 584 trillones de años). La clase podría discutir cuántos discos
podrían ser trasladados en un período de tiempo razonable.
BURBUJAS DE JABON
Para esta actividad se usan algunos poliedros
fabricados de alambre y una solución de jabón en agua
con un poco de glicerina. Al introducir y sacar el
poliedro del agua se forman películas de agua con
formas y colores que tienen una explicación física y
matemática que se puede ir descubriendo. Es posible observar también las burbujas en
al aire o en la superficie del agua, así como otras películas que forman superficies muy
interesantes como bandas de Moebius y paredes de trayectorias mínimas.
RULETA
Es posible usar una ruleta solamente como un generador
aleatorio para juegos, pero puede usarse para producir toda
clase de procesos de números aleatorios.
Pueden diseñarse actividades para resolver problemas
de probabilidad y muestreo; con suficientes repeticiones y
tal vez con varios equipos, se pueden discutir los resultados de dos o más procesos
aleatorios
ROMPECABEZAS
TANGRAMAS
Hay muchas maneras de usar los tangramas para el aprendizaje en el aula.
Además de emplear juegos creativos, los estudiantes pueden competir en las
construcciones.
Algunas
veces
hay
diferentes maneras de construir una figura
dada. Se pueden escribir historias para ser
ilustradas con tangramas de manera que
puedan
ser
usados
para
acompañar
actividades de lectura. Las figuras básicas y
los tamaños de las piezas permiten que sean
usadas para trabajar con fracciones. Si un
cuadrado formado con siete piezas representa una unidad, ¿qué parte de una fracción
representa cada pieza del cuadrado? Se pueden explorar muchas preguntas usando
cualquier conjunto de unidades.
BLOQUES DE DISEÑO DE PATRONES
Los bloques de diseño de patrones se usan para describir
las partes en
relación con todo el grupo, para distinguir
entre las características de una forma, para crear y describir
patrones y para identificar líneas de simetría y crear patrones simétricos.
BLOQUES LOGICOS
Se trata de un conjunto de 48 piezas,
diseñadas así:
Tres colores: amarillo, azul y rojo.
Cuatro formas: cuadrado, rectángulo,
círculo, triángulo.
Dos tamaños: grande, pequeño.
Dos espesores: grueso, delgado.
Se tienen, entonces, cuatro variables, cuyos valores producen 48 figuras diferentes, el
producto de 3 x 4 x 2 x 2.
El material debe ser libremente manejado por los jóvenes, antes de comenzar a plantear
actividades. Es necesario que aprendan a nombrar cada uno de los bloques de acuerdo
con sus cuatro características.
BLOQUES DE BASES
Las representaciones de bloques de base
pueden ser de gran ayuda en el desarrollo
de imágenes mentales de los números, el
valor de posición en un número y
operaciones numéricas. Haga que sus estudiantes usen el área de trabajo de base
decimal para representar diferentes números. Muestre distintas representaciones en el
sistema decimal y haga que los estudiantes escriban el número asociado con su
representación gráfica.
Los bloques de base también son de gran uso para ilustrar las reglas de agrupamiento.
Pida a los estudiantes que describan la regla que determina el valor de posición de una
cifra. Por ejemplo, cuando se tienen 12 cubitos en la columna de bloques, se debe hacer
un grupo de diez y arrastrarlo a la columna de 10s (decenas). La regla asociada puede
ser descrita de la siguiente manera: "Sólo se pueden tener 9 objetos en una columna.
Cuando se añade el décimo objeto, se debe hacer un intercambio hacia la siguiente
unidad más grande".
Puede probarse estas descripciones usando otros sistemas de numeración. Las reglas
seguirán siendo expresadas de la misma forma, el único cambio es en el número de
pieza que forman un grupo.
POLIOMINOS
Los Poliominós se usan como una herramienta
instructiva,
limitada
solamente
por
la
imaginación. En el nivel principiante, los niños
pueden simplemente disfrutar haciendo patrones,
agregando
cuadrados
al
área
de
trabajo,
agrupando, rotando. Hay infinitas oportunidades
para retar y explorar para los niños con más
experiencia. Por ejemplo, básicamente hay una sola manera para hacer un 2-ominó, un
grupo de dos cuadrados unidos por un borde común y hay sólo dos maneras diferentes
para hacer 3-ominós: derecho y doblado (en forma de L). Las rotaciones y reflexiones
no cambian la forma. Es un reto encontrar los cinco 4-ominós y el estudiante que
trabaje en este problema debería estar preparado para convencer a sus compañeros de
que no existen más. Hay doce 5-ominós (comúnmente llamado Pentominós) y es un
proyecto muy sustancioso encontrar todos los 6-ominós (hay treinta y cinco).
TEOREMA DE PITAGORAS
Existen más de 200 demostraciones
del teorema de Pitágoras cuyo
enunciado dice: en un triángulo
rectángulo el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos. Muchas de
tales demostraciones se pueden elaborar como material manipulable en forma de
rompecabezas.
Los estudiantes que ya hayan jugado con estos arreglos pueden resolver los
rompecabezas rápidamente y los que sean novatos en esto necesitarán un poco de
paciencia y tal vez algunas indicaciones.
Una vez que se han resuelto algunos de los rompecabezas y se ha comprendido
claramente el concepto, este teorema tiene infinidad de aplicaciones como pude verse
posteriormente en el Geoplano.
CUBO SOMA
Este es un rompecabezas tridimensional formado por 7 piezas que a su vez son
arreglos de 4 cubos seis de ellos, y uno de 3 cubos. Esta es la versión equivalente del
tangram, que también tiene 7 piezas, pero en 3
dimensiones.
El grado de dificultad de este juego es
mayor que los anteriores y pueden diseñarse
muchas actividades divertidas y formativas que
ayudan a construir una intuición tridimensional
muy sólida.
Al igual que el tangram con este cubo
pueden formarse cientos de figuras cuyos arreglos
han sido codificados para su construcción. El
entender y seguir estos códigos es en sí un reto muy
enriquecedor.
GEOPLANO
Con este tablero se puede investigar, describir y
razonar acerca de los resultados de subdividir,
combinar y transformar figuras usando modelos y
representaciones, además desarrollar, entender y
usar fórmulas para encontrar el perímetro y el área
de los polígonos. Para los estudiantes de grados
superiores puede servir para aplicar el Teorema de
Pitágoras y así calcular con mayor facilidad
perímetros y áreas de figuras poligonales no
regulares
OTROS MATERIALES:
Geoplano Isométrico
Geoplano Circular
Rompecabezas de Cuadrado y Cubo del Binomio
Criba de Eratóstenes
Tablas de Multiplicar
Ábaco
Secuencias de Fibonacci
Razón Dorada
Recta Numérica
Árbol de Factores
Triángulo de Pascal
Diagramas de Venn
Sólidos Platónicos
Gráficas de Barras
Gráficas de Pay
EVALUACIÒN
Como conclusión del taller cada participante deberá elaborar la aplicación de
alguno o algunos de los materiales a un tema, para ser presentada ante el grupo del
taller y preferentemente ante el grupo de sus alumnos, reportando los resultados.
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Taller de material didáctico.