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En esta página tenéis todos los exámenes propuestos en selectividad en los últimos años con soluciones
EJERCICIOS ANÁLISIS 2º BHTO
1.
(Problemas propuestos en selectividad)
 2x
si x  0
e
 2
f ( x)   x  a si 0  x  3
 x5

si x  3
 x 3
Sea la función
con a un parámetro real. Se pide:
a) Determinar, razonadamente, el valor del parámetro a para que f(x) sea continua en x = 0.
b) ¿Para qué valores del parámetro a es continua f(x) en x = 3? Razonar la respuesta.
c) Determina el valor del parámetro a para que

3
f ( x) dx  15
0
SOLUCIÓN.
a)
Para que la función sea continua en x = 0 debe ser lím f ( x)  f (0) . Para verificar esta condición
x0
debe cumplirse:
i)  f (0)  a
ii)  lím f ( x)  lím f ( x)  lím f ( x)  lím e 2 x  lím x 2  a   1  a
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
iii) Para a = 1 se verifica: lím f ( x)  f (0)
x0
es decir, para que la función sea continua en x = 0 debe ser a = 1.
b) Debe ocurrir que lím f ( x)  f (3) :
x3
i)  f (3)  9  a
ii)


x5
 9  a    no existe valor
x3 x  3
 lím f ( x)  lím f ( x)  lím f ( x)  lím x 2  a  lím
x3
x3
x3
x3
de a para el que  lím f ( x) y por tanto, la función no es continua en x = 3 (a la derecha de x = 3 la
x3
función
tiene una asíntota vertical)
c)  03 f ( x) dx  03 x 2  a  dx  
 x3
3

 ax   9  3a  15  a  2
 3
 0
2.
Considerar la función f ( x)  ax2  b ln x . Se pide:
a) Calcular los valores de a y b para que f(x) tenga un punto de inflexión en el punto (1 , 2) .
b) Para a = 1 y b = 0, calcular

4
f ( x) dx . Interpretar geométricamente esta integral.
2
SOLUCIÓN.
a)
Si tiene un punto de inflexión en 1 , 2 debe ocurrir:
Se tiene:
f ´( x)  2ax 
b) Tenemos: f ( x)  x
b
b
 f ´´( x)  2a  2 . Entonces:
x
x
2
f ( x) dx 
4
2
luego:
4
2
f (1)  2
y f ´´(1)  0
 f (1)  2  a  2

 f ´´(1)  0  2a  b  0  b  4
 x3
x dx  
 3
2
4

64 8 56
 
 
3 3 3
 2
Es el área de la región
limitada por la curva y  x 2 , el eje de abscisas y las rectas x = 2 y x = 4.
3.
Considerar la función f ( x) 
1  x2
x2
. Se pide:
a) Dar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, de concavidad y convexidad de la función.
Razonar si existen máximos, mínimos y puntos de inflexión.
b) Razonar si existen asíntotas y en caso de que existan, calcularlas.
c) Representar la gráfica de la función.
d) Calcular
4
1  x2
1
x2

dx .
Explicar qué representa este valor.
SOLUCIÓN.
a)  Tenemos:
f ´( x)  
2
x3

f´(x) > 0
f´(x) < 0
luego la función es creciente en   , 0  y
0
decreciente en 0 ,   . No tiene puntos de máximo ni de mínimo porque f ´( x)  0 x

f ´´( x) 
6
 0 x  la función es cóncava. No tiene
x4
puntos de inflexión porque f ´´( x)  0 x
b)  x = 0 es una asíntota vertical pues lím
x 0
1  x2
x2
 y = 1 es una asíntota horizontal pues lím
x
c)

1  x2
x2
1
d)

4
1  x2
1
x2
dx 
 x
4
2
1
4

 x 1

 1 dx  
 x 
 1
  1
4
15
 1

 1

   x     4    1  1 
4
 x
1  4

Representa el área del recinto limitado por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = 1 y x = 4.
 1
 2 b
x
4. Sea la función f ( x)   3x 2  4
 3
 x  8

si x  1
si  1  x  1 donde b es un parámetro real. Se pide:
si x  1
a) Calcular el valor del parámetro b para que f(x) sea continua en x = 1 y en x = 1.
b) Calcular el área del recinto plano limitado por y = f(x), y = 0, x = 0, x = 2. Explicar los pasos
seguidos para obtener la respuesta.
SOLUCIÓN.
a) Para que la función sea continua en x = 1 y en x = 1, debe ocurrir:
i)  f (1)  1  b y  f (1)  7
 1

ii)  lím f ( x)  lím f ( x)  lím f ( x)  lím  2  b   lím (3x 2  4)  1  b  7  b  6
x  1
x  1  x
x  1
x  1
 x  1




 lím f ( x)  lím 3x 2  4  lím  x 3  8  7  7  f(x) es continua en x = 1
x 1
x 1
x 1
iii) f  1  lím f ( x) lo que se verifica cuando b = 6
x 1
f (1)  lím f ( x) que como se puede comprobar, se verifica.
x1
Por tanto, la función es continua para b = 6.
f(x) = 3x2 + 4
b) Entre x = 0 y x = 2, la función está definida así:
Se tiene:
S1 
 3x
S2 
1
2
 
2
1


 4 dx  x  4x
0

3

1
0
0
5
2
 x4

 1
 17
 x  8 dx  
 8 x    4  16     8  
 4
 4
 4
 1
3
y por tanto: S  S1  S2 
37 2
u
4
f(x) = ! x 3 + 8
1
2
5.
Dada la función f ( x)   x 2  x  1 , se pide:
a) Determinar, en caso de que existan, los máximos y mínimos de la función f(x) en el intervalo
 1 , 4 .
b) Calcular el área del recinto limitado por: y = f(x) , y = f’(x). Explicar los pasos seguidos para
obtener la respuesta.
SOLUCIÓN.
1
1
(punto crítico). Como f ´´( x)  2  0  en x  la función tiene un máximo.
2
2
b) Consideremos la función diferencia: f ( x)  f ´( x)   x 2  x  1  2x  1   x 2  3x
a) f ´( x)  2 x  1  0  x 
Los puntos de corte de esta función con el eje de abscisas son:  x 2  3x  0  x   x  3  0  x  0 , x  3
  x
3
2
0
6.
3

 x 3 3x 2 
54 81 27 9
9
 27 27 
 3x dx  





 S  u2
0
  
3
2
3
2
6
6
6
2
2

 0 

a) Determinar el área limitada entre las parábolas y  x 2  4 , y  4  x 2 .
b) Determinar una función f(x) que verifica:
f ' ( x)  x3  3  0 , f (1) 
3
4
SOLUCIÓN.
a) Escribamos la función diferencia de las dadas:
f ( x)  2x 2  8
Calculemos sus puntos de corte con OX (límites de integración): 2 x 2  8  0  x 2  4  x  2 , x  2
Se tiene:
 
2
2

2
 2 x3

16
64
64
64 2
 16
   16
 16
2 x  8 dx  
 8 x     16  
 16 
 16 
 16  
 S 

u
3
3
3
3
  3
 3
 3
 2  3
2
b) De la primera condición se tiene:
y utilizando la segunda condición:
luego:
7.
f ( x)  
f ´( x)   x3  3  f ( x) 
f (1) 
  x
3

 3 dx  
x4
 3x  k
4
3
1
3
3 1
  3 k 
 k    3  2
4
4
4
4 4
1 4
x  3x  2
4
b
x
Se considera la función f ( x)  ax2  , con a y b parámetros reales.
a) Determinar si para a = 1, existe algún valor de b para el que f(x) tenga un mínimo en x = 1.
b) Si b = 1, ¿existe algún valor de a para el que f(x) tenga un punto de inflexión en x = 2?
c) Para a = 2 y b = 0, calcular

2
f ( x) dx e interpretar geométricamente el resultado.
0
SOLUCIÓN.
b
b
y su función derivada: f ´( x)  2 x  2
x
x
Si f(x) tiene un mínimo en x = 1, debe ser f´(1) = 0: f ´(1)  2  b  0  b  2
a) La función es: f ( x)  x 2 
1
1
2
y sus dos primeras funciones derivada: f ´( x)  2ax  2  f ´´(x)  2a  3
x
x
x
2
1
Si f(x) tiene un punto de inflexión en x = 2, debe ser f´´(2) = 0: f ´´( 2 )  2a   0  16a  2  0  a  
8
8
b) La función es: f ( x)  ax2 
c) La función es: f ( x)  2 x .
2

2
0
f ( x) dx 

2
0
2
 2x3 
16
2x dx  
es la medida del área limitada por la función
 
3
 3 
2
0
f(x), el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 2.
8.
El precio unitario de un bien, en función de la cantidad q que se oferta en el mercado, viene dado
por la función p(q) 
1000  3q
2q
a) Demostrar que al aumentar la cantidad ofertada, disminuye el precio.
b) Decir cuál será el precio de ese bien si la cantidad que hay en el mercado es ilimitada, por ejemplo
si se puede importar cualquier cantidad por grande que sea.
c) Escribir, en función de la cantidad ofertada, los ingresos que genera ese bien, si se vende toda la
cantidad que hay en el mercado.
d) Calcular el precio para el que una empresa maximiza sus beneficios, suponiendo que es la única
que ofrece ese bien y que los costes vienen dados por la función C (q)  4 (q  100)  150 ln q .
SOLUCIÓN.
a) Se trata de demostrar que la función p(q) que expresa el precio por unidad según el número q de
unidades ofertadas es decreciente:
p(q) 
1000 3q
3  2q  (1000 3q)  2 6q  2000 6q
500
 p´( q) 

  2  0 q  p(q) es decreciente
2
2
2q
4q
4q
q
1000 3q 3

2q
2
c) Los ingresos que se obtienen es el producto del precio unitario por el número de bienes que se ofrecen y se venden:
b) Si q   , el precio por unidad será: lím
q 
I (q) 
1000  3q
1000  3q
3
q 
 500  q
2q
2
2
d) La función beneficio es la diferencia entre la función de ingresos y la función de gastos:
B(q)  I (q)  C(q)  500 
3
5
q  4q  400  150 ln q   q  150 ln q  400
2
2
Veamos para qué valor de q la función beneficio es máxima:
B ´( q )  
5 150
150 5

0 
  q  60
2
q
q
2
Comprobemos que B(q) es máxima: B´´( q )  
Por tanto el precio que maximiza el beneficio es:
150
q2
 0  máximo
p (60) 
1000 180
 9,83
120
9. Comprobar que todas las funciones f(x) = 3x5 + 10x3 + ax + b tienen un único punto de inflexión.
Hallar a y b para que la tangente a la gráfica de dicha función en el punto de inflexión sea la recta
y=x+2
SOLUCIÓN.
f '(x)  15x4  30x 2  a  f ''(x)  60x3  60x  0  60x  x 2 1  0  x  0 (posible pto. de
inflexión)
y como f '''(x)  180x 2  60  f '''(0)  60  0 
f (x)
tiene un solo punto de inflexión en x  0 :
0 , b
La pendiente de la recta tangente es: f '(0)  a y su ecuación: y  b  a  x  0  y  ax  b e
identificándola con la recta dada: a  1 , b  2
10. Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) = | x | y f(x) = x2 – 2
SOLUCIÓN.
La primera función está definida así:
  x si x  0
f (x)  x  
 x si x  0
y su gráfica está formada por las bisectrices del
segundo y del primer cuadrantes.
La gráfica de la segunda función es una parábola. Obtengamos el vértice:
f '(x)  2x  0  x  0 y como f ''(x)  2  0 
Además pasa por los puntos
El vértice (mínimo relativo) es el punto  0 ,  2  .
 2 , 2 y  2 , 2 .
Tenemos:
Como el recinto es simétrico respecto al eje de ordenadas, obtengamos el área
del recinto entre x  0 y x  2:
2
!2
2
 x3 x 2

8
10
 8 4

S    x  x 2  2 dx     2x       4   0    6 
0
3
2
3
2
3
3


0 
2
Por tanto, el área de todo el recinto es:
S
 ln x  1
si x  1
2

 2x  ax  b
si x  1
11. Se define la función f del modo siguiente: f (x)  
20 2
u
3
Encontrar los valores de a y b para que la función sea continua y su gráfica pase por el origen de
coordenadas . Estudiar su derivabilidad y hallar los puntos de su gráfica en los que la tangente es
paralela al eje OX (NOTA: ln significa logaritmo neperiano).
SOLUCIÓN.
• Si la gráfica pasa por el origen de coordenadas: f (0)  0  b  0
Para que la función sea continua, debe serlo en x = 1 y para ello debe ser lím f ( x)  lím f ( x) :
x 1
x 1
lím  2x2  ax   lím  ln x 1  2  a  1  a  3
x 1
x 1
si x  1
1x
 4 x  3 si x  1
• La función derivada es: f '( x)  
f ' 1   f ' 1  :
f ' 1   4 1  3  1 y
1
f ' 1    1 
1
que existe x    , 1 1,   . Veamos si
f ' 1   f ' 1  y, por tanto, la función es derivable x .
• Si la tangente es paralela a OX, su pendiente es 0 y por tanto f ' ( x)  0 . La derivada sólo se anula
3
4
cuando 4x  3  0  x  . El punto de la gráfica en el que la tangente es paralela al eje OX es por
3 9
tanto  ,   .
4
8
12. Dibujar el recinto limitado por las gráficas de las funciones y 
1
x2
, y = x e y = 8x .
Hallar el área de este recinto.
SOLUCIÓN.
1
1
tiene al eje de ordenadas, x  0 , como asíntota vertical, pues lím 2   y además:
x 0 x
x2
1
1
lím 2  lím 2  
x 0 x
x 0 x
1
1
1
El eje de abscisas, y  0 , es una asíntota horizontal de la función pues lím 2  0 y además: lím 2  lím 2  0
x  x
x  x
x  x
La función es positiva x , simétrica respecto al eje OY pues f ( x)  f ( x) , pasa por los puntos  1, 1 y 1, 1 ,
• La función y 
1

 2 ,  y
4

• La recta
 1  1  1 
 2 ,  ,   , 4 y  , 4 , …
 4  2   2 
y  x es la bisectriz del primer y tercer
1
en el punto 1 , 1 .
x2
• La recta y  8 x pasa por los puntos (0 , 0) y 1 , 8 .
cuadrantes. Corta a y 
Corta a y 
1
1 
en el punto  , 4 
2
x
2 
• Área del recinto. Lo calcularemos por partes:
(1) Área del triángulo limitado por el eje de abscisas y la recta y  8 x entre las abscisas x  0 y x 
1
:
2
1 1
A1    4  1 u 2
2 2
1
1
(2) Área limitada por la función y  2 , el eje OX y las abscisas x 
y x  1:
2
x
1
 x1 
 1
A2   x dx        1  2  1 u 2
12
 1  1 2  x  1 2
(3) Área del triángulo limitado por OX y la recta y  x entre las abscisas x  0 y x  1 :
1
1
2
1
1
A3  11  u 2
2
2
El área del recinto es A1  A2  A3  1  1 
13. Sea la función f ( x) 
1 3 2
 u
2 2
x
x 1
2
a) Definir su dominio
b) Calcular su límite en el infinito
c) Determinar sus extremos
d) Calcular el área encerrada por la gráfica de f entre las abscisas 0 y 1
SOLUCIÓN.
a) Se trata de una función racional en la que su denominador no se anula para ningún valor de x. Por tanto: D (f )  R
b)
lím
x 
x
x 1
2
c) f ' (x) 
f ' ' (x) 
0
x 2  1  2x 2
x
2

1
2


 x2  1
x
2

1
2
   x  1 2 x
x  1
 2x  x 2  1
2
2

1
x
0
x 1
2
dx 
1
2

2

 1  2x
4
2
d) A 
 0  x  1 , x  1 (puntos críticos)
1
2x
0
x 1
2
dx 
f' ' (1)  0  en x  1 hay un mínimo relativo

f' ' (1)  0  en x  1 hay un máximo relativo
 

1
ln x 2  1
2
1
0

1
ln 2  ln1  1 ln 2  ln
2
2
2 u2
y extremos de la función f ( x)  x ln x .
14. Determinar el dominio , ceros
SOLUCIÓN.
D ( f )  R+
0 ,
pues la función y  x tiene por dominio R y la función y  ln x tiene por dominio
  .
x0
luego la función se anula en x  0 y en x  1 .
f (x)  0  x  ln x  0 
ln x  0  x  1
f ' (x)  ln x  x 
1
1
 ln x  1  f' ' (x) 
x
x
f ' (x)  0  lnx  1  x  e1 
1
e
1
1
y como f ' '    e  0  en x  la función tiene un mínimo
e
e
relativo
15. Tenemos la función f definida para todo número real no negativo y dada por
1

f (x)   1
 2
x
si 0  x  1
si x  1
Se pide su representación gráfica, hallar
SOLUCIÓN.
La función f ( x ) 
f ' ( x)  
lím
x 
1
x
2
2
x3
1
x2
es decreciente x  1 pues
 0 x  1 .
 0  y  0 es asíntota horizontal.

3
0
f (x) dx e interpretar geométricamente el resultado
 1
Pasa por 1, 1 ,  2 ,  , ...
 4

3
f(x) dx 
0

1
1 dx 
0

3
1
3
 1
 1
 5
dx  x  01     1  0     1 
x
3
x2

1

 3
1
Se trata del área del recinto limitado por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 3.
16. Hallar a, b y c para que la función f definida en todo número real y dada por

 x 1
f (x)   2

 ax  bx  c
si x  2
si x  2
sea continua y derivable en todo x real y además alcance un extremo
relativo para x = 3 Representar gráficamente la función f’, analizando su continuidad y derivabilidad
SOLUCIÓN.
Puesto que las funciones definidas a la izquierda y a la derecha de x = 2 son continuas, basta exigir
que lo sea en x = 2 y para ello debe ser


lím f ( x )  lím f ( x )  lím x  1  lím ax 2  bx  c  1  4a  2b  c (*)
x 2 
x 2
x 2
si x  2
1
f ' (x)  
.
2ax

b
si x  2

x 2
Para que la función sea derivable en x = 2 debe ser:
f ' (2 )  f ' (2 )  1  4a  b (*)
Para que la función tenga un extremo relativo en x = 3 debe ser f ' (3)  0  6a  b  0 (*)
De las tres condiciones (*) se sigue:
 4a  2b  c  1
 4a  b  1
1

 
 2a  1  a   , b  3 , c  3
 4a  b  1
2
 6a  b  0
 6a  b  0

si x  2
1
f ' (x)  
.
  x  3 si x  2
La función es continua y derivable x  2 por tratarse de funciones polinómicas. Veamos lo que
ocurre en x = 2:
Continuidad:
lím f (x)  lím f (x)  1  f (2) 
x 2 
x 2
la función es continua.
Derivabilidad: f ' ' (2 )  0 , f ' ' (2 )  1  la función no es derivable en x = 2
Su gráfica es:
17. Hallar el valor de m (que supondremos positivo) para que el área delimitada por la parábola y =
x2 y la recta y = mx valga 36 (unidades de área)
SOLUCIÓN.
Definimos la función diferencia: y  mx  x 2 (siendo la función y  x 2 una parábola que tiene su mínimo en el origen,
la gráfica de la recta y  mx está “por encima” de la parábola en el primer cuadrante).
El área delimitada por ambas funciones es igual a la que delimitan la función diferencia y el eje OX:
- Puntos de corte con OX:
mx  x 2  0  x  m  x   0  x  0 , x  m
- La superficie es de 36 u2:
S
m
0

 mx  x  dx   mx2
2

2
m

18. Dada la función f ( x ) 
x3 
m3 m3


 36  3m3  2m3  216  m3  216 

3 0
2
3
ex
x2  3
m6
, se pide:
i) Hallar su dominio de definición.
ii) Hallar el punto o puntos en los que la gráfica de la curva y = f(x) tiene tangente horizontal.
iii)Dibujar esta curva en un pequeño entorno de cada uno de estos puntos.
SOLUCIÓN.
i) Las funciones numerador (exponencial) y denominador (polinómica) tienen por dominio . Como
se trata de una función racional, y el denominador se anula para x   3 y x  3 , su dominio es:

  3 ,
3

f '(x) 
ii) Serán los puntos en los que f ' (x)  0 :
2
 x 2  2x  3  0  x 
4  12 2  4


2
2
1
3
e x   x 2  3  e x  2x
x
2
 3
2

e x   x 2  2x  3
x
2
 3
2
0 
luego la tangente es horizontal en x  1 y en
x  3.
iii) Comprobaremos si los puntos de tangente horizontal son puntos de mínimo o de máximo relativo:
e x  x 2  2x  3  e x  2x  2     x 2  3  e x  x 2  2x  3  2  x 2  3 2x

f ''(x)  
4
 x 2  3
2
e1  0  e1  (4)    2   e1  0 16e1
f ''(1) 

0 
16
16
2
f (1) 
e1
1

2
2e
 0,18 
 1 ,
 0,18 máximo
e3  0  e3  4   6 2  e3  0 4  6 2  e3
f ''(3)  

0 
64
64
f (3) 
e3
6
3,35 
Se tiene por tanto:
3
En x  1 la función tiene un máximo relativo:
, 3,35 mínimo
En x  3 la función tiene un mínimo relativo:
19. De la función y  x 
4
nos piden:
( x  1) 2
i) Dominio de definición y asíntotas.
ii) Máximos y mínimos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento.
iii)Representación gráfica.
SOLUCIÓN.
i) • D    1 

• x  1 es una asíntota vertical de la función pues lím
x
x 1


4


4
4 
.
( x  1) 2 

Además: lím  x 
   y xlím
x
  
x 1
1
( x  1) 2
( x  1) 2






• y  x es una asíntota oblicua de la función.
Posición relativa de la curva respecto a la asíntota:
 4 
lím 
 0
2 
 ( x  1) 
x 
ii) y  x 


4 
 0
2 
 ( x  1) 
y xlím


4
 x  4  ( x  1) 2
( x  1) 2
x 1  2 
y "  24  ( x  1) 4 
x3

y '  1  8  ( x  1) 3  1 
8
8
 0  1
( x  1)3
( x  1)3
 ( x  1)3  8 
(punto crítico)
24
 0 x 
( x  1) 4
la función tiene un mínimo relativo en x  3 :  3 , 4
Intervalos de crecimiento y decrecimiento: la primera derivada tiene cambios de signo en
x 1 y x  3:
y’ > 0
y’ < 0
1
y’ > 0
La función es creciente en   , 1  3 ,   
3
La función es decreciente en 1 , 3
iii) Representación gráfica. Además de los datos ya obtenidos, la gráfica pasa por los puntos
 1, 0 y  0 , 4 :
27.
Dada la función f ( x)  ax3  bx  11, donde a y b son parámetros reales, se pide:
a) Determinar el valor de los parámetros a y b para que f(x) tenga un extremo relativo en el punto
(2 , 5). ¿Es máximo o mínimo?
b) Considerando b = 0, determinar el valor del parámetro a para que f(x) tenga una primitiva cuya
gráfica pase por el origen y por el punto (1 , 1).
SOLUCIÓN.
a) Si f(x) tiene un extremo relativo en el punto (2 , 5) deben ser:
f ´( x)  3ax2  b  f ´( 2)  12a  b  0
f(2) = 5 y f´(2) = 0.
f (2)  8a  2b  11  5
Resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones:
 12a  b  0
 24a  2b  0
3
9
 
 16a  6  a 
, b

8
a

2
b


6

8
a

2
b

6
8
2


Para dichos valores:
f ´( x) 
9 2 9
9
x   f ´´( x)  x  f ´´( 2)  0  se trata de un mínimo.
8
2
4
b) La función es: f ( x)  ax3  11 . Calculemos una primitiva de la función:
Debe ser: F(0) = 0 y F(1) = 1
k  0

luego:  a
 a  40
 11  1

4
F ( x) 
 ax
3

 11 dx 
ax4
 11x  k .
4
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