SEPTIEMBRE 00/ BLOQUE 1 / EJERCICIO B

RESUMEN PROBABILIDAD
OPERACIONES CON SUCESOS:
A∩B
Unión
(A o B)
AΔB
Intersección
(A y B)
Diferencia
(Sólo suceso A)
Diferencia
(Sólo suceso B)
Diferencia simétrica
(Sólo suceso A o B)
PROPIEDADES DE SUCESOS:
Distributiva: A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
Leyes de Morgan:
ABA B
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
ABA B
LEY DE LAPLACE: PROBABILIDAD DEL SUCESO A
P (A ) 
Número de sucesos elementale s que componen A
Número de casos favorables al suceso A

Número de casos totales del experimento Número de sucesos elementale s del espaciomuestral
Siempre se debe cumplir que: 0 ≤ P(A) ≤ 1
P( A ) = 1 - P(A)
PROBABILIDAD DEL SUCESO CONTRARIO:
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
PROBABILIDAD DE LA UNIÓN:
Si dos sucesos A y B son incompatibles, P(A∩B) = 0  P(AUB) = P(A) + P(B)
P(A / B) 
PROBABILIDAD CONDICIONADA:
P(A  B)
P(B)
ó
P(B / A) 
Sucesos independientes: Dos sucesos son independientes si p(A/B) = P(A)
PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN: P(A∩B) = P(A/B) · P(B)
ó
P(A  B)
P(A)
ó
p(B/A) = P(B)
P(A∩B) = P(A) · P(B/A)
Si dos sucesos A y B son independientes p(A/B) = P(A), luego quedaría: P(A∩B) = P(A) · P(B)
AYUDA PARA RESOLVER EJERCICIOS DE PROBABILIDADES
a) Diagramas de Venn: Por ejemplo
Probabilidad de la diferencia: P(A-B) = P(A) - P(A∩B)
Probabilidad de la diferencia simétrica: P(AΔB) = P(A - B) + P(B - A) ó P(AΔB) = P(AUB) - P(A∩B)
b) Tablas de contingencia:
B
A
P(A  B)
P(A  B)
Total
P(B)
B
P(A  B )
P(A  B )
P( B )
Total
P(A)
P( A )
1
c) Diagramas de árbol:
P(A)
P( A )
P(B / A)
A
A
P(B / A)
P(B / A )
P(B / A )
A
B  P(A∩B)=P(A)·P(B/A)
B  P(A  B ) =P(A)· P(B / A)
B  P(A  B)  P(A )·P(B / A )
B  P(A  B )  P(A )·P(B / A )
SEPTIEMBRE 00/ BLOQUE 1 / EJERCICIO B
En un experimento aleatorio se consideran los sucesos A y B. La probabilidad de que no se verifique A es
0,1. La probabilidad de que no se verifique B es 0,4. La probabilidad de que no se verifique A ni B es
0,04. Hallar la probabilidad de que:
1º) Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B.
2º) Se verifique el suceso A y se verifique el suceso B. ¿Son independientes los sucesos A y B?
Solución:
Se tiene:
P( A ) = 0,1  P(A) = 1 - P( A ) = 1 – 0,1 = 0,9
P( B ) = 0,4  P(B) = 1 - P( B ) = 1 – 0,4 = 0,6
P( A  B ) = 0,04
1º) P(AUB) = 1 – P( A  B ) = 1 – 0,04 = 0,96
2º) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(AUB)
P(A∩B) = 0,9 + 0,6 – 0,96 = 0,54
Dos sucesos son independientes si p(A/B) = P(A)
P(A) = 0,9
P(A/B) = P(A∩B) / P(B) = 0,54 / 0,6 = 0,9
Luego como son iguales los resultados, los sucesos son independientes.
También lo podríamos haber comprobado de la siguiente manera:
De la definición: P(A/B) = P(A∩B) / P(B) , despejando P(A∩B) , queda
P(A∩B) = P(A/B) · P(B) , y si A y B son independientes quedaría:
P(A∩B) = P(A) · P(B)
Como P(A)·P(B) = 0,9 · 0,6 = 0,54, y coincide con el resultado de P(A∩B), los sucesos son independientes.
SEPTIEMBRE 00. BLOQUE 4 / EJERCICIO A
A) Una caja contiene 7 tarjetas de la misma forma y tamaño: 4 de color amarillo y 3 de color rojo. Se
extrae de ella al azar una tarjeta, se anota su color y sin devolverla a la caja extraemos de ésta una
segunda tarjeta. Se pide:
1º) Escribir el espacio muestral.
2º) Hallar la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales del espacio muestral.
Solución:
1º) Si A designa el suceso sacar tarjeta amarilla y R el suceso sacar tarjeta roja, se tiene:
E = {AA, AR, RA, RR}
2º) Podríamos hacer un diagrama de árbol de los sucesos posibles:
1ª Extracción 2ª Extracción
43 2
A  P(AA)= · 
3
7 6 7
6
4
7
43 2
A
R  P(AR)= · 
3
(Observa que la suma de todos los resultados posibles sale 1)
7 6 7
6
3
4
7
R
2
6
6
3 4 2
A  P(RA)= · 
7 6 7
32 1
R  P(RR)= · 
7 6 7
JUNIO 04. BLOQUE 2 / EJERCICIO B
En una determinada asignatura hay matriculados 2500 alumnos. En Junio se presentaron 1800 de los que
aprobaron 1015, mientras que en Septiembre, de los 700 que se presentaron, suspendieron 270. Elegido
al azar un alumno matriculado en esa asignatura, 1) calcula la probabilidad de que la haya aprobado. 2) Si
ha suspendido la asignatura, cuál es la probabilidad de haberse presentado en Septiembre.
Solución:
Toda la dificultad del ejercicio está en saber organizar los datos. Lo podríamos hacer directamente, o
bien, ayudándonos con una tabla de contingencia o con un diagrama de árbol.
a) Intentamos resolver el ejercicio directamente:
1) Si A designa el suceso aprobar la asignatura, nos piden la probabilidad de elegido un alumno al azar de los que se
han matriculado que haya aprobado la asignatura, que designaremos p(A).
Aplicando directamente la ley de Laplace de las probabilidades, tendremos:
P (A ) 
NÚMERODE SUCESOS ELEMENTALES QUE COMPONEN A
CASOS FAVORABLES AL SUCESO A

CASOS TOTALES DEL EXPERIMENTO NUMERODE SUCESOS ELEMENTALES DEL ESPACIO MUESTRAL
En nuestro caso, el número total de alumnos que se han matriculado es 2500, de ellos han aprobado, 1015
en junio y 700 – 270 = 430 en Septiembre, en total 1015 + 430 = 1 445 han aprobado, luego
1445 289
P (A) 

 0,578  57,8 % de alumnos matriculados aprobaronla asignatura
2500 500
2) La segunda pregunta es el cálculo de la probabilidad de que el alumno se hubiera presentado en Septiembre
condicionada a que hubiera suspendido la asignatura, es decir, necesitamos saber de todos los alumnos que han
suspendido cuantos los han hecho en Septiembre.
Calculamos el número de alumnos suspensos: en Junio suspendieron 1800 – 1015 = 785 y en Septiembre 270, luego
suspendieron 785 + 270 = 1055.
En resumen de 1055 alumnos suspendidos, 270 lo hicieron en Septiembre, luego,usando de nuevo la ley de Laplace,
quedaría:
270 54
P(Si ha suspendido la asignatura, haberse presentado en Septiembre)=

 0,26  25,59 %
1055 211
b) Podríamos haber resuelto el ejercicio construyendo una tabla de contingencia, de la siguiente manera:
J=JUNIO
E=SEPTIEMBRE
TOTALES
A=APROBADOS
1015
700-270 = 430
1445
S=SUSPENSOS
1800 – 1015 = 785
270
1055
TOTALES
1800
700
2500
1445 289

 0,578  57,8 % de alumnos matriculados aprobaronla asignatura
2500 500
270
54
2) P (E / S ) 

 0,26  25,59 % de los alumnos suspensos lo hicieron en Septiembre.
1055 211
1) P (A) 
c) Se podría haber resuelto, también, haciendo un diagrama de árbol, pero, quizás, en este caso no sería la forma
más aconsejada.
JUNIO 04. BLOQUE 4 / EJERCICIO A
En un centro de Secundaria, aprueban Biología 4 de cada 5 alumnos, las Matemáticas las aprueban 2 de
cada 3 alumnos y 3 de cada 5 alumnos aprueban la Lengua. Elegido al azar un alumno matriculado de esas
asignaturas en ese centro, Calcula la probabilidad de que: 1) suspenda esas tres asignaturas. 2)
suspenda sólo una de ellas.
Solución:
Si definimos los siguientes sucesos:
B = {aprobar Biología}; M = {aprobar Matemáticas}; L = {aprobar Lengua}
B ={suspender Biología}; M = {suspender Matemáticas} ; L = {suspender Lengua}.
Tenemos las siguientes probabilidades:
P(B) = 4/5 ; P( B ) = 1 – P(B) = 1 – 4/5 = 1/5
P(M) = 2/3 ; P( M ) = 1 – P(M) = 1 – 2/3 = 1/3
P(L) = 3/5 ; P( L ) = 1 – P(L) = 1 – 3/5 = 2/5
1) P(suspender las tres asignaturas) = P( B ∩ M ∩ L )= P( B )·P( M )·P( L ) , ya que los tres sucesos son


1 1 2
2
independientes = · · 
 0,026  2,6 % de alumnos suspenden las tres asignaturas
5 3 5 75
2) P(suspender sólo una de ellas):
1 23
6
· · 
5 3 5 75
4 1 3 12
P(suspender sólo Matemáticas y aprobar las otras dos) = P(B∩ M ∩L) =
· · 
5 3 5 75
4 2 2 16
P(suspender sólo Lengua y aprobar las otras dos) = P(B∩M∩ L ) =
· · 
5 3 5 75
P(suspender sólo Biología y aprobar las otras dos) = P( B ∩M∩L) =
La probabilidad de suspender sólo una de ellas es igual a la suma de las tres anteriores:
P(suspender sólo una de ellas)= P(suspender sólo Biología o suspender sólo Matemáticas o suspender sólo Lengua)=
P[( B ∩M∩L) U (B∩ M ∩L) U (B∩M∩ L ) ] = P( B ∩M∩L) + P(B∩ M ∩L) + P(B∩M∩ L ) =

6
12 16 34
=



 0,45  45,3 % de alumnos suspendieron sólo una de las asignaturas
75 75 75 75
JUNIO 01. BLOQUE 4 / EJERCICIO A
Un estuche contiene 5 lápices de igual forma y tamaño: 2 de color azul y 3 de color verde. Se extrae un
lápiz del estuche ya a continuación, sin reemplazamiento, se extrae otro lápiz. Se pide:
a) Escribir los sucesos elementales que definen los sucesos M = “Sólo ha salido un lápiz de color verde” y
N = “El segundo lápiz extraído es de color azul”
b) Calcula las probabilidades de los sucesos M, N y M∩N.
c) Estudia la independencia de los sucesos M y N. Razona la respuesta.
Solución:
a) Llamamos: a = lápiz azul; v = lápiz verde
el espacio muestral sería, E = {(a,a),(a,v),(v,a),(v,v)}
M = {(a, v), (v, a)}
N = {(a, a), (v, a)}
b) La probabilidad de cada suceso elemental es:
2 1
2
23
6
32
6
P(a,a) = · 
;
P(a,v) = · 
;
P(v,a) = · 
;
5 4 20
5 4 20
5 4 20
Con esto:
6
6
12 3
p(M) = p(a, v) + p(v, a) =



20 20 20 5
2
6
8
2
P(N) = p(a, a) + p(v, a) =



20 20 20 5
P(v,v) =
32
6
· 
5 4 20
32
6
3
· 

5 4 20 10
c) Como hemos visto en ejercicios anteriores si se cumple que P(A∩B) = P(A) · P(B) , A y B son independientes.
3
32
6
p(M) · p(N) = · 
; y p(M∩N) =
,
5 5 25
10
luego como son distintos, los sucesos M y N no son independientes.
p(M∩N) = p(v, a) =
SEPTIEMBRE 01. BLOQUE 4 / EJERCICIO A
Los atletas veteranos de un club de atletismo tienen la siguiente preferencia referente a su
participación en distintos tipos de carreras.
El 70% suele participar en carreras de maratón (42 km 195 m)
El 75% suele participar en carreras de media maratón (21 km 97,5 m)
El 13% no suele participar en estos tipos de carreras.
Se elige al azar uno de estos atletas. Calcula la probabilidad de que:
(a) Suela participar en carreras de maratón o de media maratón.
(b) Suela participar en carreras de maratón y de media maratón.
(c) Suela participar únicamente en carreras de maratón o únicamente en carreras de media maratón.
Solución:
a) Llamamos M a participar en la maratón y N a participar en la media maratón. Se tienen las siguientes
probabilidades:
P(M) = 0,7 ; P(N) = 0,75 ; P( M  N ) = 0,13
(a) Es la probabilidad del suceso MUN.
P(MUN) = 1 - P( M  N ) = 1 – 0,13 = 0,87
(b) Es la probabilidad del suceso M∩N:
P(MUN) = P(M) + P(N ) - P(M∩N)  P(M∩N) = P(M) + P(N ) - P(MUN) = 0,7 + 0,75 – 0,87 = 0,58
(c) Es la diferencia simétrica, la probabilidad del suceso (M - N) U (N - M):
P[(M - N) U (N - M)] = P(M - N) + P (N - M)
P(M - N) = P(M) – P(M∩N) = 0,7 – 0,58 = 0,12
P (N - M) = P(N) – P(M∩N) = 0,75 – 0,58 = 0,17
Luego P[(M - N) U (N - M)] = P(M - N) + P (N - M) = 0,12 + 0,17 = 0,29
Si hacemos un diagrama de Venn:
Del diagrama de Venn podemos observar que:
P[(M - N) U (N - M)] = P(MUN) - P(M∩N) = 0,87 – 0,58 = 0,29
JUNIO 01. BLOQUE 2 / EJERCICIO A
Se dispone de un dado trucado con cuatro caras con puntuaciones: 1, 2, 3, 4, de modo que p(4) = 4p(1),
p(3) = 3 p(1), p(2) = 2p(1), en donde p(4) indica la probabilidad de obtener la puntuación 4 y así
sucesivamente. Se dispone también de dos urnas con las siguientes composiciones: Urna U1: 1 bola roja y
2 bolas verdes. Urna U2: 2 bolas rojas y 3 bolas verdes.
Se lanza el dado. Si sale número par extraemos una bola de la urna U1. Si sale impar extraemos una bola
de la urna U2. Se pide:
a) Determina las probabilidades de los sucesos elementales que se presentan al lanzar el dado de cuatro
caras.
b) Se lanza el dado y a continuación extraemos una bola de la urna que corresponda. Halla la
probabilidad de que sea de color verde.
Solución:
a) Si p = p(1), se tendrá que:
p(1) + p(2) + p(3) + p(4) = 1  p + 2p + 3p + 4p = 1  10 p = 1  p = 1/10
Luego: p(1) = 1/10 ; p(2) = 2/10 ; p(3) = 3/10 ; p(4) = 4 /10
Además: p(par) = 6/10 = 3/5 = p(U1) ; p(impar) = 4/10 = 2/5 = p(U2)
b) p(verde) = p(v) = p(U1) · p(v/U1) + p(U2) · p(v/U2) =
32 23 2 6
16
·  ·  

5 3 5 5 5 25 25
JUNIO 00. BLOQUE 4 / EJERCICIO A
Se dispone de tres monedas. La primera de ellas está trucada de forma que la probabilidad de obtener
cara es 0,4. La 2ª moneda tiene dos cruces y la 3ª también está trucada de modo que la probabilidad de
obtener cara es 0,6. Se pide:
1º) Escribir el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de estas tres monedas, sucesivamente, y
en el orden indicado.
2º) Probabilidad de que se obtengan exactamente dos cruces.
3º) Probabilidad del suceso A = “(cara, cruz, cara)”
4º) Probabilidad de obtener, al menos, una cara.
Solución:
Si C={suceso salga cara} X = {suceso salga cruz}, tendremos :
Moneda 1: P(C) = 0,4 ; P(X) = 0,6
Moneda 2: P(C) = 0 ; P(X) = 1
Moneda 3: P(C) = 0,6 ; P(X) = 0,4
1º) E = {(C, X, C), (C, X, X), (X, X, C), (X, X, X)}
2º) “exactamente dos cruces” = {(C, X, X), (X, X, C)}
P((C, X, X), (X, X, C)) = 0,4 · 1 · 0,4 + 0,6 · 1 · 0,6 = 0,52
3º) Probabilidad del suceso A = “(cara, cruz, cara)” = {(C, X, C)}
P(A) = 0,4 · 1 · 0,6 = 0,24
4º) “obtener, al menos, una cara” = {(C, X, C), (C, X, X), (X, X, C)}
P((C, X, C), (C, X, X), (X, X, C)) = 1 – P(X, X, X) = 1 – 0,6 · 1 · 0,4 = 0,76
JUNIO 00. BLOQUE 3 / EJERCICIO B
En un experimento aleatorio, la probabilidad de un suceso A es dos veces la probabilidad de otro suceso
B, y la suma de la probabilidad de A y la probabilidad del suceso contrario de B es 1,3. Se sabe, además,
que la probabilidad de la intersección de A y B es 0,18. Calcular la probabilidad de que:
1º) Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B.
2º) Se verifique el suceso contrario de A o se verifique el suceso contrario de B.
3º) ¿Son independientes los sucesos A y B?
Solución:
Tenemos:
P(A) = 2P(B) ; P(A) + P( B ) = 1,3 ; P(A∩B) = 0,18
De: P(A) + P( B ) = 1,3 y como P( B ) = 1 – P(B) , resulta P(A) + 1 – P(B) = 1,3.
Como, también, P(A) = 2P(B)  2P(B) + 1 – P(B) = 1,3  P(B)=1,3 -1 = 0,3  P(A) = 2P(B) = 0,6
1º) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0,6 + 0,3 – 0,18 = 0,72
2º) Por una de las leyes de Morgan:
P(A  B )  P(A  B) = 1 – P(A∩B) = 1 – 0,18 = 0,82
3º) Como P(A∩B) = 0,18 y P(A) · P(B) = 0,6 · 0,3 = 0,18, los sucesos A y B son independientes
SEPTIEMBRE 01. BLOQUE 1 / EJERCICIO A
Se dispone de dos urnas iguales con el siguiente contenido,
Urna P: 4 bolas amarillas y 6 bolas granates
Urna Q: 5 bolas amarillas y 7 bolas granates.
Se dispone de un dado cúbico con las siguientes puntuaciones: 1, 1, 2, 2, 2, 3. Se lanza el dado. Si sale el
número 1 se extrae una bola de la urna P. En los demás casos la bola se extrae de la urna Q. Se pide la
probabilidad de que:
a) Al lanzar el dado se obtenga una puntuación mayor de 1.
b) Al tomar una bola de la urna P sea de color granate.
c) Al extraer una bola, después de lanzar el dado, se obtenga de color amarillo
Solución:
a) Para el dado se tiene: P(1) = 2/6 = 1/3 ; P(2) = 3/6=1/2 ; P(3) = 1/6
P(>1) = P(2) + P(3) = 3/6 + 1/6 = 4/6= 2/3
b) P(Granate/Urna P ) = 6/10 = 3/5
1 3 2 5 43
c) P(amarilla) = P(1) · P(amarilla/Urna P) + P(>1) · P(amarilla/Urna Q) = ·  · 
3 5 3 12 90