3. ejercicios de reducción al absurdo

LÓGICA PROPOSICIONAL
1. EJERCICIOS DE FORMALIZACIÓN.
2. EJERCICIOS DE TABLAS DE VERDAD.
3. EJERCICIOS DE REDUCCIÓN AL ABSURDO.
4. EJERCICIOS DE DEDUCCIÓN NATURAL CON REGLAS BÁSICAS I.
5. EJERCICIOS DE FORMALIZACIÓN Y DEDUCCIÓN.
6. EJERCICIOS DE DEDUCCIÓN NATURAL CON REGLAS BÁSICAS II.
7. EJERCICIOS
DERIVADAS.
DE
DEDUCCIÓN
NATURAL
CON
REGLAS
8. ADININANZAS LÓGICAS.
9. EXÁMENES.
Bibliografía básica
Amador Antón y Pascual Casañ
Lógica matemática. ( Lógica de enunciados)
Nau Llibres
Alfredo Deaño
Introducción a la lógica formal.
Alianza Universidad Textos
Manuel Garrido
Lógica simbólica
Tecnos
Anthony Weston
Las claves de la argumentación.
Ariel
Raymond Smullyan
¿Cómo se llama este libro?
Cátedra
Profesor: José Ramón Anguiano Navascues
1. EJERCICIOS DE FORMALIZACIÓN
1) Los animales, como las plantas, son seres vivos.
Los animales son seres vivos (p) y las plantas son seres vivos (q).
2) El fenómeno de la nutrición separa de una manera tajante los seres vivientes de
los no vivientes.
El fenómeno de la nutrición separa los seres vivientes (p) y los seres no
vivientes ( p).
3) Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección.
Si tienen la misma dirección (q), entonces dos rectas son paralelas (p).
4) Decir que la suma de sucesiones positivas es una sucesión positiva y el producto
de sucesiones positivas es una sucesión positiva equivale a decir que la suma y
el producto de dos números reales positivos es un número real positivo.
La suma de sucesiones positivas es una sucesión positiva (p) y el producto de
sucesiones positivas es una sucesión positiva (q)  si y sólo si  la suma de dos
números reales positivos es un número real positivo (r) y el producto de dos
números reales es un número real positivo (s)
5) Si perseveras en tus decisiones y no cedes al desaliento frente a los obstáculos,
comprobarás cómo el éxito te sonríe.
Si perseveras en tus decisiones (p) y no cedes al desaliento frente a los
obstáculos ( q), entonces comprobarás cómo el éxito te sonríe (r).
6) Si Frankenstein cruza nuestras calles, ha de indicar qué y cuántos fines persigue,
y si miente, le daremos con la puerta en las narices, pero si dice la verdad, le
invitaremos a cenar.
 Si Frankenstein cruza nuestras calles (p), entonces ha de indicar qué fines
persigue (q) y cuántos fines persigue (r), y (si miente (si no dice la verdad) (s),
entonces le daremos con las puertas en las narices (t)) y (si dice la verdad (s),
entonces le invitaremos a cenar (w)).
7) El hidróxido de aluminio es maleable y, a igualdad de peso, mejor conductor de
la electricidad que el cobre.
(El hidróxido de aluminio es maleable (p) ) y (si tiene igual peso que el cobre
(q), entonces es mejor conductor de la electricidad que éste r) )
8) Por el puente se va a casa, que no por el agua.
Por el puente se va a casa: p
Por el agua se va a casa: q
9) El nitrógeno se usa en los laboratorios y reemplaza el aire de ciertos aparatos
cuando el oxígeno es perjudicial en las operaciones.
Si el oxígeno es perjudicial (q), entonces el nitrógeno se usa (p) y reemplaza (r)
10) Si el hombre es moral, no está determinado unívocamente por el ambiente y
cabe exigirle cuenta de sus elecciones.
El hombre es moral: p
Determinado unívocamente...:q
Cabe exigirle cuenta...:r
11) La persona humana tiene creencias sobre multitud de cosas, pero tal multitud no
forma un caos, sino que está organizado psicológicamente.
La persona humana tiene...:p
Tal multitud forma un caos: q
Está organizada psicológicamente: r
2. EJERCICIOS DE TABLAS DE VERDAD
1) ( p  q )   q
2) ( p v  p )  ( q   q )
3) ( p  q )  q  p
4)  ( p   p )  r
5) ( p   q )  ( q v  r )
6) ( p  q )  (  q   p )
7) ( p v q )  ( p  q )
8)  ( p  q ) v  (  p  r )  ( p  q  r )  (  p  q  r )
9)  ( p  q )   r   ( p v q  r )  v ( q  r )
10) ( q  r   p )  ( r v s  p v q )
11)  p  ( q  r )    ( t  t )   (  s v  q )  (  p v  s)  
12)  ( p  q )  p    ( q v r )  (  q   r ) 
13) ( p  q )    ( p   q )   (  p  q ) 
14)  ( p  q ) v r     r  ( p  q ) 
15)   ( p  q  r )  ( r  s )   ( r  s )   ( p  q  r )
16)  (  p  q )  ( q  r )   (  p  r )
17) ( p  r )  ( q  s )  ( p  q  r  s )
3. EJERCICIOS DE REDUCCIÓN AL ABSURDO
1) ( p  q   q  q
2) ( p  q )  ( p v r)  q
3) ( p  q )  ( q v r )   q  ( r   p )
4) ( p  q )   (  q v  r )  q
5)  ( p  q ) v r    r  ( p  q) 
6)  (  p  q )  ( q  r )   (  p  r )
7) ( p  r )  ( q  s )  ( p  q  r  s )
8)  p  ( q v r )   ( q  r )  ( p  r )
9)  p  (  r  p)     r v s   t  ( t   r)   p
10)  p  ( q  r )   ( r  s  t )  (  s   t )   p
11)   ( p  q  r )  ( r  s )   ( r  s )   ( p  q  r )
4. EJERCICIOS DE DEDUCCIÓN NATURAL CON REGLAS BÁSICAS I.
1)
2)
3)
–1 pq
-2 r s
├ pr s
-1 prst
a. 2 p v s
b. 3 r   s
├ r svt
- 1pq
- 2q
├  p
4)
5)
6)
7)
8)
9)
-1 prst
-2 p  s
-3 r   s
├ r  st
-1 q
-2 p v q  t
├ tvs
-1 p  q
-2 p
├p q
-1 p v q
-2 p  c
-3 q  c
├ p qc
-1 p  q  r
-2 r  s
├
-1pq
-2pr
├ rvs
pq s
10) -1 p  ( p  q  s)
-2 q
├ s
11) -1 p  q
-2 r
-3 p  r  s
├ s
12) -1 (p  q)  r
-2 s  t
-3 r  s
├ qvt
13) -1 p  q
-2 q  r
-3 s  t
-4svp
├ rvt
14) -1 p  ( q  r)
├ q  (p  r)
5. EJERCICIOS DE FORMALIZACIÓN Y DEDUCCIÓN.
1) Si se admite la teoría del eterno retorno, se debe admitir la existencia de
entidades corpusculares identificables a través del tiempo y que se pueda hablar
de un estado del universo definido en cada instante individual. Ahora bien, no es
cierto que haya entidades corpusculares permanentes y estados del universo
definidos en cada instante. Por tanto, la teoría del eterno retorno es inadmisible.
Se admite la teoría del eterno retorno: p
Se admite la existencia de entidades...:q
Se habla de un estado del universo...:r
2) Si la noche es clara, Drácula agitará sus alas y afilará sus dientes. Si agita sus
alas y encuentra mi ventana abierta, pasará, me despertará, pero le daré un fuerte
tirón de orejas. Si afila sus dientes y la encuentra cerrada, montará en cólera,
romperá los cristales y le daré un fuerte tirón de orejas. Así pues, si la noche es
clara y Drácula encuentra la ventana abierta o cerrada, le daré un fuerte tirón de
orejas.
La noche es clara......p
Drácula agitará sus alas......q
Afilará sus dientes......r
Encuentra mi ventana abierta......s
La encuentra cerrada (no abierta)...... s
Pasará......t
Me despertará......w
Le daré un tirón de orejas......m
Montará en cólera......n
Romperá los cristales......k
3) Si la pena de muerte antepone la defensa de la sociedad a la conservación de la
persona, entonces, si supone la destrucción total de la persona, imposibilita la
corrección del penado. Imposibilita la corrección del penado sólo si es
condenable éticamente. La pena de muerte antepone la defensa de la sociedad a
la conservación de la persona. Por tanto, si la pena de muerte supone la
destrucción total de la persona e imposibilita la corrección del penado, es
condenable éticamente.
La pena de muerte antepone la defensa......p
Supone la destrucción total de la ......q
Posibilita la corrección del ......r
Es condenable éticamente......s
4) Si los habitantes de Venus invaden la tierra, entonces los hombres se pondrán
nerviosos o las mujeres se entusiasmarán. Si los hombres se ponen nerviosos, las
mujeres se entusiasmarán. Por tanto, si los habitantes de Venus invaden la
Tierra, las mujeres se entusiasmarán.
Los habitantes de Venus invaden......p
Los hombres se pondrán nerviosos......q
Las mujeres se entusiasmarán......r
5) Si las autoridades prohíben fumar en pipa a los feos, entonces los guapos se
alzarán indignados porque no venden pipas. Si los guapos no venden pipas o las
autoridades crean nuevos puestos de trabajo, entonces la nación no saldrá de la
crisis económica. La nación sale de la crisis económica y los guapos no venden
pipas. Por lo tanto, las autoridades no prohibirán fumar en pipa a los feos.
Las autoridades prohíben fumar......p
Los guapos se alzarán ......q
Los guapos veden pipas......r
Las autoridades crean nuevos......s
La nación saldrá de la crisis......t
6) Si los filósofos callasen, la nieve quemaría y los círculos serían cuadrados. Si los
círculos fuesen cuadrados, entonces los matemáticos se dedicarían a cazar brujas
y las abejas a fabricar acero. Ni los matemáticos se dedican a cazar brujas, ni las
abejas a fabricar acero. Por tanto, los filósofos no callarán.
Los filósofos callasen......p
La nieve quemaría......q
Los círculos serían cuadrados......r
Los matemáticos se dedicarían......s
Las abejas se dedicarían......t
6. EJERCICIOS DE DEDUCCIÓN NATURAL CON REGLAS BÁSICAS II
52) -1 p ^ [ q → (p → s)]
-2 p → q ^ r
53) -1
-2
-3
-4
p→q
qvr→s
s → (t → m)
p^¬¬ t
├p→s
├m
54) -1 p → [ q → r ^ (s v t)]
-2 p ^ (s → m)
-3 q ^ ( t → h ^ n)
├mvh
55) -1 ( p ^ q) → (r ^ s)
-2 s → (q ^ t)
-3 s ^ t
├ p → (q ^ r)
56) -1 q → s
-2 r → s ^ t
├ p → ( q v r → s)
57) -1 ¬ p → q
-2 ¬ p → ¬ q ^ s
├p
58) -1 p v ( q ^ r)
-2 t v q → ¬ (p → t)
├ ¬ (p → t)
59) ├ (p → q) → [(q → r) → (p → r)]
60) -1 p ^ q → ( r → s)
-2 ¬ s ^ r
├p→¬q
61) -1 p → q v r
-2 q → r
-3 r → s
├p→s
62) -1 p → ¬ t ^ s
-2 s v r → t
êp
63) -1 ├ ¬ q → ¬ ( p ^ q)
64) –1
-2
-3
-4
t→pvq
p→m^s
q→¬m
s v ¬ m → ¬ (p v q)
65) -1 t → p v q
-2 p → n ^ s
-3 q → ¬ n
├ ¬t
├t→sv¬n
66) -1 ├ (p ^ q) v (r ^ s) → [ (p v r) ^ (p v s)] ^ [ ( q v r) ^ (q v s)]
67) -1
-2
-3
-4
p→mvt
m→r
t→r^s
q→ t^ r
68) –1 p → q
-2 m → r v s
-3 r → ¬ q
-4 s → ¬ q ^ t
├pvq→r
├ ¬ (p ^ m)
69) ├ ( p → q) ^ ( q → r) → ( p → r)
70) ├ (p → q) → (p ^ r → q ^ r)
71) –1 p v ¬ q → r v m
-2 (r → t v s) ^ ( n → s)
-2 m ^ ¬ r → n
72) ├ (p → q) → [ (p → r) → (p → q ^ r)]
├ ¬ p → [¬ (q v r) → s v t]
73) –1 p → q ^ r
-2 ¬ p → ¬ s
-3 ¬ s → r
├r
74) –1 (p ^ q → t) ^ ¬ ( t v n)
-2 r v s → t ^ m
├ p → ( q v r → s)
75) ├ (p → r) → [ (q → r) → ( p v q → r)]
76) –1 (p → s) ^ (q → t)
-2 ( s v t → m) ^ (r v n → ¬ m)
├pvq→¬r
7. EJERCICIOS DE DEDUCCIÓN NATURAL CON REGLAS DERIVADAS.
Ejercicio 1. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
(p^q)→r
p
_____________
q→r
Ejercicio 2. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia
p→q
r v s
s→¬q
¬r
_____________
¬p
Ejercicio 3. Demostrar la validez del esquema anterior por el método de reducción al
absurdo.
Ejercicio 4. Esquematizar la argumentación contenida en el siguiente texto de Platón
( Parménides) y demostrar su validez:
Si lo Uno está en movimiento, éste habrá de ser, o de movimiento sin cambio en el
estado, o de alteración.
No puede tratarse de un movimiento de alteración, porque entonces lo Uno dejaría de
ser Uno.
Si se trata de lo primero, tendría que ser, o bien de rotación de lo Uno sobre sí mismo
en el propio lugar en el que se encuentra, o bien cambio de un lugar a otro. Ninguna de
las dos cosas ocurre.
Luego lo Uno no está sujeto a ningún tipo de movimiento.
p: Lo Uno está en movimiento.
q: Lo Uno sufre un movimiento sin cambio en el estado.
r: Lo Uno sufre un movimiento de alteración.
s: Lo Uno rota sobre sí mismo.
t: Lo Uno cambia de un lugar a otro.
Ejercicio 5. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
p→q
r →p
¬r→¬t
¬ ( s ^ ¬ r)
tvs
________________
q v u
Ejercicio 6. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
r→s
p vq
¬ ( ¬ p → s)
______________
q ^¬r
Ejercicio 7. Demostrar la validez del siguientes esquema de inferencial.
p→ (q → r)
q
___________
p→ r
Ejercicio 8. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
p ↔ (q v r)
p → s
q
_____________
s
Ejercicio 9. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
(p ^ q) → r
¬ (p v q) → s
p→q
_________
¬s→r
Ejercicio 10. Demostrar la validez del siguientes esquema de inferencial.
s↔t
tvp
s→¬w
w
________
p
11. Demostrar la validez del esquema anterior por medio de la reducción al absurdo.
12. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
(p^q)→r
( r ^ s) → t
______________
(p ^ q ^ s) → t
13. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
p → (q → r)
____________
q → (p → r)
14. Demostrar que la expresión [ ( p ^ q) → r] ↔ [ (p ^ ¬ r) → ¬ q] es tautológica.
15. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
p → (p → q)
_____________
p→q
16. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
¬p→p
__________
p
17. Resolver la siguiente argumentación:
- Empecemos, pues. Si lo uno, ¿no es cierto que no podría ser muchos?
-¿Cómo podría serlo?
- Y entonces no podrá tener partes ni ser un todo. ¬ q → ( ¬ r ^ ¬ s)
p→ ¬ q
- ¿Por qué?
- Porque la parte, parte es de un todo.
- Ciertamente.
- ¿Y no es un todo aquello a lo que no falta parte alguna?
- Desde luego.
- Y en ambos casos –ya se lo considere como un todo, ya se le considere como dotado
de partes- lo uno habría de ser compuesto.
(r v s) → t
- Necesariamente.
- De modo que en ambos casos lo uno resultaría ser muchos y no uno.
t→q
- Cierto.
- Pero necesariamente lo uno no es muchos sino uno.
- Así es.
- Luego si lo uno es uno, ni es un todo ni tiene partes.
p → ( ¬ r ^ ¬ s)
A efectos de formalización hemos dado por idénticos el enunciado “lo uno existe
(como tal uno)” y el enunciado “lo uno es uno”, esquematizando ambos por “p”.
18. Derivar “ (r v s) → t” a partir de “ r → p”, “¬ q → ¬ r”, “s → q”, “(p ^ q) → t” ,
“ ¬ s v p”, directamente y por el método de reducción al absurdo.
19. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
(q v ¬ s) → t
¬q→r
p→¬s
t→s
____________
p→r
20. Demostrar la validez del esquema anterior por el método de reducción al
absurdo.
21. Demostrar la validez del siguiente esquema:
(p v q) → (r ^ s)
¬(¬pv¬r)
¬ t → ¬ ( p ^ s)
_______________
t
22. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
s →q
___________________________
[p → (q → r) ] → [ p → (s → r)]
23. Derivar “q” a partir de “p ^ ¬ p”.
24. Demostrar, por el método de la reducción al absurdo, la expresión
“[p → (q → r)] ↔ [ (p ^ q) → r]”.
25. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
p → [ ( q → r) → s]
__________________
(q → r) → (p → s)
26. Demostrar la validez del esquema anterior por el método de reducción al
absurdo.
27. Demostrar que la expresión
{[¬ r → ¬ (p ^ q)] ^ ( s→ p)} → [ (s ^ q) → r]
es una ley lógica.
28. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
p  ( q  t  u)
p
rq
rt
ur
__________
rvs
29. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia.
pq
qr
st
svp
_________
rvt
30. Demostrar la validez de la expresión anterior por reducción al absurdo.
31. Demostrar que la expresión
( p  r)  (q  s)    (p  q)  (r  s) 
es una ley lógica.
32. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
(p v q)  r
_______________
(p  r) v ( q  r)
33. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia.
rs
pv q
 (  p  s)
pq
_________
q  r
34. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
(pq)r
st
rs
_______________
qvt
35. Demostrar la validez del esquema anterior por el método de reducción al
absurdo.
36. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
pq
 (  q v r)
p v s
_________
svt
37. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
pq
rvp
____________
p  ( q  r)
38. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
( p  q)  r
rs
q s
____________
p
39. Demostrar la validez de la expresión anterior por el método de reducción al
absurdo.
40. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
(p  q)  (r v s)
 ( t   p)
t
t q
______________
rs
41. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
pvq
rp
sr
ts
rq
_____________
t
42. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
(p   q  r)  s
t
(s  t)  u
p  (u   w)
w
_______________
(p  r)  q
8. ADIVINANZAS LÓGICAS
Hay una amplia variedad de adivinanzas relativas a una isla en la que ciertos habitantes
llamados “caballeros” dicen siempre la verdad, y otros llamados “escuderos” mienten
siempre. Se supone que todo habitante de la isla es o caballero o escudero.
26. Según este viejo problema, tres de los habitantes –A, B, C- se encontraban en un
jardín. Un extranjero pasó por allí y le preguntó a A, “¿Eres caballero o escudero?”. A
respondió, pero tan confusamente, que el extranjero no pudo enterarse de lo que decía.
Entonces el extranjero preguntó a B. “¿Qué ha dicho A?”. Y B le respondió: “A ha
dicho que es escudero.” Pero en ese instante el tercer hombre, C, dijo. “¡No creas a B,
que está mintiendo.”
La pregunta es, ¿qué son B y C?
27. Supóngase que el extranjero, en lugar de preguntarle a A por lo que éste era, le
dijese: “¿Cuántos caballeros hay entre vosotros?” De nuevo, la respuesta de A es
ininteligible. Entonces el extranjero pregunta a B, “¿Qué ha dicho A?”. Y B replica: “A
ha dicho que hay un caballero entre nosotros”. Y C por su parte dice, “No creas a B, que
está mintiendo”.
¿Qué son B y C?
28. En este problema hay sólo dos individuos, A y B, cada uno de los cuales es o
caballero o escudero. A dice: “Uno al menos de nosotros es escudero.”
¿Qué son A y B?
29. Supóngase que A dice, “O yo soy un escudero o B es un caballero”. ¿Qué son A y
B?”
30. Supóngase que A dice, “O yo soy escudero o en caso contrario dos más dos es igual
a cinco”. ¿Qué concluirías?
31. Nuevamente tenemos tres personas, A, B, C, cada una de las cuales es o caballero o
escudero. A y B dicen lo siguiente:
A: Todos nosotros somos escuderos.
B: Uno de nosotros, y sólo uno es un caballero.
¿Qué son A, B, C?
32. Supóngase que A y B dicen lo siguiente:
A: Todos nosotros somos escuderos.
B: Uno de nosotros, y sólo uno, es escudero.
¿Puede determinarse lo que es B? ¿Puede determinarse lo que es C?
33. Supóngase que A dice, “Yo soy escudero, pero B no lo es”.
¿Qué son A y B?
34. Volvemos a tener tres habitantes, A, B y C, cada uno de los cuales es o caballero o
escudero. Se dice que dos personas son del mismo tipo si son ambos caballeros o ambos
escuderos. A y B dicen lo siguiente:
A: B es un escudero.
B: A y C son del mismo tipo.
¿Qué es C?
35. De nuevo hay tres personas, A, B y C. A dice, “B y C son del mismo tipo”. Alguien
pregunta entonces a C. “Son A y B del mismo tipo?”
¿Qué responde C?
36. He aquí una adivinanza poco frecuente: además, está tomada de la vida real. Una
vez, cuando visité la isla de los caballeros y escuderos, encontré dos habitantes
descansando bajo un árbol. Le pregunté a uno de ellos. “¿Es alguno de vosotros un
caballero?”. Él me respondió, y con su respuesta pude saber la solución a mi pregunta.
¿Qué es la persona a la que dirigí mi pregunta, caballero o escudero? ; y, ¿qué es el
otro? Puedo asegurar que he suministrado información suficiente para resolver este
problema.
37. Suponte que eres tú, lector, quien visita la isla de los caballeros y escuderos. Allí
encuentras a dos habitantes que están perezosamente recostados al sol. Le preguntas a
uno de ellos si el otro es un caballero, y obtienes una respuesta del tipo sí-o-no.
¿Son las dos respuestas necesariamente las mismas.
109. Tenemos dos personas A, B, cada una de las cuales es o caballero o escudero.
Supóngase que A emite el siguiente enunciado: “Si yo soy un caballero, entonces lo es
B”.
¿Puede determinarse qué son A y B?
110. Alguien pregunta a A. “Es usted caballero?”. Él replica. “Si yo soy caballero,
entonces me comeré mi sombrero”.
Pruébese que A tiene que comerse su sombrero.
111. A dice. “Si yo soy caballero, entonces dos más dos es igual a cuatro”. ¿Es A
caballero o escudero?
112. A dice. “Si yo soy un caballero, entonces dos más dos es igual a cinco”. ¿Qué
concluirías?
113. Dadas dos personas, A, B, y siendo ambas o caballeros o escuderos, A dice, “Si B
es caballero entonces yo soy escudero”.
¿Qué son A y B?
114. Dos individuos, X e Y, estaban siendo juzgados por participar en un robo. A y B
eran testigos en el juicio, y cada uno de ellos, A, B, es o caballero o escudero. Los
testigos emitieron los siguientes enunciados:
A: Si X es culpable, igualmente lo es Y.
B: O X es inocente o Y es culpable.
¿Son A y B necesariamente del mismo tipo? (Recuérdese que dos personas de la isla
de los caballeros y escuderos se dice que son del mismo tipo si son o ambos caballeros o
ambos escuderos.)
115. En la isla de caballeros y escuderos, tres habitantes A, B, C están siendo
entrevistados. A y B dicen lo siguiente:
A: B es caballero.
B: Si A es caballero, también lo es C.
¿Puede determinarse qué son A, B y C?
AMOR Y LÓGICA
116. Supóngase que los enunciados siguientes son verdaderos:
(1) Amo a Isabel o amo a María.
(2) Si amo a Isabel entonces amo a María.
¿Se sigue necesariamente que amo a Isabel? ¿Se sigue necesariamente que amo a
María?
117. Supóngase que alguien me pregunta. “¿Es realmente verdadero que si amas a
Isabel entonces también amas a María?” Yo respondo, “Si eso es verdadero, entonces
amo a Isabel”.
¿Se sigue que amo a Isabel? ¿Se sigue que amo a María?
118. Esta vez tenemos dos chicas, Eva y Margarita. Alguien me pregunta, “¿Es
realmente verdadero que si amas a Eva entonces amas también a Margarita?” Yo
respondo, “Si eso es verdadero, entonces amo a Eva, y si amo a Eva, entonces
eso es verdadero”:
¿A qué chica amo necesariamente?
119. Ahora se trata de tres chicas, Ana, Luisa y Diana. Supóngase que se dan los
siguientes hechos:
(1) Amo al menos a una de las tres chicas.
(2) Si amo a Ana pero no a Diana, entonces amo también a Luisa.
(3) O bien amo a Diana y a Luisa o bien no amo a ninguna.
(4) Si amo a Diana, entonces amo también a Ana.
¿A cual de las chicas amo?
120. Este problema, aunque simple, es un tanto sorprendente.
Supóngase que sucede que yo soy o caballero o escudero. Yo emito los dos
enunciados siguientes:
(1) Amo a Linda.
(2) Si amo a Linda entonces yo amo a Cecilia.
¿Soy un caballero o un escudero?
67 a. En El mercader de Venecia, de Shakespeare, Porcia tenía tres cofres –uno de oro,
otro de plata y otro de plomo-, dentro de uno de los cuales estaba el retrato de Porcia. El
pretendiente tenía que elegir uno de los cofres y si tenía suerte (o inteligencia) elegiría
el que tenía el retrato, pudiendo así pedir a Porcia por esposa. En la tapa de cada cofre
había una inscripción para ayudar al pretendiente a elegir sabiamente.
Pero supongamos que Porcia quisiera elegir marido, no por su bondad, sino por su
inteligencia. Tendría las siguientes inscripciones en los cofres:
ORO
El retrato
está en este
cofre
PLATA
El retrato
no está
aquí
PLOMO
El retrato
no está en el
cofre de oro
Porcia explicó al pretendiente que de los tres enunciados, a lo sumo uno era verdad.
¿Qué cofre debe elegir el pretendiente?
67 b. El pretendiente eligió correctamente, así que se casaron y vivieron bastante
felices...por lo menos durante algún tiempo. Pero un día Porcia pensó: “Aunque mi
marido demostró cierta inteligencia al elegir el cofre bueno, en realidad el problema no
era tan difícil. Sin duda podía haber puesto un problema más difícil y haber conseguido
un marido realmente inteligente”. Así pues, se divorció inmediatamente de su marido
decidida a casarse con otro más listo.
Esta vez en los cofres aparecían las siguientes inscripciones:
ORO
El retrato
no está en el
cofre de plata
PLATA
PLOMO
El retrato
no está en
este cofre
El retrato
está en
este cofre
Porcia explicó al pretendiente que por lo menos uno de los tres enunciados era
verdadero y que por lo menos otro era falso.
¿En qué cofre está el retrato?
68. Y Porcia le hizo pasar por dos pruebas más:
a) Primera prueba.
En ésta las tapas de los cofres tenían dos enunciados, y Porcia explicó que ninguna de
ellas tenía más que un enunciado falso.
ORO
PLATA
PLOMO
(1) El retrato
no está aquí
(1) El retrato
no está en el
de oro
(1) El retrato
no está aquí
(2) El artista
que hizo
el retrato
es veneciano
(2) El artista
que hizo
el retrato sí
es florentino
¿En qué cofre está el retrato?
(2) El retrato
sí que está
en el cofre
de plata
b) Segunda prueba.
Porcia explicó que en una de las tapas los dos enunciados eran verdaderos; en otra
ambos eran falsos, y en la tercera uno era verdadero y otro falso:
ORO
(1) El retrato
no está en
este cofre
(2) Está en el
de plata
PLATA
PLOMO
(1) El retrato
no está en
el de oro
(1) El retrato
no está en
este cofre
(2) Está en el
de plomo
(2) Está en el
de oro
¿En qué cofre estaba el retrato?
PRESENTAMOS A BELLINI Y CELLINI (Las tres pruebas definitivas)
Todos los cofres de Cellini tienen una inscripción falsa mientras que los cofres de
Bellini tienen una inscripción verdadera.
69 a. Primera prueba.
En vez de un retrato, Porcia metió una daga en uno de los cofres y dejó los otros dos
vacíos. Si el pretendiente conseguía evitar el cofre de la daga, podía pasar a la prueba
siguiente. Las inscripciones rezaban así:
ORO
PLATA
PLOMO
La daga
está aquí
Este cofre
está vacío
Todo lo más
uno de estos
tres cofres lo
hizo Bellini
¿Qué cofre tenía que elegir?
69 b. Segunda prueba.
Porcia utilizó sólo dos cofres, el de oro y el de plata; uno de ellos contenía su
retrato (en esta prueba no utilizaba daga). Los cofres eran obra de Cellini o de Bellini
y en ellos se leía:
ORO
PLATA
El retrato no
está aquí
Uno y nada más que uno
de estos dos cofres
es obra de Bellini
¿Cuál tenía que elegir el pretendiente para hallar el retrato?
69 c. Tercera prueba
Porcia colocó su retrato en uno de los tres cofres y el pretendiente había de (1)
elegir el cofre que tuviera el retrato y (2) adivinar el autor de cada uno de los cofres.
ORO
PLATA
El retrato
Está aquí
El retrato
está aquí
PLOMO
Por lo memos
dos de estos
tres cofres son
obra de Cellini
¿Cuál es la solución?
9.EXÁMENES.
Nombre:
Apellido:
Curso:
1) Reglas básicas y reglas derivadas. Explicar, poner ejemplos y deducir al menos una
regla derivada.
Demostrar si la siguiente fórmula es contingente, contradictoria o tautológica mediante
tablas de verdad.
2) ( r ٨
s → t ٧ u) → ( t ٧ ¬ t )
Demostrar por reducción al absurdo si las siguientes fórmulas son válidas:
3) ¬ q ٨
( q ٧ r ) ٨
( p → q ) → ( ¬ p ٨
r)
4) ( p → q ) ٨
¬( ¬ q ٧ ¬r ) → q
Deducir:
5) -1 p → ¬ ( q ٨
r)
├
q ٨
r → ¬ p
6) Formalizar y deducir: “Si la noche es clara, Drácula agitará sus alas y afilará sus
dientes. Si agita sus alas y encuentra mi ventana abierta, pasará, me despertará,
pero le daré un fuerte tirón de orejas. Si afila sus dientes y la encuentra cerrada,
montará en cólera, romperá los cristales y le daré un fuerte tirón de orejas. Así
pues, si la noche es clara y Drácula encuentra la ventana abierta o cerrada, le daré
un fuerte tirón de orejas.
La noche es clara...p
Drácula agitará sus alas...q
Afilará sus dientes...r
Encuentra mi ventana abierta...s
La encuentra cerrada (no abierta)...¬ s
Pasará...t
Me despertará...w
Le daré un tirón de orejas...m
Montará en cólera...n
Romperá los cristales...k
Nombre:
Apellido:
Curso:
1)
-1
-2
-3
-4
–1 p → q
-2 m → r v s
-3 r → ¬ q
-4 s → ¬ q ^ t
2)
3)
4)
p→mvt
m→r
t→r^s
q→ t^ r
├
├
├ pvq→r
├
¬ (p ^ m)
(p ^ q) v (r ^ s) → [ (p v r) ^ (p v s)] ^ [ ( q v r) ^ (q v s)]
( p → q) ^ ( q → r) → ( p → r)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
├
(p → q) → (p ^ r → q ^ r)
–1 p v ¬ q → r v m
-2 (r → t v s) ^ ( n → s)
-2 m ^ ¬ r → n
├
¬ p → [¬ (q v r) → s v t]
├ (p → q) → [ (p → r) → (p → q ^ r)]
–1 p → q ^ r
-2 ¬ p → ¬ s
-3 ¬ s → r
├ r
–1 (p ^ q → t) ^ ¬ ( t v n)
-2 r v s → t ^ m
├ p → ( q v r → s)
├ (p → r) → [ (q → r) → ( p v q → r)