Ejercicios de Aritmética y Álgebra

Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
MATEMÁTICAS 4º ESO Opción B
Tema
Título
Pág
1
1
1
1
1
PROBLEMAS DE APROXIMACIÓN Y ERRORES
EJERCICIOS DE POTENCIAS
EJERCICIOS DE RADICALES
EJERCICIOS DE LOGARITMOS
PROBLEMAS DE PORCENTAJES
PROBLEMAS DE INTERÉS COMPUESTO
1
2
4
6
8
9
2
2
2
2
EJERCICIOS DE PRODUCTOS NOTABLES
EJERCICIOS DE DIVISIONES ALGEBRAICAS
EJERCICIOS DE FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
EJERCICIOS DE SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
10
11
11
12
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
EJERCICIOS ECUACIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO
EJERCICIOS ECUACIONES CUADRÁTICAS (2º GRADO)
EJERCICIOS ECUACIONES BICUADRADAS
EJERCICIOS DE ECUACIONES CON RADICALES
EJERCICIOS FRACCIONES ALGEBRAICAS
EJERCICIOS ECUACIONES IRRACIONALES
EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA
EJERCICIOS DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE GAUSS
PROBLEMAS DE SISTEMAS LINEALES
EJERCICIOS DE SISTEMAS LOGARITMICOS Y EXPONENCIALES
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
4
4
4
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES
PROBLEMAS DE INECUACIONES ( I )
PROBLEMAS DE INECUACIONES ( y II )
23
24
25
Día
0
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
PROBLEMAS DE APROXIMACIÓN Y ERRORES
1.-
Expresa en forma fraccionaria:
a)
2.-
b)
3, 00714
c)
71, 007
b)
19 / 312
c)
71 / 13
b)
4 / 313
c)
7 / 19
Poner en forma decimal:
a)
3.-
0, 037
1/ 7
Sean los números:
a)
3 / 17
Redondéalos a décimas, a centésimas y a milésimas
Hallar el error absoluto cometido al redondear.
Hallar el error relativo.
Expresar el número en notación científica.
4.Al estimar una medida hemos dado un valor de 43 cm , cuando en realidad
medía 428,35 mm. ¿Qué error relativo en porcentaje hemos cometido?.¿Qué error
relativo habríamos cometido si, conociendo el valor real, hubiéramos redondeado a
décimas de milímetros?.
5.La población de una provincia nos dicen que es 1,253.106 habitantes.
Evidentemente suponemos que está redondeado el resultado. Al preguntar nos dicen que
el error relativo es de 0,017 %. ¿ Cuántos habitantes tiene exactamente dicha provincia ?.
6.Nos aseguran que las dimensiones de una ventana son 2 dm y 8 dm.
Tenemos que comprar un marco y un cristal. Por pereza, a la hora de calcular la longitud
del marco y la superficie del cristal, tomamos 1,5 dm de ancho y 3 dm de largo. ¿Qué
error absoluto habremos cometido en ambos casos?.
Indica, también en ambos
casos, el error relativo en porcentaje cometido.
7.En una determinada tienda nos aseguran que la báscula comete un error del
1,5 %. Hemos comprado y pagado 2 kgr de cerezas. ¿ Qué cantidad de cerezas nos
hemos llevado realmente a casa?.
8.-
Una regla está graduada en milímetros ( Error absoluto = 0,5 mm ).
Una máquina electrónica está graduada en centésimas de milímetros
( Error absoluto = 0,005 ).
Medimos con ambas la longitud de un lapicero y el espesor de una fina lámina de oro, que
nos aseguran miden 18'3 cm y 0,42 mm.
¿En qué medida hemos cometido un mayor error relativo?.
9.Al realizar un censo de población, damos la cantidad de 31.400 personas,
cuando en realidad son 31.457. Al mismo tiempo decimos que en toda la provincia son
50.000 habitantes, cuando en realidad son 49.623. Hallar en ambos casos el error
absoluto y relativo cometido, este último en porcentaje de error con dos cifras
significativas. Comenta el resultado.
1
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE POTENCIAS Y RADICALES
Opera y expresa el resultado en función de los factores primos
3
 
4
3
2
 
7

 8 


 5 
3
4

 1 


 13 

 13 


 4 

4 2 .4 3 
 1 
:

 3 
2
0
4
1 1 1
  .  .  
2 2 2
(  3) 2 .(3) 4 .(  3) 5 
1

2
4
 1 


 3 
2
9
3
 
2

2
3 4
  . 
4 3
3
2
3
.  
4
7
2
 3    4 

 :

 4    3 
6
3
:  
2
 3 
:

 4 
3

. 


3
 (0, 3) 2 
3

a)
8
1

2 2 


 4

   5    
   


2

Opera y expresa el resultado lo más simplificado posible
256 
(81 / 16)
(32)
 (0,1)  3 
0 ,2
 256 
8
3 / 4

(16 / 9)


 16 
2
8

2
1 / 2

3
(0, 036)


3
27

2
1/ 2
8 


16
(0, 64)
 16 
3 / 4


 0 ,5
 16 
Opera y simplifica las siguientes sumas de radicales:
20  5. 3  3. 5  2. 75
50
5

18

3
24  150 
3
2. 7  12  5. 3 
72
27
4
3
32 
216 
56  5 3 189  2 3 875 
3
200
2401

2
5
. 75 
63
108
3
6
4
4 12  3 125 
500 
. 3 64 
3
. 3 16 
3
2
2
300
4 32  3 128  2 512  1024
Opera y simplifica los siguientes productos de radicales:
2
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
3
4
a . a .6 a
3
25. 5 5. 4 125
3
4. 2.4 8
6 . 3 18. 4 12
3
10 . 5 20 . 4 40
3
15. 5. 4 27
3
2. 8. 4 32
3
a .b  c
5
3
3



3
a. a . 4 a
4
3
8. 4 . 4 32
1
5.
.
5
1
.
5
1
4 3
12
125 625 5 25
2. 4
5

16 

1
3
3
16
5
5
2
.
2
2
.4
3
2
Racionaliza:
10
2
3. 5
11
2
2
4
2
2
3 22 3
2
3
2
3
3
2
1
4
5
2
8
3
100
3
57
5
10  1
10 
5
3 52 3
22 3
3 52 2
4 32 5
2 33 2
3 52 2
3
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE LOGARITMOS
a)
Halla N en las siguientes igualdades:
Log N = 2 ;
4
Log N = 0 ; Log N = - 5 ;
7
Log N = 1 ;
6
Log
N=3;
Log
Log
Log 27 ;
3
Log
N=3
2
Log
Log
Log N = – 4 ;
2
N = 1/2 ;
36
2;
Log 1000
4
3 ;
Log
27
8;
Log
3
0´2 ;
32 ;
2
Log 1 ;
Log
1/4 ;
1/2
5
Halla el valor de la base, a , en las siguientes igualdades:
Log 64 = 2 ;
a
Log
Log 9 = 4 ;
a
8=3;
Log 1 000 = 3;
a
a
Log 125 = 3 ;
A
Log 3 = 27 ;
a
Log
0´2 = – 1 ;
Log 16 = 4;
a
Log (1 / 27) = – 3 ;
a
a
Sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0,4771, hallar:
log 12 ;
log √ 0,32
e)
7 ;
49
Log 9 ;
3
d)
Log
Calcula los logaritmos que se indican:
Log 25 ;
5
c)
N=2 ;
5
Log N = –2 ;
5
Log N = 3 ;
3
b)
Log
1/2
Log N = 3 ;
log 0,4
log
log 27
√ 36
log
5
√5
log 125
log 7,2
Resuelve, aplicando las propiedades operativas de logaritmos:
2000 3000
3
.2
x= -------------------2200
7
200
300
7
.9
x= -------------------220
12
700
300
3
.5
x= -------------------450
8
4
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
PROBLEMAS DE PORCENTAJES
1)
En Matemáticas han aprobado 2 de cada 5 alumnos, en Latín 3 de cada 8, y en
Economía 4 de cada 9. ¿Dónde han aprobado más, porcentualmente?.
2)
El valor de una vivienda de tipo medio subió un 7,5 % en el último año. ¿Cuál
es el índice de variación?.¿Cuánto costará ahora una vivienda que hace un año su precio
era de 120.000 €?.
3)
Un ordenador costaba hace un año 750 €. Ahora sabemos que vale un 20 %
menos. Hallar el índice de variación y lo que cuesta ahora.
4)
Un pendriver, un apartamento y una lavadora valían hace un año 50 €, 100.000
€ y 300 € respectivamente. Ahora valen un 30% menos, un 10% más y un 15% menos
respectivamente. Hallar los índices de variación y el precio actual.
5)
A finales de 2003 un piso costaba 180.000 €. En 2004 su valor aumentó un
12%, en 2005 un 10% y en 2006 un 8,5 %. Hallar el valor del piso a principios de 2007.
6)
Un coche nos ha costado 18.000 €. Nos dicen que en este último año ha subido
un 5%. ¿Cuánto nos habría costado de haberlo comprado hace un año?.
7)
Un ordenador nos ha costado 1.000 €. Nos dicen que en este último año han
bajado un 15%. ¿Cuánto nos habría costado de haberlo comprado hace un año?.
8)
He obtenido 12.000 € al vender una plaza de garaje que compré hace un año.
Su precio ha aumentado en un 10%, pero he tenido que pagar a Haciendo un 10% de su
valor de venta. ¿Por cuánto dinero compré la plaza de garaje?.
9)
He obtenido 2.000 € al vender un coche de segunda mano que compré hace
un año. Su precio ha aumentado en un 8%, pero he tenido que pagar a Haciendo un 4%
de su valor de venta. ¿Por cuánto dinero compré el coche?.
10)
Un vestido de novia, a lo largo del año sufre las siguientes variaciones en su
precio: En Marzo sube un 10%, en Mayo sube un 15%, en Agosto baja un 8% y en
Noviembre baja un 12%. ¿Qué me costó en Enero si ahora (Diciembre) vale 2.000 €?.
11)
El PVP de un ordenador es de 600 €. Al comprarlo nos hacen un 20% de
descuento. Pero al pedir la factura nos aplican un 18% de IVA. ¿Cuál es el índice de
variación global?. ¿Qué pagamos finalmente por el ordenador?. ¿Cuál sería su PVP, si en
idénticas condiciones de descuento e IVA hubiésemos abonado finalmente 600 € por el?.
12)
El PVP de un pantalón marcaba 60 € en enero. En marzo disminuyó un 20%.
En julio aumentó un 15%. Al comprarlo en agosto tenemos que pagar un 21 % de IVA.
¿Cuál es el índice de variación global?. ¿Qué pagamos finalmente por el pantalón?.
¿Cuál sería su PVP, si en idénticas condiciones hubiésemos abonado finalmente 50 € por
el?
13)
El precio de un artículo deportivo subió un 15% en el segundo trimestre del año,
bajó un 7% en el tercer trimestre y volvió a subir un 4% en este último trimestre. ¿Cuál es
el índice de variación global?. ¿Qué valía en enero dicho artículo si ahora vale 100 €?.
-5-
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE INTERÉS COMPUESTO.
1)
¿Qué cantidad hay que ingresar en un banco para que al cabo de 5 años tener
un capital total de 30.000 euros, si el interés anual que nos dan es del 4,80 % ?.
1b)
¿Y si los intereses producidos se acumulan trimestralmente al capital?
2)
¿Qué cantidad hay que ingresar en un banco para que al cabo de 15 años tener
un capital total de 150 000 euros, si el interés anual que nos dan es del 3,60 % ?.
2b)
¿Y si los intereses producidos se acumulan trimestralmente al capital?
3)
¿Qué cantidad tendremos al cabo de 10 años de ingresar en un banco 600 € en
una cuenta fija si el interés anual que nos dan es del 4,80 %?.
3b)
¿Y si los intereses producidos se acumulan trimestralmente al capital?
4.¿Qué cantidad tendremos si depositamos en una entidad financiera 100 000 €
durante 7 años si el interés anual fijo que nos dan es del 3,60 %?.
4b)
¿Y si los intereses producidos se acumulan trimestralmente al capital?
5)
¿Qué interés nominal anual nos está ofreciendo un banco si al cabo de 6 años de
depositar 20.000 € tenemos un total de 25 000 €?
5b)
¿Y si los intereses producidos se acumulan trimestralmente al capital?
6)
¿Qué interés nominal anual nos está ofreciendo un banco si al cabo de 10 años
de depositar 2 000 000 € tenemos el doble?
6b)
¿Y si los intereses producidos se acumulan trimestralmente al capital?
7)
¿Qué tiempo debemos tener depositado un capital de 30 000 euros a un interés
nominal anual del 2,4 %, para obtener un total de 36 000 €?
7b)
¿Y si los intereses producidos se acumulan trimestralmente al capital?
8)
¿Qué tiempo debemos tener depositado un capital de 50 000 euros a un interés
nominal anual del 3,6 %, para que se nos duplique lo invertido?
8b)
¿Y si los intereses producidos se acumulan trimestralmente al capital?
Nota: Lo normal es que los intereses producidos nos los abonen trimestralmente.
En ese caso el interés real que nos dan se llama TAE y es algo mayor que r.
-6-
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE PRODUCTOS NOTABLES
a)
Completa los siguientes productos notables:
x2 – _____+ 25 =
x2 + _____+ 16 =
(3 + x).( _ – _ ) = 9 – x2
9 – _____ + 4x2 =
__ – 6x + 1
(x + 4 ).( _ – _ ) = 16 – x2
b)
=
Desarrolla los siguientes productos notables:
(x+5)2 =
( 2x - y ) 2 =
(3+y).(3–y)=
(x+4)3 =
( 5 - 2y ) 3 =
( 3x + √5 ) 2 =
( x/2 – 2/x ) 2 =
( √3 + y ) . ( y – √3 ) =
(-x+5)3 =
( - 2a - b ) 2 =
( - 3 + a/2 ) . ( - 3 – a/2 ) =
(5–x+y)2 =
( – a/4 – 2/a ) 2 =
c)
( 1/x – 5) 3 =
( 3 + x – √5 ) 2 =
( √3 + √5 ) . (√5 – √3 ) =
Deduce el binomio que da lugar a los desarrollos siguientes
x2 - 8.x + 16 =
25 + 10.a + a2 =
9 - 4.x2 =
x4 – 14.x2 + 49 =
5 – a2.b4 =
32.x + x2 + 16 =
– 25 – y2 + 10.x =
– 3 – 2.√3.x – x2 =
25 – x2 – 10.x =
5 + 2.√5.a + a2 =
49 – x2 / 4 =
x4 + 12.x2 + 36 =
a4.b4 – 4 =
x + (x2 / 4) + 1 =
– 1 – y2 + 2.y =
x4 – x3 + x2 – x =
-7-
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE DIVISIONES ALGEBRAICAS
a)
Realiza las divisiones siguientes, indicando el cociente y hallando el valor del
parámetro para que las mismas sean exactas.
2.-
(x4 + 9.x2 – a) : ( x2 – 7)
3.-
(x3 + a.x – 3) : ( x + 1)
4.-
(x3 + 5.x2 – a) : ( 1 – x )
6.-
(2.x3 + 2.x – a) : (2.x + 1)
7.-
(x4 – a) : ( 2x + 7)
b)
Mediante la Regla de Ruffini, realiza las siguientes divisiones, indicando
previamente si se puede o no y la razón de ello.
1.-
(x3 + 2.x – 4) : ( x – 2)
2.-
(x4 + 9.x2 – 1) : ( x + 1)
3.-
(x3 + 5.x – 3) : ( 3 – x)
4.-
(x3 + x2 – 2) : ( x – 1 )
c)
Hallar el valor de los parámetros para que se cumplan las condiciones indicadas:
1.-
En P ( x )  x  x  a . x  b . x , que (x – 2) y (x + 1) sean dos factores de P(x).
2.-
En
4
3
2
4
3
2
P ( x)  x  x  4 x  4 x  a
3.4.-
, que x = – 1 sea una raíz de P(x).
En P ( x )  x  ax  b , que x = 1 sea una raíz y (x + 3) un factor de P(x).
3
2
En P ( x )  2 x  ax  bx  4 , que (2.x – 1) sea un divisor y x = 2 sea una raíz.
4
2
Factorizar los siguientes polinomios, siguiendo los siguientes pasos:
3)
P(x) = x – x2
– 2.x3
4)
P(x) = x5 – 4 x3
5)
P(x) = x3 + 7.x – 7.x2 + 15
7)
P(x) = 4.x4 – 9.x2
8)
P(x) = x3 – 2.x2 + 7
9)
P(x) = 2.x3 + 7.x2 – 3.x
10)
P(x) = 3.x3 – x2 + 3.x – 1
11
P(x) = x3 – 1'5.x2 – 4'5.x + 5
12)
P(x) = x4 – 2.x3 – x2 + 2.x
14)
P(x) = x3 – 7.x2 – 9.x + 63
17)
P(x) = (9 – x4 ).(x4 – x2 )
19)
P(x) = x3 + 7.x2 + 11.x + 5
20)
P(x) = x3 – 6 x2 + 12 x – 8
21)
P(x) = x3 – 2.x2 + x
22)
P(x) = x3 – 5.x2 + 6.x
8
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Opera y simplifica:
1.-
8.x+y
x -y
4. x2
-------- - --------- - -----------x-y
x+y
x2 - y2
1
2.x
1
(------- + -------- ) (---- - 1)
1+ x 1 - x2
x
2.1
1
1
(---- - x)(---- + x)(------- - 1)
x
x
x+1
9.x2 - 6x +9
x3 - 27
---------------- : ---------x3 - x2
x2 - 1
3.x
x
(1 + -------- ).(1 - --------- )
1-x
1+x
4.x2 + 2.x.y +y2
x4 - y4
-------------------- . ---------x2 - y2
x2 + y2
13.3
5.x
2
------- - -------------- - --------x +3
x2 + x - 6
2-x
5.x
x
x
-------- - ---------- - ---------------x-2
x-1
x2 - 3.x +2
6.(x2 -9).( x2 - 2.x +1).(x - 3)
---------------------------------------(x2 - 6.x + 9).( x2 - 1).(x - 1)
7.(x2 +1) - (x2 - 1)
x2 - 4
------------------------- . ---------2. x2 - 4x
2
9
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
ECUACIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO
Halla el valor de x que cumple las ecuaciones:
1. x + 3 = 3.x
2. 2.x - 4 = 5 –x
3. 2 - 3.x+ 4 (3-x) = 5.x - 3
4. 3 - 2.x - ( 3x +2.[4 -x] ) = 2.x – 1
5. 3 - (2.x - ( 3x +2))= ((4 -x).3 - (2.x -1)
6. (3 - 2.x).( 3x +2 -x ) = (2.x - 1).(- 3x)
7. 3 - {2.x - [ 3x +2( 3 - 2x)- 2]}= 0
8. (3 - 2.x)+( 3x +2 -x ) - [(2.x - 1) -(- 3x+5) + 2] - 3 + x = 0
2 - 3.x
11.
--------- = 3
4
5.x – 3
---------- + x = 4
2
9.
2.x - 4
--------- = x
2
10.
12.
3 - 2.x
--------- = 4
2 - 3.x
13.
1 + (2 / x)
-------------- = 2
3
14.
2.x - 1
4.x - --------- = 2
3
15.
x + 4
--------- = x
2
16.
2x+3
--------- = 3
4
17.
5–3x
------------ + x = 4
2
18.
3+x
--------- = 4
2-x
19.
20.
2.x – 1
x + ------------ = 2
3
1 - x
------------ = 2.x
3
- 10 -
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS ECUACIONES CUADRÁTICAS (2º GRADO)
a)
Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas de 2º grado:
1)
x2 – 4 = 0
2)
x2 – 49 = 0
3)
x2 + 9 = 0
4)
x2 – 4.x = 0
5)
x2 + 7x = 0
6)
x2 + a.x = 0
7)
x2 – 2.x + 1= 0
8)
x2 + 3.x + 2 = 0
9)
x2 – 5.x +6 = 0
10)
x2 – 2.x + 7= 0
11)
x2 + 7.x + 10 = 0
12)
x2 + 2.x + 1=0
13)
12
2 + ------- = x + 3
x-3
14)
x
x+1
13
-------- + --------- = -----x+1
x
6
15)
2.x – 1
x–7
3.x – 1
----------- – -------- = 4 – --------x+1
x–1
x+2
b)
Forma las ecuaciones de 2º grado cuyas raíces son:
1)
{ - 3, 1 } 2)
{-√5 , √5}
5)
{ - 3, 5 } 6)
{-5,7}
c)
Hallar el valor de ‘m’ para que se cumplan las condiciones dadas:
1)
x2 – m.x + 8= 0 , donde una raíz es doble que la otra.
2)
x2 + 12.x + m= 0 , donde una raíz es triple que la otra.
3)
m. x2 + 7.x + 10 = 0 , donde una raíz son los 2 / 5 de la otra.
4)
m. x2 + 3.x + 2.m.x – 16 = 0 , donde una raíz es doble que la otra.
3)
3.x – 4
4.x + 1
---------- = ----------5.x – 16 6.x – 11
16)
{ √2 , √3}
7)
4)
{2 , - 3}
{ √2 , 3}
8) {2 , - 3}
- 11 -
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
ECUACIONES BICUADRADAS
1)
x4 - 29. x2 + 100 = 0
2)
x4 + 21. x2 - 100 = 0
3)
x4 - [12 / (x2 +1)] = 0
4)
9. x4 + 16 = 40. x2
5)
x4 - 8. x2 - 9 = 0
6)
34 – x2 = 225 / x2
7)
x4 - 7. x2 + 12 = 0
8)
x4 - 13. x2 + 36 =0
9)
x4 - (5/4). x2 + (1/4) = 0
10)
x2 .(2.x -5 ) / (x + 1) = 9.(1 - x) / (2x + 5)
11)
[8 / (x2 - 5)] – 2 = (x +3).(x - 3) / (x2 - 1)
12)
[42 / (x2 - 4)] + 1 = 21 / (x2 - 18)
13)
x6 - 9. x3 + 8 = 0
14)
x8 – 81. x4 = 0
- 12 -
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE ECUACIONES CON RADICALES
a)
Resuelve y comprueba:
4√x – 3 = 0
2√(x + 4) = √(5x + 4)
√(5 – x) – 2 = 0
√(x + 4) = x – √(x – 1)
√x = 5√3
√(3x + 4) + √(2x + 1) = 7
√(3.x – 2 ) – 4 = 0
√(3.x + 2) – √(2.x + 7) = 0
√(7 – 3x) – x = 7
√x – √(x – 1) = 1
√(x – 3) + 5 = x
√(x + 4) – √(x – 1) = 1
3.√(6x +1) – 5 = 2.x
√(x + 5) = 5 – √x
√(x + 5) + 4 = x + 3
√x – √(x – 4) = 2
3
√(3.x2 – 2) = 2x – 1
√(2x – 1) + √(x + 4) = 0
√(3x + 4) + 2x + 1 = 7
x+1
1
– ------- + √x + -------- = 0
2
√x
√(x + 4) - x = – 2
√ (2.x + 5) + √ (x + 7) = 6
4.x + 10
------------------- = √ (2.x + 5) + √ (x + 7)
√ (x + 7)
Nota: La raíz abarca el contenido del paréntesis que la sigue.
- 13 -
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS FRACCIONES ALGEBRAICAS
Opera y simplifica:
1)
x2 – 3x
--------- =
x2 + 3x
2)
x2 – 3x
--------- =
3–x
3)
x2 + x – 2
----------------- =
x3 – x2 – x + 1
4)
x2 – 5x + 6
--------------- =
x2 – 7x + 12
5)
x2 – 2x – 3
---------------- =
x2 – x – 2
6)
x3 – 19x – 30
-------------------- =
x3 – 3x2 – 10x
7)
1
2x
1
-------- + -------- – -------- =
x + 1 x2 – 1 x – 1
8)
x+2
1
--------- – -------- =
x2 – 1
x–1
EJERCICIOS ECUACIONES IRRACIONALES
Resuelve las siguientes ecuaciones IRRACIONALES:
1)
12
2 + ------- = x + 3
x-3
2)
x
x+1
13
-------- + --------- = -----x+1
x
6
3)
2.x – 1
x–7
3.x – 1
----------- – -------- = 4 – --------x+1
x–1
x+2
5)
10
1
10
------- + ------- = ----------x+4
x-4
x2 – 16
7)
x–3
x–1
5
------- - -------- = -------x–1
x
x – x2
4)
6)
8)
3.x – 4
4.x + 1
---------- = ----------5.x – 16 6.x – 11
3
3
- 24
------- - -------- = -------x +1
1-x
1 - x2
x–3
x2 + 6
x+3
--------- – ------------- – ---------- = 0
2.x + 6
6.x2 – 54
3.x – 9
EJERCICIOS DE ECUACIONES LOGARITMICAS
e)
Resuelve las ecuaciones:
log (x –1) – log x = log 2
log x = log 3 - log ( x + 1)
log (x+1) = 1 – log ( x – 1)
log x + log 3 = log ( 2.x –1 ) + log 5
- 14 -
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
ECUACIONES EXPONENCIALES
a)
Resuelve las ecuaciones:
1)
x x
2 .3 = 12 . 18
3)
2x+3
4
5)
2x+5
x+2
2.x+1
4
2x-1
=1/ 2
2
=2.9
x+1
=8
8)
5
x+1
(2 / 7) = 3'5
2)
x
x
4 - 5.2 + 4 = 0
Resuelve las ecuaciones:
1)
2.(x+1)
3
3)
x
- 28.3 + 3 = 0
2x+3
x+1
7
5)
- 8.7
x+1
4
c)
6)
=1
2
x2 - 11.x+30
6
x2 - 5.x+6
7)
x x-1
4. 5
= 1600
4)
=2
5
b)
2)
4)
x
x+2
9 - 2.3
+ 81 = 0
6)
x
x
4 - 5.2 + 4 = 0
2)
x
-x
- 3x
2 - 5.2 + 4.2
=0
4)
x
+1=0
x+3
+ 2
– 320 = 0
Resuelve las ecuaciones:
1)
1–x
x
16
3)
x
3
5)
+ 16
x -1
+ (1 / 3
)
x
5
– 10 = 0
+5
=4
x-1 x-2
+5
= 31
3
6)
1–x
+3
x -1
3
=4
x-1
+3
x+1
+3
= 117
- 15 -
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
a)
Resuelve analítica y gráficamente los siguientes sistemas, aplicando el Método
de Igualación:
1)
x + 3.y = 4
3x - y = 2
2)
x + 3.y = - 8
3x - 4y = 15
3)
2.x + 3.y = 12
3x - 4y = 1
b)
Resuelve los sistemas, aplicando el método que desees:
1)
x + 2.y = 11
2.x - y = 2
2)
3.x - 4.y = - 9
2.x + y = 5
4)
10.( x – 2 ) + y = 1
2.x - y = 2
5)
3.(x + 4) = 2.( 2.y + 3 )
6.x - 4 = 4.y - 4
c)
Resuelve los sistemas:
1)
x2 + y2 = 290
x + y = 24
2)
x2 + y2 = 9
2.x + y = 3
3)
x2 + y2 = 13
y + 3 = 3.x
4)
x2 - 2.y2 = 0
y+5
= 3.x
5)
x2 + 3.x.y = 22
x+y
=5
6)
x2 - x.y+ y2 = 7
y+x
=5
7)
x2 + 2.x + y2 = 25
x2 + y2
= 17
8)
3)
x-(y+1)=3
y+(x+3)=4
x2 - 2.x.y = y2 - 17
x2 - y2 = 7
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA
101.- La serpiente más grande que he visto tenía una longitud igual a 20 metros más la
mitad de su longitud. Qué longitud tenía?.
102.- Un lingote de oro pesa tres cuartos de kilo más las tres cuartas partes del peso del
lingote. Cuál es su peso ?.
103.- Un libro y su forro nos cuestan 6,6 E. El libro vale 6 E más que el forro. Cuánto vale
el libro y cuánto el forro ?.
104.- En un libro de 200 páginas ,el número de páginas en blanco es la tercera parte de
las páginas escritas .¿Cuántas hay en blanco?.
105.- La suma de cuatro números consecutivos es 42. ¿Cuáles son?
- 16 -
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
106.- Divide 4.000 E en 5 partes, de modo que cada una difiera de la anterior en 50 E .
107.- Un padre tiene 37 años y la suma de las edades de sus tres hijos es 25. ¿Dentro de
cuántos años las edades de los hijos sumarán como la edad del padre ?.
108.- En una cesta hay 81 huevos y el número de malos es mitad del de buenos
¿Cuántos hay de cada clase?.
109.- La suma de tres números enteros consecutivos es 36.¿Cuáles son?
110.- Un tercio de una clase ha suspendido Matemática. Una cuarta parte ha sacado
sobresaliente. Y los 20 alumnos restantes presentan mucha diversidad. ¿Cuántos
alumnos son en clase ?.
111.- La mitad de los árboles de un vergel son manzanos, la cuarta parte perales, y la
sexta parte melocotones. Si hay además 50 cerezos, calcula el número total de árboles.
112.-
Hallar un número cuyo tercio, cuarto y quinto suman 47.
113.Si dos lados de un triángulo miden 3 m y 8 m, entre qué valores estará
comprendido el otro lado?
114.- Cuál es el número cuya mitad más siete, multiplicada por la mitad menos 7 , da por
producto 32 ?.
115.- Compro lápices por valor de 60 €. Si me dieran tres lápices más me saldrían a 1 €
menos cada uno. Cuántos lápices he comprado?
116.- Hallar dos números consecutivos, de modo que la mitad y la quinta parte del primero
sumen lo mismo que el tercio y la cuarta parte del segundo.
117.- En un corral hay conejos y gallinas. Son en total 53 cabezas y 176 patas. Cuántos
conejos y gallinas hay ?.
201.- Se iban a repartir 288.000 E entre varias
personas. Cuatro de ellas rechazan su
parte, con lo cual cada una de las restantes recibe 12.000 € más. ¿Cuántas personas
eran primeramente en el reparto ?.
202.- Al repartir el profesor bolígrafos a los alumnos, corresponden tres a cada uno y
sobran 12. Añade tres más para que les corresponda un bolígrafo más a cada alumno y
no sobra ninguno. Cuántos bolígrafos ha repartido y cuántos alumnos hay ?.
203.- Sabiendo que la suma de las dos cifras de un número es 13 y que dividido por la
cifra de las decenas da 11 de cociente y 3 de resto, hallar el número.
204.- Un depósito tiene dos tubos de abastecimiento. El primero lo llena en 6 horas, los
dos juntos en 3 horas. ¿En cuánto tiempo lo llena el segundo tubo?.
205.- Los 2/5 de la edad de una persona, menos 1/9 de la que tendrá dentro de un año,
es igual a 1/3 de la que tenía hace 5 años. ¿Qué edad tiene dicha persona?.
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
206.Deseamos mezclar café de 1,80 €/kg con café de 2,40 €/kg pare obtener 50 kg
de mezcla a un precio inferior a 2,16 €/kg. Hallar en que intervalo está el número de kg
que podemos mezclar de cada uno.
207.- Los 2/3 de la edad de una persona, menos 1/7 de la que tendrá dentro de 5 años, es
igual a 1/5 de la que tenía hace 5 años. ¿Qué edad tiene ?.
208.- Si encima de cada almendro anida una golondrina, hay siempre una golondrina que
se queda sin almendro. Pero, cuando en cada almendro anidan dos golondrinas, en uno
de los almendros no hay ninguna golondrina. ¿Cuántas golondrinas y almendros hay?.
209.- Un padre tiene el quíntuplo de la edad de su hijo. Dentro de 6 años sólo tendrá el
triplo. Qué edad tienen ahora uno y otro?.
210.Sabiendo que la suma de las dos cifras de un número es 13 y que dividido por
la cifra de las decenas da 11 de cociente y 3 de resto, hallar el número.
211.Varias personas viajan en un coche que han alquilado por 4,15 €. Pero se les
agregan 3 personas más, lo que hace disminuir en 0,23 € lo que debía pagar antes cada
persona. ¿Cuántas personas iban al principio en el coche?.
214.- El producto de tres números impares consecutivos es 1.287. Hallarlos.
215.En una ventana cuadrada hemos sustituido un lado por una semicircunferencia.
En total hemos tenemos 4 metros de marco. Hallar el lado del cuadrado original.
301.Hace 3 años la diferencia de los cuadrados de las edades de dos personas era
de 16; dentro de 10 años, la diferencia de sus edades será una unidad más que la edad
actual del menor. Halla sus edades actuales.
302.Divide al número 20 en dos partes tales que el cuadrado de la mayor exceda al
de la menor en 300.
303.En un cuadrado hemos aumentado el largo en 2 cm y el ancho en 3 cm. ¿En
cuánto se ha incrementado el área del cuadrado original?.
304.- Un depósito tiene tres tubos de abastecimiento. El primero lo llena en 6 horas, el
segundo en 10 horas y los tres juntos en 3 horas. En cuánto tiempo lo llena el tercer
tubo?.
305.63.
Calcular las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 16 m y su área
306.En un rectángulo el perímetro mide 18 cm y la diferencia de los cuadrados de
sus dos dimensiones vale 9. Hallar sus dimensiones.
307- Sabiendo que la suma de las dos cifras de un número es 13 y que dividido por la
cifra de las decenas da 11 de cociente y 3 de resto, hallar el número.
308.La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm, y la suma de las
longitudes de los catetos es 31. Hallar los lados del triángulo.
- 18 -
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
309.Hallar un número positivo cuyo duplo, aumentado en su cuadrado, dé por
resultado el cubo de dicho número.
310.En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el doble de uno de los catetos, y el
área del triángulo vale 123 cm2. Deduce el valor de cada lado del triángulo.
311.Tenemos dos baldosas cuadradas. La diferencia de sus áreas es de 7 cm2 y la
diferencia de sus lados es de 1 cm. Hallar sus dimensiones.
312.Dos depósitos de agua tienen forma cúbica. La arista de uno es 1 dm mayor
que la arista del otro. Sabemos además que en uno de ellos caben 1387 litros más que en
el otro. Deduce algebraicamente las dimensiones.
313.En un departamento comercial el sueldo de una persona es la mitad de los
beneficios que proporcionan a la empresa más la raíz cuadrada de dichos beneficios. Si
un empleado recibe 1200 € un mes, ¿qué beneficios ha aportado a la empresa?.
314En un cuadrado hemos aumentado el largo en 2 cm y el ancho en 3 cm. ¿En
cuánto se ha incrementado el área del cuadrado original?.
315.La media de las edades de Ana, Pedro y Carmen es de 17 años. Carmen es 2
años mayor que Ana. También sabemos que Carmen tiene 1 año más que el cuadrado de
la diferencia de edades entre Pedro y Ana. Deduce algebraicamente las edades de los
tres.
EJERCICIOS DE SISTEMAS LINEALES POR EL MÉTODO DE GAUSS
a)
Resuelve por el método de Gauss los sistemas siguientes:
1)
2 x  3 y  z  1

x  2 y  z 1

3 x  y  2 z  6
4)
2 x  y  1  3z

x  2 y  2  z

3 y  2 z   x  2
2)
x  y  z 1

2 x  3 y  4 z  9

 x  y  z  1
5)
2 x  6  z  3 y

 5 x  2 5 y  1 0(2  z )

 2 y  6  3( z  x )
3)
x  3y  2z  2

3 x  y  z  1

2 x  6 y  4 z  3
6)
2 x  3 y  z  1

x  2y  z 1

3 x  y  6
b)
Resuelve por el método de Gauss los sistemas siguientes, analizando las
soluciones según el valor del parámetro:
1)
x  2 y  z 1

 x  2 z  3
3 x  2 y  m z  1

2)
  x  ky  z  2

2 x  y  2 z  0

 x  3z  2
3)
5 x  1 1 y  9 z  k

x  3y  5z  2

2 x  4 y  2 z  1
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
PROBLEMAS DE SISTEMAS LINEALES
Plantea las ecuaciones y resuelve mediante el método de Gauss
En 1º ESO hay tres grupos de alumnos, A, B y C. Entre los tres suman un total de 66
alumnos. En C hay dos alumnos más que en A, pero dos menos que en B. Calcula el
número de alumnos de cada grupo.
Entre Ana, Bea y Tomás tienen 81 €. Ana tiene 4 € más que Bea. Gastan cada uno de
ellos 5 €, y resulta que el dinero que tiene Tomás es el doble que el que reunen entre Ana
y Bea. ¿Qué dinero tenían cada uno antes del gasto indicado?.
La media de la paga semanal de Ana, Bea y Carlos es de 16 €. La de Ana es cuatro más
que Carlos; las pagas de Ana y Carlos suman el doble de la paga de Bea. ¿Cuál es la
paga de cada uno?.
Cristina sale de compras con 60 €. Si adquiere unos calcetines, el pantalón y la camiseta
deportivas, dejaría en la tienda una deuda de 2 €; si se llevase los calcetines y el pantalón
la sobrarían 29 €; y si comprara el pantalón y la camiseta la sobraría 1 €. Halla lo que
cuesta cada prenda.
En bachillerato hay 60 alumnos, entre rubios, morenos y pelirrojos. Se sabe que entre los
morenos y pelirrojos duplican el número de alumnos rubios. También se sabe que los
rubios y el doble de los morenos son el doble de los pelirrojos. ¿Cuál es el número de
alumnos rubios, morenos y pelirrojos?
6.Miriam ha realizado tres controles de matemáticas y la nota media de los tres
ha sido 8,5. Si la nota media de los dos primeros es 8, y la nota media de los dos últimos
es 9, halla la calificación de cada uno de los controles.
7.En 3º ESO hay tres grupos de alumnos, A, B y C. Entre los tres suman un total
de 80 alumnos. En A hay un alumno más que en B. En una determinada actividad se les
suman a cada grupo 22 alumnos, resultando entonces que los alumnos del grupo B son el
doble que los del grupo C. ¿Cuántos alumnos había inicialmente en cada grupo?.
8.En un triángulo sabemos que su perímetro es de 24 cm. El menor de los lados mide
el triple de la diferencia de los otros dos. El lado mayor es cuatro unidades más pequeño
que la suma de los otros dos. ¿Cuánto mide cada lado?
9.Entre Diana, Laura y Pedro suman 17 €. Pedro tiene 6 € menos que Diana; y ésta
tiene 4 € más que Laura. ¿Qué dinero tiene cada uno?.
10.- Una empresa, A, ha obtenido un beneficio de 4 millones de € menos que otra
empresa, B. Una tercera empresa, C, ha obtenido 1,5 millones de € más que A. Entre las
tres han obtenido unos beneficios de 16 millones de €. Plantea algebraicamente la
situación y resuelve, hallando el beneficio obtenido de cada empresa.
Recopilación y adaptación: Angel Prieto Benito, @ apbweb.es
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE LOGARITMICOS
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
x y

 25 3
5
 x y
 25

5
b)
y
x

 3  3  36
 x y
 243

3
 2 2 x  2 2 y  85
 2( x y )
 324
 2
Resuelve las ecuaciones logarítmicas:
2 log(7 x  9)  log(3 x  4) 2  2
log(25  x 3 )  3 log(4  x )  0
log(3 x  1)  log(2 x  3)  1  log 25
log x 3  log 6  log x
log(16  x 2 )
log(3 x  4)
2
2 log x  log( x  6)  2
Recopilación y adaptación: Angel Prieto Benito, @ apbweb.es
- 21 -
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES
a)
Soluciona estas inecuaciones y escribe tres soluciones posibles:
1)
4)
5x - 9  3x + 5
3 + x  4 + 5x
7)
9)
11 - 2 (x + 3)  2 (1 + x)
5x – (10 - 2x)  -3x + 2 +4x
b)
Soluciona estas inecuaciones que se te proponen:
14 x  14
1)
4)
3x  4
3x  1
2)
5)
 2
2)
3
5)
x
2x + 7  12 - 3x
-3x + 8  4 + 3x
8)
10)
x
x3
x 1
3)
6)
10 - 4x  7 – 6x
2x - 1  x + 5
20 + 5 (1 - x)  2x - 3 (x-2)
2 (3x - 5) - x  10 + 3 (4x - 6)
4
3)
23
6)
2x 1
x2
x  3
x 1
23
2
x
c)
Resuelve las siguientes inecuaciones de 2º grado:
1)
4)
7)
x2 – 9 > 0
4.x – x2 ≥ 0
x2 – 5.x > – 6
d)
Resuelve las siguientes inecuaciones de 3º grado:
1)
4)
x3 - 27 > 0
x3 - 4.x ≥ 0
e)
Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
1)
5x - 9  3x + 5
16 + x  4 + 5x
2)
5)
8)
2)
5)
x2 – 25 ≤ 0
x2 + 5.x ≤ 0
x2 + 7.x + 10 ≥ 0
x3 - 36.x ≤ 0
x3 + 8 ≤ 0
2)
3)
6)
3)
6)
9)
0
x2 + 9 < 0
x2 – 2.x + 1 ≥ 0
2.x2 + 5.x + 2 ≥ 0
x3 + 9. x2 < 0
x3 - 8 > 0
2x + 7  12 - 3x
-3x + 8  4 + 3x
Recopilación y adaptación: Angel Prieto Benito, @ apbweb.es
3)
10 - 2x  7 – 3x
4x - 2  2x + 10
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
PROBLEMAS DE INECUACIONES
1.2.3.-
Lee detenidamente los enunciados.
Plantear las ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Resuelve el problema y verifica las soluciones
1) Halla un número natural sabiendo que los dos tercios del mismo es menor que 4 y sus
cuatro quintos son mayores que 1.
2) Las edades de 2 hermanos difieren en 7 años. ¿Cuáles pueden ser si su suma es
menor que 20?
3) Halla dos números cuya suma es 8 sabiendo que el primero es menor que el doble del
segundo.
4) Halla los posibles valores del precio de un litro de vino, sabiendo que el triple más 14
es menor que 200, y que el doble del mismo más 6 es mayor que 100.
5) En una caja hay tornillos defectuosos y no defectuosos. Sabemos que en total hay 200
tornillos; y que el doble de defectuosos es menor que el número de no defectuosos.
¿Cuántos tornillos defectuosos puede tener la caja?
6) Entre los 40 alumnos de una clase se ha efectuado una encuesta sobre el sabor de los
helados y resulta que el doble de los que les gusta el chocolate es menor que el triple de
los que les gusta la fresa. Hay 5 que aseguran no gustarles el helado. ¿Cuántos hay
como mínimo que les gusta el sabor a fresa?
7) En una clase hay en total 40 alumnos. En un examen de Matemáticas resulta que el
triple de aprobados es mayor que el doble de suspensos. ¿Cuál es el menor número de
aprobados posible?
8) Se sabe que una fotocopiadora produce una copia al precio de 5 céntimos de euro. Si
se utiliza una multicopista, es preciso grabar un cliché electrónico que cuesta 57 céntimos
de euro, saliendo entonces cada copia al precio de 1 céntimo. ¿A partir de qué número de
copias resulta rentable el uso de la multicopista?
9) Apolo, el más bello de los dioses, fue el más infortunado en sus amores. Baste citar,
como ejemplo, el caso de la ninfa Dafne, perseguida durante x meses al cabo de los
cuales prefirió ser convertida en laurel, antes de desposarse con el dios. Hallar x sabiendo
que su doble disminuido en 10 es mayor que 13, y que su triple disminuido en 5 es menor
que su doble aumentado en 8.
10)
Un padre tiene 33 años más que su hijo y el abuelo 33 años más que el padre.
Hace tres años, sus edades sumaban menos de un siglo. ¿Qué edad puede tener cada
uno?
11)
Un alumno ha realizado dos exámenes de Matemáticas obteniendo
calificaciones respectivas de 4,5 y 5,7 puntos. ¿Cuánto ha de sacar como mínimo en el
tercero para aprobar, si la nota final es la media aritmética de las tres notas? ¿Y si el
primer examen cuenta un 15%, el segundo un 35% y el tercero un 50%?
Recopilación y adaptación: Angel Prieto Benito, @ apbweb.es
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
12)
Entre los triángulos isósceles de lado desigual igual a 20 cm., ¿cuáles tienen
perímetro inferior a 200 cm.?
13)
Hallar el número de personas que trabajan en una oficina, si al tomar
vacaciones la cuarta parte de los oficinistas quedan menos de 18 personas trabajando, y
si hacen vacaciones la tercera parte, los que quedan trabajando son más de 14.
14)
Deseamos mezclar café de 1,8 E/kg con café de 2,4 E/kg para obtener 50 kg de
mezcla a un precio inferior a 2,16 E/kg. Hallar en que intervalo está el número de kg que
podemos mezclar de cada uno.
15)
Una cooperativa decide comprar el doble de camiones que de tractores, pero no
desea gastar más de 144.000 euros. Si cada tractor vale 15.000 euros y cada camión
9.000 euros, ¿cuál es el número máximo de tractores que puede comprar?
16)
Pedro tiene el triple de edad que Juan y Luis la mitad que Juan. Entre todos
tienen menos de 12 años. Sumando la edad del que tiene más con la edad del que tiene
menos, salen más de 6 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
17)
Ayer fui a comprar 14 disquetes de ordenador y pagué algo más de 4,5 euros.
Hoy he vuelto a comprar otros 20 , cada uno costaba 1 céntimo de euro menos que ayer,
di 6,5 euros y dejé la vuelta de propina. ¿Cuánto costaba ayer cada uno ?.
18)
Si dos lados de un triángulo miden 3 m y 8 m, ¿entre qué valores estará
comprendido el otro lado?
19)
Un jefe de taller dispone de 1.380 € para dar una gratificación a sus empleados.
Si la gratificación es de 300 € le falta dinero, pero si la gratificación es de 200 € le sobran
más de 350 €. ¿Cuántos empleados tiene?
20)
Multiplicando por 2 el dinero que tengo en el bolso derecho me da 2 € menos
que lo que tengo en el bolso izquierdo. Si en total tengo menos de 5 €, ¿ qué cantidad de
dinero tengo en cada bolso?.
Recopilación y adaptación: Angel Prieto Benito, @ apbweb.es
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