Breve resumen de la metodología de Box Jenkins

Breve resumen de la metodología de Box Jenkins
0. Introducción.
Las series no estacionarias anuales se pueden conseguir que lo sean mediante
sencillas transformación (toma de logaritmos, diferenciación...)
Los correlogramas simples se obtendrán a partir de (ρ1, ρ2, ρ3 ...) o bien sus
estimaciones.
Los coeficientes de correlación simple miden la influencia directa e indirecta entre
valores que tienen un periodo k de desfase
Los correlogramas parcial miden la influencia directa es decir suponiendo que
permanecen constantes los periodos intermedios.
Se obtienen teniendo en cuenta:
ˆ1  1
Y el resto los valores de 2 ,3 ... de las ecuaciones de Yule Walter para AR(2)
AR(3) ... y así sucesivamente.
Hacer ejemplos de escribir modelos ARIMA(3,1,1) ARIMA(1,2,1) ARIMA(0,2,2)
de dos formas
Es un procedimiento iterativo basado en 3 etapas:
1. Identificación.
Una vez que se tiene una serie estacionaria y en caso de la original no serlo se ha
conseguido por diversos procedimientos (toma de logaritmos, diferenciación ...). Es
decir la serie no presenta ni una tendencia y las oscilaciones son regulares,
procederemos a ver que tipo de modelo la genera.
Para lo cual nos basaremos en los correlogramas simples y parciales y ver
cuando se anulan dichos coeficientes.
Correlograma simple
Decrece rápidamente
AR
MA
Se anula a partir de los
primeros q retardos.
Para contrastar la nulidad de los i utilizaremos
Correlograma parcial
Se anula a partir de los
primeros p retardos.
Decrece rápidamente.
T ˆ i  1,96
para un nivel de
significación del 5%.
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Ya que ˆ i  
p
 

 1  2  ˆ i2  



j 1

N  0, 

T






La identificación de los procesos ARMA es más compleja y solo diremos
comentaremos que ambos correlogramas presentan por lo general procesos rápidos
decrecientes.
2. Estimación.
Una vez que el modelo se tiene identificado, será necesaria la estimación de los
coeficientes y de la constante si da lugar. Entre otros procedimientos esto se puede
realizar por: Mínimo cuadrados ordinarios (OLS) y Máxima verosimilitud (MLE).
3. Contrastes.
Veremos 3 tipos de contrastes basados en la función de verosimilitud:
a) Ratio de verosimilitud (Likehood Ratio test, LR)
b) Test de Wald (W)
c) Multiplicador de Lagrange (LM)
Planteando H0: RΨ = r
Donde R es una matriz (mxn) siendo m el número de restricciones y n el
número parámetros del modelo.
Así por ejemplo si queremos comparar un ARMA (2,1) con un AR(2)
Plantearemos H0= 1  0
O bien un ARMA(2;2) con un MA(2)
Plantearemos H0= 1  2  0
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Existiendo los tres estadísticos siguientes
LR  2log L(~)  log L(~0 )
T
W  ~ ~0  I (~)~ ~0 
T


  log L 
  log L 
LM  
I (~0 ) 1 


  
  
Que se ditribuyen todos como  m2
Las funciones ~ sin restricciones ~0
con retricciones
gráficamente
Las principales limitaciones de estos contrastes:
1- Los modelos deben de estar anidados AR(3) AR(1) o bien ARMA(2,2) con
ARMA(2,1).
2- No admiten restricciones que afecten a ambas partes es decir no se puede
comparar ARMA(1,1) con ARMA(2,2)
4. Diagnosis (diagnostic cheking).
Esta fase consistirá en comprobar que los residuos se comportan como ruidos
blancos y distribución normal.
- Comprobar que es ruido blanco
Una primera impresión la podemos tomar de la simple representación de la serie
de residuos y ver que esta no tiene ni tendencia creciente ni decreciente y las
oscilaciones son regulares sin fuertes cambios.
Entre los test más utilizados para comprobar que son ruido blanco citaremos:
a) Test de coeficientes de correlación:
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H0:i0
T ˆ i  1,96
Los coeficientes de correlación ahora citados son los de los
residuos y no las puntuaciones originales del modelo (en todos los contrastes).
b) Von Neuman ratio test
 T
2
   y  yt 1  
T  t 2 t

VNR 
T  1  T y  y 2  Y para contrastar la hipótesis nula de ruido blanco:
  t

 t 1


T
2

2T 

VNR 
  N (0,1)
T
1

Este proceso resulta especialmente util para comprobar si es un AR(1) o no
c) Portmanteu test:
H0:j=0 j=1,2, q
p
Q  T  ̂ 2j
j 1
Y para contrastar la hipótesis nula de ruido blanco:
Q   q2
La elección de q es totalmente arbitraria a diferencia del anterior en el que q
era 1. Este contraste que permite realizarse para varios valores de j es
insatisfactorio en muestras pequeñas.
d) Portmanteu test modificado:
H0:j=0 j=1,2, q
p
Q*  T (T  2)  (T  j ) 1 ˆ 2j
j 1
Y para contrastar la hipótesis nula de ruido blanco:
Q*   q2
En donde q sigue siendo un valor arbitrario.
-
Comprobar la normalidad
Podemos realizar el gráfico Normality plot y ver si la distribuciones de
probabilidades de los errores se asemeja.
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Mas rigurosos son los test de asimetría y curtosis.
a) Asimetría:
b1 
T
6
( yt  y )3
 3 t 1 T
1
T

Para contrastarlo usaremos:
b1  N (0,1)
b) Asimetría:
b2 
( yt  y ) 4
 4 t 1 T
1
T

T
24
Para contrastarlo usaremos:
(b2  3)  N (0,1)
c) De forma conjunta
N
T
T
b1  (b2  3)2 Para contrastarlo usaremos:
6
24
N   22
6. Bondad del ajuste.
Los criterios que mencionaremos están basados en las funciones de verosimilitud:
a) AIC (Akaike Information Criterion)
AIC  2 logL~   2n
La L ~  es el valor máximo que adopta la función de verosimilitud y n es el número de
parámetros del modelo.
Eligiendo aquel modelos que tiene AIC más pequeño.
Este criterio tiene el inconveniente de favorecer los modelos con más parámetros.
b) BIC ( Bayesian Informaticon Criterion).
BIC  2 logL~   n logT
T es el tamaño muestral.
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Tomaremos el modelo con BIC más pequeño. Es un criterio ideal para comparar
modelos ARMA.
6. Estacionariedad.
7. Invertibilidad.
8. Algunas notas sobre el planteamiento de modelos
alternativos.
- Si un modelo no cumple las condiciones de estacionalidad una
alternativa es aumentar d en una unidad y disminuir p en una
unidad. Por ejemplo ARIMA(2,0,0) y plantear ARIMA(1,1,0).
- Si los residuos presentan coeficientes de correlación significativos
y esos nos dan idea de un AR o MA aumentar el grado es decir si
un modelo tiene unos correlogramas residuales que sugieren un
AR(2) y hemos planteado MA(1) pues pensar en un ARMA(2,1)
- Cuando el coeficiente de correlación simple de los residuos es
próximo a 1 , probablemente esté sobrediferenciado y por lo tanto
disminuir en 1 el grado de diferencias.
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Ejemplos:
- yt  2  0,26yt 1  0,72yt 2  ut
1  2  0,46
No cumple la estacionariedad en lugar de una
2  1  0,98  1
ARIMA(2,0,0) un ARIMA(1,1,0)
- yt  2  0,3 yt 1  0,1yt 2  ut y n=100
Correlogramas residuos
Simple: -0,35;-0,1;-0,02;0,07;0,09
Parcial: -0,35; -0,29; -0,22; -0,08; 0,06
Tras comprobar que se cumplen las condiciones de invertibilidad y
estacionariedad y como no dispongo de datos para contrastar la significación de
los coeficientes por lo tanto supongo que se cumplen
1
 0,196son significativos 1 ,1 , 2 ,3 Si hacemos la gráfica
100
de los correlogramas de los residuos sugiere un MA(1) entonces podemos pensar
que en vez de un AR(2) sería un ARMA(2,1)
Como 1,96
- (1  L) yt  2 +ut
Correlogramas residuos
Simple: -0,48;-0,16;-0,10;0,08
Parcial: -0,48; -0,44; -0,36; -0,1
Si además de no seguir un correlograma de ruido blanco comprobamos que el
primer coeficiente de correlación es próximo a 0,5 en valor absoluto, podemos
sospechar que la serie está sobre diferenciada y quitar una diferencia.
Esto también suele ocurrir cuando no es invertible.
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