Relación4

MECÁNICA
RELACIÓN 4: Movimiento relativo.
1.- El dueño de un tiovivo recorre un círculo de radio r=10m
mientras recoge los tickets de los niños que están montando en su
atracción. Se sabe que se desplaza con una velocidad v=1m/s y
que tiene una masa m=70kg. Por su parte, el tiovivo gira con una
velocidad angular ω=1rad/s en sentido contrario al
desplazamiento de su propietario. Determina la fuerza que tiene
que soportar éste durante el proceso.
Solución: F = 28 N
2.- El propietario del tiovivo anterior, de masa m=70kg se
encuentra en el centro del tiovivo y se dispone a salir de él. Para
ello avanza siguiendo una dirección radial con una velocidad
v=1m/s. El tiovivo, al igual que en el caso anterior, gira con una
velocidad angular constante de ω=0.1rad/s. Determinar la fuerza
que tiene que soportar el propietario del tiovivo cuando se
encuentra a una distancia del centro de éste de r=10m.
JG
Solución: SRI F = 15, 6525 N
⎧ −mωv(ωt ⋅ cos ωt + 2 ⋅ senωt ) ⎫
JG ⎪
⎪
SRNI F = ⎨ mω v(−ωt ⋅ senωt + 2 ⋅ cos ωt ) ⎬
⎪
⎪
0
⎩
⎭
3.- Un niño que se encuentra montado en el tiovivo anterior,
lanza rodando una pelota hacia sus padres, que se encuentran
esperándole fuera del tiovivo. La pelota se lanza en la dirección
del eje “x” de la figura con una velocidad de v=1m/s. Al igual
que en casos anteriores, el tiovivo gira con una velocidad angular
constante ω=0.1rad/s. Despreciando la resistencia a la rodadura,
determinar la trayectoria que sigue la pelota tras ser lanzada.
⎧vt ⎫
G
⎪ ⎪
Solución: Con SRI r (t ) = ⎨ 0 ⎬
⎪0⎪
⎩ ⎭
⎧ t cos(ωt ) ⎫
JJG
⎪
⎪
Con SRNI rm (t ) = ⎨−tsen(ωt ) ⎬
⎪
⎪
0
⎩
⎭
4.- Los padres del niño del ejercicio anterior pretenden
devolverle la pelota a su hijo. Para ello se sitúan al borde del
tiovivo, que se encuentra a 10m de distancia del centro (donde se
encuentra su hijo). A continuación lanzan la pelota con una
velocidad v=1m/s. El tiovivo sigue girando con velocidad
angular constante ω=0.1rad/s. Si se desprecia la resistencia a la
rodadura, determinar la trayectoria que sigue la pelota tras ser
lanzada.
⎧10 − t ⎫
G
⎪
⎪
Solución: r (t ) = ⎨ t ⎬
⎪
⎪
⎩ 0 ⎭
⎧ ( R − vt ) cos(ωt ) + Rωt ⋅ sen(ωt ) ⎫
JJG
⎪
⎪
rm (t ) = ⎨− ( R − vt ) s en(ωt ) + Rωt ⋅ cos(ωt ) ⎬
⎪
⎪
0
⎩
⎭
5.- Un servicio de limpieza contratado por el propietario del
tiovivo anterior está limpiando el suelo por medio de una
manguera de la cual sale agua con una velocidad “v”. Mientras
se encuentra en el centro del tiovivo se acciona por error la
atracción, poniéndose a girar con una determinada velocidad
angular constante “ω”. Determinar la forma que tendrá el chorro
de agua que sale de la manguera.
⎧ vt´´cos(−ωt´´) ⎫
JJG
⎪
⎪
Solución: rm (t ) = ⎨vt´´sen(−ωt´´) ⎬
⎪
⎪
0
⎩
⎭
6.- El servicio de limpieza del ejercicio anterior sigue limpiando
la atracción, ahora desde el borde del tiovivo. La velocidad a la
que sale el chorro de agua de la manguera sigue siendo “v” y
apunta en dirección al centro del tiovivo. De nuevo la atracción
se pone en movimiento por error, empezando a girar con una
velocidad angular constante “ω”. Determinar la forma que
presentará el chorro de agua que sale de la manguera en estas
condiciones.
Solución: X = ( R − vt´´) cos(ωt´´) + ω Rt´´sen(ωt´´)
Y = ω Rt´´cos(ωt´´) − ( R − vt´´) sen(ωt´´)
7.- Dos alumnos de una autoescuela se encuentran en una pista de
prácticas realizando diversas maniobras. En un momento dado, los
profesores les ordenan dar giros de radio “R”, cada uno en un sentido
de giro distinto. En el punto en el que se encuentran más próximos,
ambos coches están separados por una distancia también de valor “R”,
y el velocímetro de ambos coches marca una velocidad “V0”.
Determinar la velocidad relativa con que un pasajero de uno de los
coches observaría pasar al otro coche en el momento en que los dos se
encuentran en su punto de mayor proximidad.
JJG
G
Solución: v2 = 3V0 ⋅ I
8.- Un caza que vuelve de una misión se dispone a realizar el aterrizaje
en su base, para lo cual mantiene una aceleración (deceleración)
G
G
G
A = −0.2g i − 0.1g z . El tren de aterrizaje, cuyo brazo mide 1m y la
rueda a la que va unido tiene una masa de M=100kg, se despliega con
una determinada velocidad angular y aceleración angular, del modo
que se muestra en la figura. Calcular la fuerza que el brazo del tren
ejerce sobre la rueda en el momento en que ésta forma un ángulo de
45º con la vertical.
⎧−34, 65⎫
JG ⎪
⎪
Solución: F = ⎨ 121,92 ⎬
⎪ −200 ⎪
⎩
⎭
9.- Se desea realizar un estudio sobre la seguridad de los carriles del
AVE a su paso por Ciudad Real. La velocidad con la que viaja
(respecto de la vía) puede considerarse constante y de valor 300km/h.
Se conoce que su centro de masas se encuentra a una altura de
2000mm del suelo y que el ancho de la vía es de 1532mm. Sabiendo
que la posición de Ciudad Real es θ=39º y R=6378km según el
esquema que se muestra en la figura, determinar la relación de pesos
soportados por los carriles.
⎧ −v 2
⎫
cos
θ
⎪
⎪⎪
G ⎪
Solución: a = ⎨ R 2
⎬
⎪ −v senθ ⎪
⎩⎪ R
⎭⎪
⎧ ⎛ 2
⎫
v2 ⎞
ω
−
+
R
⎪ ⎜
⎟ cos θ ⎪
R⎠
⎪⎪
JG ⎪⎪ ⎝
A = ⎨−2 ⋅ ω ⋅ v ⋅ senθ
⎬
⎪
⎪
−v 2
⎪
⎪
senθ
R
⎩⎪
⎭⎪
10.- En una zona en la que el río Guadiana transcurre de Norte a
Sur a su paso por Ciudad Real, se desea calcular la aceleración de
Coriolis que sufre el agua viajando a una velocidad media de 1m/s.
Para ello se toman los datos de la posición de Ciudad Real respecto
al centro de la Tierra que son, según el esquema que se muestra en
la figura, θ=39º y R=6378km.
JJG
Solución: Ay = 9,15.10−5 m / s
11.- Determinar la aceleración de la punta de la aguja del gráfico
adjunto. Calcule el radio de curvatura de la trayectoria de la punta
cuando θ = º. La velocidad de la deslizadera es un 10% de la
velocidad relativa de la punta respecto de la deslizadera.
JG ⎧−0,9rθ⎫
Solución: A = ⎨
2 ⎬
⎩ −rθ ⎭
ρ = 0,81r
12.- Determinar el radio de curvatura del fondo de los surcos que va
dejando una fresa con un número de dientes finito, en función de ω y
v. Obtener el valor numérico para r = 0.01m, ω = 10rad / s ,
v = 0.01m / s
Solución ρ = 1, 02m
13.- El dispositivo de la figura está moviéndose en un instante dado
como se muestra. Determinar la aceleración angular. Aplicación
numérica: ω = 10rad / s , r = 1.5 m, m = 2.5 kg, v = 1.5 m/s, b = 1m,
a = 2m.
Solución ω = −
2ω v
r
14.- En la siguiente figura se muestra la posición de referencia y las orientaciones de un sistema
mecánico al sufrir los giros α , β y γ según se indica en la figura. Si los giros se están aplicando a giro
constante α , β y γ (simultáneamente). ¿Cuál es la velocidad angular del disco en la posición α γ ?
Particularice para α = β = γ = π , α = β = γ = 1 rad
4
s
′ = arctg (tgθ ⋅ cos β )
Solución α max
′ +α
α ′ = α max