Tema 7: Conjuntos convexos

Facultad de Económicas, Universidad de Castilla-La Mancha
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MATEMÁTICAS III PARA LA ECONOMÍA
MATEMÁTICAS III PARA LA EMPRESA
TEMA 7. CONJUNTOS CONVEXOS
1.- Demostrar los siguientes enunciados:
1. Si S, T ⊂ Rn son conjuntos convexos, entonces el conjunto S + T es convexo.
2. ∀u ∈ Rn , u 6= 0 y ∀c ∈ R, el hiperplano H(u, c) es un conjunto convexo.
3. Si S ⊂ Rn es un conjunto convexo y f : Rn −→ Rm es una aplicación lineal, entonces
Im(f ) y f (S) son conjunto convexos.
2.- ¿Cuál de los siguientes conjuntos es convexo? (Demostrar o proporcionar un contraejemplo)
1. S = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ y}.
2. S = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 4}.
3. S = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ x}.
4. A una matriz de orden m × n, b ∈ Rm y S = {x ∈ Rn : Ax ≤ b}.
3.- ¿Cuál de los siguientes conjuntos es convexo? (Demostrar o proporcionar un contraejemplo). Dar una expresión para la envoltura convexa de los conjuntos.
1. S = {(x, y) ∈ R2 : x + y ≤ 3, 2x − y ≤ 5, x − y ≥ 0, x + 3y ≥ 2}.
2. S = {(x, y) ∈ R2 : 4 ≤ x2 + y 2 ≤ 9}.
3. S = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y − z = 0}.
4. S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y 2 }.
5. S = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ x2 + 1, −1 ≤ x ≤ 1, y ≥ 0}.
4.- Verdadero o falso (Demostrar o proporcionar un contraejemplo).
1. Todo conjunto convexo es cerrado.
2. Todo conjunto compacto es convexo.
3. Cualquier subespacio vectorial S de Rn es un conjunto convexo.
4. Si A ⊂ B y B es convexo, entonces A es un conjunto convexo.
5.- Hallar los extremos del siguiente conjunto de R2
S = {(x, y) ∈ R2 : x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}.
6.- El conjunto S del ejercicio anterior coincide con la combinación convexa formada por tres
puntos de R2 , ¿cuáles?