Tema 1: Circuitos Combinacionales Contenidos 1.1 Introducción

Tema 1: Circuitos Combinacionales
Contenidos
1.1 Introducción
1.2 Aritmética
1.3 Álgebra de Boole
1
1.1 Introducción
Señales y Sistemas

Entrada
Salida
(Excitación)
(Respuesta)
Sistema

Un sistema es un conjunto de partes o elementos que interactúan
entre sí para lograr un objetivo.
Los sistemas abiertos reciben (entrada) datos, energía o materia del
ambiente y proveen (salida) información, energía o materia.
El sistema establece una relación entre las salidas y las entradas
En nuestro campo un Sistema es una función matemática que se
aplica a la entrada
T : 
      T (   
: Alfabeto de entrada
: Alfabeto de salida
2
1.1 Introducción
Clasificación de las Señales
Variable
Continua
Discreta
Variable
Variable
Continuo
Tiempo
Tiempo
Variable
Tiempo
Variable
Discreto
Tiempo
Tiempo
3
1.1 Introducción
Clasificación de Señales
Señales Analógicas
Variable Continua
Tiempo Continuo
Variable
Señales Digitales
Variable Discreta
Tiempo Discreto
Variable
Tiempo
Tiempo
4
1.1 Introducción
Interconexión entre Sistemas Analógicos y Digitales
Sistema
Analógico
Conversor
Digital/Analógico
Conversor
Analógico/Digital
Sistema
Digital
5
1.1 Introducción
Clasificación de los Sistemas Electrónicos Digitales
• Sistemas Combinacionales
No tienen memoria
yn  T ( xn )  
xn  
Sistema
Combinacional
Ejemplo : yn1  xn1  2
• Sistemas Secuenciales
Tienen memoria
xn  
yn  T ( xn , yn j )  
Sistema
Secuencial
Ejemplo: yn1  xn1  2  yn
6
1.2 Aritmética
• Representaciones numéricas en distintas BASES
•Operaciones Aritméticas con números positivos
•Números negativos. Representación en Complemento A2
•Operaciones Aritméticas con números negativos
7
Definición
1.3 Álgebra de Boole
Se define álgebra de Boole como:
•Un conjunto finito B con al menos 2 elementos, N (elemento nulo), U
(elemento universal)
•Dos operaciones (*,+) que cumplen los siguientes axiomas:
• Las operaciones *,+, , deben
ser cerradas
 x yB
x, y  B 
x  y  B
• Las operaciones con los
elementos N,U deben cumplir
las siguientes propiedades
x N  N
xN  x
x U  x
x U  U
• Propiedad distributiva:
x  ( y  z )  ( x  y)  ( x  z )
x  ( y  z)  ( x  y)  ( x  z)
• Propiedad conmutativa:
x y  y x
x y  yx
• Corolario de complementación:
 x x  N
x  B,  x  B 
x  x  U
8
1.3 Álgebra de Boole
Propiedades deducidas de los postulados
• Propiedad de Idempotencia:
xx  x
Dem:
x x  x
x  x  U  x( x  x)  x  x  x  x  x  x  N  x  x
• Propiedad Asociativa:
x  ( y  z )  ( x  y)  z
x  ( y  z )  ( x  y)  z
• Propiedad de Absorción:
x  ( x  y)  x
x  ( x  y)  x
• Propiedad del Consenso:
x  ( x  y)  x  y
x  ( x  y)  x  y
• Leyes de De Morgan:
• Propiedad del Involución:

x   x

( x  y)  x  y

( x  y)  x  y
9
1.3 Álgebra de Boole
Conjunto y Operaciones
• Conjunto Binario:
B  0,1
N 0
U 1
• Operaciones:
Suma Lógica
OR
Producto Lógico
AND
Negación Lógica
NOT
+
0
1
·
0
1
─
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
10
1.3 Álgebra de Boole
Implementación de funciones booleanas
AND
z  x1  x2
NAND
z  x1  x2
x1 x2
z
00
0
01
1
0
10
1
11
1
11
1
x1 x2
z
x1 x2
z
00
1
00
1
01
1
01
0
10
1
10
0
11
0
11
0
x1 x2
z
00
0
01
0
10
OR
z  x1  x2
NOR
z  x1  x2
NOT
z  x1
x1
z
0
1
1
0
x1 x2
z
z  x1  x2
00
0
z  x1 x2  x1 x2
01
1
10
1
11
0
XOR
11
1.3 Álgebra de Boole
Equivalencias
x
x
z
ZX
x
Z  X X  X
z
y
Z  X Y  X Y
x
x
z
z
y
Z  X Y  X Y
x
y
x
y
x
y
x
y
z
ZXX X
z
z
x
y
x
y
z
x
y
x
y
z
12
1.3 Álgebra de Boole
Formas normales de una función booleana
• Mintérmino: Producto de todas las variables de la función, negadas o no
• Maxtérmino: Suma de todas las variables de la función, negadas o no
m0  x1  x2  x3
m1  x1  x2  x3
m 2  x1  x2  x3
m3  x1  x2  x3
m 4  x1  x2  x3
m5  x1  x2  x3
m6  x1  x2  x3
m7  x1  x2  x3
M 0  x1  x2  x3
M 1  x1  x2  x3
M 2  x1  x2  x3
M 3  x1  x2  x3
M 4  x1  x2  x3
M 5  x1  x2  x3
M 6  x1  x2  x3
M 7  x1  x2  x3
13
1.3 Álgebra de Boole
Formas normales de una función booleana
• Forma normal conjuntiva: Producto de maxtérminos
Mi  Mj  Mk
x1  x2  x1  x2 
• Forma normal disyuntiva: Suma de mintérminos
mi  mj  mk  ml
2 n 1
 mi( x , x ,, x
i 1
1
2
n
) 1
x1  x2   x1  x2 
2 n 1
 Mi( x , x ,, x
1
2
n
)0
i 1
14
1.3 Álgebra de Boole
Tabla de verdad
Mintérminos
x1  x2  x3 
x1  x2  x3 
x1  x2  x3 
x1  x2  x3 
x1  x2  x3 
x1  x2  x3 
x1  x2  x3 
x1  x2  x3 
Maxtérminos
x1  x2  x3 
x1  x2  x3 
x1  x2  x3 
x1  x2  x3 
x1  x2  x3 
x1  x2  x3 
x1  x2  x3 
x1  x2  x3 
x1 x 2 x3
z
000
0
001
0
010
1
011
1
100
0
101
0
110
1
111
0
z  x1  x2  x3   x1  x2  x3   x1  x2  x3 
z  x1  x2  x3   x1  x2  x3   x1  x2  x3 
 x1  x2  x3   x1  x2  x3 
15
1.3 Álgebra de Boole
Ejemplo (Diseño de sumador binario)
Tabla de verdad
x1 x2
Acarreo
Suma
00
0
0
01
0
1
10
0
1
11
1
0
Formas canónicas
Acarreo  x1  x2  x1  x2   x1  x2   x1  x2 
Suma  x1  x2  x1  x2  x1  x2   x1  x2 
Realización
x1
x1
x2
Acarreo
x2
x1
Suma
x2
Acarreo
x1
x2
Suma
16
1.3 Álgebra de Boole
Simplificación de funciones booleanas (Mapas de Karnaugh)
2 variables
x1
0
x2
0
x2x1
1
x3
0
1
0
1
3 variables
1
3
2
00
01
Código Gray
11
10
4 variables
0
1
3
2
x2x1
x4x3
4
5
7
5 variables
x2x1
x4x3
00
01
11
10
00
01
11
x2x1
10
x4x3
0
1
3
2
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
00
01
11
10
01
x5  1
00
01
11
11
10
10
16
17
19
18
20
21
23
22
28
29
31
30
27
26
24
25
01
11
10
6
00
x5  0
00
0
1
3
2
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
17
1.3 Álgebra de Boole
Mapas de Karnaugh
Ejemplo Sumador:
Suma  x1  x2  x1  x2   m(1,2)
x1
Acarreo  x1  x2   m(3)
x1
x2
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
x2
x4x3x2x1 Valor
Ejemplo Comparador: x2 x1  x4 x3
Comparador   m(0,1,2,3,5,6,7,15,11,10)
x2x1
0000
1
0001
1
0010
1
0011
1
0100
0
0101
1
0110
1
0111
1
1000
0
1001
0
………………
00
01
11
10
00
1
1
1
1
01
0
1
1
1
11
0
0
1
0
10
0
0
1
1
x4x3
18
1.3 Álgebra de Boole
Mapas de Karnaugh (Simplificación)
x2x1
x4x3
00
00
0
01
1
11
1
10
1
01
0
4
12
8
1
1
1
1
11
1
5
13
9
1
1
0
0
x2x1
10
3
7
15
11
0
0
0
0
x4x3
2
6
14
10
Agrupaciones de 2n elementos
adyacentes
x1·x2·x3·x4 +
x1·x2·x4 +
x2·x3 +
x1·x3·x4 +
x2·x3·x4
•Implicantes primos
esenciales
•Implicantes primos
•Implicantes
00
00
0
01
1
11
1
10
1
01
0
4
12
8
1
1
1
1
11
5
13
1
9
1
1
0
0
x2x1
10
3
7
15
11
0
0
0
0
x4x3
2
6
14
10
No están totalmente incluidos en otro
implicante
x1·x4 +
x2·x4 +
x2·x3 +
x1·x2
00
00
0
01
1
11
1
10
1
01
0
4
12
8
1
1
1
1
11
1
5
13
9
1
1
0
0
10
3
7
15
11
0
0
0
0
Si se eliminan la función
queda algún elemento sin
agrupar
x1·x4 +
x2·x4 +
x2·x3
19
2
6
14
10
1.3 Álgebra de Boole
Mapas de Karnaugh
Ejemplo Comparador: x2 x1  x4 x3
Comparador   m(0,1,2,3,5,6,7,15,11,10)
Simplificación
Comparador  x4  x3  x2  x1  x1  x4
 x2  x4  x2  x3
x2 x1
x4 x3
00
01
11
10
00
1
1
1
1
01
0
1
1
1
11
0
0
1
0
10
0
0
1
1
¡¡ Ojo que el mapa es cerrado o cíclico !!
20
1.3 Álgebra de Boole
Realización
Ejemplo Comparador: x2 x1  x4 x3
x4
x3
x2
x1
x4
x3
x2
x1
Salida
Salida
21
1.3 Álgebra de Boole
Ejemplo
Diseñar un circuito con 4 entradas (a,b,c,d) y una salida s que opere
de la siguiente manera:
abcd
s
• s es 0 si 3 o más entradas son 1 salvo que a sea 0
0000
1
•Si a es 0 y otras dos entradas son 1, entonces s es 0
0001
1
•Si a es 1 y otra entrada es 1, s es 0
0010
1
0011
0
•Si una sola entrada que no sea b es 1 entonces s es 1
0100
• s es 1 si a=b=c=d=0
cd
00
01
11
10
ab
s  b c  d  a b c  a b  d
-,X Indiferencia
00
1
01
X
0
1
0
0
0
10
1
8
0
0
9
1
2
0
7
13
12
3
X
5
4
11
1
0
15
0
6
0
14
0
11
0101
0
0110
0
0111
-
1000
1
1001
0
1010
0
1011
0
1100
0
1101
0
1110
0
1111
0
10
22
1.3 Álgebra de Boole
Ejemplo
s  b c  d  a b c  a b  d
a
b
c
d
s
23
1.3 Álgebra de Boole
Ejemplo
En una unidad se reciben 4 bits en BCD. Determinar mediante un
circuito la presencia de los múltiplos de 3 o de 4
abcd
s3
s4
0
0000
0
0
1
0001
0
0
2
0010
0
0
3
0011
1
0
4
0100
0
1
5
0101
0
0
6
0110
1
0
7
0111
0
0
8
1000
0
1
9
1001
1
0
1010
X
X
1011
X
X
1100
X
X
1101
X
X
1110
X
X
1111
X
X
s3  a  d  b  c  d  b  c  d
cd
00
01
11
s4  a  d  b  c  d
cd
10
ab
00
01
11
10
ab
00
0
01
0
11
X
10
0
0
4
12
8
0
0
X
1
1
5
13
9
1
0
X
X
3
7
15
11
0
1
X
X
2
6
14
10
00
0
01
1
11
X
10
1
0
4
12
8
0
0
X
0
1
5
13
9
0
0
X
X
3
0
0
7
X
15
X
11
24
2
6
14
10
1.3 Álgebra de Boole
Ejemplo
s3  a  d  b  c  d  b  c  d
s4  a  d  b  c  d
a
a
b
b
c
c
d
d
s3
s4
Hidalgo López, José A.; Fernández Ramos Raquel; Romero Sánchez,
Jorge (2014). Electrónica. OCW-Universidad de Málaga.
http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons AttributionNonCommercial-Share-Alike 3.0 Spain
25