MATEMÁTICAS II

Pruebas de Acceso a Estudios Universitarios
Bachillerato L. O. G. S. E.
Materia: MATEMÁTICAS II
La prueba consta de cuatro bloques con dos opciones cada uno.
Debes contestar una única opción de cada bloque. Todas las opciones
puntúan por igual (2,5 puntos). Puedes usar cualquier tipo de calculadora.
PRIMER BLOQUE
A.
Enuncia el Teorema de Bolzano. Aplícalo para probar que la ecuación sen x = x 2 − 1
tiene al menos una solución. (Indicación: El ángulo x lo consideraremos en radianes.)
B.
De entre todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa mide 3 metros, determina la
medida de los catetos de aquél que tenga área máxima.
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SEGUNDO BLOQUE
A.
Sea a ∈ \ una constante real no nula, y considera la parábola f ( x) = ax 2 − 4a .
Encuentra el valor de a para que se verifiquen simultáneamente las dos siguientes
condiciones: 1ª, que el área comprendida entre la parábola y el eje de abscisas sea de 32
unidades cuadradas. 2ª, que la función f ( x) sea cóncava hacia arriba ( ∪ ) .
B.
Encuentra una primitiva de f ( x) = x 2 ·sen x que pase por el origen de coordenadas.
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TERCER BLOQUE
1 1 0 


A.
Razona si existe la matriz inversa de A =  0 1 0  y, en caso afirmativo, calcúlala.
 2 0 −1 


Resuelve la ecuación matricial A· X + 2 A = I 3 , donde X es una matriz de orden 3 × 3 e I 3
es la matriz identidad de orden 3 × 3 .
B.
x + y = 4

Discute el sistema de ecuaciones ax − y = 6 en función del parámetro a ∈ \ ,

 x − ay = −6
resolviéndolo cuando sea compatible.
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CUARTO BLOQUE
A.
z = 4
x − y = 0
Dadas las rectas r ≡ 
z = 0
, se pide:
x + y = 2
y s≡
a) Estudia su posición relativa.
b) Determina los puntos, R ∈ r y S ∈ s de cada recta, entre los que se alcanza la distancia
mínima entre ambas rectas.
x = 1+ t
x = 1+ s


B.
Dado el plano π ≡ x + y + z = 2 y las rectas r1 ≡  y = −t , t ∈ \ y r2 ≡  y = − s , s ∈ \ ,
 z = 2t
z = 2


a) ¿Existe algún plano paralelo a π que contenga a la recta r1 ?
b) ¿Existe algún plano paralelo a π que contenga a la recta r2 ?
c) Si en algún caso la respuesta es afirmativa, halla la ecuación general de dicho plano.