CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
P. REYES /JUNIO 2007
IPN - CECUR
CONTROL ESTADÍSTICO
DEL PROCESO
DR. PRIMITIVO REYES AGUILAR
Junio 2007
Mail. [email protected] / Cel. 044 55 52 17 49 12
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CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
P. REYES /JUNIO 2007
OBJETIVOS: Al finalizar el curso, el participante será capaz de:
• Comprender la aplicación de las 7 herramientas estadísticas
para la solución de problemas en la ruta de la calidad
• Comprender los conceptos de la variabilidad de los procesos y la
forma de evaluarla
• Comprender los conceptos estadísticos para implantar cartas de
control por variables y por atributos para prevenir los defectos y
mejorar los procesos.
• Evaluar la capacidad de un proceso y de los equipos de
medición, identificando acciones de mejora.
• Comprender los métodos de muestreo por atributos y su
aplicación
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CONTENIDO
INTRODUCCIÓN y APLICACIÓN DE LAS 7 Hs EN
LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
4
1. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
18
2. CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
27
3. CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES
36
4. CAPACIDAD DEL PROCESO
47
5. CAPACIDAD DE SISTEMAS DE MEDICIÓN R&R
57
6. CARTAS DE CONTROL POR ATRIBUTOS
69
7. MUESTREO DE ACEPTACIÓN x ATRIBUTOS
92
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INTRODUCCIÓN
¿Qué causa los defectos?
La variación en: Materiales, Máquinas, Métodos, Personal, Mediciones, Medio
ambiente.
Etapas de la calidad

INSPECCIÓN: Aparecen los inspectores, inspección final al 100%

CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO: Shewhart, Deming, Juran. Se
usa en Japón en los 1950’s y en occidente en los 1980’s

ASEGURAMIENTO DE LA CALIDAD (ISO 9001:1994) Sistemas aislados
EUA (1940’s)

GESTIÓN DE LA CALIDAD (ISO 9001:2000, PNC) Feigenbaum, Deming,
Juran, Crosby, Ishikawa, Taguchi
EVOLUCIÓN DEL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO (CEP)

En 1924 WALTER SHEWHART realizó experimentos y desarrolló las
Cartas de Control en los Bell Labs, las cuales:

Técnicas útiles para el monitoreo de procesos

Permiten identificar situaciones anormales en 6Ms

Sirven para prevenir la generación de defectivos
15
LCS
Promedio
LCI
Perfil
10
5
0
Figura 1. Carta de control
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
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En 1926 HAROLD F. DODGE Y HARRY G. ROMIG, desarrollaron las
técnicas de Muestreo Estadístico
MUESTREO DE ACEPTACIÓN
Técnica que permite calificar lotes de productos como conformes o no
conformes, por medio de una muestra representativa sin inspeccionar al
100%
LOTE
MUESTRA
Figura 2. Muestreo de aceptación

Durante la 2a. Guerra Mundial se expande el uso del CEP en la industria de
manufactura

1950’s: EDWARD DEMING / JOSEPH JURAN: Entrenaron a líderes
industriales en técnicas del CEP

1950’s: KAOURU ISHIKAWA: seguidor de Deming, desarrolla el Diagrama
de Ishikawa, los Círculos de calidad e impulsa el control de calidad total
CWQC.

Los japoneses implantaron el CEP y lograron productos de alta calidad,
Occidente retoma los métodos de CEP hasta después de los 1980’s.

En México el programa Ford ITESM de los 1990’s impulsó al CEP con sus
proveedores con poco éxito en otras empresas, hoy se retoma con el ISO
9001:2000 e ISO TS 16949.
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
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Las técnicas estadísticas han evolucionado a lo que hoy se conoce como
Seis Sigma, aplicada en EUA y México por Motorola, GE, Sony, etc.
EL CEP ES PARTE DEL SISTEMA DE CALIDAD
ISO TS 16949 ISO 9001:2000
MEJORA CONTINUA
Información
C
l
i
e
n
t
e
R
e
q
u
e
r
i
m
i
e
n
t
o
s
Responsabilidad
de la Dirección
Medición,
análisis,
mejora
Administración
de Recursos
Entrada
Realización
del Producto
(y/o servicio)
Salida
Figura 3. Sistema de gestión de calidad ISO 9001
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S
a
t
i
s
Información f
a
c
c
Producto
i
/
o
Servicio
n
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LAS 7 HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS
Figura 4. Las 7 herramientas estadísticas de calidad
Diagrama de Causa efecto – Es una técnica de análisis para la solución de
problemas, que muestra la relación entre una característica de calidad y los
factores de influencia, ayudándonos a encontrar las causas posibles que nos
afectan y encontrar su solución.
Para identificar las posibles causas se usa la lluvia de ideas, la cual se debe hacer
sin juicio previos y respetando las opiniones.

Técnica para generar ideas creativas cuando la mejor solución no es obvia.

Reunir a un equipo de trabajo (4 a 10 miembros) en un lugar adecuado

El problema a analizar debe estar siempre visible

Generar y registrar en el diagrama de Ishikawa un gran número de ideas,
sin juzgarlas, ni criticarlas
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
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Motivar a que todos participen con la misma oportunidad
Diagrama de Ishikawa
Medio
ambiente
Métodos
Frecuencia
de visitas
Clima
húmedo
Personal
Falta de
supervi
ción
Posición de
exhibidores
Distancia de
la agencia al
changarro
Clientes con
ventas bajas
Rotación de
personal
Falta de
motivación
Ausentismo
Elaboración
de pedidos
Calidad del
producto
Seguimiento
semanal
Malos
itinerarios
Conocimiento
de los
mínimos por
ruta
Descompostura
del camión
repartidor
Maquinaría
Medición
¿Qué
produce
bajas ventas
de
Tortillinas
Tía Rosa?
Tipo de
exhibidor
Materiales
Figura 5. Diagrama de causa efecto, de Ishikawa o espina de
pescado
Diagrama de relaciones
No hay flujo
efectivo de mat.
Por falta de
programación
de acuerdo
a pedidos
Constantes
cancelaciones
de pedidos
de marketing
Influencia de la
situación econ del
país
No hay control
de inv..... En proc.
Falta de prog. De
la op. En base a
los pedidos
Programación
deficiente
Capacidad
instalada
desconocida
Falta de control de
inventarios en
compras
No hay coordinación
entre marketing
operaciones
Falta de
coordinación al fincar
pedidos entre
marketing y la op.
Duplicidad
de funciones
Demasiados deptos
de inv..... Y desarrollo
Falta de com..... Entre
las dif. áreas de
la empresa
No hay com..... Entre
las UN y la oper.
Marketing no
tiene en cuenta
cap de p.
No hay com..... Entre compras
con la op. general
Influencia directa de
marketing sobre
compras
Compra de material
para el desarrollo de
nuevos productos por
parte inv..... Y desarrollo’’’
No hay coordinación
entre la operación y las unidades
del negocio
Las un. Reciben
ordenes de dos
deptos diferentes
Altos
inventarios
Compras
aprovecha
ofertas
Mala prog. De
ordenes de compra
Perdida de mercado
debido a la
competencia
Falta de comunicación
entre las unidades
del negocio
Figura 6. Diagrama de relaciones
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Falta de coordinación
entre el enlace de compras
de cada unidad con compras
corporativo
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Diagrama de árbol o sistemático
Meta
Medio
Meta
Medio
Medio
Meta
Segundo
nivel
Primer
nivel
Cuarto
nivel
Tercer
nivel
Medios
Medios
Medios
Medios
o planes
Meta u
objetivo
Medios
o planes
Figura 7. Diagrama de árbol
ANALISIS DEL MODO Y EFECTO DE FALLA
AMEF de Diseño / Proceso
Componente ______________________
Responsable del Diseño ____________AMEF Número _________________
Ensamble ________________
Preparó _______________
Pagina _______de _______
Equipo de Trabajo ___________
FECHA (orig.) de FMEA ______(rev.) ______
Resultados de Acción
Función
del Producto/
Paso del
proceso
Modos de Falla
Potenciales
Efecto (s)
Potencial (es)
de falla
S
e
v
.
Causa(s)
Potencial(es)
o Mecanismos
de falla
O
c
c
u
r
Controles de
Diseño o
Proceso
Actuales
D
e R
t P
e N
c
Acción
Sugerida
Figura 8. Análisis del modo y efecto de falla
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Responsable
y fecha límite
de Terminación
Acción
Adoptada
S O D R
e c e P
v c t N
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Diagrama de Pareto – Se utiliza para identificar prioridades
EJEMPLO: Se tienen los defectos siguientes:
A. Emulsión
20
B. Grasa
60
C. Derrame
80
D. Tapa barrida
30
E. Mal impresa
10
Construir un diagrama de Pareto y su línea acumulativa
Pareto Chart of C1
200
100
Count
60
100
40
50
0
C1
Count
Percent
Cum %
Percent
80
150
20
C
80
40.0
40.0
B
60
30.0
70.0
D
30
15.0
85.0
A
20
10.0
95.0
Other
10
5.0
100.0
0
Figura 9. Diagrama de Pareto
Diagrama de Dispersión – Se utiliza para analizar la correlación entre dos
variables, se puede encontrar: Correlación positiva o negativa, fuerte o débil o sin
correlación.
Hoja de verificación – para anotar frecuencia de ocurrencias de los eventos (con
signos |, X, *, etc.)
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Es una herramienta que nos permite estudiar la relación de dependencia entre dos
o más variables. El Coeficiente de correlación r tiene valores entre -1 y 1 y el
coeficiente de determinación r2 toma valores entre 0 y 1.
Y=a+bX
Correlación entre las variables Y y X
Correlación Negativa
Evidente
Correlación Positiva
Evidente
25
20
20
15
15
10
Y
Y
25
10
5
5
0
15
10
20
5
Sin Correlación
0
25
0
15
10
5
0
25
X
20
25
X
20
15
25
Y
Correlación
Positiva
10
0
0
20
5
15
10
20
25
25
X
20
15
15
10
Y
Y
Correlación
Negativa
5
10
5
5
0
0
5
15
10
20
0
25
0
X
5
15
10
20
25
X
Figura 10. Diagrama de dispersión y su correlación entre X,Y
Gráfica de la Línea de Ajuste
Recta de regresión
Y=-.600.858+5738.89X
R2 = .895
Retención
600
Regresión
500
95% Intervalo
de confianza
95% Intervalo
de predicción
400
0.18
0.19
0.20
Altura del muelle
Figura 11. Diagrama de Regresión lineal
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Histogramas – Se utilizan para ver la distribución de frecuencia de los datos
18
16
14
12
10
Frec.
8
6
4
2
0
15-24 25-34 35-44 45-54 55-64 65-75
Figura 12. Distribución de frecuencias o histograma
Las cartas de control de Shewhart – Sirven para monitorear el proceso,
prevenir defectivos y facilitar la mejora, hay dos tipos de cartas de control: Cartas
de control por atributos (juzga productos como buenos o malos) y por variables
(para parámetros del proceso como presiones, temperaturas, etc.)
Carta de control
“Escuche la Voz del Proceso”
M
E
D
I
D
A
S
C
A
L
I
D
A
D
Región de control,
captura la variación
natural del proceso
original
LSC
LIC
Tendencia del proceso
Causa Especial
El proceso ha cambiado
identificada
TIEMPO
Figura 13. Patrones de anormalidad en cartas de control
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Diagrama de flujo
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– Se utiliza para identificar los procesos, las
características críticas en cada uno, la forma de evaluación, los equipos a usar, los
registros y plan de reacción, se tienen los tipos siguientes:

Diagramas de flujo de proceso detallados

Diagramas físicos de proceso

Diagramas de flujo de valor
Símbolos para Diagramas de Flujo
Iniciar/Detener
Transmisión
Operaciones
(Valor agregado)
Decisión
Almacenar
Entrada/Salida
Inspección /Medición
Transportación
Retraso
Líneas de Flujo
Diagrama de flujo / Análisis del valor
Actividades con valor agregado
Actividades sin valor agregado
Figura 14. Símbolos de diagrama de flujo y diagrama de flujo
de valor.
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PROCESS FLOW DIAGRAM
NUMBER
DATE:
ECL:
PREPARED BY:
INSPECT
STORE
MOVE
OPERATION
DESCRIPTION
ITEM #
STEP
FABRICATION
NAME
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PRODUCT AND
PROCESS
CHARACTERISTICS
ECL
ITEM #
PART NUMBER:
PART DESCRIPTION:
CONTROL
METHODS
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Estratificación – Se utiliza para separar el problema general en los estratos
que lo componen, por ejemplo, por áreas, departamentos, productos, proveedores,
turnos, etc. Clasificación de los datos o factores sujetos a estudio en una serie de
grupos con características similares.
Figura 15. Estratificación de los datos de máquinas
Hoja de verificación - Se utiliza para reunir datos basados en la observación
del comportamiento de un proceso con el fin de detectar tendencias, por medio de
la captura, análisis y control de información relativa al proceso
DIA
DEFECTO
1
2
Tamaño erróneo IIIII I
IIIII
Forma errónea
I
III
Depto. EquivocadoIIIII
I
Peso erróneo
IIIII IIIII I IIIII III
Mal Acabado
II
III
TOTAL
25
20
3
IIIII III
III
I
IIIII III
I
21
4
IIIII II
II
I
IIIII IIIII
I
21
Figura 16. Ejemplo de hoja de verificación o registro
Página 15 de 105
TOTAL
26
9
8
37
7
87
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Aplicación de las 7hs en la solución de problemas
La ruta de la calidad
1.- SELECCIÓN DEL TEMA
PLANEAR
P
2.- RAZON DE LA SELECCIÓN
3.- ESTABLECER OBJETIVOS
4.- PROGRAMA DE ACTIVIDADES
5.- DIAG. DE SITUACION ACTUAL
HACER
D
BUSQUEDA DE
CAUSA REAL
6.- ANALISIS DEL PROBLEMA
7.- ANÁLISIS DE SOLUCIONES
8.- IMPLANTAR SOLUCIONES
CHECAR
C
ACTUAR
A
9.- VERIFICACION DE SOLUCIONES
10.- PREVENCION DE LA
REINCIDENCIA
11.- REFLEXION Y TAREAS
FUTURAS
45
P. Reyes
Figura 17. Ruta de la calidad para la solución de problemas
DMAIC
Definir
Medir
Analizar
Mejorar
Controlar
Herramientas
1.
1. Mapa
Mapa de
de Proceso
Proceso
2.
2. Despliegue
Despliegue de
de la
la
Función
Función de
de
Calidad
Calidad (QFD)
(QFD)
3.
3. Modelo
Modelo Kano
Kano
4.
4. Diagrama
Diagrama Matricial
Matricial
5.
5. Benchmarking
Benchmarking
6.
6. Costos
Costos de
de Calidad
Calidad
1.
1. Mapa
Mapa de
de Procesos
Procesos
2.
2. Diagrama
Diagrama de:
de:
Pareto,CausaPareto,CausaEfecto,Árbol,
Efecto,Árbol,
Afinidad
Afinidad
3.
3. Métodos
Métodos de
de
Muestreo
Muestreo
Estadístico
Estadístico
4.
4. Capacidad
Capacidad del
del
Sistema
Sistema de
de
Medición
Medición
5.
5. Distribución
Distribución
Normal
Normal
6.
6. Capacidad
Capacidad del
del
Proceso
Proceso
1.
1. AMEF
AMEF
2.
2. Cartas
Cartas Multi
Multi Vari
Vari
3.
3. Correlación
Correlación
4.
4. Regresión
Regresión lineal
lineal
Simple
Simple yy lineal
lineal
Múltiple
Múltiple
5.
5. Pruebas
Pruebas de
de
Hipótesis
Hipótesis
6.
6. Análisis
Análisis de
de
Varianza
Varianza (ANOVA)
(ANOVA)
1.
1. Análisis
Análisis de
de
Experimentos
Experimentos
(DOE)
(DOE)
2.
2. Diseño
Diseño Factorial
Factorial
2K
2K
3.
3. Diseño
Diseño Fracción
Fracción
Factorial
Factorial
4.
4. Diseño
Diseño Taguchi
Taguchi
5.
5. Diseño
Diseño de
de Mezclas
Mezclas
6.
6. Métodos
Métodos de
de
Superficie
Superficie de
de
Respuesta
Respuesta
1.
1. Plan
Plan de
de Control
Control
2.
2. Cartas
Cartas de
de Control
Control
3.
3. Poka
Poka Yoke
Yoke
4.
4. Mejora
Mejora continua
continua
(Kaizen)
(Kaizen)
5.
5. Las
Las 55 S´s
S´s
6.
6. Kanban
Kanban
Figura 18. Seis Sigma para la solución de problemas
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EJEMPLO: TRANSPORTES TAMAULIPAS S.A. DE C.V. / GRUPO SENDA
EQUIPO DE TRABAJO: 44 Equipos de Mejora Continua (C.C.C.)
DURACIÓN DEL PROYECTO: 5 de Mayo de 2004 a 29 de Agosto de 2004
A. Identificación de la problemática. Selección de la oportunidad de mejora.
 Lluvia de ideas para listar los problemas o áreas de oportunidad más relevantes en el área
de trabajo.
 Se integran los problemas listados en una Matriz de Priorización y se determina un factor
peso considerando los objetivos de calidad, mismos que fueron validados por las áreas
involucradas.
 De acuerdo a los resultados de la matriz , se elaboró un Diagrama de Pareto y se identificó
el principal problema como: Las salidas fuera de tiempo.
B. Una vez seleccionado el problema, sustentarlo.
 Se tomará como ejemplo a la división 38 para generar un modelo para asegurar el caso
exitoso.
 Se estratifican los datos para la división 38 tales como: días de la semana, por tipo de
carro y por tipo de ruta.
 Basándose en la información estratificada el EMC decide fijar como meta: “Reducir el 50%
de las salidas fuera de tiempo en la división 38 para el mes de Agosto.”
 Se elabora un 5W+1H
C. Análisis de las causas del problema.
 Se realiza un Diagrama de Pareto
 Se estratifican en las 5 M’s y se representan en un Diagrama de Ishikawa para identificar
las posibles causas de raíz.
 Se hace una selección de las posibles causas de raíz y se identifican 2:
o Mandar unidades con tiempo establecido mínimo de 30 minutos saliendo del Taller
B. Comunicarle al personal involucrado las medidas realizadas.
o Confeccionar un procedimiento único que será cumplido por todos los
involucrados.
 Se realiza un 5W+1H para determinar las actividades a realizar y definir fechas, áreas y
responsables para su solución.
D. Propuesta de Alternativas de Solución para eliminar las 2 Causas Raíz Identificadas.
 Se decide llevar a cabo todas las alternativas propuestas para implementar corrección y
prevención de las causas raíz puesto que ninguna requiere inversión y además el tiempo
de implementación es relativamente corto.
E. Implantación y Verificación.
 Para la implantación de las actividades se realizó un 5W+1H, asegurando con esto que
todas las actividades se lleven a cabo en la fecha establecida.
 Se realiza una comparación antes y después del proyecto, y se observa un cumplimiento
por encima de lo estimado. Posterior a la implementación del proyecto, la tendencia se
mantiene constante validando así la efectividad de las acciones emprendidas.
F. Diseño del Nuevo Estándar
 Para asegurar la permanencia de la mejora y evitar la reincidencia del problema, se
desarrolló un procedimiento para la estandarización de la división 38 en todas sus rutas y
donde se describe el flujo de las unidades dentro de las fosas.
 Se desarrolla un plan de actividades de capacitación por medio de un 5W+1H con la
intención de aplicar estas actividades en todas las divisiones de Transportes Tamaulipas.
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MÓDULO 1. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL y PRUEBA DE
NORMALIDAD
1.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL
Un proceso opera en condiciones normales, si tiene los materiales dentro de de
especificaciones y del mismo lote, un método consistente, un medio ambiente
adecuado, el operador capacitado, y el equipo ajustado correctamente, si se
toman mediciones en alguna característica del producto, mostrará el siguiente
comportamiento:
Distribución gráfica de la variación
– La Curva normal
LAS PIEZAS VARÍAN DE UNA A OTRA:
TAMAÑO
TAMAÑO
TAMAÑO
TAMAÑO
Pero ellas forman un patrón, tal que si es estable, se denomina distr. Normal
SIZE
TAMAÑO
TAMAÑO
LAS DISTRIBUCIONES PUEDEN DIFERIR EN:
UBICACIÓN
DISPERSIÓN
TAMAÑO
TAMAÑO
FORMA
TAMAÑO
. . . O TODA COMBINACIÓN DE ÉSTAS
Fig. 1.1 Construcción de la distribución normal
La distribución normal es una de las distribuciones más usadas e importantes. Se
ha desenvuelto como una herramienta indispensable en cualquier rama de la
ciencia, la industria y el comercio.
Muchos eventos reales y naturales tienen una distribución de frecuencias cuya
forma es muy parecida a la distribución normal. La distribución normal es llamada
también campana de Gauss por su forma acampanada.
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Cuando se incluyen todos los datos de un proceso o población, sus parámetros se
indican con letras griegas, tales como: promedio o media =  (mu), y desviación
estándar (indicador de la dispersión de los datos) =  (sigma).
Para el caso de estadísticos de una muestra se tiene media = X y desv. est.= s.
Propiedades de la distribución normal estándar

La distribución normal estándar tiene media  = 0 y desviación estándar  =1.
La media, Mediana y Moda coinciden, son iguales y se localizan en el pico.
La desviación estándar
sigma representa la
distancia de la media al
punto de inflexión de la
curva normal
X
x-3
x-2
x-
x
x+
x+2
x+3
z
-3
-2
-1
0
1
2
3
Fig. 1.2 Propiedades de la distribución normal

El área bajo la curva o probabilidad de menos infinito a más infinito vale 1.

La distribución normal es simétrica, la mitad de curva tiene un área de 0.5.

La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar.

La forma y la posición de una distribución normal dependen de los
parámetros  ,  , por lo que hay un número infinito de distribuciones normales.
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Curvas
Curvas Normales
Normales con
con Medias
Medias iguales
iguales pero
pero
Desviaciones
estándar
diferentes
Desviaciones estándar diferentes


3.9
3.9
 == 5.0
5.0

Límite inferior de especs.
Límite superior de especificaciones
Fig. 1.3 Distribuciones normales con varias desv. estándar
Normales
Normales con
con Medias
Medias yy
Desviaciones
estándar
Desviaciones estándar diferentes
diferentes
=
= 5,
5,  == 33
 == 9,
9, =
= 66
 == 14,
14, == 10
10
LIE
LSE
Fig. 1.4 Distribuciones
desviaciones estándar
normales
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con
varias
medias
y
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Existe una relación del porcentaje de probabilidad o área bajo la curva normal a la
desviación estándar. En la figura observamos por ejemplo que el área bajo la
curva
para
 1
tiene
un
porcentaje
de
68.26%,
 2
=
95.46%
y
 3  99.73% .
-3s -2s -1s
+1s +2s +3s
68.26%
95.46%
99.73%
Fig. 1.5 Área bajo la curva de Distribución normal
Lo anterior se puede calcular con la Tabla de distribución normal o con Excel (Fx
=distr.norm.estand(Z) proporciona el área desde menos infinito hasta Z).
En la tabla normal, se busca el valor de Z y se encuentra el área bajo la curva.
La primera tabla sirve para determinar el área o probabilidad que se encuentra
fuera de los límites de especificaciones. La segunda tabla proporciona valores de
área bajo la curva para Z’s mayores a cero. En cada una se muestran ejemplos de
su uso.
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Ejemplo 1.1
a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 1.
P(Z<= -1) = 0.1587
b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 2.
P(Z<= - 2) = 0.0228
c) Determinar el área bajo la curva entre Z >= -2. hasta Z <= -1
P(- 2 <= Z<= -1) = 0.1259
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Ejemplo 1.2
a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 1.
P(Z <= 1) = 0.8413
b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 2.
P(Z <= 2) = 0.9772 8
c) Determinar el área bajo la curva de menos Z = 1 a Z = 2
P(1 <= Z <= 2) = 0.9772 – 0.8413 = 0.1369
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EJERCICIO 1:
¿Qué porcentaje del área bajo la curva normal estándar o probabilidad está
incluido dentro de los siguientes rangos?
a) P(1.2 <= Z <= 2.2) = P(Z <= 2.2) – P(Z <= 1.2) =
b) P(-2.1 <= Z <= -0.4) = P(Z <= - 0.4) – P(Z <= -2.1) =
c) P( -1.3 <= Z <= 2.7) = P(Z <= 2.7) – P(Z <= -1.3) =
d) P( Z >= 2.4) = P(Z <= -2.4) =
e) P( Z<=-2.9) + P(Z>= 3.1) = P(Z <= -2.9) + P(Z <= -3.1) =
f) P(Z>= 1.9) = P(Z <= -1.9) =
Estandarización de valores reales
En la práctica, se tienen valores reales de promedio diferentes de cero y con
desviación estándar diferentes de uno, para determinar la probabilidad o área bajo
la curva, se determina el número de desviaciones estándar Z  entre algún valor X
y la media de la población  o de la muestra X como sigue:
Z
Z
X 

XX
s
sí se consideran los datos completos del proceso.
sí se consideran sólo los datos de una muestra.
Ejemplo 1.3 El departamento de personal de una empresa requiere que los
solicitantes a un puesto en cierta prueba alcancen una calificación de 500. Si las
calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media   485 y
desviación estándar   30 ¿Qué porcentaje de los solicitantes pasará la prueba?
Calculando el valor de Z obtenemos:
Z
X 

= 500  485  0.5
30
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Buscamos el valor correspondiente
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Z en las tablas de distribución normal
estándar o por medio de Excel =distr.norm.estand(0.5). Z0.5 = 0.69146 =
69.146%. donde la probabilidad de que la calificación sea menor a 500 es P (X <=
500). Dado que el porcentaje pedido es P( X  500) la solución es 1-0.69146
=0.3085, por tanto sólo 30.85% de los participantes pasarán la prueba.
Otra forma es tomando la Z como negativa con P(Z <= -0.5) = 0.3085.
485
30.85%
Z.05
Fig. 1.6 Área bajo la curva de Distribución normal
Ejemplo 1.4 Suponga que un proceso tiene una distribución normal dada tiene
una media de 20 y una desviación estándar de 4. Calcule la probabilidad
P (X >=24) = 1 – P(X <= 24) =
En la barra de herramientas seleccione el icono de funciones
fx>Estadísticas>Distr.Norm.Estand. OK. El sistema muestra la siguiente
ventana, en la cual llenamos los siguientes datos:
Fig. 1.7 Cálculo del área bajo la curva normal sin requerir Z
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El resultado de la fórmula = 0.8413. , dado que esta es la probabilidad P(X  24), la
probabilidad buscada es: P(X > 24) = 1 - 0.8413= 0.1587
EJERCICIO 2:
Un producto tiene un peso promedio de 75 Kgs. con una desviación estándar de
10Kgs.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto pese más de 85Kgs.?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto pese menos de 55Kgs.?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 60 y 80 Kgs.?.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 55 y 70 Kgs.?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 85 y 100Kgs.?
1.2 PRUEBA DE NORMALIDAD
Para probar normalidad de datos, se pueden utilizar los métodos de Anderson
Darling o Ryan, y la gráfica de probabilidad normal.
a) En el método de Anderson Darling o Ryan Joiner, si el valor de probabilidad P
de la prueba es mayor a 0.05, se considera que los datos son normales. Seguir los
siguientes pasos:
Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Media = 264.6 y Desviación estándar
S = 32.02 con:
1. Calc > Random data > Normal
2. Generate 100 Store in columns C1 Mean 264.06 Estandar deviation 32.02 OK
Nos aseguramos que los datos se distribuyan normalmente con la prueba de
Anderson Darling o Ryan Joiner como sigue:
1. Stat > Basic statistics > Normality Test
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2. Variable C1
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Seleccionar Ryan Joiner test OK
El P value debe ser mayor a 0.05 para que los datos se distribuyan normalmente
Probability Plot of Datos
Normal
99.9
Mean
StDev
N
RJ
P-Value
99
95
Percent
90
269.3
30.72
100
0.994
>0.100
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
0.1
150
200
250
Datos
300
350
Fig. 1.8 Gráfica de probabilidad de un proceso normal
b) Otra opción por medio de una gráfica de probabilidad normal, se tiene:
3. Graph > Probability plot > Normal
4. Graph Variable C1
5. Distribution Normal OK
Los puntos deben quedar dentro del intervalo de confianza para indicar que es
normal la distribución.
Probability Plot of Datos
Normal - 95% CI
99.9
Mean
StDev
N
AD
P-Value
99
95
Percent
90
269.3
30.72
100
0.317
0.533
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
0.1
150
200
250
300
350
400
Datos
Fig. 1.9 Gráfica de probabilidad normal con Int.de confianza
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MODULO 2. INTRODUCCIÓN AL CONTROL ESTADÍSTICO
DEL PROCESO (CEP)
2.1 ANTECEDENTES
Desarrollo del Control Estadístico del Proceso
W. A. Shewhart demostró que cuando se extraen muestras de tamaño 4 – 6 de
distribuciones casi normales, triangulares, uniformes, etc., y se calculan las
medias de esas muestras, al graficar las medias en un histograma siguen una
distribución normal.1
Universo
Fig. 2.1 Experimentos de Shewhart para las cartas de control
Encontró que las medias de las muestras correspondían
a las medias de la
población y que la desviación estándar de las medias de las muestras están
relacionadas con la desviación estándar de la población, como sigue:
 
__
X

n
Donde n es el tamaño de la muestra y  es la desviación estándar de la población.
1
Shewhart, W.A., Economic Control of Quality of Manufactured Product, Van Nostrand Reinhold Co., 1931,
p. 182
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Población con media  y desviación estándar  y cualquier distribución.
X1
X2
X-media 1
X3
X-media 2
X-media 3
Conforme el tamaño de muestra se incrementa las muestras se distribuyen
normalmente con media de medias  y desviación estándar de las medias de las
muestras  / n. También se denomina Error estándar de la media.
Histogram of Promedios
14
12
Frequency
10
8
6
4
2
0
Fig. 2.2
3
4
5
Promedios
6
7
Distribución de las medias muestrales - Normal
En general si las xi están distribuidas en forma idéntica y su distribución se
asemeja a la normal, el teorema del límite central trabaja bien para n>=3 o 4,
condiciones propicias para el control estadístico de los procesos.
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2.2 CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
El CEP es una técnica que permite aplicar el análisis estadístico para medir,
monitorear y controlar procesos por medio de cartas de control. Su propósito es la
detección oportuna de la ocurrencia de causas especiales, para tomar acciones
correctivas antes de que se produzcan unidades defectivas o no conformes, para
lo cual se utilizan las cartas de control en línea, permitiendo también la estimación
de la capacidad o habilidad del proceso y la reducción continua de la variabilidad
hasta donde sea posible.
Beneficios que proporciona el CEP:

Son herramientas para mejorar la productividad

Son herramientas de prevención de defectos

Evitan ajustes innecesarios

Proporcionan información de diagnóstico

Proporcionan información de la capacidad del proceso
¿Qué es una carta de control?

Una Carta de Control es como un historial del proceso...
... En donde ha estado....En donde se encuentra....Hacia donde se puede dirigir

Una Carta de control es simplemente un registro de datos en el tiempo con
límites de control superior e inferior, diferentes a los límites de
especificación.
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Cartas de control
Límite
Superior de
Control
12.5
11.5
10.5
Línea
Central
9.5
8.5
7.5
0
10
20
30
Límite
Inferior de
Control
Fig. 2.3 Carta de control con sus límites de control

Las cartas de
control pueden reconocer cambios favorables y
desfavorables. ¿Qué tanto se ha mejorado? …¿Se ha hecho algo
inadecuado?

Las cartas de control detectan la variación anormal en un proceso,
denominadas “causas especiales o causas asignables de variación.”

El patrón normal de un proceso se llama causas de variación comunes.

El patrón anormal debido a eventos especiales se llama causa especial de
variación.
Cartas de Control
Causa
especial
Causas
normales o
comunes
DEFINICION
Es una ayuda gráfica para el control de las variaciones
de los procesos administrativos y de manufactura.
Fig. 2.4 Analogía del manejo en carretera con el monitoreo
del proceso
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CAUSAS COMUNES Y CAUSAS ESPECIALES
La variabilidad natural siempre existe en cualquier proceso de producción, no
importa que tan bien diseñado esté. Esta variabilidad natural es denominada
causas comunes o aleatorias de variabilidad, un proceso que opera en estas
condiciones se dice que está en control estadístico.
SI LAS VARIACIONES PRESENTES SON IGUALES,
SE DICE QUE SE TIENE UN PROCESO “ESTABLE”.
LA DISTRIBUCION SERA “PREDECIBLE” EN EL TIEMPO
Predicción
Tiempo
Fig. 2.5
Proceso en control, solo causas comunes presentes
De la figura cuando el proceso está en control, la mayor parte de la producción se
encuentra dentro de los límites de control (LSC y LIC).
Existen otras fuentes de variabilidad que pueden ser causadas por máquinas,
errores de operadores, materiales defectuosos o alguna otra de las 6M’s (medio
ambiente, métodos, mediciones). Esta variabilidad es muy grande en relación con
la variabilidad natural y es originada por causas especiales o asignables haciendo
que el proceso opere fuera de control estadístico.
LIC
LSC
LSC
Fig. 2.6 Proceso fuera de control, con
presentes, el proceso no es predecible
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causas
especiales
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En una carta de control los patrones de anormalidad más comunes son: las
causas especiales, las tendencias crecientes o decrecientes y las corridas de nivel
Patrones de anormalidad
en la carta de control
“Escuche la Voz del Proceso”
M
E
D
I
D
A
S
C
A
L
I
D
A
D
Fig. 2.7
Región de control,
captura la variación
natural del proceso
original
LSC
LIC
Tendencia del proceso (7P)
Causa Especial
Corrida del Proceso (7P)
identifcada
TIEMPO
Patrones de anormalidad más frecuentes
Patrones principales de anormalidad en Cartas de Control
Puntos fuera de control: Una carta de control indicará una condición fuera de
control cuando uno o más puntos se encuentren más allá de los límites de control.
Tendencias: Se pueden presentar tendencias hacia arriba o hacia abajo en las
cartas de control (ascendentes o descendentes), se considera que 7 puntos o más
indican una situación fuera de control.
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Corrimiento en la media del proceso: Esto puede ser generado por un cambio
en métodos, operadores, materias primas, métodos de inspección, etc. se
considera que 7 puntos o más indican una situación fuera de control
Para reconocer un patrón de comportamiento no sólo se requiere conocer las
técnicas estadísticas, sino también es necesario tener un conocimiento profundo
del proceso. Debe tenerse cuidado de no exagerar en la aplicación de las reglas
ya que se pueden tener muchas falsas alarmas quitándole efectividad al programa
del CEP.
Proceso en Control estadístico: Sucede cuando no se tienen situaciones
anormales y aproximadamente el 68% (dos tercios) de los puntos de la carta se
encuentran dentro del 1  de las medias en la carta de control. Es decir, se tiene
aprox. el 68% de los puntos dentro del tercio medio de la carta de control.
En el libro de la Western Electric (1956) se recomiendan las reglas siguientes para
detectar patrones no aleatorios en las cartas de control:
1. Un punto fuera de los límites de control de 3-sigma.
2. Dos de tres puntos consecutivos sobre los límites preventivos a 2-sigma.
3. Cuatro de cinco puntos consecutivos que se encuentren a una distancia de 1sigma o más allá a partir de la línea central.
4. Ocho puntos consecutivos graficados hacia un lado de la línea central.
Algunas reglas adicionales recomendadas por la industria son:
5. Siete puntos formando una tendencia creciente o decreciente.
6. Quince puntos consecutivos encontrados entre más menos 1-sigma de la línea
central (adhesión a la media).
7. Catorce puntos en un renglón alternándose arriba y abajo.
8. Siete puntos que se encuentren más allá de 1-sigma de la línea central.
9. Un patrón no usual o no aleatorio de datos.
10. Uno o más puntos cerca de los límites preventivos.
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2.3 PROCESO DE MEJORA CON EL CEP
El proceso de mejora usando la carta de control requiere la acción de la
supervisión, operador e ingeniería, la carta de control sólo detecta causas
especiales o asignables.
Para identificar y eliminar las causas asignables, es importante encontrar las
causas raíz del problema y atacarlas para lo cual se puede utilizar el Plan de
acción para situaciones fuera de control (PASFC), activado con la ocurrencia de
cada evento. Es una lista de verificación, que indica las causas potenciales
asignables y acciones que resuelven la situación fuera de control. Este es un
documento vivo que debe ser actualizado constantemente.
ENTRADA
PROCESO
SALIDA
SISTEMA DE
EVALUACIÓN
Verificación
y seguimiento
Detección de causa
asignable
Implantar
Identificar causa
Acción
raíz del problema
Correctiva PASFC
Fig. 2.8 Proceso de mejora utilizando la carta de control
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MÓDULO 3. CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES
3.1 INTRODUCCIÓN
Una característica que se mide en una escala numérica se denomina una variable.
Por ejemplo temperaturas, dimensiones, volumen, tiempo, etc.

Para un control estadístico del proceso por variables, se utiliza la carta por
lecturas individuales y rango móvil (I-MR), para parámetros del proceso
donde sólo se toma una lectura a la vez.

Para control de las características del producto se pueden utilizar las cartas
de control de medias rangos ( X  R ) para monitorear la media y la
variabilidad, con objeto de evitar o minimizar que se tengan productos fuera
de especificaciones y estabilizar los procesos.
3.2 CARTAS PARA LECTURAS INDIVIDUALES / RANGO MÓVIL (I-MR)
Existen muchas situaciones donde el tamaño de muestra es n =1, por ejemplo:
1. Cuando hay inspección automática de parámetros o piezas individuales.
2. La tasa de producción es muy baja y no es inconveniente tomar muestras de
más de una pieza.
3. Las mediciones entre unidades muestra difieren muy poco (sólo por errores de
medición de laboratorio) como en procesos químicos.
En tales situaciones se utiliza la carta de control por lecturas individuales. Los
rangos móviles se empiezan a calcular a partir de la segunda muestra, tomando la
diferencia entre cada dos valores consecutivos como sigue:
MR i = X i  X i 1 .
Ejemplo 3.1 Se toman varios datos de viscosidades y se
construye una carta de lecturas individuales, donde el rango
se calcula tomando cada dos valores consecutivos, por tanto
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el valor de n = 2 y habrá (m – 1) rangos en total. Con m =
número de valores individuales.
Por ejemplo:
Valores individuales
12
15
11
14
8
9
Rango
3
4
3
6
1
Al final se hace un promedio de los valores individuales X y
un promedio de rangos móviles R y los límites de control para
la carta I-MR se calculan con las fórmulas siguientes:
Para este caso, los límites de control para la carta X son (n = 2 ):
MR
LSCx = X  3
;
d2
__
LCx
=
X
;
LICx = X  3
MR
d2
Carta de lecturas individuales y rango móvil (I-MR)
Terminología
k = número de piezas
n = 2 para calcular los rangos
x = promedio de los datos
R = rango de un subgrupo de dos piezas consecutivas
R = promedio de los (n - 1) rangos
x =
x1 + x2 + x3 + ...+ xN
n
n
2
LSCX = x + E2 R
D4
3.27
LICX = x -- E2 R
D3
0
LSCR = D4 R
E2
2.66
LICR = D3 R
(usar estos factores para calcular Límites de Control n = 2)
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I-MR Chart of Supp1
1
1
U C L=601.176
Individual V alue
601
600
_
X=599.548
599
598
LC L=597.920
1
1
10
20
30
40
50
60
O bser vation
70
80
90
100
1
M oving Range
2.4
1
U C L=2.000
1.8
1.2
__
M R=0.612
0.6
0.0
LC L=0
1
10
20
30
40
50
60
O bser vation
70
80
90
100
Figura 3.1 Carta de control de lecturas individuales y rango
móvil I-MR
El proceso no está en control estadístico.
Identificando las causas de anormalidad en los puntos 39, 55 y 82 y tomando
acciones para prevenir la reincidencia, se eliminan los puntos fuera de control y se
recalculan los límites de control:
I-MR Chart of Supp1_1
Individual V alue
601
U C L=601.000
600
_
X=599.532
599
598
LC L=598.064
1
1
10
20
30
40
50
O bser vation
60
70
80
90
1
2.0
M oving Range
U C L=1.804
1.5
1.0
__
M R=0.552
0.5
0.0
LC L=0
1
10
20
30
40
50
O bser vation
60
70
80
90
Figura 3.2 Carta de control I-MR estabilizada
Ejercicio 3.1 Hacer una carta I-MR utilizando las fichas de ejemplo por equipos.
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RANGOS
R
4
5
6
7
8
9
10
11
X
12
13
14
L.S.C.x
MAQUINA
15
16
17
L.I.C.x
18
CARACTERÍSTICA
19
20
R
21
22
CALIBRADOR
23
L.S.C. R
24
25
T. MUESTRA
26
L.I.C. R
27
28
FRECUENCIA
29
30
TIPO DE EVALUA.
FECHA DE TERMINO
INSTRUCCIONES
% Z Inf.:
CPK:
CONSTANTES
A) Fin de corrida de producción
B) Falta de material
C) Ajuste de línea / máquina
D) Cambio de modelo
E) Fin de turno
F) Otro (indicar)
4.- Indique en el último renglón, justo abajo
del subgrupo correspondiente, las causas por
las cuales se deja de graficar de acuerdo a la
frecuencia indicada, si es que se presentan
el caso. Utilice las siguientes claves:
3.- Registre la (s) causa (s) del
comportamiento en la bitácora (al reverso de
la gráfica), así como las acciones realizadas
o propuestas para corregir la falla.
2.- Investigue y corrija la causa del
comportamiento. Si no es posible llame a su
supervisor o Ing. de Manufactura.
1.- Encierre en un círculo los patrones
anormales de comportamiento ( puntos fuera
de los límites de control, tendencias,
adhesiones, etc).
% NC:
% Z Sup.:
Cp. :
2.67 1.13 0 3.27
3
L.I.E.
OPERACIÓN
FECHA DE INICIO
R
2
L.S.E.
ÁREA
No. DE GRAFICA
E2 D2 D3 D4
1
NOMINAL
No. DE PARTE
GRAFICA DE CONTROL DE LECTURAS INDIVIDUALES
X
INICIALES
LECTURAS
x
UNIDADES
HORA
NOMBRE DE PARTE
FECHA
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VALORES
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RANGOS
R
4
5
6
7
8
9
10
11
X
12
13
14
L.S.C.x
MAQUINA
15
16
17
L.I.C.x
18
CARACTERÍSTICA
19
20
R
21
22
CALIBRADOR
23
L.S.C. R
24
25
T. MUESTRA
26
L.I.C. R
27
28
FRECUENCIA
29
30
TIPO DE EVALUA.
FECHA DE TERMINO
INSTRUCCIONES
% Z Inf.:
CPK:
CONSTANTES
A) Fin de corrida de producción
B) Falta de material
C) Ajuste de línea / máquina
D) Cambio de modelo
E) Fin de turno
F) Otro (indicar)
4.- Indique en el último renglón, justo abajo
del subgrupo correspondiente, las causas por
las cuales se deja de graficar de acuerdo a la
frecuencia indicada, si es que se presentan
el caso. Utilice las siguientes claves:
3.- Registre la (s) causa (s) del
comportamiento en la bitácora (al reverso de
la gráfica), así como las acciones realizadas
o propuestas para corregir la falla.
2.- Investigue y corrija la causa del
comportamiento. Si no es posible llame a su
supervisor o Ing. de Manufactura.
1.- Encierre en un círculo los patrones
anormales de comportamiento ( puntos fuera
de los límites de control, tendencias,
adhesiones, etc).
% NC:
% Z Sup.:
Cp. :
2.67 1.13 0 3.27
3
L.I.E.
OPERACIÓN
FECHA DE INICIO
R
2
L.S.E.
ÁREA
No. DE GRAFICA
E2 D2 D3 D4
1
NOMINAL
No. DE PARTE
GRAFICA DE CONTROL DE LECTURAS INDIVIDUALES
X
INICIALES
LECTURAS
x
UNIDADES
HORA
NOMBRE DE PARTE
FECHA
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3.3 CARTAS DE CONTROL DE MEDIAS-RANGOS (X-R)
Para elaborar la carta, inicialmente se toman al menos 25 subgrupos con muestras
de cinco partes cada cierto periodo (por ejemplo cada hora), se determinan los
límites de control preliminares, se identifican situaciones fuera de control, se
investigan las causas y se toman acciones preventivas para prevenir la
reincidencia y se recalculan los límites de control futuros.
LSC = X + A2 R
LIC = X - A2 R
El valor de A2 se encuentra tabulado en una tabla de constantes.
Para el caso de los rangos, la línea central es R . los límites de control para el
rango son:
LSC = D4 R
LIC = D3 R
Ejemplo 3.2 Se toman varios datos de hilos y se construye una
carta de medias – rangos con m = subgrupos, donde el rango se
calcula
tomando
el
valor
mayor
menos
subgrupo, con n = 5.
Por ejemplo:
Variables
X1
X2
X3
X4
X5
Media
Rango
Subgrupo
1
2
4
3
5
1
09:00 a.m.
3
4
Subgrupo
2
5
3
6
7
4
10:00 a.m.
5
4
Subgrupo
m
3
4
1
5
2
11:00 a.m.
3
4
Página 41 de 105
el
valor
menor
del
CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
P. REYES /JUNIO 2007
Se obtiene una media de medias X y un rango promedio R, para
proceder a determinar los límites de control como sigue:
Carta X, R
Terminología
k = número de subgrupos; n = número de muestras en cada subgrupo
Xi = promedio para un subgrupo
X = promedio de todos los promedios de los subgrupos
Ri = rango de un subgrupo
R = promedio de todos los rangos de los subgrupos
xi =
x1 + x2 + x3 + ...+ xN
n
x1 + x2 + x3 + ...+ xN
x =
k
LSCX = x + A2 R
LICX = x - A2 R
NOTA: Los factores a considerar
para n = 5
LSCR = D4 R
LICR = D3 R
Son A2 = 0.577 D3 = 0
D4 = 2.114
Donde las constantes A2, d2 D3 y D4 se encuentran tabuladas en función de n para
facilitar el cálculo de los límites de control como sigue:
Tabla 3.1 Constantes para límites de control en cartas X-R
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A2
1.88
1.023
0.729
0.577
0.483
0.419
0.373
0.337
0.308
D3
0
0
0
0
0
0.076
0.136
0.184
0.223
D4
3.267
2.574
2.282
2.115
2.004
1.924
1.864
1.816
1.777
Página 42 de 105
d2
1.128
1.693
2.059
2.326
2.534
2.704
2.847
2.97
3.078
CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
P. REYES /JUNIO 2007
LIMITES PRELIMINARES
Siempre que un proceso este siendo analizado a través de una carta de control, es
muy importante llevar una bitácora registrando todos los cambios (tiempo y
descripción) conforme ocurran, por ejemplo: cambio de turno, cambio de
materiales, ajuste de máquina, interrupción de energía, arranque de máquina, etc.
Con objeto de identificar las causas asignables en caso de presentarse para la
toma de acciones correctivas.
Al iniciar una carta de control tomando m subgrupos (20 a 25) se calculan y
grafican los límites de control preliminares para determinar si el proceso estuvo en
control. Para probar esta hipótesis, se analizan todos los puntos graficados y se
hace un análisis para identificar si hay puntos fuera de los límites de control o
patrones anormales de comportamiento, si así fuera, los límites de control
preliminares se pueden utilizar para el control futuro del proceso.
Cuando no sea posible encontrar causas especiales para los patrones de
anormalidad o puntos fuera de control, no se eliminan y se consideran para la
determinación de los límites de control revisados para el control futuro del proceso.
Ejemplo 3.2: de Carta X media – Rango en Minitab:
0. File > Open Worksheet Camshaft.Mtw
1. Stat > Control Charts > Variable charts for subgroups > X bar R
2. Single column Supp2 Subgroup size 5
3. Test Seleccionar Perform all eight tests
4. OK
¿esta el proceso en control estadístico?
La carta resultante es la siguiente:
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Xbar-R Chart of Supp2
1
1
Sample M ean
U C L=602.474
602
_
_
X=600.23
600
598
LC L=597.986
2
4
6
8
10
Sample
12
14
16
18
20
U C L=8.225
Sample Range
8
6
_
R=3.890
4
2
0
LC L=0
2
4
6
8
10
Sample
12
14
16
18
20
Figura 3.3 Carta de control X-R fuera de control
Después de identificar las causas de las situaciones fuera de control en los
subgrupos 2 y 14 y tomando acciones preventivas para evitar la reincidencia, se
eliminan los subgrupos fuera de control y se recalculan los límites de control.
Xbar-R Chart of Supp2
U C L=602.247
Sample M ean
602
601
_
_
X=599.938
600
599
598
LC L=597.629
2
4
6
8
10
Sample
12
14
16
18
U C L=8.465
Sample Range
8
6
_
R=4.003
4
2
0
LC L=0
2
4
6
8
10
Sample
12
14
16
18
Figura 3.4 Carta de control de medias rangos X-R estable
Una vez que el proceso está en control se calcula la capacidad del proceso.
Ejercicio 3.2
Hacer una carta X-R utilizando las fichas de ejemplo por equipos.
Página 44 de 105
R
PROMEDIOS
x
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
INSTRUCCIONES
CAUSAS DE NO
REGISTRO
R
X
% Z Inf.:
CPK:
A2
D4
0
0
0
0
D3
B4
2.33 2.09
2.06 2.27
1.70 2.57
1.13 3.27
d2
CONSTANTES
A) Fin de corrida de
producción
B) Falta de material
C) Ajuste de línea / máquina
D) Cambio de modelo
E) Fin de turno
F) Otro (indicar)
0
0
0
0
B3
4.- Indique en el último
renglón, justo abajo del
subgrupo correspondiente, las
causas por las cuales se deja
de graficar de acuerdo a la
frecuencia indicada, si es que
se presentan el caso. Utilice
las siguientes claves:
3.- Registre la (s) causa (s)
del comportamiento en la
bitácora (al reverso de la
gráfica), así como las
acciones realizadas o
propuestas para corregir la
falla.
2.- Investigue y corrija la
causa del comportamiento. Si
no es posible llame a su
supervisor o Ing. de
Manufactura.
1.- Encierre en un círculo los
patrones anormales de
comportamiento ( puntos fuera
de los límites de control,
tendencias, adhesiones, etc).
% NC:
% Z Sup.:
Cp. :
5 0.58 2.11
9
L.I.C. R
TIPO DE EVALUACIÓN
5
SUMA
8
L.S.C. R
FRECUENCIA
4 0.73 2.28
7
R
MUESTRA
4
6
L.I.C.x
CALIBRADOR
3 1.02 2.57
5
L.S.C.x
CARACTERÍSTICA
3
4
X
MAQUINA
FECHA DE TERMINO
2 1.88 3.27
3
L.I.E.
OPERACIÓN
FECHA DE INICIO
2
2
L.S.E.
ÁREA
No. DE GRAFICA
n
1
NOMINAL
No. DE PARTE
GRAFICA DE CONTROL DE PROMEDIOS Y RANGOS
1
INICIALES
UNIDADES
HORA
NOMBRE DE PARTE
FECHA
LECTURAS
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RANGOS
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R
PROMEDIOS
x
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
INSTRUCCIONES
CAUSAS DE NO
REGISTRO
R
X
% Z Inf.:
CPK:
A2
D4
0
0
0
0
D3
B4
2.33 2.09
2.06 2.27
1.70 2.57
1.13 3.27
d2
CONSTANTES
A) Fin de corrida de
producción
B) Falta de material
C) Ajuste de línea / máquina
D) Cambio de modelo
E) Fin de turno
F) Otro (indicar)
0
0
0
0
B3
4.- Indique en el último
renglón, justo abajo del
subgrupo correspondiente, las
causas por las cuales se deja
de graficar de acuerdo a la
frecuencia indicada, si es que
se presentan el caso. Utilice
las siguientes claves:
3.- Registre la (s) causa (s)
del comportamiento en la
bitácora (al reverso de la
gráfica), así como las
acciones realizadas o
propuestas para corregir la
falla.
2.- Investigue y corrija la
causa del comportamiento. Si
no es posible llame a su
supervisor o Ing. de
Manufactura.
1.- Encierre en un círculo los
patrones anormales de
comportamiento ( puntos fuera
de los límites de control,
tendencias, adhesiones, etc).
% NC:
% Z Sup.:
Cp. :
5 0.58 2.11
9
L.I.C. R
TIPO DE EVALUACIÓN
5
SUMA
8
L.S.C. R
FRECUENCIA
4 0.73 2.28
7
R
MUESTRA
4
6
L.I.C.x
CALIBRADOR
3 1.02 2.57
5
L.S.C.x
CARACTERÍSTICA
3
4
X
MAQUINA
FECHA DE TERMINO
2 1.88 3.27
3
L.I.E.
OPERACIÓN
FECHA DE INICIO
2
2
L.S.E.
ÁREA
No. DE GRAFICA
n
1
NOMINAL
No. DE PARTE
GRAFICA DE CONTROL DE PROMEDIOS Y RANGOS
1
INICIALES
UNIDADES
HORA
NOMBRE DE PARTE
FECHA
LECTURAS
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RANGOS
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MÓDULO 4. CAPACIDAD DE PROCESOS NORMALES
4.1 INTRODUCCIÓN
Su propósito es determinar la capacidad del proceso para cumplir especificaciones
o requerimientos establecidos, se usa para:
1. Predecir que tanto el proceso cumple especificaciones
2. Apoyar a diseñadores de producto o proceso en sus modificaciones
3. Especificar requerimientos de desempeño de equipo nuevo
4. Seleccionar proveedores
5. Reducir la variabilidad en el proceso de manufactura
6. Planear la secuencia de producción cuando hay un efecto interactivo de los
procesos en las tolerancias.
LSE
Especificación
superior
LIE
Especificación
inferior
Z
s
xi
_
X
p = porcentaje de partes fuera de Especificaciones
Fig. 4.1 Capacidad del proceso
La capacidad de los procesos para cumplir especificaciones se refiere a la
uniformidad de los procesos medida como la variabilidad del producto, hay dos
formas de pensar en esta variabilidad:
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1. La variabilidad natural en un cierto tiempo (variabilidad instantánea).
2. La variabilidad en el tiempo.
Es usual tomar 6-sigma de la población  como la dispersión en la distribución de
la característica de calidad del producto como medida de la capacidad del
proceso.
Los límites de tolerancia natural del proceso, superior (LTNS) e inferior (LTNI) , se
encuentran en   3 , o sea:
LTNS =  + 3 
LTNI =  - 3 
Para un proceso normal, los límites de tolerancia naturales incluyen 99.73% de la
variable, sólo el 0.27% (2700 ppm) de la salida del proceso se encontrará fuera de
estos limites de tolerancia naturales. Sin embargo, si el proceso no es normal, el
porcentaje puede diferir grandemente. Esto se esquematiza en la figura siguiente:
.00135 LTNI

LTNS .00135
Fig.4.2 Localización de los límites de tolerancia natural
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¿Cómo vamos a mejorar esto?
Podemos reducir la desviación estándar...
Podemos cambiar la media...
O (lo ideal sería, por supuesto) que podríamos cambiar ambas
Cualquiera que sea la mejora que lleve a cabo,
asegurarse que se mantenga
Fig. 4.3 Acciones para mejorar la Capacidad del proceso
Teoría del camión y el túnel
•El túnel tiene 9' de ancho (especificación). El camión tiene 10’ y el chofer es perfecto
(variación del proceso). ¿Pasaría el camión? NO, la variabilidad del proceso es mayor
que la especificación.
•Centrar es hacer que el promedio del proceso sea igual al centro de la
especificación. Si el camión tiene 8 pies de ancho ¿pasará el camión?, Si. Si
el chofer puede mantener el centro del camión en el centro del túnel. De otra forma
chocará con las paredes del túnel y no pasará a pesar de ser más angosto.
El proceso debe estar en control, tener capacidad y estar centrado
Ancho 9´
Nigel´s Trucking Co.
Fig. 4.4 Capacidad potencial (Cp) y capacidad real del
proceso (Cpk)
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Capacidad del proceso – Fracción defectiva
La capacidad en función de la fracción defectiva del Proceso se calcula
En función de la fracción defectiva para cada lado del rango de Especificación.
Rango medio
Desv. Est.=
Constante d2 de acuerdo al tamaño de subgrupo en X-R
Los valores de Z inferior y Z superior se calculan de acuerdo a las fórmulas
Siguientes:
Zi
=
LIE - promedio del proceso
Desviación Estandar
Zs
=
LSE - Promedio del proceso
Desviación Estandar
La fracción defectiva se calcula con las tablas de distribución normal
P(Zi) = Área en tabla (-Z)
P(Zs) = 1 – Área corresp. a Zs en tabla (+Z)
Fracción defectiva = P(Zi) + P(Zs)
Fig. 4.5 Cálculo de la fracción defectiva
4.2 ÍNDICES DE CAPACIDAD
ÍNDICE DE CAPACIDAD POTENCIAL Cp
compara la amplitud de variación permitida por las especificaciones entre la
amplitud de variación entre los límites de tolerancia naturales del proceso.
Cp 
LSE  LIE
6
Ejemplo 4.1 para el caso de anillos de pistones, donde el LSE
= 74.05mm y el LIE= 73.95mm y de la carta R se estimó

R
 0.0099
d2
por tanto se tiene:
Cp = PCR = (LSE – LIE) / 6
= (74.05 – 73.95) / 6 (0.0099)
Página 50 de 105
= 1.68
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La función P (inverso de Cp) es el porcentaje de la banda de
especificaciones usada por el proceso.
 1 
100
P  
 Cp 
Para el caso del ejemplo se tiene:
P = [(1/1.68)] 100 = 59.5%
Cuando sólo existe un límite de especificaciones, el índice de capacidad potencial
Cp o PCR se define como:
Cps  PCR S 
LSE  
3
para el límite superior
Cpi  PCR I 
  LIE
3
para el límite inferior
Ejemplo 4.2
Para el caso de la resistencia de las botellas
de vidrio, si el LIE = 200psi,
Cp 
264  200 64

 0.67
3(32)
96
Lo cual indica falta de habilidad, la fracción abajo del
límite inferior es:
ZI 
LIE  


200  264
 2
32
P(x <= ZI) = 0.0228 o 2.28% por debajo del límite inferior de
especificaciones.
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Se recomienda que para procesos existentes el mínimo Cp sea de 1.33 y de 1.67
para procesos críticos, el ideal es 2.0 para procesos nuevos como es el caso de
Motorola en su programa 6-sigma. Este índice no toma en cuenta la localización
relativa de la media del proceso respecto a los límites de especificaciones. Por lo
que es necesario otro índice adicional.
INDICE DE CAPACIDAD REAL Cpk
Este índice si toma en cuenta el centrado del proceso respecto a las
especificaciones, en este caso se denomina Cpk, y se evalúa tomando el mínimo
entre los Cp’s correspondientes a cada lado de la media, como sigue,
Cpk  PCRk  min( PCRS , PCRI ) debe ser mayor a 1
donde, Cps  PCR S 
LSE  
3
ó Cpi  PCR I 
  LIE
3
Ejemplo 4.3 Para un proceso donde los límites de
especificación sean LSE=62, LIE=38, la media del proceso sea
=53 y su desviación estándar =2, se tiene:
Cps  PCR S 
62  53
 1.5 para el límite superior
32
Cpi  PCR I 
53  38
 2.5 para el límite inferior
32
Por tanto, el índice de capacidad real es:
Cpk  PCRk  min( PCRS , PCRI )  min(1.5,2.5)  1.5
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Siempre se cumple que, Cpk <= Cp, Siendo el Cpk menor cuando el proceso no
está centrado.
Cálculo de la capacidad del proceso
Habilidad o capacidad potencial
Cp = (LSE - LIE ) / 6 
Debe ser  1
para tener el potencial de
cumplir con especificaciones (LIE, LSE)
Habilidad o capacidad real
El Cpk debe ser  1 para que el
proceso cumpla especificaciones
Cpk = Menor | ZI - ZS | / 3
4.3 PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR ESTUDIOS DE
CAPACIDAD DEL PROCESO
1. Seleccionar una máquina donde realizar el estudio.
2. Seleccionar las condiciones de operación del proceso.
3. Seleccionar un operador entrenado.
4. El sistema de medición debe tener una resolución de al menos el 10% y una
habilidad (error R&R < 10%).
5. Cuidadosamente colectar la información en una carta de control X-R o I-MR.
6. Construir la carta de control y estabilizar el proceso a que este en control.
7. Calcular la media y desviación estándar del proceso (S = Rmedia / d2).
8. Calcular las Z’s correspondientes al límites superior de especificaciones Zs y al
límite inferior de especificaciones Zi.
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9. Determinar la fracción defectiva con la tabla normal P(Zs) + P(Zi).
10. Calcular el índice de capacidad potencial Cp = (LSE – LIE) / (6*s), debe ser
mayor a 1.
11. Determinar el índice de capacidad real Cpk = Menor |Zs; Zi| / 3, debe ser
mayor a 1.
12. Tomar las acciones correctivas necesarias
Ejemplo 4.4:
De una carta de control X - R (con subgrupos de n = 5), después de que el
proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes, se obtuvo lo siguiente:
Xmedia de medias = 264.06
Rmedio = 77.3
Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:
 = X media de medias
 = Rmedio / d2 =77.3 / 2.326 = 33.23
[ d2 para n = 5 tiene el valor 2.326]
Si el límite de especificación es: LIE = 200.
El Cpk = (200 - 264.06) / (77.3) (3) = 0.64 por tanto el proceso no cumple con las
especificaciones
Ejercicio 4.5
De una carta de control X - R (con tamaño de subgrupo n = 5), después de que el
proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 36, LSE = 46) se
obtuvo lo siguiente:
Xmedia de medias = 40
Rmedio = 5
a) Determinar la fracción defectiva
b) Determinar el Cp
c) Determinar el Cpk
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4.4 CAPACIDAD DE PROCESOS CON MINITAB NORMALES
Capacidad de procesos normales
Una vez comprobada la normalidad de los datos, determinar la capacidad con:
1. Stat > Quality tools > Capability analysis > Normal
2. Single column C1 Subgroup size 1 Lower Spec 200 Upper spec 330
3. Estimate R-bar OK
Los resultados se muestran a continuación:
Process Capability of Datos
LSL
USL
P rocess Data
LS L
200.00000
Target
*
USL
330.00000
S ample M ean
269.25354
S ample N
100
S tDev (Within)
30.83472
S tDev (O v erall)
30.80011
Within
Ov erall
P otential (Within) C apability
Cp
0.70
C PL
0.75
C PU
0.66
C pk
0.66
C C pk 0.70
O v erall C apability
Pp
PPL
PPU
P pk
C pm
210
O bserv ed P erformance
P P M < LS L
10000.00
P P M > U S L 30000.00
P P M Total
40000.00
240
E xp. Within P erformance
P P M < LS L 12353.30
P P M > U S L 24415.36
P P M Total
36768.66
270
300
330
0.70
0.75
0.66
0.66
*
360
E xp. O v erall P erformance
P P M < LS L
12272.69
P P M > U S L 24288.79
P P M Total
36561.48
Fig. 4.6 Capacidad de procesos normales
Interpretación:
La desviación estándar Within se determina en base al Rango medio y d2
(1.128 para n = 2), con esta se determinan los índices de capacidad potencial
Cp y real Cpk, lo cual es adecuado para un proceso en control o normal.
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La desviación estándar Overall se determina con la desviación estándar de
todos los datos de la muestra dividido entre el factor C4 = 4(n-1)/(4n – 3), con esta
desviación estándar se determinan los índices de desempeño Pp y Ppk así
como el desempeño Overall, no importando si el proceso está en control o no, en
este último caso los valores no tienen significado práctico.
Opción Six Pack
Para mostrar toda la información relevante:
Determinar la capacidad con:
4. Stat > Quality tools > Capability Six Pack > Normal
5. Single column C1 Subgroup size 5 Lower Spec 200 Upper spec 330
6. Estimate R-bar OK
Los resultados se muestran a continuación:
Process Capability Sixpack of Datos
Individual Value
I C har t
C apability H istogr am
UCL=361.8
320
_
X=269.3
240
160
LCL=176.7
1
10
20
30
40
50
60
70
80
M oving Range C har t
100
210
100
50
270
300
330
360
Nor mal P r ob P lot
A D: 0.317, P : 0.533
UCL=113.6
__
MR=34.8
0
LCL=0
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
200
Last 2 5 O bser vations
300
400
C apability P lot
Within
S tDev 30.83472
Cp
0.70
C pk
0.66
C C pk
0.70
300
Values
240
1
1
Moving Range
90
250
200
Within
Overall
O v erall
S tD ev 30.80011
Pp
0.70
P pk
0.66
C pm
*
Specs
80
85
90
Observation
95
100
Fig. 4.7 Resultados de capacidad del proceso Six Pack
En este caso se observa que los datos siguen una distribución normal.
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CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
P. REYES /JUNIO 2007
5. ESTUDIOS DE CAPACIDAD DE EQUIPOS DE MEDICIÓN
En cualquier problema que involucre mediciones, de la variabilidad total parte de la
variabilidad observada es debida al producto mismo y parte es debida a la
variación del equipo de medición, o sea:
Posibles Fuentes de la Variación del Proceso
Variación del proceso
Variación
proceso,
real
Variación
deldel
proceso,
real
Variación dentro de la
muestra
Repetibilidad
Variación de la medición
Variación
originada
Equipo
de
mediciòn
por el calibrador
Estabilidad
Reproducibilidad
Linealidad
Sesgo
Calibración
Fig. 5.1 Diagrama de variabilidad observada en el proceso
Definiciones
 Reproducibilidad: Es la variación, entre promedios de las mediciones hechas
por diferentes operadores que utilizan un mismo instrumento de medición
cuando miden las mismas características en una misma parte.
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P. REYES /JUNIO 2007
Operador-B
Operador-C
Operador-A
Reproducibilidad
Fig.5.2 Evaluación de la reproducibilidad

Repetibilidad: es la variación de las mediciones obtenidas con un instrumento
de medición, cuando es utilizado varias veces por un operador, al mismo
tiempo que mide las mismas características en una misma parte.
REPETIBILIDAD
Fig. 5.3 Evaluación de la repetibilidad

Valor verdadero: Valor correcto teórico / estándares NIST2

Precisión: Es la habilidad de repetir la misma medida cerca o dentro de una
misma zona

Exactitud : Es la diferencia entre el promedio del número de medidas y el valor
verdadero.
2
·En EUA se tiene el NIST (National Institute of Standards ando Technology),En México se tiene el
CENEAM o el Centro Nacional de Metrología
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CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES

P. REYES /JUNIO 2007
Resolución: La medición que tiene exactitud y precisión.
Preciso pero no exacto
Exacto pero no preciso
Exacto y preciso
(resolución)
Fig. 5.4 Evaluación de la precisión y exactitud
- Estabilidad: es la variación total de las mediciones obtenidas con un sistema de
medición, hechas sobre el mismo patrón o sobre las mismas partes, cuando se
mide una sola de sus características, durante un período de tiempo prolongado.
Tiempo 2
Tiempo 1
Fig. 5.5 Evaluación de la estabilidad

Linealidad: diferencia en los valores de la escala, a través del rango de
operación esperado del instrumento de medición.
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CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
Valor
verdadero
P. REYES /JUNIO 2007
Valor
verdadero
Sesgo
Menor
Sesgo
mayor
(rango inferior)
(rango superior)
Rango de Operación del equipo
Fig. 5.6 Evaluación de la linealidad

Sesgo: distancia entre el valor promedio de todas las mediciones y el valor
verdadero. Error sistemático o desviación.
Valor
Verdadero

Sesgo
Fig. 5.7 Evaluación del sesgo

Calibración: Es la comparación de un estándar de medición
con exactitud
conocida con otro instrumento para detectar, reportar o eliminar por medio del
ajuste, cualquier variación en la exactitud del instrumento.
 Importante: para que el equipo de medición tenga una discriminación
adecuada en la evaluación de las partes, su
resolución debe ser al menos
1/10 de la variabilidad del proceso.
<10% Aceptable
10-30%. Puede ser aceptable, para características no críticas.
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CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
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>30%. ¡Inaceptable!
En otras industrias fuera de la automotriz se acepta un error total de R&R del 25%
como máximo.
Estudio de R&R Método largo
• Generalmente intervienen de dos a tres operadores
• Generalmente se toman 10 unidades
• Cada unidad es medida por cada operador, 2 ó 3 veces.

La resolución del equipo de medición debe ser de al menos el 10% del rango
de tolerancia o del rango de variación del proceso.

Las partes deben seleccionarse al azar, cubriendo el rango total del proceso.
Es importante que dichas partes sean representativas del proceso total (80%
de la variación)

10 partes NO son un tamaño de muestra significativo para una opinión
sólida sobre el equipo de medición a menos que se cumpla el punto
anterior.
Procedimiento para realizar un estudio de R&R
1. Asegúrese de que el equipo de medición haya sido calibrado.
2. Marque cada pieza con un número de identificación que no pueda ver la
persona que realiza la medición.
3. Haga que el primer operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo
un orden al azar.
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CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
P. REYES /JUNIO 2007
4. Haga que el segundo operador mida todas las muestras una sola vez,
siguiendo un orden al azar.
5. Continúe hasta que todos los operadores hayan medido las muestras una sola
vez (este es el intento 1).
6. Repita los pasos 3-4 hasta completar el número requerido de ensayos
7. Determine las estadísticas del estudio R&R
 Repetibilidad
 Reproducibilidad
 % R&R
 Desviaciones estándar de cada uno de los conceptos mencionados
 Análisis del porcentaje de tolerancia
8. Analice los resultados y determine las acciones a seguir si las hay.
Métodos de estudio del error R&R:
I. Método de Promedios- Rango
 Permite separar en el sistema de medición lo referente a la Reproducibilidad y
a la Repetibilidad.

Los cálculos son más fáciles de realizar.
II. Método ANOVA

Permite separar en el sistema de medición lo referente a la Reproducibilidad y
a la Repetibilidad.

También proporciona información acerca de las interacciones de un operador
y otro en cuanto a la parte.

Calcula las varianzas en forma más precisa.

Los cálculos numéricos requieren de una computadora.
 El Método ANOVA es más preciso
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CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
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Ejemplo 5.1 Método de ANOVA en Minitab:
1. STAT>QUALITY TOOLS>GAGE STUDY > Gage R&R (Crossed)
2. Seleccione C1 (parte), C2 (operador), C3 (Medición)
3. Método de Análisis ANOVA
4. En Options Seleccionar: Study variation 5.15
Process tolerance 0.006 Alfa to
remove interaction 0.25
5. OK
Los resultados se muestran a continuación: Gage R&R Study - ANOVA Method
Two-Way ANOVA Table With Interaction
Source
Partes
Operadores
Partes * Operadores
Repeatability
Total
DF
9
2
18
60
89
SS
0.0000086
0.0000002
0.0000014
0.0000063
0.0000165
MS
0.0000010
0.0000001
0.0000001
0.0000001
F
12.2885
0.9605
0.7398
P
0.000
0.401
0.757
Los operadores y la interacción no fueron significativos, sólo las partes
Two-Way ANOVA Table Without Interaction
Source
DF
SS
MS
Partes
9 0.0000086 0.0000010
Operadores
2 0.0000002 0.0000001
Repeatability 78 0.0000077 0.0000001
Total
89 0.0000165
F
9.67145
0.75592
P
0.000
0.473
Gage R&R
%Contribution
(of VarComp)
50.93
50.93
0.00
0.00
49.07
100.00
Source
Total Gage R&R
Repeatability
Reproducibility
Operadores
Part-To-Part
Total Variation
VarComp
0.0000001
0.0000001
0.0000000
0.0000000
0.0000001
0.0000002
Source
Total Gage R&R
Repeatability
Reproducibility
Operadores
Part-To-Part
Total Variation
StdDev (SD)
0.0003150
0.0003150
0.0000000
0.0000000
0.0003092
0.0004414
Study Var
(5.15 * SD)
0.0016222
0.0016222
0.0000000
0.0000000
0.0015923
0.0022731
Number of Distinct Categories = 1
Página 63 de 105
%Study Var
(%SV)
71.36
71.36
0.00
0.00
70.05
100.00
%Tolerance
(SV/Toler)
27.04
27.04
0.00
0.00
26.54
37.88
CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
P. REYES /JUNIO 2007
En este caso el sistema de medición no es adecuado para el control de proceso
(%SV), ni para el control del producto final (%Tolerance) que debe ser menor
al 10%.
La interacción no es significativa, y los errores de R&R indican que equipo de
medición no es adecuado, ni el número de categorías (debe ser al menos 4).
Gage R&R (ANOVA) for Datos
Reported by :
Tolerance:
M isc:
G age name:
Date of study :
Components of Variation
Datos by Partes
80
% Contribution
0.006
Percent
% Study Var
% Tolerance
40
0
0.005
0.004
Gage R&R
Repeat
Reprod
1
Part-to-Part
2
3
R Chart by Operadores
Sample Range
1
2
3
0.006
0.0005
_
R=0.000417
0.005
0.0000
LCL=0
1
0.0050
8
9
10
2
Operadores
3
Operadores * Partes Interaction
3
Operadores
UCL=0.005143
_
_
X=0.004717
0.0045
LCL=0.004290
Average
Sample Mean
2
7
0.004
Xbar Chart by Operadores
1
5
6
Partes
Datos by Operadores
UCL=0.001073
0.0010
4
1
0.0050
2
3
0.0045
0.0040
0.0040
1
2
3
4
5
6
Partes
7
8
9
10
Fig. 5.16 Evaluación de la capacidad de sistemas de medición
En este caso la carta R está en control indicando que las mediciones fueron
realizadas adecuadamente.
En el caso de la carta X se muestra que el sistema de medición no discrimina las
partes diferentes que se les presentaron, debe indicar discriminación, mostrando
al menos el 50% de puntos fuera de control.
Las conclusiones son similares que con el método de X barra – R.
En Excel se puede hacer estos cálculos utilizando los formatos siguientes:
Página 64 de 105
columna 1
Página 65 de 105
0.0050
0.0050
0.0040
0.0470
Suma
XA :
8
9
10
Totales
0.000416667
R:
0.0050
0.0045
0.0055
0.0050
0.0045
0.0045
0.0050
0.0040
0.0455
RA :
0.0050
0.0045
0.0045
0.0045
0.0045
0.0045
0.0045
0.0045
-
D4
0.00035
0.0005
0.0035
-
0.0005
0.0010
0.0005
-
-
0.0010
R x D4
0.001075
LSCR =
2.58
Rango
columna 4
LSCR =
3
# Intentos
3er Intento
columna 3
0.0048
0.0040
0.0467
0.0050
0.0047
0.0050
0.0048
0.0045
0.0045
0.0048
0.0045
X
Promedio
Nota : Las constantes y las formulas estan establecidas para 3 intentos y 3 operadores
0.0005
0.00125
RC :
SUM:
0.0004
0.0050
7
0.00035
0.0050
6
RB :
0.1400
0.004666667
0.0050
0.0045
4
5
RA :
0.0045
0.0040
0.0475
0.0045
3
0.0055
0.0045
0.0045
0.0045
2do Intento
columna 2
2
1er Intento
A.-
1
Muestra
OPERADOR
Calibrador Digital
0.0060
No. y Nombre de GAGE: 8881-H
4600066 PARTE A
No. de Parte y Nombre:
Tolerancia Especificada:
XB :
Suma
0.0045
0.0040
0.0485
0.0050
0.0055
0.0060
0.0050
0.0040
0.0045
0.0055
0.0045
columna 5
1er Intento
B.-
X Diff:
X min:
X Máx:
0.004716667
0.1415
0.0045
0.0040
0.0465
0.0050
0.0045
0.0050
0.0050
0.0045
0.0045
0.0050
0.0045
0.0050
0.0040
0.0465
RB :
0.0050
0.0050
0.0050
0.0050
0.0040
0.0045
0.0045
0.0045
0.0001000000
0.004666667
0.004766667
3er Intento
columna 7
Rango
0.0004
0.0005
0.0040
-
0.0010
0.0010
0.0005
-
0.0010
-
columna 8
RECOLECCIÓN DE DATOS
columna 6
2do Intento
01/07/2003
Característica: Diametro
Elaborado por:
Fecha:
Aseguramiento de Calidad
MÉTODO LARGO
0.005142917
LICX =
0.0043
LICX = X - A2 R
LSCX =
XC :
Suma
0.0055
0.0045
0.0500
0.0060
0.0045
0.0050
0.0050
0.0045
0.0045
0.0055
0.0050
columna 9
1er Intento
C.-
LSCX = X + A2 R
0.0047
0.0040
0.0472
0.0050
0.0050
0.0053
0.0050
0.0042
0.0045
0.0050
0.0045
X
Promedio
ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD ( R & R )
columna 10
0.004766667
0.1430
0.0045
0.0045
0.0470
0.0050
0.0050
0.0050
0.0050
0.0045
0.0045
0.0045
0.0045
2do Intento
A2 =
0.0045
0.0045
0.0460
RC :
0.0050
0.0050
0.0050
0.0050
0.0040
0.0040
0.0045
0.0045
columna 11
3er Intento
1.023
0.0005
0.0010
0.0050
0.0010
0.0005
-
0.0005
0.0005
0.0010
0.0005
columna 12
Rango
0.0048
0.0045
0.0477 Xp=
Rp =
0.0053
0.0048
0.0050
0.0050
0.0043
0.0043
0.0048
0.0047
X
Promedio
0.000944
0.004778
0.004167
0.004717
0.005111
0.004833
0.005111
0.004944
0.004333
0.004444
0.004889
0.004556
Prom. Parte
X p=
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P. REYES /JUNIO 2007
CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
P. REYES /JUNIO 2007
ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD ( R & R )
MÉTODO LARGO
Aseguramiento de Calidad
No. de Parte y Nombre:
4600066 PARTE A
Tolerancia Especificada:
Fecha:
0.0060
No. y Nombre de GAGE: 8881-H
01/07/2003
Elaborado por:
Calibrador Digital
0
Característica: Diametro
RESULTADOS DE LA HOJA DE DATOS AC-008
R= 0.000416667
X Diff =
0.0001000000
Rp = 0.000944444
Análisis Unitario de Medición
% Total de Variación ( TV )
Repetibilidad - Variación del Equipo (EV)
EV= R x K1 =
EV= 0.001270833
% EV = 100 [ EV/TV ]
% EV =
63.74%
INTENTOS
K1
2
4.56
3
3.05
Reproducibilidad - Variación del Operador (AV)
2
2
1/2
AV = [(XDiff x K2) - (EV /nr)]
% EV vs Tol. =
21.18%
% AV = 100 [AV/TV]
% AV =
6.93%
AV = 0.00027
AV = 7.29E-08
% AV vs Tol =
2.30%
AV = 5.38339E-08
AV = 1.90661E-08
n= 10
AV = 0.00013808
r= 3
OPERADOR
K2
Repetibilidad y Reproducibilidad ( R & R )
2
2 1/2
R & R = [EV + AV ]
R & R2 = 1.63408E-06
2
3
n= Numero de Partes
3.65
2.7
r = Numero de Intentos
% de R & R =
PARTES
K3
R & R = 0.001278313
2
3.65
Variación de la Parte ( PV )
PV = RP x K3
3
4
2.7
2.3
5
2.08
6
1.93
7
1.82
8
9
1.74
1.67
10
1.62
PV =
0.00153
VARIACIÓN TOTAL ( TV )
2
2 1/2
TV = ( R & R + PV )
TV = 3.97498E-06
% de R & R =
% de R & R vs Tol =
% PV =
% PV =
100 [ R & R /TV ]
64.1164%
21.31%
100 [ PV/TV ]
76.7403%
Categoria de Datos
d2 =
1.693
PV / R&R x d2=
2.0
TV = 0.001993736
Observaciones :
Se toma la dimención de menor valor
FIRMA DE AUTORIZACIÓN
GERENTE DE ASEG. DE CALIDAD
Página 66 de 105
Página 67 de 105
RA :
LSCR =
R:
D4
R x D4
2.58
Rango
columna 4
X
Promedio
Nota : Las constantes y las formulas estan establecidas para 3 intentos y 3 operadores
LSCR =
SUM:
RC :
3
3er Intento
columna 3
# Intentos
2do Intento
columna 2
RB :
XA :
Suma
columna 1
1er Intento
A.-
RA :
9
10
Totales
8
7
6
4
5
3
2
1
Muestra
OPERADOR
XB :
Suma
columna 5
1er Intento
B.-
Característica:
No. y Nombre de GAGE:
X Diff:
X min:
X Máx:
2do Intento
columna 6
3er Intento
columna 7
0
RB :
Rango
columna 8
RECOLECCIÓN DE DATOS
Fecha:
Elaborado por:
No. de Parte y Nombre:
Tolerancia Especificada:
MÉTODO LARGO
X
LICX =
LICX = X - A2 R
LSCX =
XC :
Suma
columna 9
1er Intento
C.-
LSCX = X + A2 R
Promedio
ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD ( R & R )
2do Intento
columna 10
3er Intento
A2 =
RC :
columna 11
Rango
columna 12
X
Promedio
X p=
Rp =
Prom. Parte
X p=
CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
P. REYES /JUNIO 2007
CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
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ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD ( R & R )
MÉTODO LARGO
Aseguramiento de Calidad
No. de Parte y Nombre:
0
Tolerancia Especificada:
0.0000
No. y Nombre de GAGE:
0
Fecha:
Elaborado por:
00
00/01/1900
0
Característica:
0
RESULTADOS DE LA HOJA DE DATOS AC-008
R=
X Diff =
Rp =
Análisis Unitario de Medición
% Total de Variación ( TV )
Repetibilidad - Variación del Equipo (EV)
EV= R x K1 =
EV=
% EV = 100 [ EV/TV ]
% EV =
INTENTOS
K1
2
4.56
3
3.05
Reproducibilidad - Variación del Operador (AV)
2
2
1/2
AV = [(XDiff x K2) - (EV /nr)]
% EV vs Tol. =
% AV = 100 [AV/TV]
% AV =
AV =
AV =
% AV vs Tol =
AV =
AV =
n= 10
AV =
r= 3
OPERADOR
K2
Repetibilidad y Reproducibilidad ( R & R )
2
2 1/2
R & R = [EV + AV ]
2
R&R =
0
R&R=
Variación de la Parte ( PV )
PV = RP x K3
PV =
VARIACIÓN TOTAL ( TV )
2
2 1/2
TV = ( R & R + PV )
TV =
0
2
3
n= Numero de Partes
3.65
2.7
r = Numero de Intentos
% de R & R =
PARTES
K3
2
3.65
3
4
2.7
2.3
5
2.08
6
1.93
7
1.82
8
9
1.74
1.67
10
1.62
100 [ R & R /TV ]
% de R & R =
% de R & R vs Tol =
% PV =
% PV =
100 [ PV/TV ]
Categoria de Datos
d2 =
1.693
PV / R&R x d2=
TV =
Observaciones :
Se toma la dimención de menor valor
FIRMA DE AUTORIZACIÓN
GERENTE DE ASEG. DE CALIDAD
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CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
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6. CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
6.1 INTRODUCCIÓN
Muchas características de calidad no pueden ser representadas numéricamente,
denominándose atributos. En tales casos cada artículo o servicio completo se
clasifica como conforme o no conforme a especificaciones y/o estándares, es decir
como defectivo o no defectivo, no defectuoso o defectuoso, bueno o malo,
discrepante o no discrepante.
Fig. 6.1 Cuando el producto no es funcional es no conforme,
defectivo o defectuoso. Puede ser reparado o desperdicio.
Para controlar productos defectivos o no conformes, se utiliza la carta de control p
de fracción defectiva o la np para el número de defectivos o de no conformes. Se
aplica a productos simples (tornillos, lápices, botellas, etc.)
Cuando más bien se controla el número de defectos o no conformidades que se
observan en un producto, se utiliza la carta de control para no conformidades o
defectos c cuando la muestra es constante o la u cuando es variable o constante.
Se aplica a productos complejos (coches, TV, cámaras de video, escritorios,
refrigeradores, etc.) Un defecto o no conformidad es una discrepancia respecto a
los estándares establecidos o a las especificaciones.
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Fig. 6.2 El producto puede ser funcional pero puede tener
defectos o no conformidades, que pueden ser corregidas con
retrabajo o no se pueden corregir y ser desperdicio.
4.2 CARTA DE CONTROL PARA FRACCIÓN NO CONFORME - p
La fracción no conforme es la relación entre el número de artículos discrepantes
entre el total de artículos, se expresa como fracción decimal, aunque también se
puede expresar en porcentaje. El artículo o servicio puede tener varias
características de calidad que son examinadas por un inspector, si el artículo no
está de acuerdo a los estándares, se le considera como defectuoso o no
conforme.
La fracción defectiva o no conforme en la muestra se define como la relación entre
el número de unidades no conformes D al tamaño de muestra n, o sea:
pi 
Di
ni
La distribución de este estadístico sigue la distribución binomial por tanto:
__
p
 2p 
p (1  p )
n
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__
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__
p(1  p )
LSCp = p  3
n
__
__
LCp = p
__
__
p(1  p )
LICp = p  3
n
__
Durante la operación, se toman muestras de n unidades, se calcula la fracción
defectiva pi y se grafica en la carta, mientras no se observe ningún patrón
anormal y pi se localice dentro de límites de control, se puede concluir que el
proceso está en control, de otra forma, se concluirá que la fracción no conforme se
ha desplazado de su valor original y el proceso se encuentra fuera de control.
Cuando la fracción defectiva del proceso es desconocida, se estima de los datos
observados en m muestras iniciales, cada una de tamaño n, por lo general se
toman 20 a 25 de estas. Así si Di son unidades no conformes en la muestra i , la
fracción defectiva de la muestra i - ésima estará dada como:
pi = Di / n
i = 1, 2, 3,....., m
y el promedio de las fracciones individuales no conformes cuando p es
desconocida es:
m
p
 Di
i 1
mn
m

p
i 1
i
m
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Una vez hecha la gráfica trazando los límites anteriores, cualquier punto que se
encuentre fuera de control debe ser investigado, si se encuentra una causa
asignable o especial, deben tomarse medidas correctivas para prevenir su
recurrencia, los puntos correspondientes a la situación fuera de control se eliminan
y se calculan de nuevo los límites de control preliminares.
Ejemplo 6.1 Para un servicio de mantenimiento se tomaron datos
de 30 muestras de 50 servicios contabilizando las quejas en
cada uno como sigue:
Servicio
No
conformes
Servicio
No
conformes
Servicio
No
conformes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
8
10
4
7
16
9
14
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
5
6
17
12
22
8
10
5
13
11
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
20
18
24
15
9
12
7
13
9
6
Como
en
total
se
encontraron
347
quejas
conformes, se estima p como sigue:
m
p
 Di
i 1
mn
m

p
i 1
m
i
=
347
= 0.2313
(30)(50)
Los límites de control usando Minitab son:
LSCp = 0.4102
LCp
= 0.2313
LICp
= 0.0524
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o
servicios
no
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7
8
9
LSE
10
11
LIE
OPERACIÓN
12
13
P
14
15
NP
MAQUINA / LINEA
16
17
C
18
19
U
CARACTERISTICA
20
21
22
LSC
23
CALIBRADOR
24
25
LIC
26
T. MUESTRA
27
28
29
FRECUENCIA
30
G
H
C
D
H
FALTA DE
REGISTRO
G
D
E
E
D
% RECH.
B
D
CANT. RECH.
A
B
C
CANT. INSP.
A)
B)
C)
D)
F)
G)
DEFECTOS
Fin de corrida de producción
Falta de material
Ajuste de línea y/o Máquina
Cambio de modelo
Fin de turno
Otro ( Indicar )
4.- Indique en el último renglón, y justo
abajo del último subgrupo graficado,
las causas por las cuales se deja de
graficar de acuerdo con la frecuencia
indicada, si es que se presenta el caso.
Utilice las siguientes claves:
3.- Registre las causas del comportamiento
en la bitácora, al reverso de la gráfica,
asi como las acciones realizadas o
propuestas para correguir la falla
2.- Investigue y corrija las causas
del comportamiento ( si es posible )
Si no es posible llama a su supervisor
1.- Encierre en un círculo los patrones
anormales de comportamiento
RECOMENDACIONES
UNIDADES
FECHA TERMINO
TIPO DE EVALUACION
FECHA INICIO
A
HORA
FECHA
6
AREA
No. GRAFICA
INICIALES
L
E
C
T
U
R
A
S
5
4
3
1
2
No. PARTE
MODELO
GRAFICA DE CONTROL POR ATRIBUTOS
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Corrida en Minitab
1. Stat > Control Charts > P
2. Variable No conformes Subgroup size 50
3. OK
¿Esta en control estadístico?
Si no eliminar puntos fuera de control y recalcular límites de control
P Chart for No confo
1
0.5
1
UCL=0.4102
Proportion
0.4
0.3
P=0.2313
0.2
0.1
LCL=0.05243
0.0
0
10
20
30
Sample Number
Fig. 6.3 Carta de control P para la fracción de servicios no
conformes.
De la carta de control se observa que las muestras 15 y 23
están fuera de los límites de control, de tal forma que el
proceso esta fuera de control.
Del análisis de los datos de la bitácora se encontró que la
muestra 15 corresponde a el cambio de un nuevo método el cual
fue diferente y que la muestra 23 corresponde a un operador
sin experiencia asignado temporalmente a la máquina.
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Tomando acciones correctivas para evitar la recurrencia de
las
causas
anteriores
y
calculando
nuevos
límites
preliminares con los puntos 15 y 23 eliminados, se tiene con
Minitab:
LSCp = 0.3893
LCp
= 0.2150
LICp
= 0.0407
P Chart for No confo
1
0.4
UCL=0.3893
Proportion
0.3
P=0.215
0.2
0.1
LCL=0.04070
0.0
0
10
20
30
Sample Number
Fig. 6.4 Carta de control P para la fracción de servicios no
conformes con acciones tomadas para prevenir recurrencia.
Repitiendo el procedimiento anterior para el punto 21 se tiene:
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P Chart for No confo
0.4
UCL=0.3804
Proportion
0.3
P=0.2081
0.2
0.1
LCL=0.03590
0.0
0
10
20
30
Sample Number
Fig. 6.5 Carta de control P para la fracción de servicios no
conformes con acciones tomadas para prevenir recurrencia.
Ahora el proceso está en control estadístico y es normal.
6.3 CARTA DE CONTROL np
En lugar de tener fracciones no conformes, si el tamaño de muestra es constante,
se pueden utilizar directamente el número de artículos defectivos o no conformes
np, para evitarle operaciones aritméticas al operador, los parámetros de esta carta
son:
LSCnp  np  3 np(1  p)
LCnp  np
LICnp  np  3 np(1  p)
Si no se conoce el valor de p, se puede estimar con la p .
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7
8
9
LSE
10
11
LIE
OPERACIÓN
12
13
P
14
15
NP
MAQUINA / LINEA
16
17
C
18
19
U
CARACTERISTICA
20
21
22
LSC
23
CALIBRADOR
24
25
LIC
26
T. MUESTRA
27
28
29
FRECUENCIA
30
G
H
C
D
H
FALTA DE
REGISTRO
G
D
E
E
D
% RECH.
B
D
CANT. RECH.
A
B
C
CANT. INSP.
A)
B)
C)
D)
F)
G)
DEFECTOS
Fin de corrida de producción
Falta de material
Ajuste de línea y/o Máquina
Cambio de modelo
Fin de turno
Otro ( Indicar )
4.- Indique en el último renglón, y justo
abajo del último subgrupo graficado,
las causas por las cuales se deja de
graficar de acuerdo con la frecuencia
indicada, si es que se presenta el caso.
Utilice las siguientes claves:
3.- Registre las causas del comportamiento
en la bitácora, al reverso de la gráfica,
asi como las acciones realizadas o
propuestas para correguir la falla
2.- Investigue y corrija las causas
del comportamiento ( si es posible )
Si no es posible llama a su supervisor
1.- Encierre en un círculo los patrones
anormales de comportamiento
RECOMENDACIONES
UNIDADES
FECHA TERMINO
TIPO DE EVALUACION
FECHA INICIO
A
HORA
FECHA
6
AREA
No. GRAFICA
INICIALES
L
E
C
T
U
R
A
S
5
4
3
1
2
No. PARTE
MODELO
GRAFICA DE CONTROL POR ATRIBUTOS
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El número de defectivos o no conformes es un entero, por tanto es más fácil de
graficar e interpretar por los operadores que llevan el C.E.P.
Ejemplo 6.2 Con los datos del ejemplo anterior se tiene con
Minitab:
1. Stat > Control Charts >N P
2. Variable No conformes Subgroup size 50
3. OK
¿Esta en control estadístico?
Si no eliminar puntos fuera de control y recalcular límites de control
NP Chart for No confo
Sample Count
20
UCL=19.02
NP=10.41
10
LCL=1.795
0
0
10
20
30
Sample Number
Fig. 6.6 Carta de control NP para la el número de servicios
no conformes
6.4 CARTA p CON TAMAÑO DE MUESTRA VARIABLE
En algunas aplicaciones para la fracción defectiva, la muestra es la inspección
100% de los servicios proporcionados en un periodo de tiempo, por tanto la
muestra será variable. Se tiene varios métodos para llevar una carta de control:
Método 1. Límites variables
Se calculan límites de control para cada muestra en base en la fracción defectiva
promedio p y su tamaño de muestra con p  3 p(1  p) / ni . La amplitud de los
límites es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño de muestra.
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Ejemplo 6.3, Se tomaron datos del resultado de la inspección
diaria, registrando la producción total y los defectivos del
día.
n-var
nodef
Fra-def
LSC
LIC
100
12
0.12
0.183686
0.0073347
0.0293918
80
8
0.1
0.194093
-0.003073
0.0328611
80
6
0.075
0.194093
-0.003073
0.0328611
100
9
0.09
0.183686
0.0073347
0.0293918
110
10
0.090909
0.179582
0.0114382
0.028024
110
12
0.109091
0.179582
0.0114382
0.028024
100
11
0.11
0.183686
0.0073347
0.0293918
100
16
0.16
0.183686
0.0073347
0.0293918
90
10
0.111111
0.188455
0.0025651
0.0309817
90
6
0.066667
0.188455
0.0025651
0.0309817
110
20
0.181818
0.179582
0.0114382
0.028024
120
15
0.125
0.176003
0.0150173
0.026831
120
9
0.075
0.176003
0.0150173
0.026831
120
8
0.066667
0.176003
0.0150173
0.026831
110
6
0.054545
0.179582
0.0114382
0.028024
80
8
0.1
0.194093
-0.003073
0.0328611
80
10
0.125
0.194093
-0.003073
0.0328611
80
7
0.0875
0.194093
-0.003073
0.0328611
90
5
0.055556
0.188455
0.0025651
0.0309817
100
8
0.08
0.183686
0.0073347
0.0293918
100
5
0.05
0.183686
0.0073347
0.0293918
100
8
0.08
0.183686
0.0073347
0.0293918
100
10
0.1
0.183686
0.0073347
0.0293918
90
6
0.066667
0.188455
0.0025651
0.0309817
La fracción defectiva media se calcula como sigue:
25
p
D
i 1
25
n
i 1
i

234
 0.096
2450
i
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CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
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Y los límites de control se calculan como sigue:
LSCp= p  3 p  0.096  3
(0.096)(0.904)
ni
LC = 0.096
LICp= p  3 p  0.096  3
(0.096)(0.904)
ni
Corrida con Minitab:
1. Stat > Control Charts > P
2. Variable Nodef Subgroups in n-var
3. OK
¿Esta en control estadístico?
Si no eliminar puntos fuera de control y recalcular límites de control
P Chart for nodef
0.2
Proportion
UCL=0.1882
0.1
P=0.09534
0.0
LCL=0.002468
0
5
10
15
20
25
Sample Number
Fig. 6.7 Carta de control P para la fracción de servicios no
Se observa que la muestra 11 está fuera de control.
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CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
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Cuando se toman límites de control variables, el análisis de patrones de
anormalidad no tiene sentido ya que la desviación estándar en cada muestra esta
variando y no es posible visualizar corridas o rachas.
Método 2. Tamaño de muestra promedio
En este caso, se toma el promedio de los tamaños de muestra para calcular los
límites de control aproximados, se asume que los tamaños de muestra no diferirán
en forma apreciable de los observados, aquí los límites de control son constantes.
Si existen grandes diferencias mayores al promedio más o menos 25%, este
método no es adecuado.
m
n
n
i 1
m
i

2450
 98
25
Con límites de control basados en n  98 :
LSCp= p  3 p  0.096  3
(0.096)(0.904)
 0.185
98
LC = 0.096
LICp= p  3 p  0.096  3
(0.096)(0.904)
 0.007
98
Corrida con Minitab:
1. Stat > Control Charts > P
2. Variable Nodef Subgroups size 98
3. OK
¿Esta en control estadístico?
Si no eliminar puntos fuera de control y recalcular límites de control
Otra vez de la gráfica se observa que el punto 11 está fuera de control.
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CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
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P Chart for nodef
1
0.2
Proportion
UCL=0.1848
0.1
P=0.09566
LCL=0.006529
0.0
0
5
10
15
20
25
Sample Number
Fig. 6.8 Carta de control P con n promedio
6.6
CARTAS DE CONTROL PARA NO CONFORMIDADES o
DEFECTOS – c y u
Una no conformidad o defecto es una característica específica que no cumple con
la especificación del producto. Las no conformidades pueden tener una gravedad
diferente desde menores hasta críticas. Se pueden desarrollar cartas de control
para el número total de no conformidades en una unidad o el número promedio de
no conformidades por unidad.
Estas cartas asumen que la ocurrencia de no conformidades en muestras de
tamaño constante son modeladas bien por la distribución de Poisson, es decir
implica que las oportunidades o localizaciones potenciales para las no
conformidades sea muy infinitamente grande y que la probabilidad de ocurrencia
de una no conformidad en cualquier localización sea pequeña y constante.
Además cada unidad de inspección debe representar una “área de oportunidad”
idéntica para la ocurrencia de no conformidades. Si estas condiciones no se
cumplen, el modelo de Poisson no es apropiado.
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TAMAÑO DE MUESTRA CONSTANTE - CARTA c
Una unidad de inspección es simplemente una entidad para la cual es conveniente
registrar el número de defectos, puede formarse con 5 unidades de producto, 10
unidades de producto, etc..
Si no hay estándar definido c se estima con el promedio de no conformidades
observadas en una muestra preliminar inspeccionada, o sea con c , en este caso
los parámetros de la carta son:
LSCc = c + 3
c
LCc = c
LICc = c - 3
en el caso que sea negativo toma el valor cero
c
Cuando no hay datos históricos, se calculan límites de control preliminares.
Ejemplo 6.4 Para el número de no conformidades observadas en
26
unidades
de
inspección
sucesivas
de
100
muestras
circuitos impresos, se obtuvieron los datos siguientes:
Defectos
21
24
16
12
15
5
28
20
31
25
20
24
15
Defectos
16
19
10
17
13
22
18
39
30
24
16
19
17
Página 83 de 105
de
Página 84 de 105
7
8
9
LSE
10
11
LIE
OPERACIÓN
12
13
P
14
15
NP
MAQUINA / LINEA
16
17
C
18
19
U
CARACTERISTICA
20
21
22
LSC
23
CALIBRADOR
24
25
LIC
26
T. MUESTRA
27
28
29
FRECUENCIA
30
G
H
C
D
H
FALTA DE
REGISTRO
G
D
E
E
D
% RECH.
B
D
CANT. RECH.
A
B
C
CANT. INSP.
A)
B)
C)
D)
F)
G)
DEFECTOS
Fin de corrida de producción
Falta de material
Ajuste de línea y/o Máquina
Cambio de modelo
Fin de turno
Otro ( Indicar )
4.- Indique en el último renglón, y justo
abajo del último subgrupo graficado,
las causas por las cuales se deja de
graficar de acuerdo con la frecuencia
indicada, si es que se presenta el caso.
Utilice las siguientes claves:
3.- Registre las causas del comportamiento
en la bitácora, al reverso de la gráfica,
asi como las acciones realizadas o
propuestas para correguir la falla
2.- Investigue y corrija las causas
del comportamiento ( si es posible )
Si no es posible llama a su supervisor
1.- Encierre en un círculo los patrones
anormales de comportamiento
RECOMENDACIONES
UNIDADES
FECHA TERMINO
TIPO DE EVALUACION
FECHA INICIO
A
HORA
FECHA
6
AREA
No. GRAFICA
INICIALES
L
E
C
T
U
R
A
S
5
4
3
1
2
No. PARTE
MODELO
GRAFICA DE CONTROL POR ATRIBUTOS
CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
P. REYES /JUNIO 2007
CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
P. REYES /JUNIO 2007
Donde,
LSC = 33.22
LC =
516 / 26 = 19.85 = c
LIC = 6.48
De la carta de control preliminar, se observa que hay 2
puntos fuera de control, el 6 y el 20.
Corrida en Minitab:
1. Stat > Control Charts > C
2. Variable Defectos
3. OK
¿Esta en control estadístico?
Si no eliminar puntos fuera de control y recalcular límites de control
C Chart for Defectos
1
40
Sample Count
UCL=33.21
30
20
C=19.85
10
LCL=6.481
1
0
0
10
20
Sample Number
Fig. 6.10 Carta de control C de número de defectos fuera
control
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P. REYES /JUNIO 2007
Una investigación reveló que el punto 6 fue debido a que un
inspector nuevo calificó los circuitos impresos pero no tenía
la suficiente experiencia, fue entrenado. El punto 20 fue
causado por una falla en el control de temperatura de la
soldadora de ola, lo cual fue reparado. Por lo anterior se
toman acciones
para evitar recurrencia, se eliminan y se
recalculan los límites de control.
C Chart for Defectos
35
Sample Count
UCL=32.97
25
C=19.67
15
LCL=6.363
5
0
5
10
15
20
25
Sample Number
Fig. 6.11 Carta de control C de número de defectos en control
Como el proceso ya se encuentra en control estadístico, estos
límites se tomarán como base para el siguiente periodo, donde
se tomaron 20 unidades de inspección adicionales.
n
Defectos
16
18
12
15
24
21
28
20
25
19
18
21
16
22
19
12
14
9
16
21
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P. REYES /JUNIO 2007
C Chart for Defectos
35
Sample Count
UCL=31.84
25
C=18.82
15
LCL=5.808
5
0
5
10
15
20
25
30
35
Sample Number
Fig. 6.12 Carta de control C con datos del siguiente periodo
Se observa en la gráfica que no se tienen puntos fuera de
control,
sin
embargo
el
promedio
de
defectos
es
alto,
requiere la acción de la administración.
Carta u
Si se encuentra un total de c no conformidades en la muestra de n unidades de
inspección, entonces el promedio de no conformidades por unidad de inspección u
es:
u
c
n
i
i
Los límites de control son:
LSCu  u  3
u
n
LCu  u
LSCu  u  3
u
n
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Donde u representa el número promedio de no conformidades por unidad en un
conjunto de datos preliminar. Los límites anteriores se consideran límites
preliminares.
Ejemplo 6.5
Para un fabricante de computadoras registrando
los defectos en su línea de ensamble final. La unidad de
inspección es una computadora y se toman 5 unidades de
inspección a un tiempo.
DefectosU
10
12
8
14
10
16
11
7
10
15
DefectosU
9
5
7
11
12
6
8
10
7
5
Se calculan los límites de control con:
__
u
Sum a.de.no.conform idades
Sum a.de.unidades.inspeccionadas
u =38.60 / 20 = 1.93
LSC = 3.79
LIC = 0.07
La carta de control queda como sigue:
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Página 89 de 105
7
8
9
LSE
10
11
LIE
OPERACIÓN
12
13
P
14
15
NP
MAQUINA / LINEA
16
17
C
18
19
U
CARACTERISTICA
20
21
22
LSC
23
CALIBRADOR
24
25
LIC
26
T. MUESTRA
27
28
29
FRECUENCIA
30
G
H
C
D
H
FALTA DE
REGISTRO
G
D
E
E
D
% RECH.
B
D
CANT. RECH.
A
B
C
CANT. INSP.
A)
B)
C)
D)
F)
G)
DEFECTOS
Fin de corrida de producción
Falta de material
Ajuste de línea y/o Máquina
Cambio de modelo
Fin de turno
Otro ( Indicar )
4.- Indique en el último renglón, y justo
abajo del último subgrupo graficado,
las causas por las cuales se deja de
graficar de acuerdo con la frecuencia
indicada, si es que se presenta el caso.
Utilice las siguientes claves:
3.- Registre las causas del comportamiento
en la bitácora, al reverso de la gráfica,
asi como las acciones realizadas o
propuestas para correguir la falla
2.- Investigue y corrija las causas
del comportamiento ( si es posible )
Si no es posible llama a su supervisor
1.- Encierre en un círculo los patrones
anormales de comportamiento
RECOMENDACIONES
UNIDADES
FECHA TERMINO
TIPO DE EVALUACION
FECHA INICIO
A
HORA
FECHA
6
AREA
No. GRAFICA
INICIALES
L
E
C
T
U
R
A
S
5
4
3
1
2
No. PARTE
MODELO
GRAFICA DE CONTROL POR ATRIBUTOS
CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
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CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
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U Chart for Defectos
4
UCL=3.794
Sample Count
3
2
U=1.93
1
LCL=0.06613
0
0
10
20
Sample Number
Fig. 6.15 Carta de Control U con unidades de insp. constantes
En la carta de control no se observa falta de control
estadístico, por tanto los límites preliminares se pueden
utilizar en corridas futuras.
MUESTRA VARIABLE – CARTA u
En algunos casos las cartas de control para no conformidades se utilizan en la
inspección 100% de la producción o lotes de producto, por tanto las unidades de
inspección no son constantes. En esta carta se tiene una línea central constante y
los límites de control varían inversamente con la raíz cuadrada del tamaño de
muestra n.
La línea central y los límites individuales de control se calculan como sigue:
LSCui  u  3
u
ni
LCu  u
LSCui  u  3
u
ni
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Ejemplo 6.6 En una planta textil, se inspeccionan defectos
por cada 50m2 los datos se muestran a continuación.
No
Conf.
14
12
20
11
7
10
21
16
19
23
153
 1.42
La línea central es u 
107 .5
UnidadesInsp
10
8
13
10
9.5
10
12
10.5
12
12.5
Donde
u = Total de defectos/Total de unidades de inspección
De la gráfica no se observan puntos fuera de control.
U Chart for No Conf.
3
Sample Count
UCL=2.436
2
U=1.423
1
LCL=0.4110
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sample Number
Fig. 6.16 Carta de Control U con Unidades de insp. variables
Otra alternativa para el manejo de la carta u con n variable con n promedio:
m
n
i 1
ni
m
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7. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR ATRIBUTOS
Introducción
Si se recibe un lote de un proveedor, se toma una muestra y se evalúan algunas
de las características del producto, en base a los resultados se toma una decisión
sobre la disposición del lote, ya sea aceptados para su uso en producción, o
rechazados para que el proveedor tome acciones.
Muestreo aleatorio estadístico
Muestra n
Lote N
Fig. 7.1 Proceso de inspección por muestreo
Hay 3 aspectos importantes del muestreo:
1. Su propósito es calificar los lotes, no estimar los parámetros del lote.
2. No proporcionan un mecanismo de control de calidad, simplemente aceptan o
rechazan lotes.
3. Sirven como herramienta de auditoría para asegurar que la calidad de un lote
esté de acuerdo a especificaciones.
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Existen 3 alternativas para calificar un lote:
1. Aceptar sin inspección.Con proveedores confiables.
2. Inspeccionar al 100%, separando los productos defectuosos.
3. Realizar un muestreo de aceptación.
La aceptación por muestreo es más útil en las situaciones siguientes:
1. Cuando las pruebas son destructivas.
2. Cuando el costo de la inspección 100% es muy alto.
3. Cuando la inspección 100% es muy tardada.
4. Cuando las cantidades a inspeccionar 100% son muy altas y con tasa de
defectos baja, que haga que se causen errores al inspeccionar, dejando pasar
productos defectuosos.
5. Cuando el proveedor no es confiable al 100%, o su capacidad de proceso es
baja.
6. Cuando hay riesgo de generar problemas legales por productos críticos.
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MUESTREO
Cuando se utiliza inspección por muestreo, se tienen las ventajas siguientes:
1. Es más barato, requiriendo menos inspección.
2. Existe un menor manejo de producto o menor daño.
3. Se aplica a pruebas destructivas.
4. El rechazar un lote completo en lugar de sólo las partes defectivas, motiva al
proveedor a mejorar su calidad.
El muestreo de aceptación también presenta varias desventajas:
1. Existe el riesgo de “aceptar” lotes malos y de “rechazar” lotes buenos.
2. La información que se genera respecto al producto o proceso es poca.
3. El muestreo de aceptación requiere documentación y planeación, no así la
inspección 100%.
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Un plan de muestreo simple es un procedimiento de calificación de lotes, donde
se toma una muestra aleatoria de n partes y la disposición del lote es determinada
dependiendo de los resultados de la muestra, aceptándose si se encuentran hasta
c productos defectivos. Las muestras deben ser representativas del lote, no deben
tomarse sólo partes de las capas superiores, sino de preferencia numerar las
partes con un número y seleccionar con tablas de números aleatorios o también
se puede estratificar el lote.
FORMACIÓN DE LOTES
Para inspección de lotes, estos deben cumplir las características siguientes:
1. Deben ser homogéneos, las unidades deben ser producidas por las mismas
corridas de producción, en condiciones similares. Es difícil tomar acciones
correctivas para lotes mezclados.
2. Lotes grandes son preferibles a lotes pequeños, dado que la inspección es
más eficiente.
3. Los lotes deben manejarse en forma similar con el proveedor y con el
cliente, las partes deben estar empacadas adecuadamente para evitar riesgos
de daño y permitir la selección de muestra en forma sencilla.
PLAN DE MUESTREO
Por ejemplo si se tiene el plan:
N=10,000
n=89
c=2
Significa que de cada lote de 10,000 partes se toman al azar n=89 para
inspección, si el número de productos defectivos observados en la muestra d es
menor o igual a c = 2, el lote se acepta, en caso contrario se rechaza.
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7.1 LA CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN OC
La curva característica de operación (OC) muestra la probabilidad de aceptar el
lote (Pa o  en el eje Y), versus la fracción defectiva media en el lote (p en el eje
X), mostrando la potencia de discriminación del plan de muestreo.
Pa
1
0.8
0.5
0.3
0.1
Curva característica de
Operación dado una
Tamaño de muestra n
y un criterio de aceptación c
0.05 0.1 0.15
0.2 0.25
0.3
p Prov.
Fig. 7.2 Curva característica de operación y plan de muestreo
La curva característica de operación se obtiene graficando p versus la
probabilidad binomial de encontrar y aceptar a lo más c defectivos o sea:
c
n!
p d (1  p) nd
d 0 d!(n  d )!
Pa  P{d  c)  
Esto mismo se puede aproximar por la distribución de Poisson para efectos
prácticos.
Se puede usar Excel para los cálculos, un ejemplo utilizando la distribución
binomial acumulada (opción VERDADERA en Excel) se muestra a continuación:
Binomial=distr.binom(c, n, p, 1) ó Poisson=Poisson(c, n*p, 1)
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CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
P(A<x<X)
0.01
0.91
0.02
0.736
0.03
0.555
0.9
0.04
0.400
0.8
0.05
0.279
0.06
0.190
0.07
0.126
0.08
0.083
0.5
0.09
0.053
0.4
0.1
0.034
0.11
0.021
0.12
0.013
0.13
0.008
0.1
0.14
0.005
0
0.15
0.003
0.16
0.002
0.17
0.001
0.18
0.001
0.19
0.000
0.2
0.000
P(A<x<X)
1
0.7
0.6
0.3
0.2
0.19
0.18
0.17
0.16
0.15
0.14
0.13
0.12
0.11
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.2
0.02
Pa
0.01
p
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p
Traza la curva OC Tipo B para el plan de muestreo ùnico n=50 y c=1.
Fig. 7.3 Cálculo de la Curva característica de operación OC
En este caso si los lotes tienen un 2% de defectivo, su probabilidad de aceptación
es de 0.74. Significa que de cada 100 lotes recibidos, se aceptarán 74 y se
rechazarán 26.
PUNTOS ESPECIFICOS EN LA CURVA OC
Un consumidor frecuentemente fija de común acuerdo con su proveedor, un nivel
de calidad aceptable (AQL), que representa el nivel más pobre de calidad que el
consumidor considera aceptable como promedio, normalmente es la fracción
defectiva que tiene un 95% de ser aceptada ( = 0.95).
Por otra parte el consumidor quiere rechazar los lotes en la mayoría de los casos
cuando tengan una fracción defectiva de a lo más un porcentaje defectivo
tolerable en el lote (LTPD), normalmente esta fracción defectiva corresponde a
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una probabilidad de aceptación del 10% o rechazo del 90% de las veces. También
se el denomina Nivel de Calidad Rechazable.
A continuación se muestran algunas variaciones de la curva característica de
operación variando tanto como el criterio de aceptación c manteniendo n
constante y después manteniendo c como constante y variando n.
Variando el criterio de aceptación C se tiene:
Pa
c=0, 1,
2
P (fracción defectiva en el lote)
Para el caso en que lo que se varíe sea n se tiene:
Pa
n=50, 100, 200
2
p (fracción defectiva en el lote)
Fig. 7.4 Curvas características de operación diversas
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7.2 INSPECCIÓN RECTIFICADORA
Los programas de aceptación por muestreo normalmente requieren acción
correctiva cuando los lotes son rechazados, de tal forma que el proveedor los
selecciona al 100% remplazando los artículos defectivos por buenos. Esta
actividad se denomina inspección rectificadora por su impacto en la calidad de
salida final hacia la planta.
Entrada de 100
lotes de cierto
proveedor con
N=10,000 y
n =200
c=1
Pa
9 lotes son
aceptados a pesar
de tener un 2%
defectivo:
Es decir ingresan
p = 0.02
P=0.02
88,820 piezas OK
Y 1800 piezas KO
91 lotes son
rechazados y
seleccionados
por el
proveedor,
deja 910,000
piezas OK
Fig.
7.5
Inspección
rectificadora
AOQ
Total de piezas OK
Alm.
998,820
Piezas defectivas
1,800
0.18% AOQ
(las
piezas
malas
son
reemplazadas y reintegradas al lote)
Suponiendo que los lotes que llegan tienen una fracción defectiva p 0 , después de
la actividad de inspección bajo un plan de muestreo, algunos lotes serán
aceptados y otros serán rechazados.
Los lotes rechazados serán seleccionados al 100% por el proveedor remplazando
los artículos defectuosos por buenos después se integran a los lotes que ingresan
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a la planta obteniéndose una fracción defectiva p1 menor a la original, denominada
calidad promedio de salida AOQ. La curva de AOQ versus p se muestra a
continuación:
Fracción
defectiva
que ingresa
al almacén o
planta
después de
aplicar el
plan de
muestreo
AOQ = p*Pa
Planta
0.3
Almacén
0.25
0.20
Fracción
defectiva
que envía el
proveedor
AOQL
0.15
0.1
0.05 0.1 0.15
0.2 0.25
0.3
p
Prov.
Fig. 7.6 Curva de calidad de salida promedio (AOQ)
De la gráfica anterior se observa que la curva AOQ ( AOQ  Pa p ) tiene un valor
máximo o la peor fracción defectiva de salida hacia la planta o proceso, que se
denomina límite
de
calidad
de
salida
promedio
AOQL
el cual es
p
P(A<x<X)
AOQ
0.001667
1.00
0.002
0.003333
0.99
0.003
0.005000
0.96
0.005
0.006667
0.92
0.006
0.008333
0.87
0.007
0.010000
0.81
0.008
0.011667
0.74
0.009
0.013333
0.68
0.009
0.015000
0.61
0.009
0.016667
0.54
0.009
0.018333
0.48
0.009
0.020000
0.42
0.008
0.021667
0.37
0.008
0.023333
0.32
0.007
0.025000
0.27
0.007
0.004
0.026667
0.23
0.006
0.003
0.028333
0.20
0.006
0.030000
0.17
0.005
0.031667
0.14
0.005
0.033333
0.12
0.004
0.035000
0.10
0.004
0.01
aproximadamente 0.0155 o 1.55% defectivo.
0.036667
0.08
0.003
Fracción defectiva en el lote
0.038333
0.07
0.003
0.040000
0.06
0.002
0.041667
0.05
0.002
0.043333
0.04
0.002
0.045000
0.03
0.001
0.046667
0.03
0.001
0.048333
0.02
0.001
0.050000
0.02
0.001
Pa Probabilidad de aceptación del lote teniendo una fracción defectiva p
AOQ
0.01
AOQL
0.009
0.008
0.007
0.006
0.005
0.002
0.001
Fig. 7.7 Curva de calidad de salida promedio AOQ
Página 99 de 105
0.05
0.05
0.05
0.05
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.03
0.03
0.03
0.03
0.03
0.03
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0
0
0
p
CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
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7.3 TABLAS DE MUESTREO MIL-STD-105E (ANS Z1.4, ISO 2859)
DESCRIPCIÓN DE LA NORMA
La norma proporciona tres tipos de muestreo (con curvas OC equivalentes):
-
Muestreo simple, Muestreo doble, Muestreo múltiple.
En cada uno de los casos se prevén los siguientes tipos de inspecciones:
-
Inspección normal, Inspección estricta, Inspección reducida.
Se inicia con la inspección normal, se pasa a estricta cuando se observa mala
calidad del proveedor y se usa la reducida cuando la calidad del proveedor es
buena, reduciendo los tamaños de muestra.
El punto focal de la norma es el AQL (nivel de calidad aceptable entre 0.1% y
10%), negociado entre cliente y proveedor. Los valores típicos de AQL para
defectos mayores es de 1%, 2.5% para defectos menores y 0.65% para
defectos críticos. Cuando se utiliza para planes de defectos por unidad se
tienen 10 rangos adicionales de AQLs hasta llegar a 1000 defectos por cada
100 unidades, los niveles pequeños de AQL se pueden utilizar tanto para
controlar fracción defectiva como defectos por unidad.
El tamaño de muestra en el estándar está determinado por el tamaño del lote y
por la selección del nivel de inspección.
Se proporcionan tres niveles de inspección, donde el nivel II se considera
normal; el nivel I requiere alrededor de la mitad de la inspección del nivel II y se
usa cuando se requiere menos discriminación; el nivel III requiere alrededor del
doble de inspección del nivel II, y se usa cuando se requiere más
discriminación.
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CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
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Hay también cuatro niveles especiales de inspección, S-1, S-2, S-3 y S-4, estos
usan tamaños de muestra muy pequeños y sólo deben usarse cuando los
riesgos grandes del muestreo sean aceptables, el nivel S4 se utiliza en pruebas
destructivas.
Para un AQL específico, un nivel de inspección y un tamaño de lote dado, el
estándar MIL-STD-105E proporciona un plan de muestreo normal que se
utilizará conforme el proveedor produzca productos con calidad AQL o mejor.
También proporciona un mecanismo de cambio a inspección estricta o reducida
como se ilustra en la figura y se describe a continuación.
1.
Normal a estricta. Cuando se tiene inspección normal, la inspección estricta
se instituye cuando cuándo dos de cinco lotes consecutivos han sido
rechazados.
2.
Estricta a normal. Cuando se tiene inspección estricta, la inspección normal
se instituye cuando cinco lotes consecutivos son aceptados.
3.
Normal a reducida. Cuando se tiene inspección normal, la inspección
reducida se instituye cuando se cumple con todas las condiciones siguientes:
a. Diez lotes consecutivos han sido aceptados con inspección normal.
b. El número total de defectivos en las muestras de los diez lotes
precedentes es menor o igual a el número límite aplicable del estándar.
c. La producción de lotes ha sido continua sin interrupciones mayores.
d.
La inspección reducida
se considera adecuada por la función
responsable de la inspección por muestreo.
4.
Reducida a normal. Cuando se tiene inspección reducida, la inspección
normal se instituye cuando se cumple cualquiera de las condiciones
siguientes:
a. Un lote es rechazado.
Página 101 de 105
CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
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b. Cuando el procedimiento de muestreo termina sin decisión de aceptación
o rechazo, el lote se acepta pero se cambia a inspección normal en el
próximo lote.
c. La producción es irregular o se retarda en entregas.
d. Otras condiciones que fuercen a cambiar a la inspección normal.
5.
La Inspección se descontinúa. Cuando diez lotes se acepten con inspección
estricta y el proveedor tome acciones para mejorar su calidad.
Iniciando las reglas para el Sistema ANSI Z1.4



INICIO
10 lotes aceptados
Producción regular
Aprobado por la autoridad
responsable.
Reducido
2 de 5.
Lotes consecutivos.
No aceptados.
Estricto
Normal




Se rechaza un Lote
Lotes aceptados con no
conformidades encontrándose entre
Ac y Re del plan, o
Producción irregular
Otras condiciones de detección.
5 consecutivos.
Lotes aceptados
10 Lotes consecutivos aceptados
Inspección discontinua con Z1.4
Fig. 7.8 Reglas de cambio de planes de inspección
PROCEDIMIENTO
Los pasos a seguir para el uso de las normas es el siguiente:
1. Negociación del AQL – Nivel de calidad aceptable (cliente – proveedor).
2. Decisión del nivel de inspección.
3. Determinación del tamaño del lote.
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4. Consultar la tabla 1 (ver apéndice) y localizar la letra código correspondiente
al tamaño del lote y el nivel de inspección.
5. Decisión en cuanto al procedimiento de muestreo a utilizar (simple, doble,
múltiple).
6. Uso de la tabla correcta para encontrar el tipo de plan a utilizar (las tablas se
encuentran en el apéndice).
7. Uso de la tablas para inspección reducida y estricta, cuando se requieran
hacer cambios.
Ejemplo 7.1 Si N= 2,000 y AQL= 0.65% usando el nivel II de inspección:
1. La tabla I indica la letra código K.
2. La tabla II-A para inspección normal indica el plan de muestreo n=125 y c=2.
3. La tabla II-B para inspección estricta indica el plan de muestreo n= 125, c=1.
4. La tabla II—C para inspección reducida indica el plan de muestreo n = 50,
Aceptar = 1, Rechazar = 3
La flecha descendente cambia el plan, la letra de código y el tamaño de muestra,
lo mismo para la ascendente.
Por ejemplo, un AQL de 1.5% y letra F será
cambiado a letra G con tamaño de muestra 32 en lugar de 20.
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.00 0.01 0.01 0.01 0.02 0.02 0.02 0.03 0.03 0.03 0.04 0.04 0.04 0.05 0.05
Normal
Rigurosa
Reducida
Fig. 7.9 Comparación entre los planes normal, reducido y estricto
Página 103 de 105
CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
P. REYES /JUNIO 2007
Letras código para el tamaño de muestra
MIL-STD-105E
Lote
2-8
9-15
16-25
26-50
51-90
91-150
151-280
281-500
501-1 200
1 201-3 200
3 201-10 000
10 001-35 000
35 001-150 000
150 001-500 000
500 001 -----
Niveles de inspección especiales
S-1
S-2
S-3
S-4
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
A
B
B
C
B
B
C
C
B
B
C
D
B
C
D
E
B
C
D
E
C
C
E
F
C
D
E
G
C
D
F
G
C
D
F
H
D
E
G
J
D
E
G
J
D
E
H
K
Niveles de inspección generales
I
II
III
A
A
B
A
B
C
B
C
D
C
D
E
C
E
F
D
F
G
E
G
H
F
H
J
G
J
K
H
K
L
J
L
M
K
M
N
L
N
P
M
P
Q
N
Q
R
Tabla de inspección normal II-A
Letra código
para tamaño
de muestra
A
B
C
Tamaño de
muestra
2
3
5
D
E
F
8
13
20
G
H
J
32
50
80
K
L
M
125
200
315
N
P
Q
500
800
1250
R
2000
0.01
Ac Re
0.015 0.025
0.04
Ac Re Ac Re Ac Re
Niveles de calidad aceptables AQL (%)
0.065
0.1
0.15
0.25
0.4
0.65
Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re
1
Ac Re
1.5
Ac Re
2.5
Ac Re
4
Ac Re
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
1 2
2 3
3 4
5 6
3 4
5 6
7 8
5 6
7 8
10 11
7 8
10 11 14 15
10 11 14 15 21 22
5 6
7 8
10 11 14 15 21 22
7 8
10 11 14 15 21 22
10 11 14 15 21 22
1 2
1 2
1 2
2 3
2 3
3 4
5 6
3 4
5 6
7 8
2 3
3 4
5 6
7 8
10 11 14 15 21 22
Usar el primer plan de muestreo debajo de la flecha
Ac
Número de aceptación
Usar el primer plan de muestreo arriba de la flecha
Re
Número de rechazo
0 1
0 1
1 2
Página 104 de 105
3 4
5 6
7 8
1 2
2 3
3 4
1 2
2 3
3 4
0 1
2 3
3 4
5 6
1 2
2 3
3 4
1 2
2 3
0 1
1 2
2 3
1 2
2 3
0 1
0 1
1 2
CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES
P. REYES /JUNIO 2007
Tabla de inspección rigurosa II-B
Letra código
para tamaño Tamaño de
de muestra muestra
A
2
B
3
C
5
D
8
E
13
F
20
G
32
H
50
J
80
K
125
L
200
M
315
N
500
P
800
Q
1250
R
2000
S
3150
Niveles de calidad aceptables AQL (%)
0.01 0.015 0.025 0.04 0.065
0.1
0.15
0.25
0.4
0.65
1
1.5
2.5
4
Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
1 2
1 2
2 3
1 2
2 3
3 4
1
2
3
5
2
3
4
6
1
2
3
5
8
2
3
4
6
9
1 2
0 1
1 2
2 3
1 2
2 3
3 4
1 2
2 3
3 4
5 6
1 2
2 3
3 4
5 6
8 9
2 3
3 4
5 6
8 9
12 13
3 4
5 6
8 9
12 13 18 19
5 6
8 9
12 13 18 19
8 9
12 13 18 19
12 13 18 19
1 2
2 3
3 4
5 6
8 9
12 13
18 19
1 2
Usar el primer plan de muestreo debajo de la flecha
Ac
Número de aceptación
Usar el primer plan de muestreo arriba de la flecha
Re
Número de rechazo
Tabla de inspección reducida II-C
Letra código
para tamaño Tamaño de
de muestra muestra
A
2
B
2
C
2
D
3
E
5
F
8
G
13
H
20
J
32
K
50
L
80
M
125
N
200
P
315
Q
500
R
800
0.01
Ac Re
0.015 0.025
0.04
Ac Re Ac Re Ac Re
Niveles de calidad aceptables AQL (%)
0.065
0.1
0.15
0.25
0.4
0.65
Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re
1
Ac Re
1.5
Ac Re
2.5
Ac Re
4
Ac Re
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 2
0 2
1 3
0 2
1 3
1 4
0
1
1
2
2
3
4
5
0
1
1
2
3
2
3
4
5
6
0
1
1
2
3
5
2
3
4
5
6
8
0
1
1
2
3
5
7
2
3
4
5
6
8
10
0 2
1 3
1 4
2 5
3 6
5 8
7 10
10 13
Usar el primer plan de muestreo debajo de la flecha
Ac
Número de aceptación
Usar el primer plan de muestreo arriba de la flecha
Re
Número de rechazo
0 2
1 3
1 4
2 5
3 6
5 8
7 10
10 13
0 2
1 3
1 4
2 5
3 6
5 8
7 10
10 13
0 2
1 3
1 4
2 5
3 6
5 8
7 10
10 13
0 2
1 3
1 4
2 5
3 6
5 8
7 10
10 13
NOTA: Si se ha excedido el número de aceptación, sin alcanzar el número de rechazo, aceptar el lote pero regresar a la inspección normal
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