ANÁLISIS DEL CONOCIMIENTO GEOMÉTRICO EN ESTUDIANTES PARA
PROFESOR DE MATEMÁTICAS. CAPACIDADES Y DESTREZAS QUE LO
EVIDENCIAN
Mgtr. Emma Lizelly Carreño Peña
Facultad de Ciencias de la Educación
Universidad de Piura
El presente documento describe la investigación realizada sobre el conocimiento
geométrico en estudiantes para profesor de matemáticas. En este estudio se analizó el
conocimiento que poseían 12 alumnos a cerca de los temas de ángulos y polígonos1 para
caracterizar éste en función de las capacidades y habilidades que evidenciaban. El
marco teórico señala de manera breve, los conceptos centrales que fundamentan el
estudio. Respecto a la metodología usada, se manifiesta el paradigma e instrumentos de
recogida de información empleados, así como las categorías elaboradas para el análisis
de la misma. Finalmente, se señalan algunos de los resultados globales que se
obtuvieron para luego, centrarnos en un caso específico.
La información para la investigación fue proporcionada por 12 estudiantes del
tercer ciclo (segundo año de formación universitaria2) de la especialidad de Matemática
y Física de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Piura (Perú)3,
sus edades oscilaban entre los 18 y los 20 años. Estos alumnos estaban iniciando su
formación de especialidad y entre las asignaturas que cursaban estaba Geometría Plana
y Trigonometría lo cual permitió recoger los datos necesarios para el desarrollo de la
investigación en cuestión.
1
Se incluye dentro de los polígonos los triángulos.
La educación básica regular (EBR) está formada por tres niveles: inicial, primaria y secundaria. Este
periodo de formación concluye entre los 16 y 17 años, luego muchos jóvenes acceden a la educación
superior que puede realizarse en una universidad o un instituto. La formación universitaria tiene una
duración promedio de 5 años y en cada uno se desarrollan 2 ciclos de formación, el primero de marzo a
julio y el segundo de agosto a diciembre.
3
En la facultad de Ciencias de la Educación se imparten las especialidades de: Educación inicial,
educación primaria y educación secundaria; dentro de esta última los estudiantes pueden escoger estudiar
la especialidad de Lengua y Literatura, Historia y Ciencias Sociales, Matemática y Física, y Lengua
Inglesa.
2
1
1.
Formulación del problema de investigación
La observado en la formación de pre-grado y en la docencia universitaria de la
asignatura de Geometría Plana y Trigonometría, permitió reparar en la dificultad que
tienen los alumnos para demostrar un teorema geométrico, elaborar e interiorizar una
definición matemática o asociar a ésta una representación gráfica coherente. Esto
motivó a querer indagar las dificultades conceptuales y gráficas que tienen los
estudiantes para profesor de matemáticas (EPPM) entorno a los temas de ángulos y
polígonos. Dichas dificultades fueron analizadas sin tomar en cuenta factores
psicobiológicos, ya que lo que interesaba eran las capacidades que se ponen en juego (o
que se omiten) al momento de razonar entorno a alguno de los tópicos geométricos
señalados.
En los inicios de la investigación se pretendió conocer cuál era el nivel de
razonamiento geométrico, según el modelo de Van Hiele, que tenían los estudiantes
para profesor de matemáticas, así como las formas de demostración matemática que
realizaban. Dada la amplitud de este problema, se dejó de lado estudiar las formas de
demostración matemática y se formuló como problema de investigación: ¿Cuál es el
nivel de razonamiento geométrico, según el modelo de Van Hiele, de los estudiantes
para profesor de matemáticas respecto de los temas de ángulos y polígonos? Aunque se
delimitaron los temas geométricos a analizar y, en consecuencia, el campo de estudio;
se consideró la posibilidad de caer en la “etiquetación” de los estudiantes y como tal,
presentar una investigación reduccionista y poco descriptiva, contraria a lo que se
pretendía.
Tratando de ser coherente con el tipo de investigación que se planteó desde el inicio
(descriptiva) y tomando en cuenta lo señalado en el párrafo anterior, se formuló como
problema de investigación ¿Cuáles son las capacidades4 que configuran el
conocimiento geométrico de los estudiantes para profesor de matemáticas? Si bien con
esto dejaba de etiquetarse a los estudiantes y se le restaba centralidad (en el estudio) al
modelo de Van Hiele, no se conseguía caracterizar del todo, el conocimiento geométrico
que evidenciaban los estudiantes, por ello se asoció a las capacidades matemáticas, que
4
Estas capacidades son: Percepción de la figura, descripción de la figura, definición matemática,
razonamiento matemático y demostración matemática.
2
se cree, configuran un razonamiento formal; ciertas destrezas que especifican y
permiten describir cada una de dichas capacidades. Así, se estableció como objetivo de
investigación observar y analizar el conocimiento geométrico de los estudiantes para
profesor de matemáticas (EPPM) para describirlo en función de las destrezas y
capacidades matemáticas que evidenciaban al momento de manifestar y fundamentar
dicho conocimiento.
Finalmente se formuló como problema de investigación el siguiente: ¿Cuáles son
las capacidades y destrezas matemáticas que evidencian los estudiantes para profesor
de matemáticas al explicitar el conocimiento que poseen sobre ángulos, triángulos y
polígonos?
La relevancia del problema planteado radica en hallar la explicación a las
dificultades de aprendizaje que se comentaron en el primer párrafo y las limitaciones de
enseñanza en el nivel secundario ya que, contrariamente a lo se propone con las
capacidades del área de matemática en el DCN5, los contenidos matemáticos, en nuestro
caso geométricos, solo se imparten con un matiz numérico y gráficamente esteriotipado.
Por esto, estudiar (en la universidad u otra institución de formación superior) la
geometría desde un enfoque deductivo-axiomático, supone una brecha enorme en la
actividad matemática de los estudiantes que es necesario contrarrestar. De aquí que sea
necesario conocer cuáles son las destrezas matemáticas que han desarrollado y es
preciso que desarrollen los estudiantes para la adquisición, cambio conceptual o
reestructuración de conocimientos geométricos6.
2.
Marco teórico: conceptos claves
Los conceptos que se tuvieron como sustento de investigación fueron:
conocimiento profesional, conocimiento del contenido, las razones de la enseñanza de la
geometría elemental y el modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele. A
continuación, se tratará brevemente cada uno de ellos:
5
Diseño curricular nacional peruano.
Entiéndase cambio conceptual como reestructuración de conocimientos adquiridos de manera errónea o
a través de representaciones gráficas estereotipadas que limitan o impiden establecer vínculos entre
diversos objetos geométricos de una misma familia.
6
3

Conocimiento Profesional.
Según Climent (2007) es la conjunción de saberes y experiencias que un profesor
posee y de los que hace uso en el desarrollo de su labor docente. Se genera a partir de
cuatro factores: la cosmovisión o ideología, la experiencia como discente, los saberes
académicos adquiridos y la experiencia como docente7. Por su parte de Shulman (1986),
citado en Climent (2007) afirma que el conocimiento profesional posee un carácter
específico, de allí que señale dos componentes: el contenido de la materia a enseñar y el
conocimiento didáctico del contenido a enseñar8.

Conocimiento del contenido
El conocimiento de las matemáticas no debe limitarse solo a la ciencia misma,
conocimiento de matemáticas, sino que ha de conjugarse con el conocimiento sobre las
matemáticas, y es que el conocimiento del contenido está fundado en un modo distinto
de conocer las matemáticas porque debe llevar a comprender profundamente los
conocimientos y junto a las cuatro fuentes o factores del conocimiento profesional
señalados por Climent (2007), han de confluir en la consecución del conocimiento
profesionalizado del contenido matemático.
Esta autora detalla claramente las dos componentes del conocimiento del contenido
que se encuentran resumidas en las siguientes tablas:
7
En el estudio al que hacemos referencia solo se consideraron los factores de: experiencia como discente
y los saberes académicos adquiridos en la enseñanza regular básica.
8
Dado que los informantes son estudiantes de los primeros ciclos de formación pedagógica, interesa reparar
sobre todo, en el primer componente del conocimiento profesional.
4
Conocimiento del Contenido Matemático desde la Perspectiva de la Enseñanza
Conocimiento de Matemáticas
-
Conjunto de conceptos y procedimientos matemáticos (tanto los estructurantes9 de
la materia como los más específicos o locales de unos contenidos concretos).
-
Hechos.
-
Propiedades y relaciones.
-
Significados que los sustentan.
-
Sus representaciones.
-
Relaciones entre los contenidos.
Conocimiento sobre matemáticas
-
Conocimiento de qué son axiomas, definiciones, proposiciones…, qué relación
hay entre ellos, qué papel juegan en la construcción de la matemática, cuál es el
papel del convenio (conceptuales), así como saber distinguir convenciones de
procesos de construcción lógica (Ball y McDiamird, 1990) (contenido
procedimental).
-
Formulación de conjeturas (uso de casos concretos, tanteo sistemático y
aleatorio…).
-
Procedimientos de validación: cuáles son las características de una demostración
matemática,
diferenciar
procesos
de
argumentación
que
constituyen
demostraciones de los que no, conocer y sabe realizar distintos tipos de
demostración –como la reducción al absurdo, el principio de inducción, el estudio
de casos límite, por ejemplo-, estrategias personales de demostración, cuál es el
valor de ejemplos y contraejemplos.
-
Buscar regularidades.
-
Justificar afirmaciones.
-
Generalizar.10
-
Resolución de problemas.
-
Conocimiento sobre cómo han evolucionado los distintos contenidos en la historia
de la disciplina (Ball y McDiamird, 1990).
-
Relación del contenido matemático con otros campos (Ball y McDiamird, 1990) y
9
Entendidos como contenidos matemáticos referidos a la matemática en general, aquellos a partir de los cuales
se derivan principio y conceptos específicos.
10
Generalizar es la cumbre del razonamiento y demostración, que junto a la resolución de problemas,
constituyen dos de las capacidades del área de matemáticas señaladas por el DCN como se verá en el apartado
de 3.4. Categorías de análisis.
5
aplicaciones del conocimiento matemático.

La enseñanza de la geometría elemental
La enseñanza de la geometría se funda en la multiplicidad de contextos en los que
es utilizada. Según Martínez. y otros (1989) tiene pleno sentido incluir la geometría en
la educación obligatoria porque:

La geometría está presente en los ámbitos sociales actuales, sean estos
productivos, publicitarios, arquitectónicos, topográficos, etc.

La forma geométrica es un elemento vital en el estudio de la naturaleza.

La geometría es un componente esencial de las artes plásticas.

El conocimiento de la forma geométrica permite desenvolvernos en lo cotidiano,
ya que posibilita situarnos en el espacio, hacer estimaciones de formas y distancias
respecto de la distribución de objetos, superficies, etc.
Desde el punto de vista de la enseñanza y el aprendizaje, Gutiérrez y Jaime (1996)
señalan que a diferencia de otros campos de la matemática, la geometría no es una
ciencia estructurada de manera jerárquica-estática porque los conceptos introducidos en
la geometría escolar forman parte de una amplia red de relaciones que los ligan, lo
cual se traduce en una diversidad de organizaciones posibles de esos conceptos 11. Lo
dicho posibilita la articulación y enseñanza de los contenidos geométricos de manera
flexible, situación que debería ser aprovechada por los docentes al momento de
planificar la enseñanza, de tal forma que ésta permita establecer conexiones geométricas
sólidas y correctas.
Desde el punto de vista curricular, el Ministerio de Educación Peruano ha
considerado en el área de matemáticas tres componentes para ser desarrollados durante
11
GUTIÉRREZ, Á.; JAIME, A. (1996) Uso de las definiciones e imágenes de conceptos geométricos por los
estudiantes de magisterio. En: S. Llinares, J. Giménez, V. Sánchez (eds) El proceso de llegar a ser un profesor
de primaria. Cuestiones desde la educación matemática. p.143.
6
la educación básica regular, estos componentes son: Números, relaciones y funciones;
geometría y medida; y estadística y probabilidad. Como se ve, el estudio de la
geometría es un elemento vital de la educación matemática peruana, de allí que sea
importante cuidar la corrección de los contenidos que se imparten.

El Modelo de Razonamiento Geométrico de Van Hiele.
Este modelo fue elaborado por los profesores Pierre Marie Van Hiele y Dina Van
Hiele-Geldof en 1986. Surgió como respuesta a la escasa comprensión que mostraban
los alumnos ante conceptos nuevos, propiedades y resolución de problemas
matemáticos. Los Van Hiele se dieron cuenta de que los alumnos solo resolvían
actividades parecidas a las planteadas en clase u otras con la ayuda del profesor, sin
embargo, aquellas actividades que implicaban un grado de formalización, novedad o
abstracción no eran resueltas de manera correcta.
Este modelo está formado por dos partes: la descriptiva, que lo constituyen los
niveles de razonamiento o fases de aprendizaje por las que pasan los alumnos; y la
aplicativa, constituida por las fases de enseñanza y que son unas directrices para el
trabajo del profesor.
El modelo tiene como fundamento que:

El razonamiento geométrico pasa por diversos niveles continuos de perfección.

Lo que se pretende que los alumnos comprendan debe estar acorde al nivel del
razonamiento geométrico en el que se encuentran. Si ellos no están preparados
para afrontar un nuevo conocimiento de un nivel superior, hay que esperar a que
adquieran las habilidades necesarias.

La manera de razonar no se enseña, solo se encamina hacia ella.

Los Niveles de Razonamiento Geométrico.
Son etapas por las que ha de pasar el alumno para conseguir un nivel de abstracción
y formalización en su razonamiento. Los niveles de razonamiento guardan una
jerarquización y secuencialidad entre ellos pues cada uno precisa del anterior y aunque
hay conocimientos o habilidades implícitas que se usan en un determinado nivel, éstas
7
se hacen explícitas en el nivel superior siguiente, de aquí que se hable de niveles
recursivos. En consecuencia, no es posible alcanzar un nivel de razonamiento sin antes
haber superado el nivel inferior. El desarrollo de cada uno de los niveles está en estrecha
relación con el lenguaje que utilizan los individuos. Así en los primeros niveles se
utilizan expresiones informales mientras que en el último nivel de razonamiento está
presente el rigor y la formalización propios de las matemáticas. En la siguiente tabla12
se muestra escuetamente, las características de cada nivel.
Nivel
Elementos
Elementos
explícitos
implícitos
Partes
I
Reconocimiento Figuras
Tipos de redes
y Muy simple.
propiedades de Formada por nombres de figuras sin
las figuras.
conexión (subredes independientes).
Simple.
II
Análisis
Partes
y Implicaciones
propiedades
de
entre
Se amplían las subredes, aunque
las continúan siendo independientes.
las propiedades.
Las
figuras.
relaciones
se
establecen
únicamente entre cada propiedad y
las representaciones verbal o gráfica
de la figura. Estas relaciones se
basan
en
la
memoria
y
la
observación.
Poco compleja
III
Clasificación
Implicacione Deducción
s entre las formal
Permite integrar diversas subredes
de en una sola red. Se establecen
propiedades. teoremas.
relaciones
lógicas
utilizando
materiales.
Compleja.
IV
Deducción
formal
Deducción
formal
teoremas.
Comparación
de de
El número de conexiones entre las
sistemas redes es mayor y se fundan en un
axiomáticos.
razonamiento formal y abstracto.
12
Adaptada y modificada de la propuesta por JAIME, A; GUTIÉRREZ, A. (1990). Una Propuesta de
Fundamentación para la Enseñanza de l Geometría: El Modelo de Van Hiele. En S, Llinares y M.V.
Sánchez (eds), Teoría y Práctica en la Educación Matemática (pp.312). Sevilla: Alfar.
8
Se
pueden
estableces
nuevas
relaciones entre las subredes.
Comparación
V
Rigor
de
Muy compleja.
sistemas
axiomáticos.
3.
Metodología

Diseño general
Tomando como referencia la clasificación de paradigmas de investigación hecha
por Latorre y otros (1997), ha de señalarse que el estudio se situó en el paradigma
interpretativo ya que lo que se pretendía era describir y comprender situaciones
particulares, sin ánimo de generalizar las mismas.
En la investigación se consideraron dos aspectos en cuanto a la recogida de la
información: la indagación de los conocimientos geométricos previos y el desarrollo, a
partir de dicha indagación, de los contenidos de la asignatura. Aquí debo aclarar que no
se pretendió hacer una fotografía de lo que sabían los alumnos antes y después de
desarrollar los contenidos de geometría euclídea, sino que, dado que el estudio estaba
inmerso en la asignatura de Geometría Plana y Trigonometría, no podía desligarse
ninguno de los dos aspectos señalados. Por ello, la aplicación de los test se alternó con
el desarrollo de los contenidos de la asignatura.
De las técnicas de recogida de información propuestas por Tenbrink (1997) se
seleccionaron el análisis y el test como métodos para recabar la información. Esta
selección tiene su fundamento en la necesidad de indagar sobre conocimientos
geométricos y capacidades cognoscitivas, ya que las otras dos técnicas (interrogación y
observación) se centran en opiniones, percepciones, subjetividades y aspectos de
interacción social.
Como instrumentos de recogida de información se emplearon cuatro, los test
elaborados por el profesor13(no los estandarizados) porque, tal como han sido
13
TENBRINK, T. (1997). Evaluación. Guía práctica para profesores. Madrid: Narcea.
9
elaborados, poseen características comunes a las tareas de transferencia14 y a las pruebas
operatorias15. Dichos test fueron: Evaluación sobre el conocimiento a cerca de ángulos y
triángulos; ángulos; polígonos y clasificación de polígonos.
En el análisis y descripción del conocimiento geométrico, se tomó como referencia
el modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele, sin pretender que éste fuera la
directriz del estudio. Además, se establecieron como categorías de análisis las
siguientes: percepción de la figura, descripción de la figura, definición matemática,
razonamiento matemático y demostración matemática. Éstas representan las
capacidades16 fundamentales asociadas al aprendizaje de los contenidos geométricos en
los que se centra el estudio que nos ocupa (ángulos y polígonos), y como tales, se
considera que la adquisición y desarrollo de aquellas capacidades permite la
asimilación, acomodación y transferencia de los conocimientos en cuestión. Además de
lo dicho hasta aquí, la determinación de estas categorías se puede fundamentar en que la
geometría, por ser una rama de las matemáticas, es una manera de pensar caracterizada
por procesos tales como la exploración, el descubrimiento, la clasificación, la
abstracción, la estimación, el cálculo, la predicción, la descripción, la deducción y la
medición, entre otros.17 Por su parte, el diseño curricular nacional (DCN) propone para
la educación primaria y secundaria el desarrollo del razonamiento y la demostración, la
comunicación matemática y la resolución de problemas.
14
Las tareas de transferencia son uno de los tres instrumentos de la técnica de análisis (recuérdese que se
señalaron como métodos de recogida de información: el análisis y el test). Las tareas de transferencia se
caracterizan por comprobar que lo que se aprendió ayuda a aprender más por sí mismo, comprueba el
logro de los objetivos, en qué condiciones transfieren los conocimientos previos.
Estas tareas han sido tomadas en cuenta porque los tópicos geométricos analizados fueron estudiados
durante la educación básica regular (EBR) y en la asignatura de Matemática II, en el segundo ciclo de
formación universitaria.
15
La prueba operatoria es un instrumento de evaluación que tiene como finalidad el verificar la habilidad
del alumno para operar con los contenidos aprendidos; implica actividades de análisis, clasificación,
comparación, generalización, planteamiento de hipótesis y postura crítica. Las preguntas están formuladas
de tal manera que el alumno abandone la simple memorización de los contenidos a cambio de establecer
relaciones con hechos, fenómenos e ideas para hacerle percibir que nada ocurre aisladamente. En estas
pruebas el contenido que se cuestiona es un puente para pensar u operar el pensamiento.
CORCOBADO, T (2007) Instrumentos y Técnicas de Evaluación. Documento de trabajo de la asignatura
de Evaluación y atención a la diversidad en el aula de matemáticas. Maestría en Investigación de la
Enseñanza y el Aprendizaje de las ciencias sociales, experimentales y matemáticas. Marzo.
16
Según Martiniano (2004, p.41) Capacidad es una habilidad general que utiliza o puede utilizar el
aprendiz para aprender, cuyo componente fundamental es cognitivo.
17
Estándares curriculares para Matemáticas de la República de Colombia. Ministerio de Educación
Nacional. Consultado en : http:/www.gimnasioaltair.com/matematicas.pdf
10

Instrumentos de Recogida de Información
Los test han sido elaborados adaptando, según los objetivos de la investigación, las
actividades de las unidades de enseñanza (polígonos y triángulos) propuestas por
Corberán y otros (1994) y por Matos (1994), además de agregar cuestiones que se han
considerado pertinentes para conseguir dichos objetivos.
Como ejemplo se tomará el Test Nº2: Ángulos ya que solo consta de dos ítems. Con
él pretendía conocerse la concepción (definición formal e imagen conceptual) que
tenían los EPPM respecto de los ángulos, además de observar si diferenciaban entre los
ángulos convexos y los cóncavos. El test fue el siguiente:
En la siguiente tabla se muestra la relación entre las categorías (capacidades) de
análisis, las destrezas18 y los indicadores que se tuvieron en cuenta para interpretar
dicho test.
18
Siguiendo a Román, M (2004, p.42), una destreza es una habilidad específica que utiliza o puede utilizar un
aprendiz para aprender. Un conjunto o constelación de destrezas constituye una capacidad.
Las destrezas señaladas en la tabla son las que él propone para las personas entre 14 y 18 años.
11
Test N°2: Ángulos
Categoría de
Destreza
Indicador de la categoría
análisis
-Representación
1. Identifica
mental.
cóncavos (internos) de una figura.
b4 , c2 , e2
como ángulos
1. Percepción de la -Observación directa e 2. Reconoce que los ángulos se forman
figura (PF)
indirecta.
por la unión de dos segmentos rectilíneos
mas no curvos o la combinación de estos.
1. Define ángulo de manera prototípica:
“unión de dos rayos con un extremo
-Rigor y precisión.
-Uso
2. Definición
adecuado
del común”.
vocabulario.
matemática (DM) -Formulación
adecuada y correcta.
2. Define de manera completa y correcta
“ángulo”.
3. Utiliza términos correctos y formales al
definir.
4. Señala restricciones para los lados que
forman el ángulo.
4.
Interpretación de los resultados
Para el análisis de la información se estableció una serie de códigos, de tal forma
que se pudiera sistematizar la información obtenida y facilitar la interpretación de la
misma. Así se determinó que:
-
0 representaba que el indicador estaba ausente en la actividad del EPPM.
-
1 señalaba que el indicador estaba presente en la actividad del EPPM.
-
* indica que la conducta (presente o no) del EPPM tenía un matiz peculiar o
anecdótico.
12
-
2 equivalía a que en la conducta (presente o no) del EPPM había un matiz extraño
(que cuesta entender o que no es usual que ocurra).
La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos en el test de ángulos.
Informante
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
E8
E9
E10
E11
E12
0
1
1
1
1
0
0
2
1
1
0
1
Ítem 1
I1
I2
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
2
1
I1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
Ítem 2
I2
I3
1*
1
1
1
0*
0
0
1
1*
1
0
1
2
0*
0
0
0
0
0
1
2
0
0
1
I4
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
De la tabla es posible observar que algo más de la mitad de alumnos (7 de 12)
reconocen que los ángulos se forman por la unión de dos segmentos rectilíneos mas no
curvos o alguna combinación parecida. También puede verse que el vértice “g4”
ocasiona confusión, tal vez porque la curva g1g 4 19 al aproximarse a g4 se hace más
rectilínea entonces al unirse con el lado g 3g 4 , los EPPM asumen que es un ángulo.
Además y como caso particular, E8 señaló todas las uniones de segmentos rectilíneos,
curvos o alguna combinación de ambos con una “A” tal vez porque pensó en “vértice de
la figura” y no en “vértice del ángulo”.
Respecto del ítem 2 ha de decirse que más que leer un listado de propiedades
importaba observar si los EPPM enunciaban las propiedades determinantes del objeto
“ángulo”. Así se pudo observar variedad de definiciones de ángulos y cuatro EPPM lo
conciben como unión de dos rayos con un extremo común, esto coincide con la
definición que presentan varios libros de texto.
19
Ver test Nº2.
13
Entendiendo como definición completa y correcta, aquella que se estudia en la
asignatura de Geometría Plana y Trigonometría (MGP): “Unión de dos rayos no
colineales con un extremo común”, puede decirse que solo tres EPPM explicitaron ésta.
Respecto al vocabulario pudo notarse que siete EPPM utilizaron términos formales al
definir.
Lo dicho antes, son consideraciones generales entorno a toda la muestra, ahora se
comentará lo observado en E4, estudiante que mostró un comportamiento más o menos
coherente y estable en todos los test. Ocupó el segundo lugar en mayor cantidad de
respuestas correctas. Además dio la mayor cantidad (al igual que E1) de respuestas
correctas peculiares y no ha vertido respuestas con matiz extraño. Asimismo, dio el
mayor número de respuestas incorrectas peculiares20 y el menor de respuestas
incorrectas extrañas, así como de respuestas extrañas a secas.

Estudio de un caso: modelo mental de E4
A.
Conocimiento geométrico
La concepción que tiene entorno a los ángulos es la clásica y común, de aquí que se
le haya denominado prototípica, ya que para formarlo bastan dos rayos que parten de un
punto. Con esto dejó claro que los lados de un ángulo son rectos. En coherencia con su
respuesta, reconoció perfectamente los vértices de cada ángulo de las siete figuras
mostradas.
En cuanto a la clasificación de ángulos21, reconoció todas las clases: convexos,
cóncavos, rectos, obtusos y “llanos”22, aunque sin estructurar un esquema inclusivo, así
mencionó como primer grupo los ángulos cóncavos y los convexos y como segundo los
demás que se señalaron antes. No obstante, para ambos grupos consideró el mismo
criterio de clasificación: “según la medida del ángulo”.
20
El matiz peculiar, tanto en las respuestas correctas e incorrectas, hace que sea un caso interesante para el
análisis.
21
Las propiedades, clasificación y medida de ángulos fue trabajada en el test Nº1.
22
Ya se ha explicado lo que acontece respecto de este “ángulo”.
14
Respecto a la medida de ángulos, a pesar de que asignó las medidas correctas a cada
uno, al momento de escribir el valor de la medida siempre lo hizo en la región convexa,
aunque el ángulo sea cóncavo. Esto puede ser una consideración irrelevante; sin
embargo, si lo acostumbrado es escribir la medida en la región determinada por cada
ángulo en cuestión, para los ángulos cóncavos debió escribir su medida en la región
cóncava y no en la convexa.
B. Capacidades y habilidades matemáticas
 Percepción de la figura
Es correcta aunque no completa puesto que al clasificar los ángulos de manera
independiente, se observa que estableció redes simples entre ellos; así, a pesar de que
reconoció los elementos y las características de cada ángulo propuesto, no señaló
conexiones entre ellos. Esto, según el modelo de Van Hiele, ocurre en el segundo nivel
de razonamiento o nivel de análisis.
En cuanto a las destrezas relacionadas con esta capacidad puede decirse que la
observación directa e indirecta se realizó de manera detallada porque identificó
correctamente los vértices de los ángulos de las figuras mostradas; sin embargo, la
representación mental y la identificación de los elementos reales y matemáticos se
notaron un poco confusa porque al indicar el vértice de “e2” lo hizo en la región
convexa, siendo éste un ángulo cóncavo.
 Descripción de la figura
Es difícil describir una capacidad sin relacionarla con otras; así, al hablar de
descripción de la figura, es inevitable no tomar en cuenta la percepción y dado que
sobre ésta ya se hizo referencia, solo se señalará que E4 describió las figuras utilizando
vocabulario elaborado, correcto y específico.
 Definición matemática
15
Además de utilizar los términos apropiados, aunque E4 definió de manera
prototípica el ángulo, evitó las redundancias e identificó las características necesarias de
cada clase. Esto permitió afirmar, considerando el modelo de Van Hiele, que E4 actuó
según el nivel III o de clasificación, de aquí que se hayan notado las destrezas de rigor y
precisión (no solo utilizó palabras sino también símbolos matemáticos), usó
adecuadamente el vocabulario y realizó formulaciones pertinentes y correctas23.
5. Conclusiones
-
El conocimiento geométrico de los EPPM (que participaron en la investigación),
en general, es limitado conceptualmente y en consecuencia, carente de redes
matemáticas complejas y de relaciones inclusivas entre varios objetos
geométricos.
-
La apariencia de las figuras y de lo que se percibe a través de una representación
gráfica, predomina sobre los conceptos que los EPPM tienen de los objetos
geométricos, por esto no buscan establecer herramientas de control que les permita
verificar la coherencia entre la imagen conceptual y la definición formal que se
tiene sobre determinado objeto geométrico.
-
El desarrollo de capacidades y destrezas, propio de un razonamiento formal, no se
evidencia en las respuestas vertidas por los EPPM. Antes bien, se observa una
postura eminentemente intuitiva, apoyada en lo concreto, en lo experimental
(manipulativo) y en lo que parece ser.
-
Establecer definiciones matemáticas es una actividad ligada a prototipos y
representaciones estereotipadas, consecuencia de una tradicional enseñanza.
También está vinculada con la ausencia de discriminación entre propiedades
necesarias y suficientes, por esto los EPPM enuncian definiciones que dejan poco
claro qué objetos geométricos deben incluirse o no en una determinada clase.
-
La asociación entre conceptos y propiedades, la justificación de proposiciones, la
deducción, inducción y establecimiento de conjeturas son procesos que se han
evidenciado poco o nada en los EPPM, por ello, los niveles de razonamiento
23
Aunque ya se ha indicado que la definición de ángulo dada es el que suele encontrarse en la mayoría de los
libros de texto.
16
geométricos en los que se sitúan son los iniciales, tales como el reconocimiento y
el análisis.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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