La posibilidad de desarrollar lenguajes con máxima capacidad

“El teorema de Tarski y la posibilidad de hablar acerca de
todas las interpretaciones”
Eduardo Barrio
UBA – Conicet – Gaf.
www.accionfilosofica.com
Claves: Tarski, Diagonalización, jerarquías de lenguaje, teoría de modelos
0.En este trabajo, analizo los vínculos entre el Teorema de Tarski y las suposiciones
conjuntistas usuales dentro de las definiciones taskianas de verdad. Muestro algunas
limitaciones expresivas relacionadas con el teorema. Sin embargo, argumento que, a pesar de
las restricciones expresivas, el Teorema de Tarski es compatible con la posibilidad de dar una
definición de verdad para un lenguaje suficientemente expresivo como para que se cumpla
diagonalización, desde un lenguaje cuyos cuantificadores sean suficientemente generales como
para hablar de todas las interpretaciones. Claro que el proyecto involucrará el abandono de
ciertos supuestos que usualmente adoptamos al hablar de las interpretaciones de los lenguajes
formales.
I.-
La posibilidad de desarrollar lenguajes con máxima capacidad expresiva es una
condición ineludible para aquellos que adhieren a la tesis de que es posible hablar acerca de
todo. Si no fuéramos capaces de tener lenguajes con tal poder expresivo, toda teoría o conjuntos
de teorías, toda discusión que sea formulada por medio de nuestros instrumentos lingüísticos,
dejaría sin consideración aspectos no lingüísticos que caerían fuera del universo de discurso de
ese lenguaje. Y de esa forma, todo esfuerzo humano por comprender la totalidad de las cosas
como un todo, la posibilidad de formular tesis completamente generales acerca de lo que hay,
estaría condenado al fracaso. Un lenguaje con estas características sería capaz de hablar de
todos los objetos, sus aspectos y relaciones. Contaría con recursos cuantificacionales sin
restricciones contextuales. Semejante capacidad expresiva brindaría también la posibilidad de
hablar acerca de las interpretaciones de los lenguajes. Dado un lenguaje formal determinado (un
ejemplo podría ser un lenguaje de primer orden), no habría ninguna forma de interpretar las
expresiones no lógicas de ese lenguaje que no pudiera ser expresada utilizando un lenguaje con
máxima capacidad expresiva. Tales recursos servirían incluso para hablar de todos los distintos
modos de interpretar cada una de las expresiones del mencionado instrumento lingüístico. Un
lenguaje así sería absolutamente general.
Es importante advertir que el Teorema de Tarski acerca de la Indefinibilidad de la Verdad
1
constituye una limitación a las capacidades expresivas de un amplio de espectro de lenguajes.
Informalmente, el resultado establece que ciertos lenguajes no pueden expresar su propio
predicado veritativo. Una manera de delimitar esta clase, consiste en identificar una
característica especial vinculada con el poder expresivo: la posibilidad de representar todas las
oraciones que pueden probarse dentro de la aritmética clásica. Para estos lenguajes, el teorema
muestra que el conjunto de sus oraciones verdaderas, no es expresable, usando aritmetización,
2
dentro del mismo lenguaje. El resultado limita sus capacidades expresivas: sus propios
predicados veritativos no son definibles dentro de los mismos usando sus propios recursos. Esto
significa acotar los recursos de auto-representación. Esto es, si se cumplen ciertas condiciones
expresivas, la necesidad de representar todas las verdades de un lenguaje, podría dar lugar al
surgimiento de una jerarquía de lenguajes, en donde cada nivel de la misma, poseería más
recursos expresivos que el nivel inmediato inferior, y en donde en cada nivel, sería capaz de
representar el predicado veritativo del nivel precedente. En este sentido, afirma Tarski: “the
condition of the “essential richness” of the meta-language proves to be, not only necessary, but
also sufficient for the construction of a satisfactory definition of truth”.
3
Este mismo resultado limitativo probado por Tarski puede ilustrarse aplicando técnicas
de diagonalización. Para ver algo del detalle, supongamos que L es un lenguaje de primer orden
en el que se puede formular una teoría aritmética T que represente todas las funciones
computables.4 Si  es una oración de L con una variable libre, entonces el lema de
diagonalización 5 asegura que hay una oración  tal que:
Tarski, A. (1935) “Die Wahrheitsbegriff in den formalisierten sprachen” Studia Philosophica 1. Traducido al
inglés en Tarski, A. (1956) Logic, Semantics and Metamathematics Oxford: Oxford University Press.
Segunda edición 1990.
2 Hay distintas maneras de aritmetizar la sintaxis de un lenguaje. Una consiste en asignar un número
natural a cada expresión primitiva de L. Luego, identificar el número de Gödel de una oración de L con el
producto de varios números enteros primos sucesivos, elevado cada uno de ellos por alguna potencia (esa
potencia será el número entero asignado a la expresión inicial que está e su lugar). La utilización de
números primos (números naturales que sólo se pueden dividir por sí mismos o por la unidad) garantiza
que el número de Gödel represente la estructura sintáctica de la oración, ya que todo número natural se
puede factorizar en un único producto de números primos sucesivos. De esta manera, no todo entero es un
número de Gödel (hay números enteros que no son representantes ni de una expresión elemental, ni de
una oración). De lo contrario, toda sucesión de expresiones sería una oración.
3 En cuanto a la supuesta riqueza esencial (essential richness) del metalenguaje respecto del lenguaje
objeto para el cual se efectúa la definición de verdad, cfr De Vidi, D and Solomon, G. (1999) “Tarski on
´essentially richer´ metalanguages” J. Phil. Logic 28 y Ray, G. (2005) “On the matter of essential Richness”
J. of Phil. Log 34.
4 Por ejemplo, T podría ser la artitmética de Peano.
5 En este punto, presento una reconstrucción informal de la exposición de Boolos, G., Burgess, & Jeffrey
(2002) Computability and Logic Cap 17.
1
Intuitivamente,  es una oración autorreferencial que dice de sí misma que cumple la
condición . También se dice que  es un punto fijo porque queda fija al cumplir la condición .
Ahora Bien, sea T* el conjunto de números de Gödel de las oraciones verdaderas de L.
Supongamos por contradicción que T* es definible en L. En este caso, existe una fórmula T(x)
que es expresable en L y define el conjunto de los números de Gödel de las oraciones
verdaderas en L. En particular, si  es una oración de L, entonces en L, T() si y sólo si   T*.
Ahora bien, el lema diagonal asegura que hay al menos una oración  de L que cumple la
condición antidiagonal de ser una oración de ese lenguaje que no es verdadera de su propio
números de Gödel. O más informalmente, que existen oraciones como las del mentiroso
6
que
dicen de sí mismas que son falsas. Por eso, ninguna fórmula de L puede hablar del conjunto de
los números de Gödel de las oraciones verdaderas en L. De esta manera, parece necesario
recurrir a otro lenguaje para expresar esa condición, por lo cual, el predicado veritativo de ese
lenguaje no puede estar representado dentro de ese lenguaje. En suma, lo que se puede decir
de la semántica de L, no puede reflejarse como una fórmula de L. En particular, todas las
atribuciones de verdad a las oraciones de L, no pueden consistentemente reflejarse como
oraciones de L, ya que hemos visto que si lo fueran, deberíamos poder contar con una oración
de L que hable de todas aquellas oraciones que no son verdaderas de sí mismas.
7
El resultado no obliga a sostener que ningún lenguaje puede contener su propio
predicado veritativo. Como ha mostrado Gupta,
8
lenguaje, no hay surgimiento de contradicciones.
clásicos,
9
si se restringe la capacidad expresiva del
O si se abandonan algunos supuestos
podríamos tener un lenguaje en el que valga diagonalización y se puedan expresar
al menos algunos de sus conceptos semánticos. Por ejemplo, la teoría de Kripke permitiría la
construcción de un punto fijo en el que se obtenga como parte de la extensión de la verdad justo
aquellas oraciones de la teoría que son verdaderas. Ya que se cumple el lema diagonal, es
posible formular esta teoría para lenguajes que contengan oraciones como el mentiroso. Claro
que esta oración no pertenecería ni a la extensión de la verdad ni a la extensión de la falsedad
Formalmente, el mentiroso puede representarse como   T().
La posibilidad de decir en el lenguaje natural estas condiciones hacen posible el surgimiento dentro del
mismo de las conocidas paradojas semánticas: considerese, la oración (L) “Esta oración es falsa”. (L) dice
de sí misma si es verdadera, entonces es falsa y si por el contrario, es falsa, entonces es verdadera. Pero,
si la sintaxis del español fuera aritmetizable, (L) tendría que tener un número de Gödel. Pero, (L) sería
verdadera de su propio número de Gödel cuando no es verdadera de su propio número de Gödel.
8 Gupta, A. “Truth and Paradox” (1982) y Kremer, Ph. “On the "Semantics" for Languages with their own
Truth Predicates” In A. Chapuis and A. Gupta, eds. Truth, Definition and Circularity, Indian Council of
Philosophical Research, New Delhi, 2000, 217-246.
9 Cfr. Simmons, K. (1993) p. 36
6
7
(no es ni verdadera ni falsa). No obstante, nótese que el presunto predicado veritativo del
lenguaje, no representa la interacción clásica entre verdad y negación. Y por ese motivo, los
lenguajes de punto fijo no pueden expresar su propia no-verdad. Esto es, el concepto de noverdad en ese lenguaje no es definible usando los medios expresivos del lenguaje. Y este
resultado implica una limitación sobre el alcance de la idea de autorepresentación dentro de los
lenguajes de punto fijo.
10
Este resultado parece mostrar que la posibilidad de diagonalizar,
impide que todos los conceptos semánticos puedan internalizarse en esas condiciones. Hay
ineludiblemente ciartas limitaciones expresivas respecto del lenguaje natural (si queremos evitar
las contradicciones). Si la universalidad semántica fuera posible, la verdad sería aritmetizable y
no valdría el Teorema de Tarski.
Obviamente, no todo resultado de Tarski es expresivamente limitativo. Es bien conocido
que él ha diseñado un método para dar una caracterización extensional y formalmente correcta
del concepto de verdad, para una amplia clase de lenguajes formales. Por supuesto, este
método se aplica a lenguajes que, como L, cumple el lema de diagonalización. Su definición nos
muestra cómo especificar las condiciones de verdad para cada una de las oraciones de los
mismos. Claro que, como hemos visto, al hacerlo, ha mostrado límites a la posibilidad de
representar, dentro de un lenguaje con ciertos recursos expresivos, su propio predicado
veritativo. Si queremos una teoría formalmente correcta de la verdad para un lenguaje con los
mencionados recursos expresivos, debemos formularla desde un lenguaje con mayor poder
expresivo.
Resta entonces preguntarse si las restricciones expresivas que impone el teorema son
suficientes como para impedir que la generalidad del lenguaje desde donde se formula la
definición de verdad, la generalidad de los cuantificadores que forman parte del lengueje en el
cual se formula la definición, sea suficiente como para poder hablar de la totalidad de las
interpretaciones del lenguaje. Me interesa mostrar que ambos son problemas distintos. Esto es,
que si bien el teorema de Tarski limita la posibilidad de formular, dentro de un mismo lenguaje
con ciertas capacidades expresivas, la semántica de ese lenguaje, no limita de manera directa la
posibilidad de hablar desde un metalenguaje con mayores recursos expresivos de la totalidad de
los modos de interpretar las expresiones del primero de los lenguajes.
10
El concepto es expresable desde un lenguaje que distinga entre la oración del mentiroso y la del
mentiroso reforzado, por lo que la necesidad de un metalenguaje vuelve a hacerse presente. Tenemos
jerarquía ya que para hablar de lo que no es verdadero, tenemos que hacerlo desde fuera del lenguaje. Si
entendemos que un lenguaje es expresivamente incompleto si hay algún concepto, expresable en otro
lenguaje, que no puede ser expresado en el mismo, es claro que los lenguajes de punto fijo son
incompletos. Y ya que el tipo de concepto que no puede expresarse es de tipo semántico, entonces los
lenguajes de punto fijo son semánticamente incompletos.
II.Las paradojas semánticas han sido usadas para desafiar la coherencia de la
cuantificación irrestricta y de esta manera, la posibilidad de desarrollar un lenguaje
absolutamente general. Los que han seguido esta línea, han argumentado que dado un lenguaje
L, suficientemente expresivo como para que se cumpla diagonalización, toda vez que se fije un
rango determinado para sus cuantificadores, este procedimiento nos habilita para definir un
nuevo objeto que no está bajo el alcance de los cuantificadores del lenguaje, estableciendo que
la cuantificación no era irrestricta en absoluto.
Si la especificación de las condiciones de verdad de todas las oraciones de un lenguaje
puede ser pensada como una interpretación de ese lenguaje, el recurso tarskiano metalingüístico
puede verse como una descripción de la semántica del lenguaje. Claro que sería deseable que
ese recurso no posea limitaciones en el sentido de no poder hablar de todas las interpretaciones
que un lenguaje podría satisfacer. Una razón importante para que sea posible poder hacer esta
descripción es que, si no lo fuera, tales recursos serían inadecuados para varios de nuestros
principales propósitos teóricos. Específicamente, si no fuera posible contar con cuantificadores
irrestrictos que pudieran hablar acerca de todas las interpretaciones, no podríamos ofrecer,
usando las técnicas tarskianas, una caracterización de los conceptos de validez universal y de
consecuencia lógica, ni podríamos confiar acerca de que las características metalógicas de
nuestras teorías son apropiadas.
No obstante, mientras que Tarski nos mostró que la capacidad de representar la
condición “x es verdadera de exactamente los números de Gödel de las fórmulas no verdaderas
de sus propios números de Gödel” como una oración dentro del lenguaje (una oración que, como
el mentiroso, sea autorreferencial y predique su propia no verdad) conduce a contradicción, la
posibilidad de formular en el metalenguaje una condición diagonal como “x no es una
interpretación bajo la cual la condición  se aplica a x” con cuantificadores irrestrictos cuyo rango
abarque la totalidad de las interpretaciones también lo haría.
Una manera de reforzar el punto anterior vincula a las interpretaciones de un lenguaje
como L con conjuntos. El recurso a entidades conjuntistas es usual en el enfoque tarskiano
acerca de la interpretación de los lenguajes formales. El consejo de Tarski parece ser el describir
sistemáticamente la totalidad de las interpretaciones de los lenguajes formales usando el
lenguaje de la teoría de conjuntos. Siguiendo este consejo, una conjetura que podríamos hacer
es que las interpretaciones aceptables de los lenguajes formales sean ciertos conjuntos. En esta
dirección, Kreisel ha presentado
11
un principio informal que se vincula con la anterior conjetura:
para toda fórmula de cualquier orden finito, esa fórmula es verdadera en toda estructura si y sólo
si es verdadera en toda estructura de la jerarquía acumulativa conjuntista [cumulative hierarchy].
La aceptación de esa tesis partiría del reconocimiento de que en el caso de las teorías lógicas de
primer orden, la teoría de conjuntos ha sido empleada exitosamente para desarrollar una teoría
exhaustiva acerca de los modos de interpretar las teorías de primer orden. En este caso, la
teoría de conjuntos ofrece a la vez, tanto un mecanismo que delimita las colecciones (vistas
estas como objetos dentro del alcance de los cuantificadores presuntamente irrestrictos que
usamos en nuestra teoría semántica) acerca de las que habla la teoría formal en cada una de las
interpretaciones, como un medio para representar, a través de sus propias estructuras
interpretativas, cada uno de los modos intuitivos en los que podemos interpretar esas teorías
formales. De esta manera, nuestro uso de la jerarquía conjuntista como parte esencial de la
semántica de los lenguajes formales estaría presuponiendo que para cualquier interpretación hay
una estructura conjuntista que es equivalente a ella.
Ahora bien, la conjetura según la cual las interpretaciones aceptables son parte del
universo conjuntista carece de una prueba general. Puede mostrarse que para cualquier fórmula
de primer orden, esa fórmula es verdadera en una estructura cuyo dominio es una clase (es
decir, una colección de miembros de la jerarquía conjuntista) si y sólo si es verdadera en una
estructura cuyo dominio es un conjunto. Pero, aunque el teorema de Kreisel muestre que en el
caso de las teorías lógicas de primer orden, basta con que las interpretaciones relevantes tengan
como dominio un conjunto, la prueba del teorema depende de que la teoría sea completa y tal
dependencia condiciona su aplicación a otros órdenes lógicos. 12
De todas formas, no sólo carecemos de una prueba para cualquier orden del tipo de la
que Kreisel formuló para primer orden, sino que hay problema central para la mencionada
conjetura conjuntista acerca de la naturaleza de las interpretaciones. El problema se vincula con
la semántica de la teoría de conjuntos: el lenguaje de la teoría de conjuntos tiene que hablar
acerca de todos los conjuntos. Por eso, el dominio de una interpretación que pretenda capture la
interpretación pretendida del lenguaje de la esta teoría tendría que estar constituido por todos los
conjuntos. No obstante, el dominio de esa interpretación es un conjunto y de acuerdo a las
teorías de conjuntos axiomatizadas, no existe el conjunto de todos los conjuntos. Por tanto,
ninguna interpretación conjuntista puede capturar la interpretación pretendida del lenguaje de la
teoría de conjuntos.13 Es decir, lamentablemente los cuantificadores presuntamente irrestrictos
“Kreisel, G. (1967) “Informal Rigour and Completeness Proofs”. En Lakatos, I. (1967) Problems in the
Philosophy of Mathematics, Ámsterdam, North Holland.
12 Cfr. Kreisel, G. (1967)
13 Barrio, E. (2007) “Modelos, Autoaplicación y Máxima Generalidad” Theoria 22.
11
de la interpretación deseada de la teoría de conjuntos no puede ser un conjunto ni puede
corresponderse de forma inmediata con uno. Parece, entonces, que si queremos cumplir con
nuestro deseo de poder hablar sobre todas las interpretaciones de los lenguajes, hemos
encontrado un límite a la idea de que la teoría de conjuntos pudiera ser una fuente exclusiva de
interpretaciones. Por eso, existe la posibilidad de discrepancias extensionales entre los
conceptos de interpretación y interpretación conjuntista. Este último, aunque “inmensamente
grande”, tal como a partir de Cantor hemos llegado a aprender, parece ser insuficiente como
para brindar las entidades necesarias para constituir el universo conjuntista.
III.-
La posibilidad de discrepancias extensionales entre los conceptos de interpretación e
interpretación conjuntista parece indicar la imposibilidad de contar con recursos suficientes en un
metalenguaje en el cual dar una definión apropiada de las nociones metateóricas de las teorías
formales. Sus cuantificadores no lograrían nunca ser suficientemente generales como para
hablar de todas las interpretaciones. De esta manera, el Teorema de Tarski prohibe dar una
definición de verdadera en el lenguaje conjuntista dentro de ese lenguaje y esta imposibilidad es
una consecuencia directa del cumplimiento de la posibilidad de diagonalizar dentro de ese
lenguaje. Y ahora, como parte de las afirmaciones metalingüísticas que el cumplimento del
teorema nos impone, advertimos que parece que o bien estamos condenados a abandonar la
cuantificación irrestricta o bien si la aceptamos surge una nueva contradicción (ahora dentro de
nuestra metateoría).
No obstante, dos son los supuestos que hemos adoptado para llegar a este nuevo
resultado limitativo. En primer lugar, que las interpretaciones son conjuntos y en segundo lugar,
que para hacer inteligible la cuantificación sobre las entidades de esos “inmensos universos de
discurso”, hay que adoptar el principio denominado Todo en uno [All-in-One Principle]. 14
Según este principio, los objetos de los distintos dominios de interpretación de cada una
de las estructuras que conforman las interpretaciones, forman una entidad, aunque no
necesariamente un conjunto, abriendo la posibilidad de tomar a las interpretaciones como
cualquier tipo de entidad sobre la cual se pueda cuantificar. El principio all-in-one está motivado
en la idea de que nuestras afirmaciones metalingüísticas acerca de L requieren cuantificar sobre
todos los dominios. Esta idea conduciría a tomar a las interpretaciones mismas como objetos
dentro del alcance de los cuantificadores de primer orden. Y no podríamos cuantificar sobre
Cartwright afirma “The general principle appears to be that to quantify over certain objects is to
presuppose that these objects constitute a “collection” or a “completed collection” – some one thing of which
those objects are members. I call this the All-in-One Principle”.
14
algunas cosas sin que haya una cosa singular (una colección) de la cuales ellas formaran parte.
Así, para poder cuantificar sobre ciertos objetos, se tendría que presuponer que esos objetos
constituirían una colección completa, una única entidad de la cual ellos sean miembros.
15
De esta manera, la presunta limitación a la cuantificación irrestricta surge no sólo de la
diagonalización, ahora usando metalingüísticamente las expresiones semánticas del lenguaje
objeto, sino de haber aceptado al mismo tiempo que las interpretaciones son conjuntos y que la
cuantificación irrestricta supone la existencia de una entidad (el dominio) que es a la vez parte de
este universo. Si bien es cierto que ambos supuestos son normales en la actividad de interpretar
lenguajes formales, como hemos visto anteriormente, si se quiere preservar la posibilidad de
hablar sin restricciones acerca de las interpretaciones de los lenguajes formales , es necesario
abandonar uno de esos supuestos.
Aunque con otras motivaciones, el propio Cartwright ha propuesto
16
una manera de
hacerlo. Su alternativa consiste en evitar el compromiso con la idea de que la cuantificación debe
estar basada en dominios reuinidos en una única entidad. Su sugerencia es, en cambio, que los
objetos que satisfagan cierta condición predicativa sean el dominio de interpretación de los
cuantificadores. Una manera de llevar a cabo su sugerencia es tomar una condición  (que
podría ser del lenguaje natural) y decir que todo objeto que satisface esa condición es parte del
dominio de interpretación. No hay ninguna totalidad, ninguna entidad involucrada sobre la cual
los cuantificadores irrestrictos generalicen.
También en esta línea, Boolos ha desarrollado
17
un ingenioso aparato formal alternativo
al tarskiano, en el cual las interpretaciones mismas no son objetos, sino relaciones. En su
propuesta, una interpretación no es un objeto conjuntista, sino aquello que puede satisfacer una
variable de segundo orden. La verdad no es una relación entre una fórmula y un cierto conjunto
estructurado, sino los valores de esta variable de orden superior. Estos objetos, y no un conjunto,
codificarán una especificación de los individuos sobre los cuales nuestros cuantificadores de
primer orden tendrán su alcance. Una implementación de esta idea permite hablar de un dominio
de “todos los conjuntos” sin comprometernos con una entidad representada por ese hablar.
Logrando mayor capacidad expresiva sin reunir en una única entidad a todos esos objetos (lo
cual, como se ha mostrado, conduciría a contradicción).
15
Cartwright critica el principio all-in-one, ya que le parece inadecuada la idea de que "we cannot speak of
the cookies in the jar unless they constitute a set ..." R. Cartwright (1994) p. 7 – 8. Para una defensa, cfr.
Parsons, C. (1984).
16
R. Cartwright (1994) p. 9.
17 G. Boolos (1985) “Nominalist Platonism” The Phil Review XCIV.
Podría parecer que el abandono de tomar a los dominios como conjuntos está muy lejos
conceptualmente de la concepción tarskiana. No obstante, es bueno recordar que en la misma,
no hay un dominio desde el cual se estructuran los modos de interpretar las fórmulas.
18
No hay
un objeto colectivo desde el cual se extraen los valores que se utilizan al definir la extensión del
mencionado predicado.
19
Claro que, a diferencia del enfoque tarskiano, la alternativa de Boolos
adopta, como parte del metalenguaje, de variables de orden superior. Esto es, para poder hablar
de todas las interpretaciones que una oración de primer orden podría satisfacer, hay que adoptar
un lenguaje cuyos cuantificadores no sean únicamente los cuantificadores de primer orden.
La desconfianza clásica en la cuantificación superior ha decrecido en nuestros días.
Shapiro nos ha mostrado
nos han mostrado
21
20
distintas ventajas emparentadas con su adopción y Rayo y Uzquiano
, usando las técnicas de Boolos, cómo definir una noción de consecuencia
lógica en segundo orden basada en una noción de verdad que cumple la condición de
adecuación material de Tarski. El propio Boolos nos ha enseñado el camino para evitar la
expansión ontológica que involucraría la cuantificación superior: la cuantificación plural evita el
compromiso o bien conceptualista o bien conjuntista que los nuevos cuantificadores estarían
involucrando. 22
Pero no todo es positivo. La posibilidad de cuantificar sobre todas las interpretaciones
que puedan tomar nuestros afirmaciones en primer orden se logra al costo de perder ciartas
propiedades metateóricas. Dado cualquier sistema axiomático de segundo orden, podemos
seimpre construir oraciones cuyos cuantificadores sean de ese orden que sean verdaderas y que
no sean derivables en ese sistema.
IV.
18
Cfr. Bays, T. (2001) y Gómez Torrente, M. (2000).
El procedimiento original de Tarski para definir la extensión del predicado veritativo se diferencia de la
concepción modelista en varios aspectos: fundamentalmente, aunque ambos enfoques puedan resultar
extensionalmente equivalentes respecto de las fórmulas que resulten ser verdaderas, existen diferencias
filosóficas importantes respecto de la noción de modelo que se utiliza en ambas definiciones. Con respecto
lo que a nosotros nos ocupa, en el enfoque modelista, las fórmulas para las que se define la extensión del
predicado veritativo se toman de un lenguaje no interpretado; en la caracterización tarskiana, en cambio, las
formulas vienen interpretadas. De esta manera, la interpretación no cambia de modelo en modelo, tal como
sucede en la caracterización modelista. En esta última, hay distintos dominios a partir de los cuales
tenemos distintos modos de interpretar las fórmulas.
20 Shapiro, S Foundations Without Foundationalism: A Case for Second-Order Logic (Oxford, OUP, 2d Ed
2000)
21 Rayo, A. & Uzquiano, G. (1999) “Toward a Theory of Second-Order Consequence” Notre Dame J. Of
Formal Logic Vol. 40.
22 En “Beyond Plurals”, Rayo muestra límites al proyecto general de hacer semántica generalizada usando
cuantificadores plurales. Cfr. Rayo, A. & Uzquiano, G. Absolute Generality (Oxford, OUP, 2006).
19
En suma, así como el Teorema de Tarski involucra un límite a las capacidades
expresivas de los lenguajes formales, la adopción de ciertos supuestos usuales en la actividad
de interpretar tales lenguajes (el principio Todo-en-uno y que las interpretaciones son conjuntos)
juntamente con la posibilidad de diagonalizar dentro del metalenguaje que usamos para definir la
semántica del lenguaje objeto conduce a una nueva limitación expresiva: no hay manera de
representar, usando cuantificadores de primer orden, cada uno de los modos de interpretar esos
lenguajes. Sin embargo, he mostrado que hay un modo de evitar tal limitación expresiva: evitar
comprometerse con la idea según la cual las interpretaciones son valores posibles de
cuantificadores de primer orden. Estrictamente hablando, hemos visto que el proyecto de tomar a
las interpretaciones como conjuntos es inviable, surgiendo así un nuevo e inesperado resultado
acerca de las interpretaciones de los lenguajes formales: hay más modos de interpretar
expresiones de un lenguaje formal que conjuntos.