Suponga una economía compuesta por dos consumidores

Economía I
Seminario No 13
Curso 2005.
Suponga una economía compuesta por dos consumidores (Robinson y Viernes). En esta
economía existen también únicamente dos tipos de bienes: Ananá (A) y Manzanas (B).
Estos bienes no se producen, sino que cada uno de los consumidores tiene una dotación
específica de ellos y deben decidir si desean intercambiar con la otra persona parte de
esos bienes que poseen o no, decisión que harán efectiva si el trueque o relación de
intercambio resultante les permite, respectivamente, recomponer la dotación a una
canasta de bienes les proporcione mayor (o no menor) utilidad en su consumo. Es ésta
una economía donde la única actividad económica relevante a considerar es el
intercambio de satisfactores.
La dotación de Bienes y la función de utilidad de cada uno de los consumidores es la
siguiente (las unidades son kilos):
Robinson: Dotación: (1A,2M)
Función de utilidad: U Robinson  A M 1
Viernes: Dotación: (1A,2M)
Función de utilidad: U viernes  A M 1
Con  = 0,3 y  = 0,7
Observaciones:
Es importante notar que la oferta total de bienes en esta economía es (2A,4M), que
surge de sumar la dotación de cada bien que poseen los consumidores. Esto pone una
primera restricción de carácter físico al consumo: ninguno de los dos protagonistas
podrá consumir más de tres unidades de estos bienes.
A su vez, en esta economía sin ahorro, la restricción presupuestaria o riqueza de los
consumidores va a depender del precio relativo entre los bienes A y M:
El agente i tendrá una riquezai  p A Ai  pM M i
Se pide:
1) Calcule el nivel de utilidad que obtendría cada uno de los consumidores si
consumiera exactamente su dotación.
2) (Noción de mejora de Pareto) Suponga que Robinson y Viernes deciden
intercambiar entre sí parte de su dotación de Ananá y Manzanas. En principio,
evalúan que Robinson le pase a Viernes ¼ kilo de manzana a cambio de ½ kilo
de Ananá.
2.1) ¿ Cuál es el precio relativo implícito en este intercambio?
2.2) En términos de Bienestar, los consumidores están mejor o peor que sí no
comercian y cada uno consume exactamente su dotación? Semejante
propuesta ¿empeora la situación de alguno de los dos consumidores?
3) (Equilibrio Competitivo o Walrasiano) Partiendo de la situación analizada en el
numeral anterior y de los ejercicios realizados en los prácticos anteriores,
sabemos que el vector de demanda de bienes para Robinson y Viernes tiene la
siguiente forma genérica:
Robinson:
Y (1   )Y 
( Ad ; M d )  
;
pM 
 pA
Viernes:
 Y (1   )Y 
( Ad ; M d )  
;

p  
 p A
3.1) Calcular la demanda total de A y B.
3.2) ¿Es viable un equilibrio sustentando en un precio relativo como el calculado en el
apartado anterior? Justifique su respuesta.
En un equilibrio general competitivo deben cumplirse dos condiciones:
a) Todos los agentes se encuentran maximizando su bienestar dada la estructura de
precios de equilibrio.
b) las decisiones de los agentes deben ser consistentes entre sí. Dicho de otra manera,
cada agente debe ser capaz de comprar y vender lo que desea dada la estructura de
precios de equilibrio.
Ambas condiciones implican que nos encontremos sobre la función de demanda de cada
agente (la función de demanda surge de la maximización del bienestar individual) y que
adicionalmente se cumpla que la suma de las demandas coincida con la oferta total
disponible en la economía.
pA
3.3) Demostrar que un precio relativo
 2 hace compatible las decisiones
pm
individuales de Robinson y Viernes y que por lo tanto constituye un equilibrio general
competitivo o walrasiano. ¿Cuál es la asignación final de los bienes compatible con
este equilibrio?
3.4) ¿Cuál es el contenido del comercio, relación de intercambio, entre ambos dada
esta estructura de precios?
3.5) (precios relativos y utilidad). ¿Qué representa el precio relativo de equilibrio en
términos de las preferencias de ambos consumidores? En qué sentido cabe
afirmar que los precios relativos se “fundan” sobre una teoría subjetiva del valor
4) (óptimo de pareto). ¿En qué sentido la asignación de recursos y el precio relativo
determinado en el punto anterior es eficiente?. Discuta graficando el equilibrio en una
Caja de Edgeworth.
4)
(justicia y optimalidad paretiana). Suponga ahora que:
4.1) Robinson es propietario de todos los bienes en esta economía (2A,4M). ¿Esta
asignación de los recursos constituye un óptimo de Pareto?
4.2) Que la dotación agregada de bienes (escasez) sigue siendo la inicial (2 A, 4M) y
que ambos mantienen las preferencias iniciales, pero que Viernes posee ahora un
ingreso real que es 3 veces el de Robinson, ya que este último posee inicialmente
p
(0,5A, 1M), y, además, que los precios relativos competitivos son ahora A  3 .
pm
Evalúe, respecto a este nuevo punto de partida, la asignación final de equilibrio y
discuta, comparado con sus respuestas de 3.3) y 4), el resultado alcanzado.
p
4.3) Como se interpretaría un cambio de precios relativos a A  1,3333 si fuesen
pm
resultado de un equilibro donde Robinson fuese quien dispusiera de (1,5 A, 3M) de
modo que la “ponderación” de sus preferencias o de sus demandas individuales pesaran
más en los agregados?
5) En un análisis de equilibrio general, ¿Qué variables se determinan endógenamente?
6) Tomando en cuenta el intercambio y la producción, ¿en qué medida cabe afirmar que
la asignación de recursos y los precios relativos de los mismos resultan determinados en
forma “derivada” por las demandas de bienes de consumo final?
7) Para trabajo domiciliario: Asumiendo las mismas preferencias iniciales pero donde
las dotaciones son
Robinson: Dotación: (1A,2M)
Viernes: Dotación: (2A,1M)
Totales:
(3A, 3M)
p
Realice el “Se pide” 2) anterior y responda el 3.3) para precios relativos A  1
pm
SOLUCION
1)
Robinson
Viernes
U= 1 *
U= 1 *
1.624504793 = 1.624504793
1.231144413 = 1.231144413
2)
Si hacen ese intercambio las cestas finales serían
Robinson:
(1,5A,1,75M)
Viernes:
(0,5A,1,25M)
Lo que les proporcionaría
Robinson
U = 1.129346935 * 1.479539738 = 1.670913669
Viernes
U = 0.61557220 * 1.275424501 = 0.785115874
Robinson mejora pero Viernes empeora.
pA
 0,5
pm
3.3)
Al precio relativo indicado los ingresos son Y = 2 y las cestas de equilibrio individual
serían
Robinson:
(0,6A,2,8M)
Viernes:
(1,4A,1,2M)
Y sus utilidades
Robinson
U = 0.8579172 *
2.055940879 = 1.763827044
Viernes
U = 1.265580064 * 1.056219968 = 1.336730935
Ambos mejoran.
La relación de intercambio es 0,4A por 0,8 M.
4.2)
Sus utilidades previas al intercambio
Robinson
U = 0.812252396 * 1
= 0.812252396
Viernes
U = 1.32820124 * 1.39038917 = 1.84671662
A los precios
pA
3
pm
Cestas finales
Robinson:
Viernes:
(0,25A,1,75M)
(1,75A,2,25M)
Utilidades finales
Robinson
U = 0.659753955 * 1.479539738 = 0.976132194
Viernes
U = 1.479539738 * 1.275424501 = 1.887041231
Ambos mejoran.
La relación de intercambio es 0,25A por 0,75 M.
4.3)
Sus utilidades previas al intercambio
Robinson
U = 1.129346935 * 2.15766928
= 2.436757189
Viernes
U = 0.615572207 * 1
A los precios
pA
 1,3333
pm
= 0.615572207
Cestas finales
Robinson:
Viernes:
(1,125A,3,5M)
(0,875A,0,5M)
Utilidades finales
Robinson
U = 1.035966607 * 2.403519394 = 2.489965832
Viernes
U = 0.910763542 * 0.812252396 = 0.73976987
Ambos mejoran.
La relación de intercambio es 0,375A por 0,5 M.
7)
Vale para que vean que aunque no es evidente mirando las dotaciones iniciales, ambos
p
tienen, dados los precios relativos A  1 , el mismo ingreso nominal y en poder de
pm
compra pero distinto “real” si se toma como tal la utilidad total (ojo que en rigor no
caben semejantes comparaciones interpersonales, de modo que, en rigor el “ingreso
real” solo tiene sentido estricto para cada sujeto comparado con sí mismo) .
Sus utilidades previas al intercambio
Robinson
U = 1 * 1.624504793
= 1.624504793
Viernes
U = 1.624504793 * 1
= 1.624504793
(ojo aunque las UT den igual índice NO son conmensurables, ni cabe ninguna
comparción de binestares)
p
A los precios A  1
pm
Cestas finales
Robinson:
(0,9A, 2,1M)
Viernes:
(2,1A,0,9M)
Utilidades finales
Robinson
U = 0.968886161
* 1.68094501 = 1.628644358
Viernes
U = 1.68094501
* 0.968886161
= 1.628644358
Ambos mejoran. (Idem prohibición de tentarse a decir que “mejoraron por igual”)
La relación de intercambio es 0,1A por 0,1 M.
--------------------------------------------------------------------------------Incorporando la producción al equilibrio general acorde al ejemplo del Sem-13
En lugar de representar la escasez por las dotaciones totales de bienes la indicamos
ahora por dotación total de factores. Asimismo, la distribución del ingreso dada a través
de las dotaciones individuales iniciales dadas, son ahora indicadas a través de las
distribución de los factores entre los agentes.
Suponiendo que L = 8 y K = 2 y que los ingresos de Robinson (Yr) y de Viernes (Yv)
provienen de (w * L + r * K ), y que las funciones de producción de ananás y manzanas
son
A = 1 La0,5 Ka0,5
M = 2 Lm0,5 Km0,5
Donde La + Lm = 8 y
Ka + Km = 2 indica pleno empleo de ambos recursos.
Armamos una solución de equilibrio compatible con el caso 3.3) del sem-13. Hacemos
p
entonces que la producción oferte (2 A, 4 M) a los precios relativos A  1 / 0,5  2
pm
Y que ambos poseen iguales ingresos, dados ahora por: Yr = Yv = 0,5 (w * L + r * K)
Las producciones serían
Rama A
Rama B
L
4
4
K
1
1
Q Pmg L Pmg K Precios
2
0.25
11
4
0.5
2 0,5
Donde
w = Pi * PmgLi = 1 * 0,25 = 0,5 * 0,5 = 0,25
r = Pi * PmgKi = 1 * 1 = 0,5 * 2 = 1
y las relaciones técnicas de sustitución indican que ambas ramas están en respectivas
isocuantas en puntos tangentes a la misma isocosto de pendiente (- w/r), es decir
(Ka / La) = (Km / Lm) = (w / r)
(41 / 4 ) = (1 / 4) = (0,25 / 1) = 0,25
Entonces, dado que (w * L + r * K ) = (0,25 * 8) + (1 * 2) = 4, el supuesto de iguales
ingresos Yr = Yv = 2.
Retomado las demandas derivadas de la maximización respectiva de la UT, tenemos
Robinson:
Y (1   )Yr 
( Ad ; M d )   r ;

pM 
 pA
Viernes:
 Y (1   )Yv 
( Ad ; M d )   v ;

p  
 p A
de modo que las cestas finales son como n 3.3)
Robinson:
(0,6A,2,8M)
Viernes:
(1,4A,1,2M)
Y sus utilidades
Robinson
U = 0.8579172 *
2.055940879 = 1.763827044
Viernes
U = 1.265580064 * 1.056219968 = 1.336730935
Ambos maximizan.
La relación de intercambio o precios relativos es 1A por 2 M.
Este caso correspondería, con producción, a datos similares al caso 3.3) anterior.
----------------------------------------------Ahora interesa ver cómo si cambian las ponderaciones de las preferencias, al cambiar
la distribución del ingreso ya no sucede, como en el intercambio puro, que cambian los
precios relativos: ahora los precios relativos se mantienen determinados por la dotación
de factores y las funciones de producción y lo que cambia como consecuencia del
cambio de las demandas de bines finales es la composición de la oferta y la asignación
de los recursos pero no los precios relativos ni (w/r).
Se mantienen todos los datos anteriores, salvo que como en 4.2) Sem-13, asumimos un
cambio exógeno en la distribución del ingreso tal que Yv = 0,75 (w * L + r * K)
mientras Yr = 0,25 (w * L + r * K)
Con los precios relativos como antes
pA
 1 / 0,5  2 y asimismo w = 0,25 y r = 1,
pm
(w/r = 0.25),
Las producciones serían
L K Q Pmg L Pmg K Precios
Rama A 4,8 1,2 2,4
0.25
11
Rama B 3,2 0.8 3,2
0.5
2 0,5
Donde
w = Pi * PmgLi = 1 * 0,25 = 0,5 * 0,5 = 0,25
r = Pi * PmgKi = 1 * 1 = 0,5 * 2 = 1
y los ingresos (w * L + r * K) = 0,25 * 8 + 1 * 2 = 4 y entonces Yr = 1,Yv = 3
y las cestas de consumo finales son ahora:
Robinson:
(0,3A, 1,4M)
Viernes:
(2,1A,1,8M)
Ya que no cambian los precios relativos sino únicamente la composición de las cestas
individuales finales.
De igual forma si los ingresos relativos son como en 4.3) entonces Yv = 0,25 (w * L +
r * K) mientras Yr = 0,75 (w * L + r * K)
Las producciones serían
L K Q Pmg L Pmg K Precios
Rama A 3,2 0,8 1,6
0.25
11
Rama B 4,8 1,2 4,8
0.5
2 0,5
Donde
w = Pi * PmgLi = 1 * 0,25 = 0,5 * 0,5 = 0,25
r = Pi * PmgKi = 1 * 1 = 0,5 * 2 = 1
y los ingresos (w * L + r * K) = 0,25 * 8 + 1 * 2 = 4 y entonces Yr = 3,Yv = 1
y las cestas de consumo finales son ahora:
Robinson:
(0,9A, 4,2M)
Viernes:
(0,7A,0,6M)
Ya que no cambian los precios relativos sino únicamente la composición de las cestas
finales.
---------------------------------------------------------Para ilustrar la comprensión de la particular manera de tratar la tecnología en éste
enfoque conformamos otro ejemplo. Se trata de indagar si podría modelizarse semejante
equilibrio dejando todo igual salvo que las funciones de producción fueran “diferentes”
entre ramas.
p
Tomamos el caso1 7) donde A  1 y la cesta oferta era (3 A, 3 M) y Yr = Yv = 3
pm
pero
A = 1 La0,5 Ka0,5
Donde La + Lm = 9
recursos.
1
y
M = 3 Lm0,25 Km0,75
Ka + Km = 2,25
indica pleno empleo de ambos
Lo que se pretende ilustrar a continuación podría hacerse, obviamente, tomando como partida el caso
anterior. Simplemente se quiere aprovechar la ventaja ”visual” de usar precios relativos = 1.
Armamos una solución de equilibrio “cuasi-compatible” con el caso 7) del sem-13.
Las producciones serían
Rama A
Rama B
L K
6 1,5
3 0,75
Q Pmg L Pmg K Precios
3
0.25
11
3
0.25
31
Todo lo demás se cumple, salvo que no puede cumplirse la tangencia de las isocuantas
entre las ramas A y M: (0,25 / 1)  (0,25 / 3). No hay reasignación alguna de factores
que permita hacer tangentes las isocuantas de esas dos funciones de producción.
Se llega al curioso resultado de que la incorporación de la producción requiere que las
funciones homogéneas lineales en todas las ramas solo difieran en el factor de escala.
En ese caso los precios relativos vienen determinados por el cociente de esos
parámetros de escala en las funciones y son independientes de las preferencias, las
distribuciones del ingreso y las asignaciones sectoriales de recursos.
Así, por ejemplo, las funciones de producción consistentes con la solución del 7)
anterior serian
A = 1,5 La0,5 Ka0,5
M = 1,5 Lm0,5 Km0,5
Que con las dotaciones iniciales, L = 8 Y K = 2, las producciones serían entonces
Rama A
Rama B
L
4
4
K
1
1
Q Pmg L Pmg K Precios
3 0.375
1,5 1
3 0.375
1,5 1
pA
 1 , mientras (w / r ) = (0,375 / 1,5) = 0,25 que premite mantener la
pm
condición de tangencia con las isocuantas, ya que K/L = (1/4) = 0,25.
Y
En semejantes circunstancias las estructuras de capital trabajo tienen que ser las
mismas en todas las ramas (Ka / La = Km / Lm) lo que nos hace retornar al cuestionado
supuesto de iguales estructuras y duraciones, ya cuestionados por Smith y Malthus, y
donde los precios relativos serían aquí también proporcionales al trabajo incorporado en
la condición marginal.
Si se quieren introducir representaciones de la “tecnología” con distinta estructura K/L
ramal, hay renunciar explicar la determinación de las remuneraciones y el empleo por
la teoría de las productividades marginales.
Alternativamente, si el enfoque aplica funciones de producción con rendimientos
variables a escala y se pretende mantener la noción de salario real por la productividad
marginal, debe tratar la remuneración del capital como un residuo no explicado (cuasirenta), cual la renta smithiana de la tierra, y no puede entonces dar cuenta de la
movilidad de capitales entre ramas y su asignación sectorial (las isocuantas típicas se
esfuman puesto que los Ki de ambas ramas no se mueven segun sus productividades
marginales) acorde a la escasez o intensidad relativa de su uso entre dichas ramas.