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1.- Probabilidad Condicional, Bayes, Independencia
1.1.- Probabilidad Condicional:
DEF:
Sea E un evento arbitrario de un espacio muestral M con IP(E)>0.
Se define la probabilidad condicional de A dado E (se denota IP(A/E)),
como sigue:
IP( A / E ) 
IP( A  E )
IP( E )
(**)
OBS:
La probabilidad condicional de A dado E (o bien, la IP del suceso A sí ya
ha sucedido el suceso E, o bien, la IP del suceso A condicionado a E), se
puede visualizar en un diagrama de Venn como se aprecia a continuación:
Nota:
La probabilidad condicional es una probabilidad relativa del suceso A con
relación al suceso E.
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En particular, si M es un espacio finito y A denota la cardinalidad de un
evento A, entonces:
IP( A / E ) 
IP A  E 
IP E 

A E
E
o
IP( A E ) 
cardinalidad de A  E
cardinalidad de E
o
IP( A E ) 
número demaneras enque A y E pueden suceder
número demaneras enqueE puedesuceder
Ejercicio:
Si al lanzar un par de dados insesgados se obtiene que la suma es 5,
hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 2, es decir:
E={ suma es 5}={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} => E=4 y
A={un dos aparece por lo menos en un dado}={ (2,1) , (2,2), (2,3), (2,4) ,
(2,5) , (2,6), (1,2),(3,2),(4,2),(5,2), (6,2)}=>A=11.
Hallar IP(A|E)
Solución:
E consta de 4 elementos y en 2 de ellos aparece el número 2,
entonces pertenece a A:
AE= {(2,3), (3,2)} => AE=2
Entonces
IP(A|E)=2/4= 1/2.
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Teorema de la multiplicación de la probabilidad condicional:
Si despejamos de la ecuación (**) que define la probabilidad condicional y
usamos el hecho de que AE = EA, obtenemos la siguiente fórmula:
Teorema 1: IP( E  A)  IP( E) IP A E
Obs.
este teorema puede extenderse de la siguiente manera por inducción
matemática:
Para los eventos A1,A2,.....,An se cumple que
( A1  A 2 A n )  IP( A1 )IP A2 A1  IP A3 A1  A2  P An A1  A2  An1 
Ejercicios resueltos
1. Suponer que se tiene una caja (20 botellas) de Coca-Cola para la
venta, y se sabe que existen 10 que en su tapa traen un premio,
determinar:
a- La probabilidad de que la tercera botella que se venda sea la primera
que tenga su tapa con premio
b- La probabilidad de que la tercera botella sea la segunda premiada
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Solución:
a
Este experimento ocurre sin devolución, gráficamente sería:
S in p re m io
S in p re m io
C o n p re m io
Sean los sucesos:
SP
CP
P1
P2
= Sin Premio
= Con Premio
= La primera premiada
= La segunda premiada
IP(SP SP CP)=IP(CP / SP SP) IP(SP / SP)IP(SP)=
=casos favorables/casos posibles=
=(10910)/(201918)  0.132  13.2%
También para el desarrollo de este ejercicio se pueden hacer uso de
árboles, que indican la condicionalidad en las ramas.
2-b
S in p re m io
C o n p re m io
C o n p re m io
S in p re m io
C o n p re m io
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IP(sale 2da premiada en la tercera prueba)=IP(P1 SP P2)+IP(SP P1 P2)
=IP(P1) IP(SP / P1) IP(P2/ P1 SP)+IP(SP) IP(P1/ SP) IP(P2/ SP P1)
=((1010 9)/(20 19 18) )+((10109)/(201918))  0,263  26,3%
(Como ejercicio podría realizarlo usando un árbol).
2- En un costurero se tienen 5 carretes de hilo de los cuales 2 son de
color rojo y 3 son de color negro.
a- ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar los carretes el tercero sea el
segundo de color negro?
b- ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el último rojo en la cuarta
extracción?
Solución
a- Sean los sucesos:
N
R
= color negro
= color rojo
Existen 2 eventos y la IP(de que al sacar los carretes el tercero sea el
segundo de color negro) es:
IP(1)=IP(NRN) + IP(RNN) = IP(N) IP(R/N) IP(N/NR) +IP(R)
IP(N/R)IP(N/RN) IP(1)=((232)/(543))+((322)/(543))=0.4=40%
bExisten 3 eventos cuyas probabilidades son
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IP (encontrar el último rojo en la cuarta extracción)=
IP(que el último rojo sea el cuarto)=
IP(RNNR) +IP(NRNR) +IP(NNRR)=
=IP(R)IP(N/R) IP(N/RN) IP(R/RNN) + IP(N) IP(R/N)
IP(R/NRN) + IP(N) IP(N/N) IP(R/NN) IP(R/NNR)
IP(N/NR)
=((3221)/(5432))+((2321)/(5432))+((3221)/(5432))
= 0,3=30%
3- En una caja de 100 artículos hay 10 defectuosos se toman al azar 3
artículos uno tras otro, hallar la probabilidad de que los tres no sean
defectuosos.
Sean los sucesos:
Ai = {el artículo i es bueno}
Bi = {el artículo i es malo}
IP(A1A2A3)= IP(A1) IP(A2/A1) IP(A3/A1A2)
IP(A3|A1 A2)
IP(A2|A1)
bicicleta
IP(A1)0.5
IP(B3|A1 A2)
IP(A3|B1 A1)
IP(B2|A1)
IP(B3|B1 A1)
IP(A3|A2 B1)
IP(A2|B1)
bicicleta
IP(B1)0.5
IP(A3|B2 B1)
IP(B2|B1)
IP(A1)
IP(A2/A1)
IP(A3/A1A2)
IP(A1A2A3)
IP(B3|A2 B1)
IP(B3|B2 B1)
= 90/100
= 89/99
= 88/98
= ((908988)/(1009998))=0,73=73%
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Es decir, se debe seguir por el árbol buscando las rutas que correspondan
al problema planteado y multiplicando las probabilidades en cada ruta y
como las rutas son eventos independientes se suman todos los tramos.
1.2.- Teorema de Bayes y particiones
Supongamos que los eventos A1,A2,.....,An forman una partición de un
espacio muestral M; esto es, que los eventos Ai son mutuamente
excluyentes (incompatibles) y su unión es M. Sea B otro evento. Entonces
B  M  B  ( A1  A2  An )  B
 ( A1  B)  ( A2  B)( An  B)
donde los ( Ai  B) son eventos mutuamente excluyentes(incompatibles).
En consecuencia por el teorema de la multiplicación queda:
IP( B)  IP( A1  B)  IP( A2  B)    IP( An  B)
luego el Teorema de la IProbabilidad Total queda:
IP( B)  IP( A1 ) IP( B A1 )  IP( A2 ) IP( B A2 ) IP( An ) IP( B An )
por otro lado, para cualquier i, la probabilidad condicional Ai dado B se
define por
( Ai B ) 
IP Ai  B
IP B
Reemplazando la IP(B) obtenemos el Teorema de causa o Teorema de
Bayes :
Teorema de Bayes
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Suponga que A1,A2,.....,An es una partición (sucesos incompatibles) del
espacio muestral M y sea B un evento cualquiera del mismo espacio
muestral M, entonces para cualquier i tenemos,
( A i B ) 
IP Ai  IP B Ai 
IP A1  IP B A1   IP A2  IP B A2   IP An  IP B An 
Ejercicio:
Una persona puede viajar de 3 formas, bicicleta, auto y avión. Cada forma
de transporte tiene una probabilidad de tener un defecto en el sistema de
rodado y no llegar al destino del 3%, 4% y 5% respectivamente.
Para escoger el método de traslado se tienen 3 fichas, las cuales tienen
una probabilidad de aparecer del 50%, 30% y 20% respectivamente.
Si se toma un viaje al azar, y no llega a destino, hallar la probabilidad de
que ese viaje se realizó en bicicleta.
lle g a 0 .9 7
b ic ic le t a 0 . 5
n o lle g a 0 .0 3
lle g a 0 .9 6
a u to 0 .3
a v ió n 0 . 2
n o lle g a 0 .0 4
lle g a 0 .9 5
n o lle g a 0 .0 5
Sea B el evento que no llegue a destino.
 ( Bicicleta B) 
IPBicicletaIPB Bicicleta
IPBicicletaIPB Bicicleta  IP AutoIPB Auto  IP AviónIPB Avión
 ( Bicicleta B) 
IP(bicicleta/B) =0,4054 
0.50.03
0.50.03  0.30.04  0.20.05
15
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Al usar árboles para resolver un problema condicional de Bayes, se debe
multiplicar los tramos de la rama que se busca, (en el ejemplo de que no
llegue y sea bicicleta), y dividirlo por la IP total del suceso no llegue a
destino.
1.3.- Independencia
Se dice que un evento B no vacío es independiente de un evento A, si la
probabilidad de que B suceda no está influenciada porque A haya o no
sucedido. En otras palabras, si la probablidad de B es igual a la
probabilidad condicional de B dado A : IP( B)  P( B| A) , y si la probabilidad
de A es igual a la probabilidad condicional de A dado B : IP( A)  P( A| B) .
Sustituyendo IP(B) por P(B|A) en el teorema de la multiplicación
IP( A  B)  P( A)P( B| A) , se obtiene
IP( A  B)  P( A)P( B)
Ejercicios Propuestos
1.
Se lanza un dado no cargado.¿Cuál es la probabilidad de que sea
primo? (Sol: 2/3)
2.
Se lanza un dado no cargado. Si el número es impar ¿Cuál es la
probabilidad de que sea primo? (Sol: 1)
3.
Se lanza un dado no cargado. Si el número es par ¿Cuál es la
probabilidad de que sea primo? (Sol: 1/3)
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4.
En cierta Universidad, el 25% son jóvenes y el 10% de los jóvenes
son estudiantes de Estadística. Los no estadísticos constituyen el
60% de los universitarios. Si se selecciona al azar un estudiante y
resulta ser no estadístico, determinar la probabilidad de que el
estudiante sea joven. (Sol: 37,5%)
5.
Se lanza un par de dados insesgados. Hallar la probabilidad IP de
que la suma de sus números sea 8 en el primer lanzamiento.
(Sol: p=
5
)
36
6.
En cierta universidad, 4% de los hombres y 1% de las mujeres
tienen mas de 1,90 cm de estatura, además, el 60% de los
estudiantes son mujeres. Si se seleccionan al azar un estudiante
mas alto que 1,90 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?.
(Sol: 1/5)
7.
Un lote de 12 artículos contiene 4 artículos defectuosos. Se toman al
azar 3 artículos del lote uno tras otro. Cuál es la probabilidad de que
los tres artículos sean buenos?. (Sol : 14/55)
8.
Tres máquinas A, B, y C, producen 50%, 30%, y 20%
respectivamente del número total de artículos de una fábrica. Los
porcentajes de artículos defectuosos de producción de estas
máquinas son del 5% para A, 4% para B, y 3% para C. Si se
selecciona al azar un artículo, cuál es la probabilidad de que el
artículo sea defectuoso?. (Sol : 0.043)
9.
Si el próximo año hay un aumento en las inversiones de capital, la
probabilidad de que el acero para construcciones suba de precios es
de 90%. Si no hay incremento en dichas inversiones, la probabilidad
de una aumento en los precios del acero es de 40%. Se estima que
hay un 60% de probabilidad de que las inversiones de capital
aumenten en el próximo año.
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10.
11.
a)
Construya el árbol de probabilidad, para el aumento y no
aumento de las inversiones de capital, y el aumento y no
aumento del precio del acero.
b)
¿Cuál es la probabilidad de que no suban los precios del acero
para cosntrucciones, aunque haya un aumento de la inversión
de capital?. (Sol : 1/10)
c)
¿Cuál es la probabilidad global (incondicional) de un
incremento en los precios del acero para la construcción en el
próximo año?. (Sol : 7/10)
d)
Si el año siguiente hay un alza real en los precios del acero
para construcción, ¿cuál es la probabilidad de que haya un
aumento en la inversión de capital?. (Sol : 27/35)
En una ferretería se confunden tres ampolletas defectuosas con tres
buenas. Para encontrar las ampolletas malas se prueban una a una
hasta que se encuentran, entonces :
a)
¿Cuál es la probabilidad de encontrar la última ampolleta
defectuosa en la tercera prueba?. (Sol : 1/20)
b)
¿Cuál es la probabilidad de encontrar la última ampolleta
defectuosa en la cuarta prueba?. (Sol : 3/20)
c)
¿Cuál es la probabilidad de encontrar la última ampolleta
defectuosa en la sexta prueba?. (Sol : 1/2)
En la oficina de un profesor se tienen 2 escritorios (uno café y otro
negro), y cada uno de estos tiene a su vez dos cajones. En el
escritorio café hay un CD en un cajón y un disquet en el otro. En el
escritorio negro hay un CD en en cada uno de los cajones. Un
ladrón, que no conoce la información anterior, escoje al azar uno de
los escritorios, y de este escoje también al azar uno de los cajones.
Como resultado de su búsqueda, el ladrón encuentra un CD. Cuál es
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la probabilidad de que el CD provenga del escritorio negro?.
(Sol : 2/3)
12.
13.
14.
Se lanza un dado, y en forma independiente se escoge al azar una
carta de una baraja normal. Cuál e la probabilidad de que :
a)
El dado muestre un número par y la carta sea un color rojo?
(Sol : 0.25)
b)
El dado muestre un número par o la carta sea un color negro?
(Sol : 0.75)
En una fábrica de televisores, la probabilidad de encontrar
televisores con su control remoto defectuoso es de 10%, y con la
pantalla mala una probabilidad 5%. La ocurrencia de estos defectos
son independientes. Cuál es la probabilidad que :
a)
Un televisor no tenga ninguno de estos defectos?. (Sol : 0.855)
b)
Un televisor sea defectuoso?. (Sol : 0.145)
c)
Si un televisor es defectuoso, este tenga una sola clase de
defecto?. (Sol : 0.14)
Una nueva clase de automovil funciona básicamente por dos
subsistemas (uno electrónico y uno mecánico). Después de un
tiempo considerable de pruebas se obtuvieron las siguientes
probabilidades : P(electrónico falle)=0.2; P(mecánico falle)= 0.15;
P(electrónico y mecánico falle)=0.15. Calcular la probabilidad de
que :
a)
P(electrónico falle / mecánico falló). (Sol : 1)
b)
P(electrónico falle solamente). (Sol : 1/20)
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15.
16.
En una universidad existen tres medios para el envío de
comunicaciones: memorandum,
teléfono,
correo
electrónico.
Mediante consulta por intermedio de estos canales, se obtuvo que el
20% utiliza memorandum, 16% utiliza el teléfono y un 14% utiliza el
correo electrónico, el 8% utiliza memorandum y teléfono, 5% utiliza
memorandum y correo electrónico,, y el 2% los tres medios. Para un
profesor elegido al azar, calcular la probabilidad que :
a)
No utilice ninguno de los tres medios. (Sol: 63%)
b)
Utiliza uno de los tres medios. (Sol: 26%)
c)
Utilice al menos memorandum y teléfono, si reconoce utilizar al
menos uno de los tres medios en análisis. (Sol : 8/37)
Se extraen 3 cartas de un naipe inglés, el cual se encuentra sin sus
comodines. Encontrar la probabilidad de que :
a)
2 sean aces y 1 sea 10. (Sol : 0.0011)
b)
Las 3 sean de la misma pinta. (Sol : 0.052)
c)
Las 3 sean de pintas distintas. (Sol : 0.397)
d)
De las 3, al menos 2 de ellas sean reyes.(Sol : 0.013)
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2.- Variables Aleatorias Discretas.
Una variable aleatoria es una función definida de un espacio muestral M al
conjunto de los números reales IR.
Ésta toma elementos de este
espacio muestral y les asocia un número real, de modo que se aprovecha
la relación de orden definida en los reales.
X:  M,   
 R,  
tal que
X -1  -, x  A
con A   -, x    x  IR
 una  - algebra asociada a M
 una  - algebra asociada a los R
La variable aleatoria se define a partir de su función inversa debido a que
ella preserva las operaciones sobre los conjuntos
Definición: Sea X una variable aleatoria. Si el espacio muestral M es finito
o infinito numerable, decimos que X es una variable aleatoria discreta
(v.a.d.), en otro caso se dice que es una variable aleatoria continua
(v.a.c.).
2.1.- Función de Cuantía (p(xi)).
Definición : Sea X una variable aleatoria discreta. Sea x, el recorrido de
la variable aleatoria disceta X, para cada resultado posible xi asociamos
un número pi =p(xi)=IP(X=xi), llamado probabilidad de xi.
p i :  X  IR 
0,1
Tal que
x i   X  p i  p(x i ) = (XM  = x i )  (X = x i )
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Los números p(xi), i=1,2,.....deben satisfacer las condiciones siguientes:
a) 1  px i   0
b)
x i   X
 px   1
x i
i
a esta función se le conoce como función de cuantía (f.c.) de la variable
aleatoria discreta X.
Obs.
En la expresión la igualdad siguiente se verifica sólo en forma notacional
IP(XM = x i )  IP(X = x i )
2.2 Función de Distribución (FX(x)).
Sea X una v.a.d. con función de cuantía (f.c.) p(xi). Se define la Función
de Distribución como :
F : R 
0,1
x FX (x) = IPX  x  
 p x i 
x i  x
Cuyas propiedades son:
1)
2)
3)
4)
Fx(-) = 0.
Fx() = 1.
Fx es no decreciente.
Fx es contínua por la derecha.
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2.3 Esperanza (IE[X]).
Definición: Sea X una variable aleatoria discreta con valores x1,...,xn,... y
sea p(xi)=IP(X=xi), i=1,2,......n,...Entonces el valor esperado de X (o la
esperanza matemática de X), que se denota con IEX, es el número que
se define como :
EX   x i pi
x i
Observación :
mínx i   IEX  máxx i 
2.4 Momento de Orden n (  n)
Definición : Sea X una variable aleatoria discreta con función de cuantía
pi(xi), se define el momento de orden n(con n  IN) de la variable aleatoria
discreta X como:
 
 n  IE X n   x in  px i 
x i
2.5 Momento Centrado en la Esperanza.
Sea X una v.a.d. con f.c. pi (xi). Se define el momento centrado en la IE[X]
de orden n N como :

n


IE   IE    x i - IE   p(x i )
n
n
x i
2.6 Varianza de X (V(X)).
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Definición : Sea X una variable aleatoria discreta. Definimos la varianza
de X, que se denota con V(X) como el número positivo dado por:

 
V                2       
 



 
     2              2         1
 
V              

>0
La raíz cuadrada positiva de V(X) se llama desviación estándar de X y se
designa como
X.
PROPIEDADES
 k constante.
IEkX = kIEX
 k constante.
IEk = k
IEX+Y = IEX+IEY  X e Y v.a.
 X e Y v.a. y  a,b
IEaX+bY = aIEX+bIEY
constantes.
5. IEXY = IEXIEY
si X e Y son v.a. independientes.
2
 k constante.
6. VkX = k VX
 k constante.
7. Vk = 0
8. VX+Y = VX+VY+2COV(X,Y)  X e Y v.a.
9. VX+Y = VX+VY
si X e Y son v.a. independientes.
2
10. VaX+bY =a VX+b 2 VY+2abCov(X,Y)  X e Y v.a. y
 a,b ctes.
1.
2.
3.
4.
n
 n
11. IE   i X i     i IE  X i 
 i 1
 i 1

Xi
v.a.
y

 i con
i=1,2......n constantes.
n
 n
V

X
12.
 i i    iV  X i   2 i j Cov( X i , X j ) ****************
i j
 i 1
 i 1
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3.- Distribuciones Usuales (v.a.d)
Una v.a.d. X toma distintos valores definidos en su recorrido x. Además,
a cada uno de estos valores tiene asociada una probabilidad pi, de modo
que pi puede escribirse como una función de los valores xi y encontrar la
expresión general que la represente. Es esta expresión (la función de
cuantía) la que caracteriza el tipo de distribución que tiene la variable
aleatoria discreta X.
3.1.- Distribución Puntual.
Se dice que la variable aleatoria discreta X se distribuye como una
distribución puntual, si su función de cuantía es de la forma:
1 si x =a
p x   
0 si x  a
Gráficamente se representa por :
a
En consecuencia su Función de Distribución sería :
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0 si x  a
F  x  
1 si x  a
a
Gráficamente :
Si X tiene una Distribución Puntual entonces :
3.1.1.- Cálculo de la Esperanza
EX = 1a + 0b = a
3.1.2.- Cálculo de la Varianza
V(X) = 1a2 + 0b2 - (a)2 = 0
Obs. Esta es la única distribución que tiene varianza cero.
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3.1.3.- Aplicación
La distribución puntual se puede asociar, por ejemplo, al
experimento de lanzar una moneda con dos caras o sacar una carta
de un mazo en que todas son iguales.
3.2.- Distribución de BERNOULLI
Es un proceso dicotómico, todo evento A tiene asociado una probabilidad
de éxito p y una probabilidad de fracaso q = 1-p.
En este tipo de procesos, la v.a.d. X asociada al evento A se distribuye
como una distribución de BERNOULLI (XBERN(p)), si su f.c. tiene la
forma :
p = p(x ) = p
1 p 
I
q si x  0

(x)=  p si x  1
0 e.t.o.c.

Donde IB(x) se conoce como la función indicatriz:
1 si x B
I  x  
0 si x B
Gráficamente en este caso la función de cuantía se representa :
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Por lo tanto su Función de Distribución Fx(x) es :
si x  0
0

F (x)= p = q
si 0  x 1
-
 p  q  1 si x 1

Y gráficamente tiene la forma :
Si X tiene una Distribución de BERNOULLI entonces :
3.2.1.- Cálculo de la Esperanza
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 X =
x p
 0q + 1 p = p
 
3.2.2.- Cálculo de la Varianza
 
V(X)=  X    X   0 q 1  p   p   p q
3.2.3.- Ejemplo.
Suponga que tiene una caja que contiene fichas rojas y azules. Se
sabe que al extraer al azar una ficha la probabilidad de que esta sea
roja es del 20%.
De este ejemplo Ud. puede definir la v.a.d. X como "La ficha es roja".
Por lo tanto, los valores que puede tomar X están dados por su
recorrido X={0,1}; xi=0 si la ficha no es roja y xi=1 si lo es.
Además se conoce la probabilidad de éxito ( p=0.2 de que sea roja).
De modo que se puede concluir que la v.a.d. X tiene una Distribución
de BERNOULLI XBERN(0.2) Con función de cuantía :
p(x ) p
1 p 
I
0.8 si x  0

(x) = 0.2 si x  1
0 e.t.o.c.

Obs.
Para no restringir los valores de X a {0,1}, es posible plantear una
generalización para la distribución de BERNOULLI, y en consecuencia,
para valores de a y b distintos de 0 y 1 tenemos:
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  x  b
 x -a   I
p(x )  q 
p
 b -a  
  a -b 
q si x  a

(x) =  p si x  b
0 e.t.o.c.

Para que el alumno se familiarice con este tipo de distribución, le
recomendamos la tarea de encontrar la Varianza y la Esperanza para la
función de cuantía general presentada.
3.3.- Distribución Binomial.
Se efectúan "n" ensayos independientes de BERNOULLI, con probabilidad
de éxito "p"(siendo la IP de éxito constante) y probabilidad de fracaso
"q=1-p", y nos interesa conocer la posibilidad de tener k éxitos en n
repeticiones del experimento.
De ahí que la binomial es una
generalización de la distribución Bernoulli.
Definimos X={número de éxitos en las "n" repeticiones del experimento}.
X = 0,1,2,..,n
Se dice que X tiene una distribución binomial con parámetros n y p, se
denota como XBIN(n,p). Nos interesa conocer su función de cuantía.
Sea w=(1, 1, ..., 1, 0, 0, ..., 0) donde tenemos un número k de unos y nk de ceros, o, lo mismo decir "k" éxitos y "n-k" fracasos.
Entonces:
P(1, ..., 1, 0, ..., 0)=pp...p(1-p)...(1-p)
=p k(1-p)n-k
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¿Cuántos reordenamientos posibles hay del tipo anterior (k unos y n-k
ceros en distintas posiciones)?
¿Cuántos subconjuntos de x elementos hay en un conjunto de n
elementos?
 n
 
En total hay  k elementos de obtener k éxitos en las n extracciones
debido a que no importa el orden. Entonces, podemos ver que la función
de cuantía para "xi", número de exitos, es :
n
p(x i ) = P(X = x i ) =   p
xi 
xi
1 - p n -
xi
I {0,1, 2,3,...., n} ( x i )
Obs. 1.- La Distribución Binomial se puede asociar al experimento de
extracciones con devolución.
2.- Se llama Binomial pues satisface
 n  xi n xi
  p q
p
(
x
)

 ( p  q) n  1n  1


i
xi 0
xi 0  xi 
n
n
Conociendo la f.c. se puede deducir la función de distribución de X :
F (x)= P(X  x)=

 
 n
 p
x 
1- p 
Si X tiene una Distribución Binomial entonces :
3.3.1.- Cálculo de la Esperanza
x =n
n x
n
n -x
n -x


E(X) =  x  p 1 - p    x  p x 1 - p   np
x =o  x 
x =1  x 
x =n
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3.3.2.- Cálculo de la Varianza
V[X] = E[X2] - (E¨[X])2= np(1-p)
3.3.3.- Función generatriz de momentos
 x (t) 
n
e
tx i  n
x i 0
n n
 xi n  xi
 
 p q
   (e t p) xi q n  xi  (e t p  q ) n
 xi 
x i 0 x i 
3.3.4.- Ejemplos
1.- Supóngase que los artículos que salen de una línea de produccíón
se clasifican como defectuosos (D) o no defectuosos (N).
Se eligen al azar tres artículos de la producción de un día y se
clasifican de acuerdo al siguiente esquema.
Se define el espacio muestral M.
M={DDD,DDN,DND,NDD,NND,NDN,DNN,NNN}
Si la probabilidad de que un artículo sea defectuoso es del 20% y de
80% para no defectuoso. Las probabilidades son iguales para cada
artículo y la clasificación de cualquier artículo es independiente de la
clasificación de cualquier otro, entonces las IP de los elementos del
espacio muestral son:
(0.2)3, (0.8)(0.2)2, (0.8)(0.2)2, (0.8)(0.2)2, (0.2)(0.8)2, (0.2)(0.8)2,
(0.2)(0.8)2, (0.8)3
Lo que realmente nos importa es el número de artículos defectuosos,
sin importar el orden, es decir, considerar la variable aleatoria X que
asigna a cada uno de los resultados sM el número de artículos
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defectuosos encontrados. Por lo tanto el conjunto de valores posibles
de X es {0,1,2,3}.
Podemos obtener la distribución de
p(xi)=IP(X=xi) como:
X= 0  ocurre NNN.
X= 1  ocurre DNN,NDN,NND.
X= 2  ocurre DDN,DND,NDD.
X= 3  ocurre DDD.
donde
P(X = 0) = (0,8)3
P(X= 1) = 3 (0,2) (0,8)2
P(X=2) = 3 (0,8) (0,2)2
P(X=3) = (0,2)3
Nótese que:
probabilidades
para
X,
0,83 +3*0,82*0,2+3*0,22*0,8+0,23= 1
2.- El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservación
sabe, por experiencia, que el 15% de las personas que reservan una mesa
no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservaciones pero sólo dispone
de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personas que
asistan al restaurante se les asigne una mesa?
Solución: Sea X: Cantidad de personas que reservan mesa pero no
asisten.
Como estamos en presencia de un experimento de Bernoulli que
repetimos en forma independiente y la probabilidad de éxito p=0,15 es
constante puesto que se realiza el experimento con reposición tenemos:
X  Bin (25;0,15)
La probabilidad deseada es:
P[x5] = 1  Px  4 ****************
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 25
x 0 x 
4
= 1    (0,15)x (0,85)25 x
= 1- 0,6821 = 0,3179
3.4.- Distribución Hipergeométrica
Sea X una v.a.d. Se dice que X se distribuye como una hipergeométrica si
ocurre una situación semejante a la que se describe a continuación.
En una caja hay N1 artículos del tipo A y N2 artículos del tipo B.
Supongamos que extraemos una muestra de tamaño n, una a una al azar,
y sin devolución (n  N1+N2 ). Nos intereza conocer la probabilidad de
obtener k elementos del tipo A en la muestra.
Sea X ={ número de artículos del tipo A en la muestra}. Por lo tanto su
función de cuantía tiene la forma :
N  N 
 

 x   n -x 
p(x ) =
N N 


 n 
Donde máx{0,n- N } xi mín {n,N1}
Esto se debe al hecho de que se distingue como casos posibles a todas
las combinaciones que se puedan hacer para obtener una muestra de n
elementos de un número total de N1+N2. Esto es :
  


 n 
Y los casos favorables están dados por el producto entre las
combinaciones de obtener xi éxitos y n-xi fracasos. Esto es :
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N  N 
 

 x   n-x 
Si X tiene una Distribución Hipergeométrica entonces :
3.4.1.- La Esperanza es
E[X] =
nN
N
Donde N = N  N
3.4.2.- La Varianza
V( X ) =
n N 1 N 2 (N - n)
N 2 ( N -1)
3.4.3.- Ejemplo
Se tienen cuatro cajas (C1, C2, C3, C4) donde :
- C1 contiene 30 bolitas rojas, 10 azules y 60 negras.
- C2 contiene 40 bolitas rojas, 20 azules y 40 negras.
- C3 contiene 45 bolitas rojas, 30 azules y 25 negras.
- C4 contiene 20 bolitas blancas 30 verdes.
Se sacan 5 bolitas sin devolución de la caja C4. Si se obtienen a lo menos
4 bolitas blancas, se procede a sacar 3 bolitas de la caja C1 sin
devolución. Si se obtiene a lo más 1 bolita blanca, se procede a sacar 2
bolitas de la caja C2 sin devolución. En cualquier otro caso, se procede a
sacar 1 bolita de la caja C3.
¿Cuál es la probabilidad de obtener una bolita azul con el procedimiento
señalado?
Resp.: A = azul ; B = blancas. Se pide
IP(1A)=IP(1A/C1)*IP(C1)+IP(1A/C2)*IP(C2)+IP(1A/C3)*IP(C3)
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donde
IP(C1) = 0,07592
IP(C2) = 0,32595
IP(C3) = 0,59813
IP(A/C1) = 267/1078
IP(A/C2) = 32/99
IP(A/C3) = 3/10
lo cual, implica que IP(A) =
***************************************************************************
3.5.- Distribución Geométrica
Se dice que la v.a.d. X se distribuye como una Geométrica (XGEO(p)) si
su función de cuantía tiene la forma :
 p (1 p )
p(x )  
0

si x 
e.t.o.c.
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Esto es gráficamente :
Pi
p
*
p*q
*
p * q²
*
1
2
3
Xi
Es posible demostrar que satisface las dos condiciones que debe cumplir
una función de cuantía y que ya fueron descritas.
La primera es que la función de cuantía es mayor que cero para todo el
recorrido de X.
 xi  
p(x i )  p(1  p) x i 1  0
Y la segunda propiedad, es que la suma de la función de cuantía en el
recorrido de X sea igual a 1.

 p (1 p )

 p q  p
1
1
p
1
1 q
1 (1 p )
Observación:

 q i converge a
i =1
1
para un q  (1,1)
1- q
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Y su función de distribución es por lo tanto :
F (x )   p(x )   p q

Que gráficamente corresponde a :
Si X tiene una Distribución Geométrica entonces:
3.5.1.- Cálculo de la Esperanza

 X  x  p q

 p

1
1 q 

1
p
Observación :

 iq
converge a
1
(1- q )
3.5.2.- La Varianza es
 
V(X)=  X    X   
q
p
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