RECURSOS 10 Sistemas automáticos

RECURSOS
10
Sistemas automáticos
Respuesta en frecuencia. Diagrama de Bode.
Se entiende por respuesta en frecuencia de un sistema a la respuesta en régimen permanente de
un sistema ante una entrada senoidal de amplitud constante y frecuencia variable.
La respuesta de un sistema lineal a una señal de tipo senoidal es otra senoide de la misma
frecuencia que la primera, pero diferente en su amplitud y ángulo de fase, por lo que decimos
que la respuesta en frecuencia de un sistema describe la relación entre las amplitudes de las
señales de salida y entrada, así como la diferencia de fases existente entre las mismas, en
función de la frecuencia.
Para analizar un sistema se varía la frecuencia de entrada dentro de un rango y se estudia la
respuesta resultante. En este sentido conviene recordar que la frecuencia es el número de veces
que se repite el valor de una señal en la unidad de tiempo pero además en la figura siguiente se
ha representado una senoide resaltando los parámetros más importantes. También aparece un
número complejo en forma de vector que se encuentra girando con una velocidad angular 
(pulsación), cuanto mayor es la frecuencia mayor es la pulsación y menor el periodo.
Figura. Función seno o senoide donde se han representado varios periodos. Observar que cuando el
tiempo es múltiplo del periodo la pulsación  es múltiplo de 2. A la izquierda se encuentra un número
complejo girando (fasor) cuyas proyecciones sobre el eje imaginario dan lugar a la función seno. El eje de
abcisas representa el tiempo t o la fase , ambas solamente difieren del factor de escala . Debajo a la
derecha tenemos una función con doble frecuencia que la primera.
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Con las pruebas de respuesta en frecuencia se pueden determinar las funciones de transferencia
(F.T.) de componentes complicados.
Sin entrar en detalles matemáticos, decir que las características de respuesta en frecuencia de un
sistema se pueden obtener directamente de la F.T., sin más que sustituir s por j, donde  es la
pulsación (el producto de 2 por la frecuencia) de la señal. Así, tenemos:
- R(s), entrada al sistema en el dominio de Laplace (transformada de la entrada).
- C(s), salida del sistema en el dominio de Laplace (transformada de la salida).
- Gs  
C s 
, función de transferencia del sistema.
Rs 
- G  j  
C  j 
 M  , función de transferencia senoidal, es la relación entre C y R habiendo
R  j 
sustituido s por j.
- M, es el módulo de G(j) con lo que representa el cociente entre los módulos de C(j) y de
R(j). Indica la relación entre las amplitudes de salida y de entrada, o sea cuanto más grande es
la salida que la entrada.
, es el ángulo de fase o argumento de G(j). Si la salida va adelantada respecto de la entrada
este ángulo será positivo y se denomina adelanto de fase, cuando la salida va retrasada respecto
de la entrada el ángulo será negativo y se denomina retardo de fase (será lo más habitual que la
respuesta del sistema se retrase respecto de la entrada).
Para comprender este apartado vamos a verlo con un ejemplo,
Ejemplo Figura siguiente Para el sistema cuya FDT se indica representar la salida cuando
r(t)=Rsent.
Se trata de un sistema de primer orden en el que sustituimos s por j.
G s  
C s 
10
10

 G  j  
,
Rs  1  0,02s
1  0,02j
La relación entre las amplitudes de salida y de entrada es el módulo del anterior número
complejo
G  j  
10
1  4.10 4  2
, es decir, si introducimos, por ejemplo, una señal r(t)=12sen(t) de
amplitud 12, la salida sería con un valor de amplitud
12.10
1  4.10 
4
Para
2

calcular
120
1  4.10 4  2
el
ángulo
que diminuye al aumentar la frecuencia
de
fase
multiplicamos
y
dividimos
por
el
conjugado
10
10
1  0,02j
10  0,2j
G  j  


,
1  0,02j 1  0,02j 1  0,02j 1  0,0004 2
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con lo que el argumento de G(j) es
0,2
  G j   tan1
 tan1  0,02   tan1 0,02 , que significa que la señal de salida está
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retrasada respecto de la entrada en el valor de ese ángulo.
Pero debe quedar claro en el cuadrante que se encuentra el ángulo, lo que se analiza viendo los
signos del numerador y denominador que dan la tangente del ángulo de fase:
complejo: a  bj
 a  0 b  0 primer cuadrante

b
b a  0 b  0 segundocuadrante
, figura 10.41
tan     tan1 
a
a  a  0 b  0 tercer cuadrante

 a  0 b  0 cuartocuadrante
Figura Signo de la tangente de un ángulo y equivalencia con el ángulo en el primer cuadrante.
En el caso de realizar la diferencia entre el argumento del numerador menos el del denominador,
además nos podemos encontrar con un signo menos que afecta al argumento.
Si la frecuencia es pequeña,  es pequeña y la amplitud de salida es aproximadamente 10 veces
la entrada y estarían casi en fase (mismo ángulo). Pero si la frecuencia es alta el ángulo cuya
tangente es  resulta ser 90º y la salida estaría retrasada 90º respecto de la entrada; la amplitud
de salida, por otro lado, sería muy pequeña.
Estas variaciones de la amplitud de salida y del ángulo de desfase se pueden representar
gráficamente, figura 10.42. En la figura se ha representado de 0 a 100 Hz o lo que es igual en
pulsación de 0 a 200 rad/s.
Figura Variación de la amplitud en función de la frecuencia y del ángulo defase
Para finalizar este apartado, en a figura 10.43 se han representando simultáneamente la entrada
y la salida para una frecuencia de 50Hz. En tal caso:
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Amplitud de entrada: 12 (voltios, amperios, newton, etc. Según la magnitud física que se
regule).
Amplitud de salida:
120
1  4.10 4 2 50
2
 19 (también, sus unidades según la magnitud que sea la
salida. Puede no ser la misma que en la entrada).
Función de entrada: r(t)=12sen(t)= 12sen(t)
Desfase:   tan10,02  tan10,02.2. .50  tan1 6,283  81º 
81º.
 1,413rad Función de
180º
salida: c(t)=19sen(100t1,413).
Figura
Sin embargo, se emplean más otro tipo de gráficas, que siguen siendo la misma idea pero
tomando los ejes en escalas logarítmicas y no haciendo variar al tiempo sino la frecuencia (o la
pulsación). Son los diagramas de Bode. De esta forma no tenemos que realizar una gráfica como
la de la figura 10.43 para cada frecuencia, lo que se hace es obtener una gráfica para la amplitud
y otra para el ángulo de fase pero variando la frecuencia.
Así, para obtener un diagrama de Bode se procede de esta manera:
a) En eje de abcisas se representa el logaritmo decimal de la frecuencia
b) En el eje de ordenadas se representan por un lado el módulo de la función de transferencia
compleja pero tomando como unidad el decibelio, que es hacer 20 logG j  . Así hemos
representado la relación de amplitudes en dicha escala.
Por otro lado se representa el ángulo de fase en grados.
Las escalas logarítmicas tiene la ventaja de que las magnitudes pequeñas aparecen amplificadas
y disminuidas las grandes. En la figura siguiente vemos unas líneas separadas en dicha escala,
como la distancia de 0,1 a 1, de 1 a 10 o de 10 a 100 son iguales habrá más detalle en las
primeras que en las últimas. Otra propiedad importante es que los productos se transforman en
sumas y los cocientes en restas.
Figura Escala logarítmica en base 10. El cero no tiene representación, pues la función logaritmo no está
definida para él, lo mismo pasa con los números negativos.
En los diagramas de Bode suelen aparecer relacionados dos conceptos con los que se estudia la
estabilidad del sistema.
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• El margen de ganancia. Cuando la fase sea 180º, se da la distancia, a esa frecuencia, entre la
ganancia y 0dB. En nuestro ejemplo son aproximadamente 15.
• El margen de fase. Es la distancia entre la frecuencia cuando la ganancia pasa por cero y –
180º. Aquí son –270(180)=90º
Para que el sistema sea estable, el margen de ganancia debe ser negativo y el margen de fase
debe estar por debajo de 180º. Este caso es estable.
Veamos un par de ejemplos.
Ejemplo. Realizar el diagrama de Bode de la función de transferencia Gs  
K
para
ss  1s  5
un valor de K=10.
Expresamos la anterior función en forma compleja y sacamos el módulo y el argumento.
G  j  
10
10
10
10



E
2
3
2
2
2
j  j  1 j  5    j  j  5  j  5    5 j  6  5   3 j
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l módulo es G j  

2
 6  26 4  25 2
36 4  5   3



Y el argumento   tan1



2
0
5   3
1 5  
 tan1


tan
10
 6 2
 6
Ahora pasamos el módulo a decibelios




1
1


20logG j   20 log10  log  6  26 4  25 2   20  log  6  26 4  25 2 Ya podemos
2
2


representar estas dos últimas funciones en función de la frecuencia (recordar que =2.),
figura siguiente, lo que se ha realizado con una pequeña macro de hoja electrónica.
Figura Diagrama de Bode del ejemplo 10.xx+1
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