Series Temporale: Dominio de las frecuencias

Series Temporales: Dominio de las frecuencias
Series de Fourier
Supongamos que x(t) representa una función continua en el intervalo temporal [0, T]. Dicha
función puede ser expresada como una serie o desarrollo de Fourier de la forma

x(t ) 
c
k
k  
 2 k 
exp  i
t
 T 
(1)
o
A
x(t )  0 
2


  A cos
k
k 1
2 k 
 2 k 
t   Bk sin 
t 
T 
 T 
(2)
2 k
2
son las frecuencias (harmónicas) y en particular  0 
es la
T
T
frecuencia fundamental (correspondiente al período T). En consecuencia  k  0 k .
Para obtener los coeficientes de Fourier nos valdremos de ciertas relaciones trigonométricas
T
T
 2 k 
 2 k 
a)  sen
t  dt   cos
t  dt  0 si k  1, 2, 3,....
T
T




0
0
Queda como ejercicio para el alumno el probarlo
donde  k 
b)
T
0 si m  n
 2 m   2 n 
 2 m   2 n 
cos
t
cos
t
dt





0  T   T  0 sin T t  sin T t  dt T / 2 si m  n
T
 2 m   2 n 
t  sin 
t  dt  0
T   T 
0
Queda como ejercicio para el alumno el probarlo
T
 cos
La transformada de Fourier de x(t) puede ser obtenida multiplicando (2) por
 2 k 
 2 k 
cos
t  o sin 
t  ,e integrando sobre el intervalo [0, T]. Por ejemplo:
 T 
 T 
 2 k´ 
Multiplicando (2) por cos
t  e integrando se obtiene
 T 
T
A0 T
 2 k 
 2 k 
x
(
t
)
cos
t
dt

cos
t  dt 


0

2 0
 T 
 T 
T
T
 
 2 k   2 k´ 
 2 k   2 k´  
   Ak  cos
t  cos
t  dt  Bk  sen
t  cos
t  dt  
 T   T 
 T   T  
k 1 
0
0
T
 Ak
( si k  0)
2
1
2 T
 2 k 
x(t ) cos 
t  dt
T 0
 T 
 2 k´ 
y en forma similar multiplicando (2) por sin
t  obtendremos
 T 
Ak 
Es decir:
Bk 

(3)
2 T
 2 k 
x(t ) sin 
t  dt
T 0
 T 

(4)
En forma exponencial
T
1
 2 k 
ck 
x(t ) exp   i
t  dt
T
T 


(5)
0
donde
1

 2 ( Ak  iBk ) para k  0
ck  

 1 ( A  iB ) para k  0 
k
 2 k

(6)
T
______
A0 1
Por otra parte

x(t ) dt  x(t ) corresponde a la frecuencia   0 .
2 T

0
El espectro de potencia de una serie temporal es el cuadrado de la amplitud de cada
armónica, y corresponde a la contribución de cada armónica a la energía total de la serie
_______
2
x (t ) . Es decir:
(7)
Pk2  Ak2  Bk2
Supongamos que ahora tenemos una serie temporal discreta de longitud N con un intervalo
constante t entre cada dato. Las fórmulas anteriores son similares, con t n  n t y
T  N t . Entonces el número de puntos discretos de la serie serán N  1 , ya que
n  0,1, 2,..., N . El período más corto detectable en la serie es Tmin  2 t , que corresponde
2


a la máxima frecuencia detectable o frecuencia de Nyquist  Ny 
, y al número de
2 t t
N
onda máximo k  . De esta forma la función
2
A
xn  x(t n  n t )  0 
2
N /2

  A cos 
k
k 1
2 k

 2 k

n t   Bk sin 
n t 
T

 T

(8)
Los coeficientes de Fourier son obtenidos como anteriormente mediante una transformada
de Fourier discreta, dando la amplitud de la señal debida a cada armónica.
2
Ak 
N
N

  x(n t ) cos 
n 1
2 k 
n
N 
2
(9)
2
Bk 
N

 2 k 
x
(
n

t
)
sin
n 


N


n 1 
N

(10)
La identidad o teorema de Parceval establece que si x(t ) satisface las condiciones de
Dirichlet (definida y con valor único en el intervalo [0,T], excepto en un número discreto de
puntos; periódica con periodo T; y que tanto x(t ) como x' (t ) sean continuas en el
intervalo [0,T]); entonces se verifica que
1
T
2
A02
x(t ) dt  
0
2

T
 A
N
2
k
 Bk2

(11)
k 1
La energía promedio es la mismo en el espacio temporal que en el de las frecuencias.
Ejemplo: Supongamos una serie de valores medios mensuales (caudales, temperatura
media, etc.) sobre la que realizamos promedios sobre todos los años para cada mes del
___
___
___
año, x n (n=1,…,12; x1 es el valor promedio para enero, x 2 para febrero, etc.). Es decir
que podemos obtener una serie que represen te al ciclo anual con una longitud N=12 y un
intervalo t igual a un mes. Típicamente podemos representar el ciclo anual con al menos
dos armónicas, que nos posibilite mostrar la falta de simetría entre invierno y verano:
x( AC) n 
A0
 2 
 2 
 2

 2

 A1 cos  1n   B1 sin  1n   A2 cos 
2 n   B2 sin 
2n
2
 12 
 12 
 12

 12

El término A0 representa el promedio anual (correspondiente a la armónica de frecuencia
cero), los términos A1 y B1 representan la componente periódica con un período igual a 12
meses (frecuencia fundamental); mientras que los términos A2 y B2 representan la
componente periódica con período igual a 6 meses (primera armónica).
Los coeficientes A0 , A1 , A2 , B1 y B2 pueden ser obtenidos de acuerdo a (9) y (10) de la
forma
 ____  2 k 
2
A1 
1n 
 xn cos 
12 n 1 
 12

12

12 ____

2
 2 k 
B1 
1n 
 xn sin 
12 n 1 
 12


12 ____

2
 2 k

A2 
2n  
 xn cos 
12 n 1 
 12


12 ____

2
 2 k

B2 
x
sin
2
n


 n
12 n 1 
 12


3
Una vez que los coeficientes han sido obtenidos, el ciclo anual puede ser removido de la
serie temporal original para trabajar con las anomalías.
Filtros digitales
Supongamos que deseamos modificar las oscilaciones de ciertas frecuencias en una serie
temporal, mientras que las correspondientes a otras frecuencias permanezcan sin
alteración. Por ejemplo remover de la serie las altas frecuencias. Este procedimiento se
denomina filtrado de la serie.
2 k
Cada número de onda k corresponde a la frecuencia  k 
y a un período T / k . A
T
modo de simplificación podemos definir una frecuencia adimensional  , multiplicando la
frecuencia  por t : Esto es
2 k
2 k
 k   k t 
t 
cuya variación es entre 0 y 
T
N
2


Note el lector que para el caso de la máxima frecuencia detectable  Ny 
2 t t
tenemos que  Ny   . Note también el lector que a la frecuencia de Nyquist (  Ny   ) sólo
el coseno puede ser detectado, el seno es “invisible”. Claramente la onda con un período
2 t estará pobremente representada. Otras ondas cortas (con períodos entre 2t y 4t )
estarán también distorsionadas para un muestreo a intervalos t . Por ejemplo, si tenemos
datos dos veces por día, el ciclo diurno estará pobremente representado, necesitaremos
datos cuatro veces por día o más para representar adecuadamente el ciclo diurno. En
consecuencia es bastante frecuente el filtrar (suavizar) las series temporales para que las
altas frecuencias (no resolubles) no estén presentes.
De forma introductoria para entender la respuesta de diferentes filtros temporales,
consideraremos algunos ejemplos sobre una serie temporal simple, consistente en una señal
pura de una determinada frecuencia,  k 
2 k
, longitud N e intervalo de muestreo t .
N
Es decir:


2
xn  x(n t )  ck exp  ik
n t   ck exp  i  k n 
 N t

(12)
Reemplazaremos la serie temporal dada en (12) por una nueva, filtrada de acuerdo al
promedio que se indica a continuación
___
1  x  xn xn  xn1  xn1  2 xn  xn1
(13)
y n  xn   n1


2
2
2
4

Para entender la respuesta dada por el filtro (13), aplicamos el mismo a la señal dada por
(12) en la forma
___
1  cos( k )
e ( i k )  2  e (i k )
y n  xn  ck e (i k n )
 xn
(14)
4
2
Entonces la respuesta del filtro para cada frecuencia  k (ver Figura 1), está dada por:
4
Resp ( k ) 
y n 1  cos( k )

xn
2
(15)
Figura 1
La Figura 1 muestra Resp ( k ) dada por (15), que suaviza las altas frecuencias, eliminando
completamente la onda con período T  2t .
Otro ejemplo es el conocido filtro denominado de “medias móviles” o “promedios
móviles”. Sea el caso particular del filtro en el que promediamos cinco puntos, que
aplicamos a nuestra señal dada por (12)
____
x  x n 1  x n  x n 1  x n  2
y n  x n(5)  n  2

5
e ( i 2  k )  e ( i k )  1  e (i k )  e (i 2 k )
 c k e ( i k n )

(16)
5
1  2 cos( k )  2 cos(2 k )
1  2 cos( k )  2 cos(2 k )
 c k e ( i k n )
 xn
5
5
Es decir que la respuesta del filtro para cada frecuencia
 k es (ver Figura 2):
y n 1  2 cos( k )  2 cos(2 k )
(17)

xn
5
Veamos un poco más formalmente como se introduce la teoría de filtros en series digitales.
El filtrado digital transforma una función temporal x(t ) (señal de entrada) definida en el
intervalo (, ) , en una señal de filtrada de salida y(t ) en la forma:
Resp ( k ) 

y(t )   h(t ' ) x(t  t ' ) dt'

5
(18)
Figura 2
en donde h(t ) es la función de pesos o función de filtro que opera sobre x(t ) . El efecto de
la acción del filtrado sobre los datos de entrada es mejor observado en el dominio de las
frecuencias.
Sea H ( ) la transformada de Fourier de la función de peso h(t ) :

H ( )   h(t ) exp(i t ) dt
(19)

donde  es la frecuencia .
La relación entre el espectro de potencia de la señal de entrada, que denominaremos X ( ) y
el espectro de potencia de la señal de salida que denominaremos Y ( ) , será entonces
Y ( )  H ( ) X ( )
2
donde H ( )
2
(21)
 H ( ) H * ( ) es denominada la ventana espectral (la estrella (*) indica el
complejo conjugado de H ( ) ). Como por lo general H ( ) es una función compleja de  ,
tendremos que
(22)
H ( )  H R ( )  i H I ( )
donde H R ( ) y H I ( ) son funciones reales de  . En algunas circunstancias es útil definir
H ( ) en términos de su amplitud y del corrimiento de fase. Esto es:
(23)
H ()  H () exp(i )
donde la amplitud (respuesta del filtro) se define como

H ( )  ( H R ) 2  ( H I ) 2

1/ 2
(24)
y el corrimiento de fase  , para cada frecuencia  , como:
(25)
  tg 1[H I ( ) / H R ( )]
Si h(t ) representa un filtro realizable físicamente (mediante un dispositivo tal como un
circuito), entonces el mismo será un filtro denominado one-side, es decir, que sólo actúa
sobre la señal en el rango (, t ) . El mismo no puede actuar sobre la señal en el futuro, es
decir para t '  t . Entonces para un filtro físicamente realizable H ( ) será necesariamente
compleja y tendrá un corrimiento de fase no-nulo.
6
Por el contrario si h(t ) no representa un filtro realizable físicamente, pero si es un filtro
computacional, entonces el mismo puede operar sobre ambas partes del “pasado” y el
“futuro” en cualquier instante de x(t ) . Por lo tanto h(t ) puede ser simétrica o anti-simétrica
alrededor de t  0 . Si h(t ) es simétrica alrededor de t=0 ( h(t )  h(t ) ) entonces el
corrimiento de fase es nulo; esto implica que H ( ) es real.
Por ejemplo:
a)- Sea el caso de un filtro promedio realizable físicamente.
Este será el caso de un filtro one-side cuyo señal se promedia sobre un intervalo de tiempo
t 0 . Para este filtro
1

 hA (t ) 
t0


0

0  t  t0
(26)
para cualquierotro valor
Sustituyendo h(t ) por (26) en la ecuación (19) y realizando la integración, obtenemos
e ( i  t0 )  1
H A ( ) 
i t0
(27)
sin( t 0 / 2)

 H A ( ) 
( t 0 / 2)
o
(28)

  ( t / 2)
0
 A
Mientras que la ventana espectral es
sin 2 ( t 0 / 2)
2
(29)
H A ( ) 
( t 0 / 2) 2
este es un filtro del tipo denominado pasa-bajos, en el sentido que las altas frecuencias
( t 0  1) son fuertemente atenuadas en comparación con las bajas frecuencias ( t 0  1) .
La frecuencia de ganancia media, es decir la frecuencia a la cual la potencia de salida es la
mitad de la de entrada está dada por
1 / 2 t 0
 1.396
2
Note que el corrimiento de fase  A es lineal con la frecuencia. La Figura 3 muestra la
amplitud H A ( ) y la fase  A de este filtro en función de f   t 0
7
Figura 3
b)- Ahora sea el caso de un filtro promedio computacional.
Si realizamos el promedio sobre un intervalo desplazado [
t0 t0
, ] obtenemos un filtro
2 2
computacional two-side. Para tal filtro
1

 hA (t ) 
t0


0

 t0 / 2  t  t0 / 2
(30)
para cualquierotro valor
Llevando a cabo la integración de (19) obtenemos
H A ( ) 
H A ( ) 
que es real y
1
t0
t0 / 2

exp( i t ) dt
t 0 / 2
sin( t0 / 2)
( t0 / 2)
(31)
A  0
(32)
Mientras que la ventana espectral es la misma que la dada en (29)
sin 2 ( t 0 / 2)
2
(33)
H A ( ) 
( t 0 / 2) 2
Es decir, que estos resultados son los mismos que en el caso de un filtro físicamente
realizable, excepto al hecho que el corrimiento de fase para el caso computacional (32) es
nulo, como consecuencia que h A (t ) es simétrica alrededor de t  0 .
Veamos otro ejemplo de otro filtro realizable físicamente
c)- Filtro exponencial (realizable físicamente)
8
Muchos instrumentos tienen una respuesta cuya forma es del tipo exponencial(exponencial
negativa). Esto es, la salida del instrumento puede ser vista como una señal de entrada que
ha sido filtrada mediante una función exponencial de la forma
hE (t )  (1 / t 0 ) e ( t / t0 ) t  0
(34)

para t  0
hE (t )  0
Realizando la integración (19) para esta función hE (t ) obtenemos
1  i t0
1
(35)
H E ( ) 

1  i  t 0 1   2 t 02
La amplitud y fase están dadas por
1
(36)
H E (t ) 
1  2 t 02
 E  tg 1 ( t0 )
(37)
Mientras que la ventana espectral está dada por
1
2
(38)
H E (t ) 
1  2 t 02
La amplitud y fase para el filtro exponencial son graficados en la Figura 4. Note el lector
que el corrimiento de fase (37) está limitado al rango ( / 2 , 0) . El filtro exponencial tiene
una pendiente más abrupta que el filtro promedio. La frecuencia para la cual la amplitud es
H E (t )  1/ 2 corresponde a
1 / 2t 0  1.724
Figura 4
d)- Filtro Gaussiano (computacional)
Finalmente consideremos otro filtro computacional del tipo pasa-bajos, que se denomina
filtro Gaussiano.
1
t2
hG (t ) 
exp ( 2 )
(39)
2 t0
2 t 02
La transformada de Fourier de hG (t ) dada por (19) es
9
H G ( )  exp (
 2 t 02
2
)
(40)
con una amplitud igual a (40)
H G ( )  exp (
y corrimiento de fase nulo
 2 t 02
2
)
G  0
Finalmente, la ventana espectral es
H G ( )
(41)
(42)
2
 exp (   2 t 02 )
(43)
La función amplitud H G ( ) es graficada en la Figura 5. Note que la amplitud del filtro
Gaussiano es más abrupto que el promedio. La frecuencia a la cual H G ( ) =1/2 está dada
por
(44)
1/ 2t0 [2 ln(2)]1/ 2  1.177
Figura 5
Algunos filtros Ideales
En la práctica se prioriza la forma de la función de respuesta y entonces se determinan la
función de peso, donde la principal limitante es el número de estos últimos (número de
pesos) con respecto a la longitud de la serie que se desea filtrar.
Por ejemplo, el filtro pasa-bajos ideal, puede definirse como aquel, que con una respuesta
espectral (amplitud ) lo más aguda posible (similar a un escalón), permite, sin corrimiento
de fase, que todas las frecuencias por debajo de una determinada frecuencia de corte
c pasen sin cambio; mientras que todas las    c son removidas. Por lo tanto el filtro
pasa-bajos ideal no puede ser un filtro físicamente realizable, deberá ser computacional.
Los filtros ideales y en general todos los filtros, son más fáciles de especificar en el
dominio de las frecuencias, que en el temporal. Es decir, que especificamos cual es el
comportamiento que deseamos para H ( ) , y posteriormente utilizando la definición de
10
H ( ) como transformada de Fourier de h(t ) (19), podemos calcular h(t ) a partir de la
trasformada inversa de Fourier de H ( ) .
1
h(t ) 
2

 H ( ) exp(i t ) d
(45)

a)- El filtro pasa-bajos ideal
Tal como mencionamos este filtro permite pasar sin cambios todas las frecuencias que
satisfacen    c y remueve totalmente aquellas que satisfacen    c . Definimos H L ( )
de la forma:
 H L ( )  1
si
  c   c ó    c
(46)

en otra parte
 H L ( )  0
Entonces aplicando (45)

sin ( c t )
1 c
hL (t ) 
1 exp (i  t ) d 

2 c
t
  t 
(47)
b)- El filtro pasa-altos ideal
Este es el caso opuesto (o inverso) al anterior. Definimos H H ( ) de la forma
 H L ( )  0

 H L ( )  1
Por lo tanto
si
  c   c ó
  c
en otra parte
H H ( )  1 H L ( )
(48)
(49)
Entonces
1
hH (t ) 
2

1
2

 (1  H
L
( )) exp(i  t ) d 


 exp(i  t ) d 

1
2

H
L
( ) exp(i t ) d 
(50)

sin ( c t )
  (t ) 
t
donde  (t ) es la función delta.
c)- El filtro pasa-banda ideal
El filtro pasa-banda ideal es aquel que deja pasar toda la energía dentro de una banda de
frecuencias centrada en 0 y elimina toda energía para cualquier frecuencia fuera de dicha
banda. El filtro pasa-banda ideal está definido por
11
 H B ( )  1


 H ( )  0
 B
 0  1     0  1
  0  1     0  1
si
ó
(51)
en otra parte
Llevando a cabo la integración dada por (45)
2 sin(1t )
hB (t ) 
cos( 0 t )
t
La frecuencia central de la banda es 0 y el ancho de banda es 2 1 .
(52)
Realización digital de los filtros ideales
Existen dos problemas fundamentales cuando queremos aplicar las funciones de los filtros
ideales al caso de series discretas.
1.- Las funciones estaban definidas para todo t en (, ) , pero eran conocidas únicamente
dentro de un rango finito de t (T / 2, T / 2)
2.- Sin embargo al tener una serie digitalizada las funciones ahora no son conocidas para
todo valor de t en el rango (T / 2, T / 2) ; solamente a intervalos t . Es decir
x(n t ), para n   N , N  1, ....., 2,  1, 0, 1, 2,..., N  1, N . Note el lector que N t  T / 2 .
Consideremos el cálculo de la ecuación (18), donde suponemos que aproximamos la
integral por una sumatoria
y(n t ) 
N
 h(m t )
x (n t  m t ) t
(53)
m N
Supongamos que n  1 . Entonces cuando m   N , el término de la derecha en (53) es
h ( N t ) x [(N  1) t ]
pero x [(N  1) t ] es desconocido; pues sólo conocemos x (n t ) hasta n  N .
La solución a este problema es el truncar x(t ) para t  T0 ó t  T0 . Es decir que
establecemos una x(t ) igual a la x(t ) -ideal en el intervalo (T0 , T0 ) e igual a cero fuera de
él. Entonces elegimos T0 tal que
T0
 M con M entero
(54)
t
por simplicidad.
La aproximación para el filtro será entonces
yn 
donde
M
a
xnm
(55)
xnm  x [(n  m) t ]
(56)
m M
m
y n  y(n t )
am  t h(m t )
Eligiendo un h apropiado para un filtro pasa-bajo, un pasa-alto o un pasa-banda podemos
generar los  a m  (pesos) que nos aproximaran al filtro pasa-bajo, pasa-alto o pasa-banda
12
ideal. Debemos señalar que los  a m  solamente generaran una aproximación al filtro ideal,
ya serian necesarios un número infinito de pesos para obtener una exacta realización de un
filtro digital ideal.
La pregunta que
conjunto de pesos
Sea H M ( ) una
generada por un
surge es la siguiente: ¿Cuán aproximadamente nos acerca un dado
al filtro ideal?
aproximación de la función de filtro, en el dominio de las frecuencias,
conjunto de (2M  1) pesos  a m en el dominio temporal. Podemos
calcular H M ( ) tomando la ecuación (19), donde aproximamos la integral por una
sumatoria finita
H M ( ) 
M
 h(m t ) exp(i m t ) t 
m M

M
[h(m t ) t ] exp(i m t ) 
m M
M
 a cos[m(t ]  i sin[m(t )
m M
(57)
m
Veamos a continuación la realización digital de los diferentes filtros ideales comentados
anteriormente
a)- Filtro pasa-bajos
El filtro pasa-bajos ideal, con una frecuencia de corte c , estaba dado por la (47)
sin ( c t )
(47)
hL (t ) 
t
Dada una serie con intervalo de muestreo t , los correspondientes pesos para dicho filtro,
estarán dados por
sin( c m t )
am 
m0
m t
(58)
a0 
De acuerdo a la (57)
c

sin( c mt )
cos[m( t )]
m
m 1
M
H LM ( )  a0  2 
(58)
La Figura 6 muestra H LM ( t ) , para una frecuencia de corte  c t  0.9 y distintos valores
de M (número total de pesos  2 M  1 ), suponiendo que t  1 . De la figura se puede
apreciar que el uso de un número finito de pesos ( 2 M  1 ) provoca que H LM ( t ) tenga
oscilaciones, lo que es conocido como el fenómeno de Gibbs. Una forma de suavizar las
oscilaciones debidas al fenómeno de Gibbs es el introducir pesos suavizados

m 
 am
c m  1 
(59)
M 

de forma tal que la (58) se transforma en
13
M
M
H SL
( )  a0  2  cm cos[m( t )]
(60)
m 1
Filtro pasa-bajos
1.2
1
Pesos=2M+1=5
0.8
Pesos=2M+1=15
Pesos=2M+1=21
0.6
Pesos=2M+1=41
0.4
0.2
0
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
frecuencias (nDt)
Figura 6
Los resultados para H ( t ) muestran en la Figura 7, donde se percibe la disminución
del fenómeno de Gibbs.
M
SL
b)- Filtro pasa-altos
El filtro pasa-altos ideal, para una frecuencia de corte c estaba dado por la (50)
sin ( c t )
(50)
hH (t )   (t ) 
t
Esto puede ser interpretado según la (18) como


sin( c t ' )
(61)
y(t )   hH (t ' ) x(t  t ' ) dt '  x(t )  
x(t  t ' ) dt '
 t'


La (61) significa que la función filtrada por el pasa-altos consiste en la función original
menos la función filtrada por un pasa-bajos (ver ecuación (47)). Los pesos para el filtro
pasa-altos serán
sin( c t m)
am  
para m  0
m
(62)
vc
a0  1 

mientras que los pesos suavizados tomarán la forma
14

m 
 am
c m  1 
M 

(63)
Filtro pasa-bajos suavizado
1.2
1
Pesos=2M+1=5
Pesos=2M+1=15
Pesos=2M+1=21
Pesos=2M+1=41
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
frecuencias ( nDt )
2.5
3
3.5
Figura 7
c)- El filtro pasa-banda
El filtro pasa-banda centrado en la frecuencia c y con un ancho de banda 2 1 está dado
por la (52)
2 sin(1t )
(52)
hB (t ) 
cos( 0 t )
t
En consecuencia los pesos del filtro estarán dados por
sin(1 t m)
am  2
cos( c t m) para m  0
 t
(64)
v1
a0  2

y los pesos suavizados como

m 
 am
c m  1 
M 

Por otra parte
sin(1 mt )
cos( c t m) cos[m( t )]
m t
m 1
(65)
M
H BM ( t )  a0  4 
15
(66)
La Figura 8 muestra la respuesta del filtro pasa-banda con  c t  1.2 y un ancho de banda
2 1 con 1 t  0.5 y t  1 ; utilizando los pesos am y cm para un número total de pesos
2 M  1  51 .
Filtro pasa-banda
(Número total de pesos=2M+1=51)
0.8
0.7
Sin suavizar
0.6
Suavizados
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
2
1.5
Frecuencias (nDt )
Figura 8
Filtro de Lanczos
Figura 9
16
2.5
3
3.5
Hasta el momento se definieron funciones de filtro que aproximaran funciones escalones
ideales, que reprodujeran un salto a la frecuencia  c t . Lanczos introduce un filtro ideal
diferente, en lugar de una función escalón, propone una rampa (pendiente lineal) centrada
en  c t (ver Figura 9), con una banda de transición 2  2 Ny / n que depende del
número de términos 2n+1 del filtro. Para mayores detalles ver “Duchon C.E., 1979.
Lanczos filtering in one and two dimensions. Journal of Applied Meteorology, 18, 10161022”.
Filtro pasa-bajos de Lanczos
Los pesos del filtro de Lanczos están dados por
sin(c t m) sin( m / n)
(67)
m  n, ....,0,.....n
m
 m/ n
 t
Note el lector que para m  0, a0(low pass )  c
utilizando la regla de L’Hopital.

El término de la forma   sin(X ) / X en la ecuación (67) fue denominado por Lanczos
como el “factor sigma” y tiene gran importancia en la reducción de las oscilaciones de
Gibbs.
La función transferencia del filtro de Lanczos pasa-bajos con 2n  1 pesos y una frecuencia
de corte c será
am (low pass ) 
H n ( ) Lanczos (low pass ) 
n
c t
sin(c t m) sin(m / n)
 2
cos(mt )

m
m / n
m 1
(68)
La Figura 10 muestra la función de respuesta de un filtro pasa-bajos ideal con una
frecuencia de corte  c t  0.9 , conjuntamente con dos filtros pasa-bajos de Lanczos, con
21 pesos ( 2n  1  21 ), con la misma frecuencia de corte con y sin factor sigma de
suavizado.
La ventaja de utilizar el factor sigma para atenuar el fenómeno de Gibbs (ver el máximo
valor de la oscilación de Gibbs (G+) en la figura) se hace evidente al comparar la curva
suavizada con la no-suavizada. Al mismo tiempo el ancho de la banda de transición, es
decir el intervalo de frecuencias alrededor de c entre la frecuencia correspondiente a
H (c  )Lanczos (low pass )  1 y la de H (c   )Lanczos (low pass )  0 , se incrementa. El ancho
de la banda de transición en la Figura 10 corresponde a la banda de transición 2   de la
Figura 9. Las propiedades de la función de respuesta del filtro de Lanczos quedan
completamente determinadas por la frecuencia de corte c y el número de pesos 2n  1 . El
ancho de la banda de transición es aproximadamente proporcional a 1 / n .
17
Figura 10
Filtro pasa-altos de Lanczos
La función de respuesta para un filtro pasa-altos de Lanczos puede ser obtenida a partir de
la correspondiente al filtro pasa-bajos de Lanczos, restando esta última de la unidad (1H ( ) Lanczos (low pass ) ). De acuerdo a la (67) los pesos estarían dados por
sin(c t m) sin( m / n)
m
 m/ n
 t
 1 c .

am ( high  pass )  am (low pass )  
y para m  0, a0( high pass )  1  a0(low pass )
18
m0
(69)