Algunas aplicaciones de la ecuaciones diferenciales de primer orden 1.

GUIA 4
Algunas aplicaciones de la ecuaciones
diferenciales de primer orden
1.
Procesos de crecimiento y declinación.
Primero estudiaremos el modelo
dx
= a x,
dt
con a constante. La cantidad x puede ser
El tamaño de una población que varı́a según una ley de Malthus
dx
= a x.
dt
La cantidad de una sustancia radioactiva, como uranio, que se desintegra espontáneamente según la ley
dx
= a x,
(a < 0).
dt
La cantidad de dinero en una cuenta sobre la cual se paga interés compuesto continuo
a una tasa anual de interés a (En este caso el tiempo t se mide en años).
Ejercicios
1. La población de Cali era de 200 mil habitantes en 1,950 (t = 0) y de 1 millón en 1,985
(t = 35). Si en cada instante crece con rapidez proporcional a la población existente en
ese instante, ¿ en qué año la población de Cali excederá los 5 millones de habitantes?
Respuesta: En el año 2020.
2. Una población duplica su tamaño en 10 años y la triplica en 20. ¿ Puede seguir una
ley de Malthus de crecimiento? Justifique su respuesta.
3. Según una teorı́a cosmológica, en el instante inicial del Universo habı́a igual cantidad
de átomos de uranio 235 (U 235 ) y de uranio 238 (U 238 ). Se estima que en la actualidad
la relación de U 238 y U 235 en una muestra es de 6197 a 45. La vida media de una
sustancia radioactiva es el tiempo necesario para que una cantidad de la sustancia se
reduzca a la mitad. Si la vida media del U 238 se estima en 4,51 mil millones de años y
la del U 235 en 0,707 mil millones de años, estime la edad del Universo. Respuesta: La
edad el universo es 5,96 mil millones de años.
1
4. Supóngase que una isla es colonizada por inmigración desde el continente. Supóngase
que hay un número constante S de especies en el continente mientras que en la isla
existen N (t) especies en el tiempo t . La rapidez con la cual nuevas especies inmigran
a la isla y la colonizan es proporcional al número S − N (t) de especies del continente
que no se han establecido en la isla, con constante de proporcionalidad h. Además, en
la isla las especies se extinguen con una rapidez proporcional al número de especies de
la isla, con constante de proporcionalidad k. Escriba la ley de variación de N . Calcule
lı́mt→∞ N (t).
2.
El modelo de Verhulst
Tal como se discutió en la Guı́a 1, la variable fundamental en la descripción del tamaño
1 dx
x = x(t) de una población en el tiempo t es la tasa relativa de crecimiento x(t)
(t). El
dt
modelo más sencillo es el modelo de Malthus que supone una tasa de crecimiento constante.
En esta sección consideraremos un modelo postulado por el matemático Belga Pierre François
Verhulst (1804–1849), que supone una tasa de creciemiento que disminuye con el aumento
de la población de acuerdo con la regla
1 dx
(t) = a − b x(t),
x(t) dt
a, b constantes positivas,
que conduce a la ecuación diferencial
dx
= x (a − b x),
(1)
dt
la cual puede verse como una corrección del modelo de Malthus tratado en la Guı́a 1 en
el siguiente sentido. Para valores pequeños de x(t), b x2 (t) es despreciable comparado con
∼ a x(t); para x(t) grande, b x2 (t) no es despreciable y la disminución
a x(t), ası́ que dx
dt =
−b x2 (t) en la tasa de crecimiento debe considerarse.
Si bien podemos resolver (1) mediante separación de variables, el punto es que podemos
obtener información importante de las soluciones x = x(t) de (1) sin conocerlas explı́citamente.
Primero que todo observamos que la función f (t, x) = x (a − b x), definida para todo
t ∈ R y todo x ∈ R, satisface las hipótesis C1 y C2 del Teorema Fundamental (ver Guı́a 1),
por lo que para cada t0 ∈ R y x0 ∈ R existen un intervalo abierto I ⊂ R que contiene a t0 ,
y una función x = x(t) definida en I, tales que x = x(t) es la única solución de (1) definida
en I que satisface la condición inicial x(t0 ) = x0 .
Ahora notamos que las funciones constantes xE (t) = ab y xI (t) = 0 son soluciones de (1).
Estas soluciones tienen una interpretación demográfica interesante: si una población en un
cierto tiempo empieza con tamaño x = 0 ó x = ab , entonces la población está en equilibrio
demográfico, es decir, su tamaño no cambia con el tiempo. Por eso se les denomina soluciones
de equilibrio. Los gráficos de xE y xI (ver figura 1) son rectas horizontales que dividen al
plano tx en tres regiones
o
n
n
ao
a
, R3 = {(t, x) | x < 0} ,
R1 = (t, x) | < x , R2 = (t, x) | 0 < x <
b
b
2
R1
xE =
a
b
R2
xI = 0
R3
Figura 1: Soluciones de la ecuación (1)
tales que el gráfico de cualquier solución no constante x = x(t) de (1) permanece confinado
en una y sólo una de estas regiones. De lo contrario, el gráfico de una solución no constante
intersecarı́a el gráfico de una solución constante de (1) lo que serı́a una contradicción al
Teorema Fundamental.
Abordaremos ahora el problema de determinar cuándo las soluciones de (1) son crecientes.
Recordaremos que una función derivable es estrictamente creciente cuando su derivada es
positiva. De otro lado, la ecuación diferencial (1) da una relación entre la derivada dx
y los
dt
valores que toma la función x(t). Como toda solución no constante permanece en alguna de las
regiones R1 , R2 o R3 es natural estudiar cada caso por separado. Observamos que la solución
permanece en la región a la que pertenece la condición inicial (t0 , x0 ). En consecuencia, esta
región está determinada por el valor de x0 .
Si ab < x0 , entonces el gráfico de la solución x = x(t), t ∈ I estará contenido en R1 .
= x(t) (a − b x(t)) < 0 para todo t ∈ I, con lo que la
Por tanto, ab < x(t), y por eso dx
dt
solución x = x(t) será estrictamente decreciente en todo su dominio.
Si 0 < x0 < ab , entonces el gráfico de la solución x = x(t), t ∈ I, está en R2 . Por eso
x(t) ∈ (0, ab ), y por ende dx
= x(t) (a − b x(t)) > 0 para todo t ∈ I. Es decir, la solución
dt
x = x(t), t ∈ I, será estrictamente creciente en todo su dominio.
Análogamente se demuestra que si x0 < 0, la solución x = x(t), t ∈ I, será estrictamente
decreciente en todo su dominio y su gráfico estará contenido en R3 .
La figura 1 resume el análisis de crecimiento de las soluciones de (1). Vale la pena mencionar algunas interpretaciones demográficas de los resultados obtenidos. La población de
equilibrio xE (t) = ab da un número que puede interpretarse como el tamaño máximo de
la población que un ecosistema dado puede sostener. Si una población, por alguna razón,
tiene un tamaño inicial x0 > ab , la población disminuirá con el tiempo, y la disminución
será asintótica hacia el estado de equilibrio ab . Si por el contrario, el tamaño inicial no supera
el tamaño máximo ab , la población aumentará asintóticamente con el tiempo hacia el estado
de equilibrio ab . Desde luego, un tamaño inicial x0 < 0 no tiene sentido demográfico. No
obstante, la solución de la ecuación diferencial (1) para el dato inicial x(t0 ) = x0 existe y
tiene sentido hacer consideraciones matemáticas sobre dicha solución.
3
Mediante separación de variables se puede hallar explı́citamente la solución de (1). En
efecto, integrando por partes se tiene
Z
Z
1
dx =
dt,
x (a − b x)
x
1
ln
= t + c,
a
a − bx
donde c es una constante cualquiera. Despejando x obtenemos
x(t) =
a c ea t
.
1 + b c ea t
Si imponemos la condición x(t0 ) = x0 resulta x0 =
su valor en la expresión para x(t) se obtiene
x(t) =
a c ea t0
.
1+b c ea t0
Despejando c y reemplazando
a x0
.
b x0 + (a − b x0 )e−a(t−t0 )
(2)
Esta es la única solución de (1) que satisface la condición x(t0 ) = x0 . El intervalo de definición I de x = x(t) depende de x0 . Invitamos al lector a que halle I explı́citamente.
Ejercicios
1. Halle el intervalo de definición de la solución x = x(t) de (1) en los siguientes casos:
i) x0 > ab , ii) 0 ≤ x0 ≤ ab . Respuesta I = R si 0 ≤ x0 ≤ ab . Si x0 > ab se tiene
I=
1
a
ln b xb 0x−a
,∞ .
0
2. Suponga que el tamaño x = x(t) de una población obedece al modelo de Verhulst (1).
Sea x0 el tamaño cuando t = t0 . Muestre que si x0 > 0, se tiene lı́mt →∞ x(t) = ab
¿Tiene sentido considerar el lı́mite anterior si x0 < 0?
3. Bajo las hipótesis del problema anterior, suponga que la tasa relativa de crecimiento
es del 2 % cuando el tamaño de la población es 0,5 × 107 . Si lı́mt →∞ x(t) = 107 halle
las constantes a y b en el modelo de Verhulst y determine la solución x = x(t) teniendo
en cuenta que x(0) = 106
3.
Ley de Newton de enfriamiento
La ley de Newton de enfriamiento establece:
La rapidez de cambio de la temperatura T (t) de un cuerpo respecto del tiempo
es proporcional a la diferencia entre la temperatura Ta del medio ambiente y la
temperatura T (t) del cuerpo.
4
Expresado en términos de ecuaciones diferenciales equivale a
dT
= a(Ta − T )
dt
donde a > 0 es la constante de proporcionalidad.
Ejercicios
1. Un termómetro que está inicialmente en el interior de una habitación se lleva al exterior
donde la temperatura es aproximadamente constante a 150 C. Después de un minuto
marca 300 C y después de 10 minutos marca 200 C. De acuerdo a la ley de Newton ¿Cuál
era la temperatura de la habitación? Respuesta: 31,950 C.
2. Una masa de metal se extrae de un horno a 10000 C y se pone a enfriar en un lugar cuya
temperatura se mantiene aproximadamente constante a 300 C. Después de 10 horas su
temperatura desciende a 2000 C ¿Cuánto tardará en llegar a 310 C? ¿ Llegará en algún
instante la temperatura a ser igual a la temperatura ambiente de 300 C? Justifique su
respuesta. Respuesta: Para t = 39,49 horas la temperatura es de 310 C.
4.
El modelo del tanque
Algunos procesos se componen de partes que se pueden imaginar como un tanque al cual
entra y del cual sale una corriente de un fluı́do portador de una o varias sustancias disueltas.
El proceso total tiene lugar debido a la interacción, es decir, a los intercambios de fluı́do de
las sustancias entre sı́ y con el exterior.
Trabajaremos con los siguientes supuestos:
Una solución con una concentración de entrada ce (masa/volumen) de cierta sustancia
X entra al tanque que puede contener X y otras sustancias a una razón de entrada
ve (t)(vol/tiempo), que se interpreta como un caudal de entrada.
La mezcla es agitada instantáneamente dentro del tanque de forma que en cada punto
del tanque la concentración es la misma. A continuación la mezcla sale del tanque a
una razón vs (t)(vol/tiempo), que se interpreta como un caudal de salida.
La pregunta que se quiere responder es: ¿Cuál es la cantidad x = x(t) de la sustancia X en
el tanque, en cada instante?
Formulación: Sean
x
V
c
= x(t) ≡ cantidad de sustancia X en el instante t,
= V (t) ≡ volumen total de la mezcla en el tanque en el instante t,
x
=
≡
concentración de X en el tanque en el instante t.
V
Puesto que la mezcla es agitada instantáneamente, para la concentación de salida cs = cs (t)
se tiene
cs (t) = c(t).
5
Bajo el supuesto de que la sustancia X no se crea ni se destruye en el proceso, y como
, tenemos que
cs (t) = c(t) = Vx(t)
(t)
x(t)
dx
= ve (t) ce (t) − vs (t) cs (t) = ve (t) ce (t) − vs (t)
dt
V (t)
De lo cual se deduce la siguiente ecuación diferencial para x = x(t)
dx vs (t)
+
x = ve (t) ce (t).
dt
V (t)
En cuanto al volumen V = V (t) tenemos
dV
= ve (t) − vs (t).
dt
Integrando a ambos lados se tiene
V (t) = V (0) +
Z
0
t
(ve (ξ) − vs (ξ)) dξ.
Ejercicios
1. A un tanque que contenı́a 400 litros de agua pura se bombea una solución de aguasal que contiene 0.05 kg de sal por litro, a una razón de 8 litros por minuto. La
mezcla homogeneizada sale con la misma rapidez. El proceso se interrumpe al cabo de
50 minutos y a continuación se bombea agua pura a la misma razón de 8 litros por
minuto (la mezcla sigue saliendo a la misma velocidad). Determine:
a) La cantidad de sal en el tanque al cabo de los primeros 50 minutos.
b) La cantidad de sal al cabo de 100 minutos.
c) Esboce la gráfica de la solución.
Respuesta: La cantidad de sal en el tanque al cabo de 50 minutos es 20(1 − e−1 ) y la
cantidad de sal al cabo de 100 minutos es 20e−1 (1 − e−1 ).
2. Una sala con un volumen de 32 metros cúbicos está inicialmente llena de aire libre
de monóxido de carbono. A partir del tiempo t = 0 entra a la sala aire con humo
de cigarrillo a razón de 0,002m3 /min con un 4 % de monóxido de carbono. El aire se
mezcla rápidamente en la sala y sale a la misma razón de 0,002m3 /min.
a) ¿Cuánto tardará la concentración de monóxido de carbono en la sala en alcanzar
el nivel del 0,0012 %, peligrosa para seres humanos?
b) Si la situación persistiera, ¿qué pasarı́a cuando t → ∞?
Respuesta: (a) En t = 4, 8 minutos la concentración de monóxido de carbono será del
0,0012 % (b) Si t → ∞ entonces c(t) → 4 %.
6
3. Considérese un tramo del Rı́o Cauca desde un punto antes de Cali (digamos el Paso de
la Balsa) hasta un punto después de Cali (digamos la Laguna de Sonso) como un tanque
con un volumen de 60 millones de metros cúbicos en el cual hay una concentración de
contaminantes (detergentes y tóxicos de uso doméstico, desechos industriales, etc.) del
0,00001 %. Supóngase que a partir de t = 0 hay una entrada de 1200m3 /seg con una
concentración de contaminantes del 0,001 % y que hay una salida de igual cantidad
de agua bien mezclada. ¿Cuál será la concentración de contaminantes después del
tiempo t? ¿Cuánto tardará la concentración en elevarse al 0,0001 %? Si las condiciones
persistieran, ¿qué pasarı́a cuando t → ∞? Respuesta: La concentración es c(t) =
10−7 (100 − 99 e−0,00002 t ). En t = 4765,51 la concentración será del 0,0001 %. Si t → ∞
entonces c(t) → 0,001 %.
4. Una fábrica está situada cerca de un rı́o con caudal constante de 1000m3 /seg que vierte
sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 1000 millones de m3 . Suponga
que la fábrica empezó a funcionar el 10 de enero de 1993, y que desde entonces, dos
veces por dı́a, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes
al rı́o a razón de 1m3 /seg. Suponga que el lago tiene una salida de 1000m3 /seg de
agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de
contaminantes en el lago después de: un dı́a, un mes (30 dı́as), un año (365 dı́as).
Respuesta: Suponiendo una contaminación constante (que promedie los dos bombeos
diarios de contaminación) tenemos: La concentración en un dı́a es 0,0014 %, en un mes
0,012 % y en un año 0,146 %
5.
Caı́da de cuerpos cerca de la superficie de la Tierra.
En la Guı́a 1 discutimos algunos modelos para la caı́da de un cuerpo cerca de la superficie
de la Tierra. En la discusión definimos un eje vertical de coordenadas con dirección positiva
apuntando hacia arriba y supusimos que sólo actuaban la fuerza de la gravedad fW = −m g
y una fuerza de fricción fR que se opone al movimineto. Si v = v(t) es la velocidad del cuerpo
en el tiempo t concluimos que
dv
m
= −m g + fR .
(3)
dt
Si el cuerpo se mueve en un medio fluı́do como aire o agua, entonces la dirección de la
fuerza de fricción que ejerce el medio es opuesta a la dirección de la velocidad v, mientras
su magnitud depende de la rapidez. Se tiene entonces que (ver figura 2)


< 0 si v > 0
fR (v) :
= 0 si v = 0


> 0 si v < 0
Además, en general, entre más grande sea la rapidez del cuerpo que cae mayor será la
magnitud de la fuerza de fricción.
Con frecuencia se toma, en lugar de fR (v), su aproximación lineal
fR (v) ≈ fR (0) + fR ′ (0) v = fR ′ (0) v.
7
Escribiendo γ = −fR ′ (0) se tiene, como caso particular, la ley de fricción viscosa fR (v) =
−γ v, que da lugar a la ecuación diferencial lineal
γ
dv
+ v = −g
dt m
(4)
obtenida en la Guı́a 1.
−γ v
fR (v)
v
Figura 2: fR y su linealización
Ejemplo 1. Un hombre salta en paracaı́das desde el reposo a una gran altura. La masa
combinada del hombre y del paracaı́das es de 80 kilogramos. Sea v(t) su velocidad t segundos
después de empezar a caer. Durante los primeros 10 segundos la resistencia del aire es −15 v.
Después, al abrirse el paracaı́das la resistencia es −240 v. Considerando al hombre y al
paracaı́das como una masa puntual, y suponiendo que las únicas fuerzas que actúan en el
movimiento son la fuerza de gravedad y la fuerza de resistencia al movimiento ejercida por
el aire, determinar la velocidad v(t) en cualquier instante t. En particular determine v(10) y
v(20).
Solución. Tomamos el origen de coordenadas en la superficie de la Tierra. Para 0 < t < 10
tenemos
dv 15
+ v = −g.
dt 80
Como además v(0) = 0 concluimos que
v(t) = −
3t
16 g 1 − e− 16 ,
3
0 ≤ t ≤ 10.
Tenemos entonces
15
16 g 1 − e− 8 ≈ −44,25.
3
Consideremos ahora t ≥ 10. Para esos valores de t la función v = v(t) satisface la ecuación
v(10) = −
dv 240
+
v = −g.
dt
80
8
0,0
10
t
−44,25
Figura 3: v(t) durante el descenso en paracaı́das
Como además v(10) ≈ −44,25 concluimos que
g g
− 44,25 e−3(t−10) , 10 ≤ t.
v(t) = − +
3
3
Entonces v(20) ≈ −3,26. En la figura 2 bosqueja la solución v(t) para t ≥ 0.
Ejercicios
1. Un cuerpo de 25 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de
20 m/s. Sea v = v(t) la velocidad en el instante t. Determine el tiempo de ascenso del
cuerpo suponiendo que las únicas fuerzas que actúan son la fuerza de la gravedad y la
fuerza de fricción ejercida por el aire que es igual a −5 v. ¿Cuál es la altura máxima a
la que sube el cuerpo?
2. Suponga que la velocidad v = v(t) con la que cae un cuerpo de 1 g de masa satisface la
ecuación diferencial (4). Halle la constante γ suponiendo que lı́mt→∞ v(t) = −400 cm/s.
3. Un cuerpo de masa m cae desde el reposo en un medio que opone una fuerza de fricción
proporcional al cuadrado de la rapidez. Es decir, |fR (v)| = k v 2 para alguna constante
de proporcionalidad k. Plantee y resuelva el problema de valor inicial para la velocidad
v = v(t) y halle además lı́mt→∞ v(t).
Principio de Arquı́medes. Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza
hacia arriba igual al peso del volumen del fluido desalojado por el cuerpo. Esta fuerza es
conocida como fuerza arquimediana de boyancia o empuje.
Ejercicios
1. Una esfera de masa 5000 kg y volumen 4π
m3 y un cilindro de 4000 kg y π m3 se sueltan
3
desde el reposo sobre la superficie de un lago. Las fuerzas de fricción ejercidas por el
agua sobre la esfera y el cilindro son respectivamente −λve y −λvc , donde ve y vc son
las velocidades respectivas y λ > 0 es una constante. Suponiendo que las únicas fuerzas
que obran son la fuerza de la gravedad, la fuerza de fricción y la fuerza arquimediana
de boyancia ejercida por el agua, determine las ecuaciones diferenciales para ve = ve (t)
y vc = vc (t) ¿cuál de los dos objetos llega primero al fondo?
9
6.
Caida en potencial gravitatorio variable
Un cuerpo de masa m es lanzado verticalmente hacia arriba desde la superficie de la
Tierra con una velocidad inicial v0 . Tómese el eje z orientado positivamente hacia arriba con
el origen sobre la superficie de la Tierra. Suponiendo que no hay resistencia del aire, pero
tomando en cuenta la variación del campo gravitacional terrestre con la altura, se obtiene
m
m g R2
dv
=−
,
dt
(R + z)2
donde R es el radio de la Tierra.
Ejercicios
1. Sea v(z) = v(z(t)) la velocidad de la masa cuando su altura con respecto a la superficie
dz
de la Tierra es z. Halle una ecuación diferencial para v(z). Sug: dv
= dv
. Respuesta:
dt
dz dt
gR2
dv
v dz = − (R+z)2 .
2. Determine la velocidad inicial mı́nima v0 para la cual el cuerpo no retorna a la Tierra.
Esto es lo que se llama la velocidad de escape, que se determina exigiendo que v(z)
permanezca estrictamente positiva. Respuesta: La velocidad mı́nima de escape es de
11,1 km/s.
7.
Trayectorias ortogonales
En algunos problemas geométricos y en algunos problemas fı́sicos se plantea la cuestión
siguiente:
Dada una familia de curvas planas diferenciables descrita por
f (x, y, c) = 0
(5)
donde c representa una constante arbitraria, hallar las curvas que, en cada punto, intersecan ortogonalmente a las curvas de la familia dada. Tales curvas se
denominan trayectorias ortogonales a (5).
El problema puede resolverse ası́. Si y = y(x) es una curva de la familia descrita por (5),
entonces para alguna constante c fija debe tenerse
f (x, y(x), c) = 0,
para todo x en el domio de y. En este caso, derivando (6) con respecto a x obtenemos
∂f dy
∂f
+
= 0.
∂x ∂y dx
10
(6)
Geométricamente la interpretación de la anterior identidad es que la pendiente de la recta
tangente a la curva y = y(x) en el punto (x, y(x)), está dada por
m=
∂f
(x, y(x), c)
dy
∂x
.
= − ∂f
dx
(x,
y(x),
c)
∂y
(7)
Supongamos ahora que la constante c pueda despejarse de (5), en términos de x y y. En
ese caso, reeplazando en (6), se obtiene una expresión para la pendiente m, que depende
unicamente del punto (x, y) y no de la constante c.
Figura 4: Curvas que se intersecan ortogonalmente
Ahora bien, si y = y(x) es una curva que interseca ortogonalmente a un miembro de la
familia (5) en el punto (x, y), entonces la pendiente m∗ de la recta tangente a y = y(x) en
dy
el punto (x, y(x)) satiface m∗ m = −1. Es decir, dx
= m∗ = − m1 . Con lo cual obtenemos la
siguiente ecuación diferencial para la las trayectorias ortogonales:
dy
=
dx
∂f
∂y
∂f
∂x
(x, y, c (x, y))
(x, y, c (x, y))
.
(8)
Ejemplo 2. Buscaremos las trayectorias ortogonales a la familia de parábolas x − cy 2 = 0.
Se tiene sucesivamente (derivando, despejando c, etc.):
1 − 2cy
dy
= 0,
dx
c=
x
,
y2
dy
y
=
(ecuación diferencial de las parábolas).
dx
2x
La ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es
2x
dy
=− .
dx
y
11
Figura 5: Ejemplo de familias de curvas ortogonales
Una integral general de esta ecuación es la familia de elı́pses:
y 2 + 2x2 = k 2 .
Estas son las trayectorias ortogonales buscadas.
Ejercicios
1. En cada caso halle las trayectorias ortogonales a la familia de curvas que se da (c
denota una constante cualquiera): (a) y 2 − x2 = c, (b) x2 + y 2 = c x, (c) y = c ex ,
(d) ex cos y = c. Respuestas: (a) x y = k, (b) x2 + y 2 = k y, (c) y 2 = −2x + k, (d)
ex sen y = c.
2. En cada caso hallar las curvas que cumplen la condición dada.
a) La normal en un punto cualquiera pasa por el origen. Respuesta: x2 + y 2 = c.
b) La longitud del arco desde el origen a un punto variable es igual
doble de la raı́z
√ al √
cuadrada de la abscisa del punto. Respuesta: y = ±(arc sen x + x − x2 ) + c .
12