7. Leyes de Newton

7. Leyes de Newton
1. Un bloque de 10 kg que está en un plano sin rozamiento e inclinado 300 con respecto a la
horizontal, es sostenido mediante una cuerda, como se muestra en la figura. Determine la tensión
de la cuerda y la magnitud de la fuerza normal (perpendicular al plano inclinado).
m

Primero: Se identifican todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo
T tensión de la cuerda
w peso del cuerpo
N normal
Segundo: Se realiza el diagrama de cuerpo libre o aislado, donde se colocan todas las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo en estudio (bloque).
N
T
w
Tercero: Elegir un sistema de referencia (de preferencia un eje perpendicular y otro paralelo al
plano). Considerar el eje x positivo en la dirección (o posible dirección) de movimiento del cuerpo.
y+
N
T


El ángulo de inclinación
que forma el peso con
respecto al eje vertical
es 
mg = w
x+
Cuarto: Se aplica la segunda ley de Newton en forma de componentes rectangulares.
F
F
x
 max
y
 may
Quinto: Se descomponen todas las fuerzas en sus componentes rectangulares. Debido al sistema
de referencia elegido, la normal N y la tensión T, están sobre los ejes. La única fuerza que se
descompone en este problema, es el peso. Sus componentes rectangulares son:
wx  mgsen
wy  mgcos
De esta forma, las fuerzas o componentes de fuerzas que se encuentran sobre le eje de las x's
son: la componente del peso wx y la tensión de la cuerda T, las cuales se sustituyen por la  Fx
F
x
 max
Quedando:
wx  T  max
Obsérvese que wx es positivo y que T es negativo, ya que apuntan en tales direcciones.
Sustituyendo el valor de wx
mgsen  T  max
En este caso, el cuerpo está en reposo, por lo que no hay cambios de velocidad, ó lo que es lo
mismo, no existe aceleración (ax = 0 ). Sustituyendo:
m gsen  T  0
Resolviendo para la tensión:
T  m gsen
Sustituyendo los valores:
T  10 kg (9.81
m
) sen 30 0
s2
T  49.05 Nt
La fuerza normal se determina a partir de la sumatoria de fuerzas en el eje de las y's.
F
y
 may
Considerando también que no hay movimiento en el eje vertical ay = 0
N  wy  0
Despejando a la normal y sustituyendo la componente vertical del peso:
N  m g cos 
Sustituyendo los valores
N  10 kg (9.81
m
) cos 30 0
s2
N  94.82 Nt
2. Del problema anterior, suponga que la cuerda se rompe. Calcule la aceleración del bloque
cuando ésta se desliza sobre el plano inclinado.
y+
N

mg = W
x+
Al desaparecer la tensión de la cuerda, el bloque inicia su movimiento, a medida que transcurre el
tiempo, su velocidad va incrementándose (no hay rozamiento), existiendo en consecuencia una
aceleración.
Las fuerzas que actúan sobre el bloque son la Normal y el Peso. Si sumáramos las dos fuerzas,
encontraríamos una fuerza Neta o Resultante que estará sobre el eje de las x's y que es la que
hace que el cuerpo se acelere hacia abajo sobre el plano.
Analizando el problema con mayor detenimiento, podemos descomponer al peso en sus
componentes rectangulares, y como el cuerpo no se mueve sobre el eje de las y's, deducimos que
la fuerza Normal es de igual magnitud que la componente del Peso sobre dicho eje, quedándonos
únicamente la componente en el eje x, siendo ésta de magnitud: mg sen .
Para determinar la aceleración resolvamos analíticamente, aplicando la segunda ley de Newton.
F
x
 max
Wx  max
mgsen  max
ax 
mgsen 
 gsen 
m
3. De las siguientes figuras encuentre la aceleración de las masas y las tensiones de las cuerdas.
m1
Figura 2
m1
m2
Figura 1
30 0
m2
Figura 3
m1
Figura 4
m2
30 0
60 0
m2
m1
Si analizamos las figuras antes de resolver el problema analíticamente, observaremos que existe
una gran similitud entre ellos, lo único que está cambiando son los ángulos. Con esta observación
podemos resolver un solo problema (el que parece más complicado: Fig. 3) y a partir del análisis
del resultado, podemos inferir los otros. Procedamos a ello.
m1
m2
300
600
Se deben de hacer tantos diagramas de cuerpo libre, como cuerpos en estudio tengamos.
Para el bloque m1
Para el bloque m2
y+
Mov. de m1
x+
N1
y+
N2
T2
T1

W2
W1

Mov. de m2 en el eje
de las x's, positivo hacia
abajo
x+
Descomponer todas las fuerzas en sus componentes rectangulares y aplicar la segunda ley de
Newton a cada uno de los diagramas de cuerpo libre. Cuando no existe rozamiento, no es
necesario trabajar con la sumatoria de fuerzas en el eje de las y's, a menos que se pida la
magnitud de la fuerza Normal o la componente del peso en ese eje.
Haciendo suma de fuerzas en el eje de las x's
F
x
 m1a1x
F
x
 m2 a2 x
T1  W1x  m1a1x
W2 x  T2  m2 a2 x
T  m1 gsen  m1a1x
m2 gsen  T2  m2 a2 x
Como es la misma cuerda y mientras no se estire ni se afloje, la tensión en cualquier punto es la
misma por lo que:
T1 = T2
Consecuentemente, mientras un cuerpo desliza hacia arriba, el otro desliza hacia abajo,
experimentando ambos los mismos cambios de velocidad, es decir, que tienen la misma
aceleración:
a1x = a2x
Con esto, las dos ecuaciones anteriores se convierten en:
T  m1 gsen  m1a
m2 gsen  T2  m2 a
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ( T y a ), que se resuelve por medio de
los métodos conocidos ( suma y resta; sustitución; igualación o determinantes).
Usando el método de sustitución:
Despejamos T de la primera ecuación:
T  m1a  m1 gsen
y la sustituimos en la segunda:
m2 gsen  (m1a  m1 gsen )  m2 a
Resolviendo:
m2 gsen  m1a  m1 gsen )  m2 a
m2 gsen  m1 gsen  m2 a  m1a
m2 gsen  m1 gsen  (m2  m1 )a
a
m2 gsen  m1 gsen
m1  m2
 m sen  m1 sen 
 g
a   2
m1  m2


Para calcular la tensión, únicamente sustituimos el valor de la aceleración en cualquiera de las dos
ecuaciones lineales.
 m sen  m1 sen 
 g  m1 gsen
T  m1  2
m1  m2


Analizando el resultado de la aceleración, podemos tener los siguientes casos:
{ Si: 00 y
 = 900 ;
sen 
y
sen  = 1
Correspondiendo dichos ángulos al primer caso, es decir, a la figura 1.
Por lo tanto, la aceleración de los bloques para esa figura es:
 m2 sen900  m1 sen0 0 
 m (1)  m1 (0) 
 g   2
 g
a  
m1  m2
 m1  m2 


a
m2 g
m1  m2
Para la Figura 2 tenemos que:
{
300 
y
 = 900 ;
sen  = 1
 m (1)  m1 sen 
 m  m1 sen 
 g   2
 g
a   2
m1  m2


 m1  m2 
Para la Figura 4 tenemos que:
{
900 
y
 = 900 ;
sen 
sen  = 1
 m (1)  m1 (1) 
 m  m1 
 g   2
 g
a   2
 m1  m2 
 m1  m2 
Los resultados obtenidos para la aceleración también pueden ser analizados, así por ejemplo, en el
último caso (Fig. 4):
v Si m2 > m1
tenemos que la aceleración de los cuerpos es positiva ( a > 0 ) y los cuerpos se mueven de la
siguiente forma:
m1 hacia arriba
m2 hacia abajo
v Si m2 < m1
tenemos que la aceleración de los cuerpos es negativa ( a < 0 ) y los cuerpos se mueven de la
siguiente forma:
m1 hacia abajo
m2 hacia arriba
v Si m2 = m1
tenemos que la aceleración de los cuerpos es nula ( a = 0 ) y los cuerpos permanecen en reposo.
v Si cualquiera de los cuerpos es mucho mayor ( >>> ) que el otro, por ejemplo m2 >>> m1,
entonces:
m2  m1  m2
y
m2  m1  m2
y la aceleración es positiva e igual al valor de la magnitud de la gravedad ( g ).
v En el otro caso, cuando:
m2 <<< m1, entonces:
tenemos que:
m2  m1  m1
y
m2  m1  m1
y la aceleración es negativa e igual al valor de la magnitud de la gravedad.
Ahora resolveremos la figura 4, también conocida como máquina de Atwood, con el fin de verificar
que nuestros resultados deductivos a partir de la figura 3 son correctos, pudiendo hacerse también
para las otras dos figuras.
Diagrama de cuerpo libre o aislado
Sobre m1
Dirección de
movimiento
propuesta
Sobre m2
y+
y-
T
T
m2
m1
Dirección de
movimiento
propuesta
m2 g
m1 g
y-
y+
Nota: Obsérvese que los ejes positivos fueron tomados en la dirección de movimiento propuesta.
Aplicando la segunda ley de Newton en el eje vertical a ambos diagramas:
F
y
F
 m1a1y
y
T  m1 g  m1a1 y
donde a1y
 m2 a2 y
m2 g  T  m2 a2 y
= a2y = a
obteniendo dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
T  m1 g  m1a
y
m2 g  T  m2 a
Resolviendo por suma y resta:
m2 g  m1 g  m1a  m2 a
factorizando:
(m2  m1 ) g  (m1  m2 )a
despejando:
a
(m2  m1 )
g
m1  m2
que es el mismo resultado obtenido a partir de la deducción del resultado de la tercer figura
4. Dos bloques de masa m1 = 3 kg y m2 = 4 kg están tocándose sobre una mesa sin fricción. Si la
fuerza mostrada que actúa sobre m 1 es de 5 Nt.
a) ¿Cuál será la aceleración de los dos bloques?
b) ¿Con qué fuerza empuja m1 a m2?
c) Repita los incisos anteriores, si la fuerza se aplica a m 2.
4kg
3kg
a) Para determinar la aceleración de los bloques, consideremos a los dos como uno solo de masa
m1 + m2 = 7 kg.
7 kg
El diagrama de cuerpo libre es:
y+
N
F
x+
mg
De la suma de fuerzas en el eje x:
F
x
 Max
donde: M = m1 + m2
F  Ma x
a
F 5 Nt
m

 0.71 2
M 7kg
s
b) Para determinar la fuerza con que empuja m1 a m2 aplicamos la tercera ley de Newton que dice
que la fuerza que ejerce m1 sobre m2 es de igual magnitud, pero en sentido contrario a la que
ejerce m2 sobre m1. Para ello analicemos las fuerzas que actúan sobre m1 mediante el siguiente
diagrama de fuerzas.
y+
N
P
F = Fuerza aplicada
P = Fuerza que ejerce m2 sobre
m1 y que detiene a m1
F
m1g
x+
F
x
 m1a1x
La segunda ley se aplica sobre el cuerpo en estudio (m1 ) y la aceleración que este cuerpo
experimenta es la que encontramos en el inciso anterior ( a1x = a = 0.71 m/s2 ).
F  P  m1a
P  F  m1a
P  5 Nt  (3kg )( 0.71
m
)  2.85 Nt
s2
Luego entonces, por la tercera ley la fuerza con que empuja m1 a m2 es P' = 2.85 Nt.
c) Si la fuerza se aplica sobre m2, tendremos la misma aceleración, aunque los cuerpos se
moverán hacia la izquierda.
y+
N
F
F = Fuerza aplicada
R = Fuerza que ejerce m1 sobre
m2 y que detiene a m2
x+ en la dirección de movimiento.
P
x+
m2g
Para determinar la fuerza con que empuja m1 a m2 se realizan los mismos pasos, pero la suma de
fuerzas es ahora sobre m2.
F
x
 m2 a2 x
F  R  m2 a
R  F  m2 a  5 Nt  (4kg )( 0.71
m
)  2.1Nt
s2
5. Un automóvil de 900 kg que va a 20 m/s choca con un árbol y recorre 1.6 m antes de detenerse.
¿Qué magnitud tendrá la fuerza de retardo ejercida por el árbol sobre él?
y+
N
P
x+
mg
F
x
P = Fuerza que ejerce el árbol
sobre el automóvil.
No existe ninguna otra fuerza
como, por ejemplo, la fuerza que
ejerce la tracción de las llantas o
la del motor.
 max
F  R  m2 a
P  max
Donde ax se determina mediante cinemática. Las condiciones son:
v0 = 20 m/s
vf = 0
x - x0 = 1.6 m/s
ecuación:
v 2f  v02  2a( x  x0 )
m
0  (20 ) 2
s  12.5 m
a

2( x  x0 )
2(1.6m)
s2
v 2f  v02
luego entonces:
P  900 kg (12.5
m
)  112500 Nt
s2
Obteniendo un resultado positivo, lo cual no implica que la fuerza P se encuentre en la dirección
que elegimos como positiva, ya que cuando aplicamos la segunda ley, dicha fuerza la expresamos
negativa.
6. ¿Qué magnitud tendrá una fuerza paralela a una pendiente de 300 para comunicarle a una caja
de 50 kg una aceleración de 2.0 m/s2 hacia arriba?
y+
N
F
x+
F
30 0
F
x
mg
300
 max
F  Wx  max
F  mgsen  max
F  max  mgsen
F  50 kg (2
m
m
)  50 kg (9.81 2 ) sen 30 0
2
s
s
F  345 .25 Nt
Si se deposita la caja sobre el plano inclinado, ¿con qué aceleración bajará?
¿Qué tanta fuerza se requiere para que baje con una aceleración de 2 m/s 2? ¿Hacia dónde debe
de aplicarse dicha fuerza?
7. Una bala de 8.0 gr penetra en una pieza de plástico de 2 cm de espesor con una rapidez de 140
m/s.
¿Cuál es la fuerza promedio que retarda el paso de la bala por el plástico?
Antes
Después
y+
v 0 = 140 m/s
v=0
F
x+
2 cm
F
x
 max
 F  max
donde:
m
0  (140 ) 2
s  490000m
a

2( x  x0 )
2(0.02m)
s2
v 2f  v02
F  (0.008 kg )( 490000
m
)  3920 Nt
s2
Cabe hacer la aclaración de que no se puso el peso ni la fuerza normal en el diagrama de cuerpo
libre, ya que no son relevantes para la resolución del problema. En el caso de la fuerza normal,
ésta actúa sobre toda la superficie cilíndrica y saliendo, de tal manera que se contrarrestan
mutuamente.
8. Un prisionero de 60 kg desea escapar por una ventana del tercer piso deslizándose por una
cuerda hecha de sábanas. Por desgracia, la cuerda puede sostener sólo 500 Nt.
¿Con qué rapidez debe el prisionero acelerar hacia abajo de ella para que no se rompa?
Calculemos primero el peso del prisionero para comparar dicha fuerza con la máxima tensión de la
cuerda. Si el peso del prisionero es mayor que la tensión de la cuerda, entonces ésta se rompe.
W = mg = 60 kg ( 9.81 m/s2 ) = 588.6 Nt.
Por lo que la cuerda no puede sostener al prisionero en esas condiciones. Sin embargo, existe una
forma de hacerlo sin que se rompa la cuerda. Para ver esta forma, hagamos una similitud con un
experimento, siendo éste el siguiente. Si ato un ladrillo o bloque con un hilo de coser a máquina,
éste se romperá, puesto que no puede sostener el peso. Pero si dejo caer el bloque con el hilo
amarrado, éste viajará junto con el bloque sin romperse, teniendo ambos una aceleración igual a la
de la gravedad.
Puedo soltar el bloque teniendo sostenido el hilo, pero de tal manera que esté tenso y viajando con
el bloque a medida que vaya cayendo. Ésa es la forma en que el hilo no se rompa; es decir, que se
encuentre acelerado hacia abajo.
En el caso del prisionero ocurre lo mismo, para que la cuerda no se rompa, él debe de acelerarse
hacia abajo.
Hagamos un análisis de las fuerzas que actúan sobre él, siendo éstas: su propio peso (hacia
abajo) y la tensión de la cuerda (hacia arriba), eligiendo un sistema de referencia positivos hacia
abajo, por la segunda ley tendremos:
F
y
 may
W  T  may
mg  T  may
ay 
m g  T 588.6 Nt  500Nt 88.6 Nt
m


 1.47 2
m
60kg
60kg
s
9. Una masa de 200 gr se cuelga de un hilo, del fondo de ella pende una masa de 300 gr atada a
un segundo hilo. Encuentre las tensiones de los dos hilos, si las masas:
a) Permanecen inmóviles.
b) Aceleran hacia abajo con una aceleración constante de 5 m/s 2.
c) Caen libremente.
d) Si la máxima tensión que pueden soportar las cuerdas es de 15 Nt. ¿Cuál es la máxima
aceleración hacia arriba que se le puede dar a las masas sin que se rompa la cuerda?
sobre m 1
sobre m 2
T1
T1
200 gr
T2
T2
m 1g
300 gr
T2
m 2g
y+
y+
a) Si permanecen inmóviles. a = 0
Para m1:
Para m2
Fy = m1 a1y
Fy = m12a2y 
m1g +T2 - T1 = 0
m2g - T2 = 0
T2 = m2g
T2 = 0.3 Kg ( 9.81 m/s2 )= 29.43 Nt
Sustituyendo para encontrar T 1
T1 = m1g +T2
T1 = 0.2 kg ( 9.81m/s2 ) + 29.43 Nt
T1 = 49.5 Nt
Lo cual representa el peso de m1 y m2.
b) Si aceleran hacia abajo con a = 5 m/s2
Fy = m1 a1y
Fy = m12a2y 
m1g +T2 - T1 = m1 a1y
m2g - T2 = m12a2y
T2 = m2g - m12a2y
T2 = m2 (g - a2y )
T2 = 0.3 Kg ( 9.81 m/s2 - 5 m/s2 ) = 1.44 Nt.
Despejando T1
T1 = m1g +T2 + m1 a1y
T1 = 0.2 kg ( 9.81m/s2 ) + 1.44 Nt - 0.2 kg ( 5 m/s2 )
T1 = 2.402 Nt
c) Si caen libremente a = g = 9.81 m/s2
Fy = m1 a1y
Fy = m12a2y 
m1g +T2 - T1 = m1 g
m2g - T2 = m12g
T 2 = T1
T2 = m2g - m12g
T2 = 0.
d) Si la máxima tensión es de 15 Nt, escogemos ahora un sistema de referencia positivo hacia
arriba, ya que se moverán en esa dirección. Como existen dos cuerdas, elegimos la que soporta
mayor peso, siendo ésta T1, en el caso de T2 no podemos tomar el valor de 15 Nt, ya que para una
misma aceleración de ambos cuerpos, esta tensión es menor que la que soportaría T1.
Fy = m1 a1y
Fy = m2a2y 
T1 - m1g - T2 = m1 a
T2 - m2g = m2a
T2 = m2g + m2a
T1 - m1g - ( m2g + m2a ) = m1 a
T1 - m1g - m2g - m2a = m1 a
T1 - m1g - m2g = m1 a + m2a
T1 - g ( m1 + m2 ) = a ( m1 + m2)
a
a
T1  g (m1  m2 )
m1  m2
m
)(0.2kg  0.3kg )
s2
0.2kg  0.3kg
15Nt  (9.81
a  20.19
m
s2
10. Un pasajero que viaja en un barco en un mar tranquilo, cuelga con un hilo una pelota del techo
de su camarote. Observa que, al acelerar la nave, la pelota se encuentra detrás del punto de
suspensión y el péndulo ya no cuelga verticalmente.
¿Cuál será la aceleración del barco cuando el péndulo se halla en un ángulo de 5 0 con la vertical?
Sin acelerar
acelerando
y+
T
x+

mg
F
x
 max
Tx  max
Tsen  max
a
Tsen 
m
Para determinar T hagamos suma de fuerzas en el eje y.
F
y
 may
Ty  may
T cos  mg  0
T
mg
cos 
Sustituyendo en la ecuación de aceleración encontrada en la suma de fuerzas en el eje x:
mg
sen
mg tan
m
m
cos

a

 g tan  (9.81 2 )(tan50 )  0.85 2
m
m
s
s
11. Un bloque sin velocidad inicial se desliza sin rozamiento sobre un plano inclinado de 37 0.
Después de 3 s.
a) ¿Qué distancia recorre?
b) ¿Con qué velocidad baja al final del plano si éste tiene una distancia de 40 m?
Como ya se vio en uno de los problemas anteriores, cuando no existe rozamiento, la aceleración
de los cuerpos es a = g sen en este caso, a = 5.90 m/s2
a) La distancia que recorre en tres segundos viene dada por la ecuación de cinemática:
x  x0  v0 t 
x  x0 
1 2
at
2
1
m
(5.9 2 )( 3s) 2  26.55m
2
s
b) La velocidad con la que baja cuando a recorrido una distancia de 40 m viene dada por la
ecuación:
v 2  v02  2a( x  x0 )
v  2a) x  x0 )  2(5.9
m
m
)(40m)  21.72
2
s
s
12. En la parte superior de un plano inclinado sin fricción de 16 m de longitud se suelta un cuerpo,
originalmente en reposo y tarda 4 s en llegar a la parte mas baja del plano. Desde ahí se lanza
hacia arriba a un segundo cuerpo, justo en el momento en que se suelta el primero, de tal forma
que ambos llegan simultáneamente a la parte más baja.
a) Calcular la aceleración de cada uno de los cuerpos sobre el plano inclinado.
b) ¿Cuál era la velocidad inicial del segundo cuerpo?
c) ¿Cuál es el ángulo que forma el plano respecto a la horizontal?
a) Como no hay rozamiento, la aceleración viene dada por a = g sen la cual se puede determinar
también mediante la ecuación de cinemática:
x  x0  v0 t 
x  x0  0 
a
1 2
at
2
1 2
at
2
2( x  x0 ) 2(16m)
m

2 2
2
2
t
(4s )
s
A partir de este resultado, podemos calcular el ángulo de inclinación del plano inclinado, siendo
éste:
a  gsen
m

2 2

a
  sen 1    sen 1  s
m

g
 9.81 2
s



  11.760



b) Para determinar la velocidad del segundo cuerpo, utilizamos el hecho de que el plano no tiene
rozamiento, de tal forma que cuando sube, el cuerpo va desacelerando uniformemente siendo la
aceleración a = - g sen . Cuando desciende, el cuerpo va acelerando uniformemente, teniendo
una aceleración de a = g sen . Por la simetría del problema, el tiempo que tarda en subir es el
mismo que tarda en bajar y como el tiempo total es la suma de ambos, entonces el tiempo en subir
es de 2 segundos. Utilizando ese hecho y la ecuación de movimiento de cinemática:
v = v0 + at
Despejamos v0 y sustituimos el valor de la aceleración de subida
v0 = - a t
v0 = - (- g sent
v0 = ( 9.81 m/s2 ) ( sen 11.760 ) ( 2 s ) = 4 m/s.
13. Se lanza un bloque hacia arriba sobre un plano inclinado sin fricción, con una rapidez inicial v0.
El ángulo de inclinación es .
a) ¿Cuánto ascenderá por el plano?
b) ¿Cuánto tiempo tarda en hacerlo?
c) ¿Cuál es su rapidez cuando regresa hasta la base?
d) Calcule los incisos anteriores para  = 300 ; v0 = 2 m/s.
a) Éste es un problema parecido al anterior, donde la desaceleración es a = - g sen , la distancia
que asciende sobre el plano viene dada por la ecuación:
v 2  v02  2a( x  x0 )
x  x0 
v 2  v02 0  v02
 v02
v02



2a
2a
2( gsen ) 2 gsen
b) El tiempo que tarda en hacerlo se encuentra a partir de la ecuación:
v  v0  at
t
v  v0
 v0
v0


a
 gsen gsen
c) La rapidez con que regresa a la base del plano, es la misma que con la que inició la subida. Esto
se puede demostrar considerando que ya se encuentra en su punto más alto, teniendo:
una velocidad inicial nula v'0 = 0,
experimentando una aceleración:
a' = g sen ,
recorriendo una distancia de:
x  x0 
v02
2 gsen
en un tiempo de:
t
v0
gsen
Con esos datos se puede encontrar la velocidad final que llamaremos v' f, a partir de la ecuación
(para diferenciar los datos de cuando subió se ha agregado un apóstrofe ):
v'f = v'0 + a' t
 v 
v´' f  0  ( gsen ) 0   v0
 gsen 
d) Para determinar este inciso, únicamente se sustituyen los valores proporcionados en las
ecuaciones encontradas anteriormente.
14. Un hombre de 80 kg se lanza con un paracaídas y sufre una desaceleración de 2.5 m/s2. La
masa del paracaídas es de 5 kg.
a) ¿Cuál es el valor de la fuerza ejercida hacia arriba por el aire sobre el paracaídas?
b) ¿Cuál es el valor de la fuerza ejercida hacia abajo por el hombre sobre el paracaídas?
Sobre el paracaídas
y+
wp
y+
Fa/p= Fuerza que ejerce el aire
sobre el paracaídas.
W T/p= Fuerza que ejerce la Tierra
sobre el paracaídas.
wh
W h/p= Fuerza que ejerce el hombre
sobre el paracaídas.
y-
Sobre el hombre
Fp/h= Fuerza que ejerce el
paracaídas sobre el
hombre
W h = peso del hombre
y-
Hagamos suma de fuerzas sobre el hombre, iniciamos con él, debido a que sobre el paracaídas
desconocemos la fuerza que ejerce el hombre sobre el paracaídas, en estos casos, erróneamente
se supone que esta fuerza es igual al peso del hombre, pero como los cuerpos están acelerados,
dicha fuerza puede aumentar o disminuir. Para reafirmar lo anterior, si el hombre fuese en caída
libre (acelerado) su peso sería nulo.
Sobre el hombre:
F
y
 mH a
F p  mH g  mH a
H
F p  mH a  mH g
H
F p  (a  g )mH
H
F p  (9.81
H
m
m
 2.5 2 )80kg
2
s
s
F p  984Nt
H
Por la tercera ley de Newton, esta fuerza es igual en magnitud pero en sentido contrario a la que
ejerce el hombre sobre el paracaídas.
Sobre el paracaídas:
F
y
 mp a
Fa  m p g  FH  m p a
p
Fa  m p (a  g )  FH
p
Fa  (5kg )( 2.5  9.81)
Fa  1045.5Nt
m
 984 Nt
s2
Nota: en este ejercicio, se consideró una aceleración positiva de 2.5 m/s 2 ¿Por qué ? si el problema
dice que tiene una desaceleración de 2.5 m/s2. Sugerencia: en base a diagramas de caída de los
cuerpos, considerando sistemas de referencia positivos hacia arriba, negativos hacia abajo, analice
como son los cambios de posición, como son las velocidades y los cambios de velocidad para
determinar el signo de la aceleración.
15. De la siguiente figura, calcule la aceleración de las masas y las tensiones de las cuerdas.
100 kg
200 kg
37 0
300 kg
Como tenemos tres cuerpos moviéndose simultáneamente, debemos tener un diagrama de cuerpo
libre para cada uno.
Sobre m1
Sobre m3
Sobre m2
y+
y+
T1
N1
y-
N2
T1
T2
T2
x+
W1

W3
W2
x+
y+
Aplicamos la suma de fuerzas en cada diagrama, pero antes, observemos que la aceleración de
los cuerpos va a ser la misma, es decir a1x = a2x =a3y = a;
Fx = m1 a1x
Fx = m2 a2x
Fx = m3 a3x 
T1 = m1a
T2 + m2g sen- T1 = m2a
m3g -T2 = m3a
despejando T2 de la tercera ecuación:
T2 = m3g - m3a
sustituyendo T1 de la primera y; T2 despejada en la ecuación de enmedio:
m3g - m3a + m2g sen- m1a = m2a
despejando a la aceleración:
m3g + m2g sen - = m2a + m3a + m1a
m3g + m2g sen - = ( m2 + m3 + m1 )a
a
m3 g  m2 gsen
m1  m2  m3
las tensiones se encuentran sustituyendo en las ecuaciones respectivas:
 m g  m2 gsen 

T1  m1  3
 m1  m2  m3 
 m g  m2 gsen 

T3  m3 g  m3  3
 m1  m2  m3 
16. Dos bloques con masa de 20 kg cada uno, descansan sobre superficies lisas. Suponiendo que
las poleas son ligeras y sin rozamiento. Calcule:
a) El tiempo requerido para que el bloque A se mueva 1.0 m hacia abajo del plano, partiendo del
reposo.
b) La tensión de la cuerda que une a los bloques.
370
El tiempo requerido se encuentra a partir de las ecuaciones de cinemática que contengan dicho
parámetro:
x  x0  v0 t 
1 2
at
2
v  v0  at
y en ambos casos se requiere conocer la aceleración, la cual se determina aplicando las leyes de
Newton:
y+
y+
N1
T1
T1
x+

x+
N2
W2
W1
Fx = m1 a1 x
Fx = m2 a2 x 
m1g sen  - T = m1 a
T = m2 a
m1g sen  - m2 a = m1 a
m1g sen  = m1 a + m2 a
a
m1 gsen
m1  m2
a) Despejando el tiempo y como el cuerpo parte del reposo ( v 0 = 0 ):
t
2( x  x0 )

a
2( x  x0 )
2( x  x0 )(m1  m2 )

m1 gsen
m1 gsen
m1  m2
sustituyendo valores:
t
2(21m)(20kg  20kg )
 0.823s
m
0
20kg (9.81 2 ) sen37
s
b) La tensión se encuentra sustituyendo la aceleración en la ecuación respectiva:
 m gsen  m2 m1 gsen
 
T  m2  1
m1  m2
 m1  m2 
T
(20kg )(20kg )(9.81
40kg
m
) sen370
s2
 59.03Nt
17. Calcule en función de m1, m2 y g, la aceleración de los dos bloques si no existe rozamiento
entre m1 y la mesa, ni en la polea.
m1
y+
y-
T1
T1
x+
x+
m1 g
M2
T1
m2 g
y+
Antes de resolver el problema, debemos analizar el movimiento de los dos cuerpos. Cuando m1
recorre una distancia d hacia la derecha; el cuerpo de masa m2 baja una distancia d/2, debido a
que es la misma cuerda. En otras palabras, la longitud de la cuerda en m1 debe de compartirse en
el cuerpo 2, por tal razón la aceleración a1 deberá ser el doble de la aceleración a2, para que en el
mismo tiempo un cuerpo recorra una distancia d y el otro una d/2.
Fx = m1 a1 x
Fy = m2 a2 y 
T = m1 a1x
m2 g -T - T = m2 a2y
donde:
a = a1x = 2 a2y ó
a2y = a / 2
entonces:
T = m1 a
y
m2 g -T - T =( m2 a ) / 2
m2 g - m1 a - m1 a =( m2 a ) / 2
m2 g =( m2 a ) / 2 + m1 a + m1 a
a (m2 / 2 + m1 + m1 ) = m2 g
a (m2 / 2 + 2 m1 ) = m2 g
 m  4m1 
a 2
  m2 g
2


a(m2  4m1 )  2m2 g
a
2m 2 g
(m2  4m1 )
la aceleración para m1. Para m2:
a2 y 
m2 g
a

2 (m2  4m1 )
19. ¿Cuál es la magnitud de una fuerza paralela a un plano inclinado 30 0 necesaria para dar a una
caja de 5 kg una aceleración de 0.20 m/s2 hacia arriba del plano? ¿Y si la fuerza es transversal al
plano?
transversal
paralela
y+
y+
N
F
N
x+

x+
F



W
W
Fx = m ax
Fx = m ax
F - mg sen  = max
F cos  - mg sen  = m ax
F = mg sen  + max
F
m gsen  m ax
cos
F = m ( g sen  + ax )
F
m( gsen  a x )
cos
F  5kg (9.81
F = 25.52 Nt.
m
m
) sen 30 0  0.2 2
2
s
s
F
5kg(9.81
m
m
) sen300  0.2 2
2
s
s
0
cos30
F = 29.47 Nt.
20. Un automóvil que se mueve a 20 m/s empieza a subir en un plano inclinado a 370, al mismo
tiempo, otro automóvil que se encuentra a una distancia de 100 m sobre el plano inclinado,
empieza a moverse hacia abajo a partir del reposo. Al ignorarse las fuerzas de fricción,
a) ¿A qué distancia de la parte inferior del plano inclinado se encontrarán los automóviles cuando
pasen uno al lado del otro?
b) ¿Qué velocidades tendrán los autos en ese instante?
Básicamente, éste es un problema de cinemática, lo único que requerimos de dinámica es conocer
las aceleraciones de los autos, y como no existe fricción, la aceleración del auto que baja es:
a = g sen 370 (acelerando)
en tanto que la del que sube es:
a = - g sen 370 (frenando)
Tomando un sistema de referencia con origen en el auto que se encuentra a 100 m sobre el plano
y con una convención de signos + hacia abajo, la ecuación de movimiento de ambos cuerpos es:
x  x0  v0 t 
1 2
at
2
Sin embargo, debido a la convención de signos del sistema de referencia, antes de sustituir datos y
realizar operaciones, debe tenerse mucho cuidado con la aceleración del auto que sube, ya que
por moverse en sentido contrario de las x +, tiene asociada en todo momento una velocidad
negativa, la cual va disminuyendo en magnitud hasta que se hace cero, de tal manera que:
v v  v0
as 


t t  t 0
m
m
0  (20 ) 20
s 
s
t
t
la aceleración será positiva. De esta forma tenemos que:
xb  x 0b  v 0b t 
1
ab t 2
2
x s  x0 s  v0 s t 
1
as t 2
2
y con las condiciones particulares para cada uno de ellos tenemos que:
xb  0  0 
1
( gsen 37 0 )t 2
2
1
x s  100  20t  ( gsen 37 0 )t 2
2
a) Se encuentran cuando ambos están en la misma posición: xb = xs. Igualando las ecuaciones:
1
1
( gsen 37 0 )t 2  100  20t  ( gsen 37 0 )t 2
2
2
1
1
( gsen 37 0 )t 2  ( gsen 37 0 )t 2  20t  100
2
2
t
100 m
 5s
m
20
s
Sustituyendo para encontrar la posición:
xb 
1
( gsen 37 0 )t 2
2
xb 
1
m
(9.81 2 ) sen 37 0 (5s ) 2  73.79 m
2
s
b) Las velocidades vienen dadas por la ecuación:
v = v0 +at
El de subida es:
vs = -20 + g sen370 (5)
vs = 9.51 m/s (ya va de bajada. Una velocidad positiva indica movimiento en dirección de las x +)
La velocidad del auto que inicia el descenso es:
vb = ( g sen ) t
vb = 29.51 m/s
Si queremos conocer el tiempo que tarda el auto que va de subida, en detenerse, podemos
emplear la ecuación:
m
m
0  (20 ) 20
v v  v0
s 
s
as 


t t  t 0
t
t
as 
t
20
m
s
t
20
m
s
as
donde:
a s  gsen 37 0  5.9
m
s2
sustituyendo:
m
s  3.39s
t
m
5.9 2
s
20
Que es menor que el tiempo que tardan en estar uno al lado del otro.
21. Un electrón es lanzado horizontalmente con una velocidad de 1.2 x 10 7 m/s en un campo
eléctrico que ejerce sobre él una fuerza vertical hacia arriba constante de 4.5 x 10-31 Nt. Si la masa
del electrón es de 9.1 x 10-31 kg. Determinar la distancia vertical recorrida por el electrón durante el
tiempo que le toma moverse una distancia horizontal de 3 cm.
3 cm.
+ + + + + + + + + + + +
trayectoria
F
v0
distancia vertical
que se desvía
ew
e-
- - - - - - - - - - - - - - - La fuerza vertical es una fuerza de origen eléctrico, que puede ser originada por un par de placas
paralelas con cargas de diferente signo, de tal manera que la placa negativa repele al electrón, en
tanto que la positiva lo atrae, acelerándolo y describiendo una trayectoria parabólica.
En el eje de las x no existen fuerzas, por lo tanto, hacemos sumatoria de fuerzas en el eje y.
F
y
 me a y
Fe  me g  me a y
ay 
Fe  m e  g
me
Sustituyendo datos:
4.5 x1031 kg  (9.1x1031 kg )(9.81
ay 
9.1x1031 kg
m
)
s 2  9.31 m
s2
En este caso, la interpretación del signo de la aceleración debemos de encontrarlo a partir de la
sumatoria de fuerzas en el eje y, indicándonos que el peso es mayor que la fuerza eléctrica,
resultando una fuerza neta vertical hacia abajo y consecuentemente, la trayectoria del electrón está
invertida en la figura. (¿Qué pasaría en las mismas condiciones si las placas se invirtieran?).
Con dicha aceleración encontraremos la distancia vertical recorrida por el electrón, a partir de la
ecuación:
y  y 0  v0 y t 
1
ayt 2
2
como se lanzó horizontalmente, v0y = 0; tomando el origen en donde inicia la placa y0 = 0,
quedándonos:
y
1
a yt 2
2
Sin embargo, desconocemos el tiempo, el cual se encuentra a partir de la ecuación de movimiento
uniforme en x.
x  x0  v0 x t
t
x  x0

v0 x
0.03m
m
1.2 x107
s
 2.5 x109 s
sustituyendo los datos en la ecuación de movimiento vertical:
y
1
m
(9.31 2 )( 2.5 x10 9 s )  2.9 x10 17 m
2
s