Utilizando las propiedades de las integrales, resolver los siguientes

INTEGRALES DIRECTAS Y CAMBIO DE VARIABLE.
Ejemplo 1.
x5
 x dx  5  c
4
 x2 
82  42  32  8  24
xdx


 
2
2
2
 2 2
8
8
5
5

2
3
 2 1 
5
 x3 
2
x 2 dx   x 3 dx  
 
2
2
  1
 3   2
5
 5
5
x3 
 3 53 
5
3 5
3
     x   5 3   2  3 
5
5 
 5  2 5
 3   2
Para resolver este ejercicio se utilizó
x n 1
n
x
dx

 c donde n=5.

n 1
Esta es una integral definida. Se está
buscando el área entre x=2 y x=8 por
debajo de la recta f(x)=x. Dicha área
es 24.
Es una integral definida. En este
caso hay dos cosas con las que tener
cuidado:
 El límite inferior es negativo
y el segundo término se debe
restar. Es fácil confundirse
con los signos.
 Cuando se resuelve el
segundo término  2 3 ,
muchas
calculadoras
lo
3
3
3
3
 14.62   3.1748  14.62  3.1748  10.7
identifican como error. Sin
5
5
5
5
embargo, si tiene solución.
Un número negativo sí tiene
raíz cúbica.
7
La constante que está multiplicando
x 
4 7
6
6


4
x
dx

4
x
dx

4

c

x

c
a la función se puede sacar de la


 7 
7
 
integral.
Analizando la integral
como una suma, se puede decir que
el 4 se está factorizando.
 4 5
2 
2
 5
4
  3x  x 3  x dx   3x dx     x 3 dx   x dx
En primer lugar, la integral se separa ya que hay una suma de tres funciones. Es muy importante
destacar que esto no se puede hacer para la multiplicación ni para la división.
1
 4 5
2 
4
3
2

3
x



dx

3
x
dx

5
x
dx

2
x
dx


3




x
x
Se sacan las constantes y se acomodan las funciones para poder resolver la integral.
5
 3
 x   x   x2
 4 5
2 
  3x  x 3  x dx  3 5   5  2   2 3

 2
2
5


c



3
 x
0
4


 3x  2 dx
3
6
7
6
x
3
5
4
 x 5  x 2  x 2  c 
5
2
3
3
5
4 3
 x5  2 
x c
5
3
2x
3  x3
 6 x 8 dx
dx
2
 x dx
3
2
Ejemplo 2.
Encontrar el área entre la función f x  x 2  5 y el eje x en el intervalo [0,2].
5
4
3
2
1
0
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
-2
-3
-4
-5
Analizando la gráfica de la función se ve que se va a obtener el área “sobre” la curva.
Este resultado será negativo.
0
2
 x3

22
8

x  5 dx    5 x     10   0   
3

3
0  3

2
2

Al calcular el área bajo la curva de x1 a x2 ,

si x1 > x2 (va de derecha a izquierda) la integral será negativa (ver
propiedades de la integral)

si x1 < x2 (va de izquierda a derecha) la integral será positiva.

se x1 = x2 el área es cero. La integral también puede ser igual a cero
2
cuando se suma un área negativa y una positiva, por ejemplo,
 x dx .
3
2
10
8
6
4
2
0
-2
-1
0
1
2
-2
-4
-6
-8
-10
Cambio de variable.
Sea la integral  15x 2 5 x 3  2  dx . En esta integral hay una multiplicación que sería
41
muy difícil de resolver. Cuando una integral no se puede resolver directa se busca otro
camino. El más común es hacer un cambio de variable. Se busca cambiar de nombre a
una función y que como consecuencia la integral se simplifique.
El integrando es muy similar a los resultados que se obtenían de la regla de la cadena
donde podía verse que

d 5x3  2
dx
42

42

 15x   5 x
42 5 x 3  2

42
41
2
3
2
 15x 
41
2
El producto, entonces, se puede separar en dos partes: una función dentro de otra y su
derivada.
Llamemos u a la función que se encuentra dentro de otra, en este caso el polinomio
elevado a la 41, entonces.
u  5x3  2
du
 15x 2
dx
du  15x 2 dx
Se puede sustituir en la integral
 15x 5 x
2
3
2

41
dx   15x u  dx  u
2
41
41

u 42
5x3  2
15x dx  u du 
c 
42
42

2

41

42
c
que es la función que se derivó para demostrar la similitud con la regla de la cadena.
Ejemplo 3.
En este caso se planea comparar el resultado de una integral haciendo un cambio de
variable con la solución de la operación para analizar similitudes y diferencias y justificar
el uso de éste método. Se utiliza una integral indefinida.
 3 x  4 
2

dx   u 2 dx   u 2
1 2
u du 
3
1  u3

3  3
du

3

1
  c  3 x  4 3  c
9

Cambio de variable
u  3x  4
du
du
3
 dx
dx
3
 3 x  4 
2


dx   9 x 2  24x  16 dx
9 x 3 24x 2


 16 x  C
3
2
Solución sin cambio de
variable
1
9 x 3 24x 2
3
3 x  4   c 

 16 x  C
9
3
2
1
27 x 3  108x 2  144x  64  c  3 x 3  12x 2  16 x  C
9
 64 
3 x 3  12x 2  16 x    c   3 x 3  12x 2  16 x  C
9



Comparación
Los resultados se ven diferentes. Después de resolver el cubo y de simplificar se observa
que la única diferencia es la constante de integración de donde se puede decir que
C=c+64/9. Por lo tanto, los resultados son iguales.
3
0
u3




x

3
dx

u
du

2

3
1
2
0
0
2
1
 13
3

1
3
u  x3
du
 1  du  dx
dx
cuando x  2  u  2  3  1
cuando x  3  u  3  3  0
Primero se resuelve la integral utilizando el cambio de variable. En seguida se resuelve el
cuadrado y se evalua. A pesar de haber resuelto por dos caminos diferentes, se obtiene el
mismo resultado.
3
 x  3
2
3
2
dx  
2


 3
  2 3

2
2

 33  93  
 32   92  
 3
  3

8
8 9 8 1
 9  27  27   12  18  3    
3
3 3 3 3
3
3
 x3

x  6 x  9 dx    3 x 2  9 x  
3
2
2

3 x  7 dx   u dx   u
du

3
3
3
1 12
1  u 2 
1  2u 2 
  u du  
c 
c 
3
3  3 
3 3 


 2
3
2
 3 x  7  2  c
9
u  3x  7
En este ejercicio, se observa
que hay una función u=3x-7
que se encuentra dentro de
otra función, la raíz
cuadrada.
du
du
3
 dx
dx
3

x1
dx  
x1
dx  
x  1dx 
u
u
3x  6 x  2
du
 12 
6  1 u  1 2 du  1  u   c  2 3 x 2  6 x  2  c 
 u 6
6 1 
6
 2
1

3x 2  6 x  2  c
3
u  3x 2  6 x  2
du
du
 6 x  6  6 x  1 
  x  1dx
dx
6
2
La selección de u es lo más
impotante para el cambio de
variable. Se debe notar que
se en este tipo de integrales
se tiene una función dentro
de otra y su derivada. Esto
es lo que sucede en este
caso. Se pueden factorizar
constantes para obtener la
derivada que aparece en la
integral.