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CAPÍTULO 14
Redes de filas de espera
Muchos sistemas se pueden modelar de manera que un cliente obtenga servicios a partir de varios
nodos sucesivos, es decir, una vez que un cliente ha finalizado el servicio en un nodo pasa a otro.
La demanda total de servicios se compone de demandas de servicios en distintos nodos. Por
consiguiente, el sistema es una red de puesta fila de espera en la que cada una de las filas se
denomina nodo. Como ejemplos de redes de puesta fila de espera cabe citar los sistemas de
telecomunicaciones, los sistemas informáticos, las redes de conmutación de paquetes y los sistemas
de fabricación flexibles. En las redes de puesta en fila de espera se define la longitud de la fila en un
nodo como el número total de clientes en el nodo, incluidos los clientes que están servidos.
Este Capítulo tiene por objeto introducir la teoría fundamental de las redes de puesta en fila de
espera, ilustrada por aplicaciones. Por lo general, se considera que la teoría es bastante complicada,
lo que se debe principalmente a la complejidad de la notación. Ahora bien, en este Capítulo se
introducirán de manera simple los modelos generales analíticos de redes de puesta en fila de espera
sobre la base de formas de producto, el algoritmo de convolución, el algoritmo MDA y los ejemplos
pertinentes.
La teoría de las redes de puesta en fila de espera es análoga a la teoría de los sistemas
multidimensionales (véanse los Capítulos 10 y 11). En el Capítulo 10 se examinaron los sistemas de
pérdidas multidimensionales mientras que en este Capítulo se tratarán las redes de sistemas de
puesta en fila de espera.
14.1
Introducción a las redes de puesta en fila de espera
Las redes de puesta en fila de espera se clasifican en abiertas y cerradas. En redes de puesta en fila
cerradas la cantidad de clientes es fija mientras que en redes de puesta en fila abiertas la cantidad
de clientes varía. En principio, una red abierta se puede transformar en una red cerrada agregando
un nodo extra.
El sistema de espera clásico de Erlang, M/N/n, es un ejemplo de un sistema de puesta en fila abierto,
mientras que el modelo máquina/reparación de Palm con S terminales es una red cerrada. Si hay
más que un tipo de clientes, la red puede ser una mezcla de red abierta y cerrada. En razón que el
proceso de salida en un nodo es el proceso de llegada en otro, se deberá prestar especial atención al
proceso de salida, en particular cuando se puede modelar como proceso de Poisson. Esto se
examinará en el § 14.2 (Sistemas simétricos de puesta en fila).
El estado de una red de puesta en fila se define como la distribución simultánea del número de
clientes en cada nodo. Si K representa el número total de nodos, el estado se describe entonces
mediante un vector p (i1, i2, . . . iK) donde iK es el número de clientes en el nodo k (k = 1, 2 . . . k).
Con frecuencia el espacio de estado es muy amplio y las probabilidades de estado mediante la
resolución de ecuaciones de equilibrio de nodos son difíciles de calcular. Si cada nodo es un sistema
simétrico de puesta en fila, por ejemplo red de Jackson (véase el § 14.3), se tendrá entonces una
forma de producto. Las probabilidades de estado de redes con forma de producto se pueden agregar
y obtener utilizando el algoritmo de convolución (véase el § 14.4.1) o el algoritmo MVA
(véase el § 14.4.2)
Las redes de Jackson pueden ser generalizadas en redes BCMP (véase el § 14.5), donde hay N tipos
de clientes. Los clientes de un tipo específico pertenecen a una denominada cadena. En la
figura 14.1 se ilustra un ejemplo de una red de puesta en fila con cuatro cadenas. Cuando el número
de cadenas aumenta el espacio de estado se incrementa en consecuencia, y sólo los sistemas con un
pequeño número de cadenas se pueden calcular exactamente. En el caso de una red multicadena, el
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estado de cada nodo resulta multidimensional (véase el § 14.6). La forma de producto entre nodos
se mantienen, y son aplicables los algoritmos de convolución y MVA (véase el § 14.7). La cantidad
aproximada de algoritmos para grandes redes se puede encontrar en la literatura.
Figura 14.1  Ejemplo de una red de puesta en fila con cuatro cadenas abiertas
14.2
Sistemas simétricos de puesta en fila de espera
Para analizar los sistemas de puesta en fila es importante conocer cuándo el proceso de salida de un
sistema de fila de espera es un proceso de Poisson. Se conocen cuatro modelos de puesta en fila que
tienen esta propiedad.
1)
M/M/n. Este es el teorema de Burke (1956 [13]), que expresa que el proceso de salida de
un sistema M/M/n es un proceso de Poisson. Las probabilidades de espacio de estado están
dadas por la ecuación (12.2):
donde A = /
2)
M/G/. Esto corresponde al caso de Poisson (véase el § 7.2). Del § 6.3 se sabe que una
traslación aleatoria de los eventos de un proceso de Poisson produce un nuevo proceso de
Poisson. Este modelo se representa a veces como un sistema con criterio de puesta en fila
IS, número infinito de servidores. Las probabilidades de estado vienen dadas por la
distribución de Poisson (7.6):
3)
M/G/1-PS. Este es un sistema de puesta en fila de un solo servidor con una distribución
general del tiempo de servicio y compartición de procesador. Las probabilidades de estado
son similares al caso M/M/1 (13.79):
p(i) = (1  A) . Ai,
i= 0, 1, 2, . . . .
(14.4)
4)
M/G/1-LCFS-PR (PR = con derecho prioritario). Este sistema también tiene las mismas
probabilidades de espacio de estado que el modelo M/M/1 (14.4).
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En la teoría de redes de puesta en fila sólo se consideran, por lo general, estos cuatro criterios de fila
de espera. Sin embargo, aun para el sistema de pérdidas de Erlang, el proceso de salida será un
proceso de Poisson si se incluyen clientes bloqueados.
Estos cuatro sistemas se conocen como sistemas simétricos de puesta en fila de espera, pues son
simétricos en el tiempo. Tanto el proceso de llegada como el de salida son procesos de Poisson y los
sistemas son reversibles (Kelly, 1979 [60]). El proceso se denomina reversible pues tiene el mismo
aspecto que cuando se invierte el tiempo (por ejemplo, se dice que una película es reversible cuando
su reproducción hacia delante o hacia atrás parecen iguales). Con excepción del modelo M/M/n
estos sistemas simétricos de puesta en fila tienen como característica común que el cliente es
servido inmediatamente a partir de su llegada. A continuación se tratarán básicamente los nodos
M/M/n pero el modelo M/M/1 también incluye M/G/1-PS y M/G/1-LCFS-PR.
14.3
Teorema de Jackson
En 1957, Jackson, que trabajaba con sistemas de fabricación y planeamiento de la producción,
publicó un documento con un teorema que se denomina ahora teorema de Jackson (Jackson, 1957
[46]). En dicho teorema demostró que una red de puesta en fila de espera de nodos M/M/n tiene
forma de producto. Sus conclusiones fueron inspiradas por el resultado obtenido por Burke el año
anterior (Burke, 1956 [13]).
Teorema 14.1. Teorema de Jackson: Considérese una red de puesta en fila de espera abierta con K
nodos que satisfacen las siguientes condiciones
a)
Cada nodo es un sistema de puesta en fila M/M/n. El nodo k tiene nk servidores y el
promedio del tiempo de servicio es 1=k.
b)
Los clientes llegan desde fuera del sistema al nodo k conforme a un proceso de Poisson con
intensidad k. Pueden llegar también clientes de otros nodos al nodo k.
c)
Un cliente, que acaba de finalizar su servicio en el nodo j, se transfiere inmediatamente al
nodo k con probabilidad pjk o sale de la red con probabilidad:
Un cliente puede visitar varias veces el mismo nodo si pkk > 0.
El promedio de la intensidad de llegada k en el nodo k se obtiene empleando las ecuaciones de
equilibrio de flujo:
Sea p(i1, i2, . . ., iK) la representación de las probabilidades de espacio de estado conforme a la
hipótesis de equilibrio estadístico, es decir la probabilidad que haya ik clientes en el nodo k.
Asimismo, se supone que
Las probabilidades de espacio de estado vienen dadas entonces en forma de producto:
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Aquí para el nodo k, pk(ik) es la probabilidad de estado de un sistema de puesta en fila M/M/n con
intensidad de llegadas k y velocidad de servicio k (14.1). El tráfico ofrecido c/k =_k al nodo k
debe ser menor que la capacidad nk del nodo para entrar en equilibrio estadístico (14.6).
El punto fundamental del teorema de Jackson es que cada nodo puede ser considerado
independientemente de los otros y que las probabilidades de estado vienen dadas por las fórmula C
de Erlang. Esto simplifica considerablemente el cálculo de las probabilidades de espacio de estado.
La prueba del teorema fue obtenida por Jackson en 1957 demostrando que la solución satisface las
ecuaciones de equilibrio para el equilibrio estadístico.
En el último modelo de Jackson (Jackson, 1963 [47] la intensidad de llegada proveniente del
exterior:
puede depender del número corriente de clientes en la red. Asimismo, k puede depender del
número de clientes en el nodo k. De esta manera, se pueden modelar redes de puesta en fila que
sean cerradas, abiertas o mixtas. En los tres casos, las probabilidades de estado tienen forma de
producto.
El modelo de Gordon y Newell (1967 [33]), que se cita a menudo en la literatura, puede ser tratado
como un caso especial del segundo modelo de Jackson.
Figura 14.2  Diagrama de transición de estado de una red de puesta en
fila abierta constituida por dos sistemas M/M/1 en serie
Ejemplo 14.3.1: Dos nodos M/M/1 en serie
La figura 14.2 muestra una red de puesta en fila abierta de dos nodos M/M/1 en serie. El diagrama
de transición de estado correspondiente se ilustra en la figura 14.3. Evidentemente, el diagrama de
transición de estado no es reversible: entre dos estados vecinos sólo hay flujo en un sentido (véase
el § 10.2) y aparentemente no hay forma de producto. Si se resuelven las ecuaciones de equilibrio
para obtener las probabilidades de estado se encuentra que la solución se puede expresar en forma
de producto:
donde A1 = /1 y A2 = /2. Las probabilidades de estado se pueden expresar en forma de producto
p(i, j) = p(i) . p(j), donde p(i) es la probabilidad de estado para un sistema M/M/1 con tráfico
ofrecido A1 y p(j) es la probabilidad de estado para un sistema M/M/1 con tráfico ofrecido A2. Las
probabilidades de estado indicadas en la figura 14.3 son idénticas a las de la figura 14.4 que tiene
equilibrio local y forma de producto. Es posible así encontrar un sistema que es reversible y tenga
las mismas probabilidades de estado que el sistema no reversible. En la figura 14.3 hay equilibrio
regional y no local. Si se considera un cuadrado de cuatro estados habrá equilibrio para el mundo
exterior pero, internamente, habrá circulación a través de la diagonal de desplazamiento de estado.
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En redes de fila de espera los clientes a menudo son puestos en operación bucle, de modo tal que un
cliente puede visitar varias veces el mismo nodo. Si se tiene una red de puesta en fila con clientes en
bucle, donde los nodos son sistemas M/M/n, los procesos de llegada a cada uno de los nodos ya no
son procesos de Poisson. De cualquier modo se pueden calcular las probabilidades de estado como
si los nodos fueran sistemas M/M/n independientes. Esto se explica en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 14.3.2: Redes con retroalimentación
El concepto de retroalimentación se introdujo en el ejemplo 14.3.1 en el que un cliente, que acaba
de concluir su servicio en el nodo 2, retorno al nodo 1 con probabilidad p21. El cliente deja el
sistema con probabilidad con 1 - p21. La ecuación (14.5) de equilibrio de flujo permite calcular la
intensidad de llegada total a cada nodo y la probabilidad p21 se debe elegir de modo tal que las
relaciones 1=1 y 2=2 sean menor que uno. Si 1  0 y p21  1 se comprenderá que los procesos
de llegada no son procesos de Poisson. Rara vez llegará un nuevo cliente, pero una vez que ha
ingresado al sistema circulará durante un tiempo relativamente largo. El número de circulaciones
estará distribuido geométricamente y el tiempo entre llegadas es la suma de los dos tiempos de
servicio; es decir, cuando en el sistema hay uno o más clientes, la velocidad de llegada a cada nodo
será relativamente alta, mientras que si en el sistema no hay clientes la velocidad será muy baja. El
proceso de llegada será en ráfagas.
La situación es similar a la descomposición de una distribución exponencial en una suma ponderada
de distribuciones de Erlang-k, con factores geométricos ponderados (véase el § 4.4). En lugar de
considerar una distribución entre llegadas exponencial simple se puede descomponer esto en k fases
(véase la figura 4.9) y considerar cada fase como una llegada. En consecuencia, el proceso de
llegada ha sido transformado de un proceso de Poisson a un proceso con llegadas en ráfagas.
Figura 14.3  Diagrama de transición de estado para la red de puesta en fila
abierta que se ilustra en la figura 14.2. El diagrama no es reversible
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Figura 14.4  Diagrama de transición de estado para dos sistemas de puesta en
fila M/M/1 independientes con idéntica intensidad de llegada, pero tiempos
medios de servicio individuales. El diagrama es reversible
14.3.1 Suposición de independencia de Kleinrock
Si se considera una red de datos de vida real, los paquetes tendrán la misma longitud constante y,
por tanto, el mismo tiempo de servicio en todos los enlaces y nodos de igual velocidad. La teoría de
redes de puesta en fila supone que un paquete (un cliente) toma muestras de un nuevo tiempo de
servicio en cada nodo. Esta es una suposición necesaria para la forma de producto.
Kleinrock (1964 [65]), investigó por primera vez esta suposición y resultó ser una buena
aproximación en la práctica.
14.4
Redes de puesta en fila de una sola cadena
Se examinarán principalmente las probabilidades de estado definidas por
p(i1, i2; . . . , ik, . . . , iK), donde ik es la cantidad de clientes en el nodo k (1  k  K). Cuando se
trata de sistemas abiertos, las operaciones son más sencillas de efectuar. Se resuelve primero la
ecuación (14.5) de equilibrio de flujo y se obtiene la intensidad de llegada agregada a cada nodo
(k). Mediante la combinación de las intensidades de llegada con la distribución del tiempo de
servicio (k) se obtiene el tráfico ofrecido Ak en cada nodo y entonces, considerando el sistema de
espera de Erlang, se obtienen las probabilidades de estado para cada nodo.
14.4.1 Algoritmo de convolución para una red de puesta en fila cerrada
Cuando se tratan redes de puesta en fila cerradas las operaciones son mucho más complicadas. En
este caso, solo se conoce la carga relativa en cada nodo y no la carga absoluta, es decir, se conoce
c . j, pero no se conoce c. Se pueden obtener probabilidades de estado relativas no normalizadas.
Por último, se obtiene la normalización de las probabilidades de estado. Lamentablemente,
normalización implica que se deben sumar todas las probabilidades de estado, es decir se debe
calcular cada una de las probabilidades de estado (no normalizadas). El número de estados aumenta
rápidamente cuando se incrementa el número de nodos y/o clientes. En general, la complejidad es
similar a la correspondiente a sistemas de pérdidas multidimensionales (véase el Capítulo 10).
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Se puede mostrar ahora cómo se puede aplicar el algoritmo de convolución a las redes de puesta en
fila. El mecanismo de la operación corresponde al algoritmo de convolución para sistemas con
pérdidas (véase el Capítulo 10). Se considera una red de puesta en fila con K nodos y una sola
cadena con S clientes. Se supone que los sistemas de puesta en fila en cada nodo son simétricos
(véase el § 14.2). El algoritmo tiene tres pasos:
•
Paso 1. Sea la intensidad de llegada a un nodo arbitrario igual a uno y se obtiene entonces
las intensidades relativas restantes k. Mediante la resolución de la ecuación (14.5) de
equilibrio de flujo para la red cerrada se obtiene las velocidades de llegada relativas (k, 1 
k  K) para cada nodo. Por último, se obtiene el tráfico ofrecido relativo k = k/k.
•
Paso 2. Considérese cada nodo como si estuviera aislado y tuviera el tráfico ofrecido k
(1  k  K). Dependiendo del sistema de puesta en fila simétrico real en el nodo k, se
extraen las probabilidades de estado relativas qk(i) en el nodo k. El espacio de estado estará
limitado por la cantidad total de clientes S, es decir 0  i  S.
•
Paso 3. Repliéguese recurrentemente las probabilidades de estado para cada nodo. Por
ejemplo, para los primeros dos nodos se tienen:
donde:
Cuando todos los nodos han sido replegados se obtiene:
En razón que la cantidad total de clientes es fija (S) sólo existe en el sistema combinado el
estado q1,2. . . ,K(S) y, por tanto, este macroestado debe tener la probabilidad uno. Se pueden entonces
normalizar todas las probabilidades de microestado.
Cuando se efectúa la última convolución se pueden obtener las medidas de calidad de
funcionamiento para el último nodo. Variando el orden de convolución de los nodos se pueden
obtener las medidas de calidad de funcionamiento de todos ellos.
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Figura 14.5 – Modelo máquina – Reparador como redes de puesta en fila cerradas con dos
nodos. Los terminales corresponden a un nodo IS, en razón que las
operaciones encuentran siempre un terminal en reposo,
mientras que la CPU corresponde a un nodo M/M/1
Ejemplo 14.4.1: Modelo máquina – Reparador de Palm
Se examinará ahora el modelo máquina – reparador de Palm introducido en el § 12.5 como red de
fila de espera cerrada (véase la figura 14.5). Hay S clientes y terminales. El tiempo de activación
medio es 1-1 y el tiempo de servicio medio en la CPU que es 2-1. En la terminología de redes de
fila de espera hay dos nodos: En el nodo 1 están los terminales, es decir un sistema M/G/ (en
realidad es un sistema M/G/S, pero en razón que la cantidad de clientes se limita a S, corresponde a
un sistema M/G/), y el nodo 2 es la CPU, es decir un sistema M/M/1 con intensidad de servicio 2.
Los flujos a los nodos son iguales (1 = 2 = ) y la carga relativa en el nodo 1 y nodo 2 son
1 = /1 y 2 = /2,
respectivamente. Si se considera cada nodo por separado se obtienen las probabilidades de estado
de cada uno de ellos, q1(i) y q2(j), y por convolución de q1(i) y q2(j) se obtiene q12(x), (0  x  S),
como se muestra en el cuadro 14.1. El último término con S clientes (probabilidad no normalizada)
q12(S) está compuesto por:
Por simple transposición resulta:
donde
La probabilidad de que todos los terminales estén "activados" se identifica con el ultimo término
(normalizado por la suma) (S terminales en el nodo 1, cero terminales en el nodo 2):
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que es la fórmula B de Erlang. Así, el resultado está de acuerdo con el obtenido en el § 12.5. Se
observa que  aparece con la misma potencia en todos los términos de q1,2(S) y así corresponde a
una constante que desaparece cuando se normaliza.
Cuadro 14.1  Algoritmo de convolución aplicado al modelo máquina – Reparador
de Palm. El nodo 1 es un sistema IS mientras que el nodo 2 es un
sistema M/M/1 (véase el ejemplo 14.4.1)
Estado
Nodo 1
Nodo 2
Red de puesta en fila
i
q1(i)
q2(i)
q12 = q1 * q2
Ejemplo 14.4.2: Servidor central
En 1971 J.P. Buzen introdujo el modelo de servidor central que se ilustra en la figura 14.6 para
modelar un sistema informático multiprogramado con una CPU y un número de canales de
entrada/salida (unidades periféricas). El grado de multiprogramación S describe la cantidad de
operaciones procesadas simultáneamente. El número de unidades periféricas se representa por K  1
como se muestra en la figura 14.6, que también indica las probabilidades de transición.
Típicamente una operación requiere servicios cientos de veces, ya sea por la unidad central o bien
por uno de los periféricos. Se supone que la operación una vez finalizada es inmediatamente
remplazada por otra; por tanto S es constante. Los tiempos de servicios están todos distribuidos
exponencialmente con intensidad i (i = 1, . . . ,K).
Buzen formuló un esquema para evaluar este sistema. El esquema es un caso especial del algoritmo
de convolución. Sea un caso con S = 4 clientes y K = 3 nodos, y:
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Figura 14.6 – Sistema de puesta en fila de servidor central constituido por un
servidor central (CPU) y (K1) canales de entrada/salida. En el sistema
circula un número fijo de operaciones S
Leyendas de la figura 14.6
1)
S operaciones de circulación
2)
Nuevas operaciones
3)
Canales entrada/salida
Las cargas relativas resultan:
Si se aplica el algoritmo de convolución se obtienen los resultados que figuran en el cuadro 14.2. El
término q123(4) está compuesto por:
El nodo 3 sirve a los clientes en todos los estados con excepción del estado q3(0) . q12(4) = 5. La
utilización del nodo 3 es por tanto a3 = 52/57. Basado en las cargas relativas se obtienen ahora las
cargas exactas:
El promedio del número de clientes en el nodo 3 es:
Cambiando el orden de convolución se obtiene el promedio de longitudes de fila de espera L1 y L2 y
concluye con:
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Cuadro 14.2 – Algoritmo de convolución aplicado al
sistema del servidor central
Estado
Nodo 1
Nodo 2
Nodo 1*2
Nodo 3
Red de puesta en fila
i
q1(i)
q2(i)
q12 = q1 * q2
q3
q123 = (q1 * q2) * q3
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
4
2
1
1
3
4
11
3
1
1
4
8
26
4
1
1
5
16
57
La suma de todos los promedios de longitudes de filas de espera es, por supuesto, igual al número
de clientes S. Se debe señalar que en redes de puesta en fila se define la longitud de la fila de espera
como la cantidad total de clientes en el nodo, incluidos los que están recibiendo un servicio. De los
tiempos medios de servicio y de utilización se obtiene el promedio de número de clientes que
concluyen el servicio por unidad de tiempo en cada nodo:
Aplicando el resultado de Little se obtiene finalmente el tiempo medio de estado: Wk = Lk /k:
14.4.2 Algoritmo de valor medio
El algoritmo de valor medio (MVA, mean value algorithm) es un mecanismo para calcular medidas
de calidad de funcionamiento de redes de puesta en fila de espera. Combina de excelente manera
dos resultados principales de la teoría de puesta en fila de espera: el teorema de llegada (§ 8.28) y la
ley de Little (§ 5.20). El algoritmo fue publicado por primera vez por Lavenberg y
Reiser (1980 [73]).
En el mismo se considera una red de puesta en fila con K nodos y S clientes (todos pertenecientes a
una sola cadena). Las cargas relativas de los nodos se simbolizan por k (k = 1, 2, . . . ,K). El
algoritmo es recurrente en el número de clientes, es decir, una red con x clientes se evalúa a partir
de una red con x1 clientes.
Supóngase que el promedio de la cantidad de clientes en el nodo k es Lk(x) donde x es el número de
clientes total en la red. Obviamente:
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El algoritmo actúa recurrentemente en dos pasos:
Paso 1:
Aumentar el número de clientes de x a (x + 1). Conforme al teorema de llegada, el
(x + 1)-ésimo cliente verá el sistema como si éste tuviera x clientes en equilibrio estadístico. Por
tanto, el promedio de tiempo de ocupación (tiempo de espera, + tiempo en servicio) en el nodo k es:
•
Para M/M/1, M/G/1PS, M/G/1, y LCFSPR:
•
para M/G/:
donde sk es el promedio del tiempo de servicio en el nodo k que tiene nk servidores. En razón que
solo se calcula el tiempo medio de espera, se puede suponer el criterio de fila de espera FCFS.
Paso 2:
Se aplica la ley de Little (L =  .W), que es válida para todos los sistemas en equilibrio estadístico.
Para el nodo k se tiene Lk = k . Wk, donde k es la velocidad de llegada relativa al nodo k. Se tiene
La constante c se obtiene del número total de clientes:
Mediante estos dos pasos se ha efectuado la recursión de x a (x + 1) clientes. Para x = 1 no habrá
tiempo de espera en el sistema y Wk(1) es igual al promedio del tiempo de servicio sk.
El algoritmo MVA se indica a continuación para nodos de un solo servidor, pero es bastante sencillo
generalizarlo a nodos con criterios de múltiples servidores, o bien infinitos servidores.
Ejemplo 14.4.3: Modelo de servidor central
Se aplica el algoritmo MVA al modelo de servidor central (véase el ejemplo 14.4.2). Las
velocidades de llegada relativa son:
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Nodo 1
Nodo 2
Nodo 3
Naturalmente, el resultado es idéntico al obtenido con el algoritmo de convolución. El tiempo de
permanencia en cada nodo (utilizando la unidad de tiempo original) es el siguiente:
W1(4) = 1,6154 . 28 = 45,23,
W2(4) = 1,6154 . 40 = 64,62,
W3(4) = 2,7693 . 280 = 775,38,
Ejemplo 14.4.4: Algoritmo MVA aplicado al modelo máquina - reparador
Se examina el modelo máquina - reparación con S fuentes, tiempo de activación del terminal A y
tiempo de servicioCPU igual a una unidad de tiempo. Como se indicó en el § 12.5.2 esto es
equivalente a un sistema de pérdidas de Erlang con S servidores y tráfico ofrecido A. Es también
una red de puesta en fila cerrada con dos nodos y S clientes en una cadena. Si se aplica el algoritmo
MVA a este sistema se obtendrá entonces la fórmula de recursión para la fórmula B de Erlang (véase
el § 7.27). Las velocidades de visita relativa son idénticas, pues un cliente visita alternativamente el
nodo 1 y el nodo 2: 1 = 2 = 1.
Nodo 1
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Nodo 2
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Se sabe que la longitud de la fila de espera en los terminales (nodo 1) es igual al tráfico transportado
en el sistema B de Erlang equivalente y que todos los otros clientes se quedan en la CPU (nodo 2).
Así tenemos en general:
Nodo 1
Nodo 2
De esto se obtiene la constante de normalización c = 1  Ex(A) y se calcula para el (x+1)-ésimo
cliente:
pues se sabe que c = 1- Ex+1. Esta es la formula de recursión para la fórmula B de Erlang.
14.5
Redes de puesta en fila BCMP
En 1975 el modelo de Jackson fue ulteriormente generalizado por Baskett, Chandy, Muntz y
Palacios (1975 [4]). Se demostró que las redes de puesta en fila con más de un tipo de clientes
también tienen forma de producto, siempre que:
a)
Cada nodo es un sistema de puesta en fila simétrico (véase el § 14.2: proceso de llegada de
Poisson  proceso de salida de Poisson).
b)
Los clientes se clasifican en N canales. Cada canal se caracteriza por su propio tiempo de
servicio medio si y por las probabilidades de transición pij. Además, un cliente puede
cambiar de un canal a otro con una determinada probabilidad después de haber terminado el
servicio en un nodo. Si el criterio de puesta en fila en un nodo es M/M/n (incluido M/M/1)
se aplica una restricción: el promedio del tiempo de servicio debe ser idéntico para todos
los canales en un nodo.
Las redes BCMP pueden ser evaluadas con el algoritmo de convolución multidimensional así como
con el algoritmo MVA multidimensional. Estos dos algoritmos se describirán más adelante. Las
redes de puesta en fila mixtas (abiertas y cerradas) se proyectan calculando primero la carga de
tráfico en cada nodo de las cadenas abiertas. Este tráfico debe ser transportado para que entren en
equilibrio estadístico. La capacidad de los nodos está reducida por este tráfico, y la red de puesta en
fila cerrada se calcula por la capacidad reducida. Por tanto, el problema principal es calcular redes
cerradas.
Para ello, se utilizarán más algoritmos entre los cuales los más importantes son el algoritmo de
convolución y el algoritmo MVA.
(133000)
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14.6
Redes de puesta en fila multidimensionales
En esta sección se estudiarán redes de puesta en fila con más de un tipo de clientes. Los clientes del
mismo tipo pertenecen a una clase o canal específico. En el Capítulo 10 se analizaron sistemas de
pérdidas con diversos tipos de clientes (servicios) y se observó que se mantuvo la forma de
producto y que se podía aplicar el algoritmo de convolución.
14.6.1 Sistema de puesta en fila de un solo servidor M/M/1
Figura 14.7 – Sistema de puesta en fila M/M/1 con dos tipos (de cadenas) de clientes
La figura 14.7 ilustra un sistema de puesta en fila de un solo servidor con N = 2 tipos de clientes
(cadenas). Los clientes llegan al sistema conforme a un proceso de llegada de Poisson con
intensidad j (j = 1, 2). El estado (i, j) se define como un estado con i clientes tipo 1 y j clientes
tipo 2. La intensidad de servicio i,j en el estado (i, j) se puede seleccionar pues ésta depende del
estado, por ejemplo:
La velocidad del servicio se puede interpretar de diversas maneras conforme al sistema simétrico de
puesta en fila de un solo servidor. Una interpretación corresponde a la compartición del procesador,
es decir, todos los (i + j) clientes comparten el servidor y la capacidad de éste es constante. La
dependencia del estado es debida a la diferencia en velocidades de servicio entre los dos tipos de
clientes; es decir, el número de clientes que ha terminado su operación por unidad de tiempo
depende de los tipos de clientes a los que se le está dando servicio.
Otra interpretación corresponde a un sistema M/M/1. Si se supone 1 = 2, se puede determinar que
el cliente se le da servicio con probabilidad i/(i+j) de tipo 1, y con probabilidad j/(i+j) de tipo 2.
Esto es independiente del criterio de servicio.
(133000)
- 269 -
Figura 14.8 – Diagrama de transición de estado para un sistema M/M/1
multidimensional con compartición de procesador
En la figura 14.8 se ilustra parte del diagrama de transición de estado. El diagrama es reversible,
pues el flujo que circula en sentido horario es igual al flujo que circula en sentido antihorario. Por lo
tanto, hay equilibrio local y todas las probabilidades de estado se pueden expresar por p(0, 0):
Normalizando la expresión se tiene que p(0, 0):
En comparación con la fórmula B de Erlang multidimensional se tiene ahora el factor adicional
(i+j)!. El producto entre cadenas (dentro de un nodo) se pierde, pero el producto entre nodos se
mantendrá aún.
Si hay N tipos de clientes (cadenas) diferentes, las probabilidades de estado para un solo nodo
resulta:
Esto se puede expresar por la distribución polinómica (4.37):
(133000)
- 270 -
Para un número ilimitado de posiciones de puesta en fila las probabilidades de estado del número
total de clientes son:
Si i = , el sistema es idéntico a un sistema M/M/1 con velocidad de llegada  = i i:
Para obtener este resultado se utiliza la expansión binomial. El diagrama de transición de estado de
la figura 14.8 también se puede interpretar como el diagrama de transición de estado de un sistema
M/G/1, LCFS-PR (con derecho prioritario). Es obvio que este sistema sea reversible pues el proceso
sigue exactamente el mismo trayecto en el diagrama de transición de estado fuera del estado cero y
retorno a dicho estado.
El diagrama de transición de estado se puede mostrar diferente a la distribución del tiempo de
servicio, de modo que es válido para el sistema de puesta en fila M/G/1. La figura 14.8 corresponde
a un diagrama de transición de estado para un sistema de puesta en fila de un solo servidor con
tiempos de servicios distribuidos hiperexponencialmente (véase (10.7)), por ejemplo M/H2/1-LCFSPR o PS.
Cabe señalar que para el sistema M/M/1 (FCFS, LCFS, SIRO) es necesario suponer que todos los
clientes tienen el mismo tiempo medio de servicio, que debe estar distribuido en forma exponencial.
De otro modo, el cliente a quien se le está dando servicio no será del tipo aleatorio que se encuentra
entre los (i + j) clientes en el sistema.
En conclusión, los sistemas de puesta en fila de un solo servidor con más tipos de clientes sólo
tendrá forma de producto cuando el nodo es un sistema de puesta en fila simétrico: M/G/1-PS,
M/G/1-LCFS PR, o M/M/1 con el mismo tiempo de servicio para todos los clientes.
14.6.2 Sistema de puesta en fila M/M/n
El tráfico anterior se puede transportar a través de un sistema con n servidores. Para (i + j)  n se
tiene las mismas probabilidades de estado relativas que para la fórmula B de Erlang
multidimensional. Para (i + j) > n sólo se obtiene una interpretación simple cuando i = , es decir,
cuando todos los tipos de clientes (cadenas) tienen el mismo tiempo medio de ocupación. Se calcula
entonces las probabilidades de estado aplicando la ecuación (14.1), y el sistema tiene forma de
producto. El sistema M/M/ se puede considerar como un caso especial de M/M/n y ya ha sido
tratado en relación con sistemas de pérdidas (véase el Capítulo 12).
14.7
Redes cerradas de puesta en fila con múltiples cadenas
El tratamiento de redes de puesta en fila con múltiples cadenas es análogo al caso con una sola
cadena. La única diferencia es que las fórmulas y algoritmos clásicos están reemplazados por las
fórmulas multidimensionales pertinentes.
(133000)
- 271 -
14.7.1 Algoritmo de convolución
El algoritmo es esencialmente el mismo que en el caso de una sola cadena:
•
Paso 1. Considérese cada canal como si fuera el único de la red. Obténgase la carga relativa
en cada nodo resolviendo la ecuación (14.5) de equilibrio de flujo. En un nodo de
referencia arbitrario se supone que la carga es igual a uno. Para cada cadena se puede
determinar un nodo diferente como nodo de referencia. Para la cadena j en el nodo k se
obtiene la intensidad de llegada relativa kj (el índice superior indica la cadena) mediante la
siguiente expresión:
donde:
K = cantidad de nodos,
N = cantidad de cadenas,
pikj = probabilidad que un cliente de la cadena j pase del nodo i al nodo k.
Se determina un nodo arbitrario como nodo de referencia, por ejemplo nodo 1, es decir 1j = 1. La
carga relativa en el nodo k debido a clientes de la cadena j es entonces:
donde skj es el tiempo medio de servicio en el nodo k para clientes de la cadena j. Cabe señalar que
j es un índice superior y no una potencia.
•
Paso 2. Basado en las cargas relativas halladas en el paso 1, obténganse las probabilidades
de estado multidimensionales para cada nodo. Cada nodo se considera aislado y se corta el
espacio del estado conforme al número de clientes en cada cadena. Por ejemplo para el
nodo k (1  k  K):
pk = pk(i1, i2, . . . ,iN),
0  ij  Sj,
j = 1, 2, . . . N,
donde Sj es el número de clientes en la cadena j.
•
Paso 3. Para hallar las probabilidades de estado de toda la red, las probabilidades de estado
de cada nodo se plantean de forma similar al caso de una sola cadena. La única diferencia
es que la convolución es multidimensional. Cuando se efectúa la última convolución se
pueden obtener las medidas de calidad de funcionamiento desde la última cadena.
Nuevamente, al cambiar el orden de los nodos, se pueden obtener las medidas de calidad de
funcionamiento de todos los nodos.
La cantidad de estados aumenta rápidamente. Por ejemplo, si la cadena j tiene Sj, el número total de
estados en cada nodo será:
La cantidad de modos en que N cadenas con Sj clientes en la cadena j pueden ser distribuidos en una
red de puesta en fila con K nodos se calcula con la siguiente expresión:
(133000)
- 272 -
donde kj (1  kj < k) es el número de nodos visitados por la cadena j y:
El algoritmo se ilustra mejor con un ejemplo.
Ejemplo 14.7.1: Modelo máquina – reparador de Palm con dos tipos de clientes
Como se vio en el ejemplo 14.4.1, este sistema se puede modelar con una red de puesta en fila con
dos nodos. El nodo 1 corresponde a los terminales (máquinas) mientras que el nodo 2 es la CPU
(reparador). El nodo 2 es un sistema de servidor único mientras que el nodo 1 está modelado como
sistema de servidor infinito. El número de clientes en las cadenas son (S1 = 2; S2 = 3) y el tiempo
medio de servicio en el nodo k es skj . La carga relativa de la cadena 1 se representa por 1 en el
nodo 1 y por 2 en el nodo 2. En forma similar, la carga de la cadena 2 se simboliza por 1 y 2,
respectivamente. Aplicando el algoritmo de convolución se tiene:
•
•
Paso 1.
Cadena 1:
S1 = 2 clientes
Carga relativa:
2 = 1. s11 ,
Cadena 2:
S2 = 3 clientes
Carga relativa:
1 = 2 . s12 ,
2 = 1 . s12 .
2 = 2 . s22 .
Paso 2.
Para el nodo 1 (IS) las probabilidades de estado relativas son (véase 14.1):
(133000)
- 273 -
Para el nodo 2 (servidor único) (véase 14.15) resulta:
•
Paso 3.
Se ponen los dos nodos en convolución. Se sabe que el número total de clientes es (2, 3), es decir,
sólo hay interés en el estado (2, 3):
Utilizando los valores reales se tiene:
Se debe señalar que 1 y 2 juntos (cadena 1) siempre aparecen en la segunda potencia mientras
que 1 y 2 (cadena 2) aparecen en la tercera potencia correspondiente al número de clientes en
cada cadena. Debido a esto, sólo las cargas relativas son pertinentes, y las probabilidades absolutas
se obtienen por proceso de normalización dividiendo todos los términos por q12(2, 3). Las
probabilidades de estado detalladas son ahora fáciles de obtener. Sólo en el estado con el término
( 12 . 13 )/12 está la CPU (reparador) inactiva. Si los dos tipos de clientes son idénticos el ejemplo
se simplifica al modelo de máquina - reparador de Palm con cinco terminales. En este caso se tiene:
(133000)
- 274 -
Si 1 = 1 =  y 2 = 2 = 1, resulta:
es decir, se espera la fórmula B de Erlang.
14.8
Otros algoritmos para redes de puesta en fila
El algoritmo MVA es también aplicable a redes de puesta en fila con más cadenas, pero no se
describirá en el presente Manual. Durante el último decenio se han publicado diversos algoritmos.
Un panorama general se puede encontrar en (Conway y Georganas, 1989 [16]). En general, los
algoritmos exactos no son aplicables para redes amplias. Por tanto, se han elaborado muchos
algoritmos aproximados para ser aplicados en redes de puesta en fila de dimensiones realistas.
14.9
Complejidad
Las redes de puesta en fila tienen la misma complejidad que las redes de circuito conmutados con
encaminamiento directo (véase el § 11.5 y el cuadro 11.1). El espacio de estado de la red que figura
en el cuadro 14.3 tiene el siguiente número de estados para cada nodo:
El caso más desfavorable se produce cuando cada cadena está constituido por un cliente. El número
de estado entonces resulta 2S, donde S es el número de cliente.
Cuadro 14.3 – Parámetros de una red de puesta en fila con N cadenas,
K nodos y i Si clientes. El parámetro jk indica la carga de
la cadena j en el nodo k (véase el cuadro 11.1)
Cadena
14.10
Nodo
Dimensión de la
población
Atribución de la capacidad óptima
Se considera ahora un sistema de transmisión de datos con K nodos, que son sistemas
independientes de puesta en fila de un solo servidor M/M/1 (sistema de demora de Erlang con un
servidor). El proceso de llegada al nodo k es un proceso de Poisson con mensajes de intensidad k
(133000)
- 275 -
(clientes) por unidad de tiempo, y el tamaño del mensaje está distribuido exponencialmente con el
valor medio 1/k [bits]. La capacidad del nodo k es k [bits por unidad de tiempo].
Se introduce en la capacidad total la restricción lineal siguiente:
Para cada atribución de capacidad que satisface la ecuación (14.21), se tiene el tiempo medio de
permanencia (promedio de llamada) siguiente (véase el § 12.4.1, combinación en paralelo):
donde:
Definiendo:
se obtiene la ley de Kleinrock para atribución de capacidad óptima (Kleinrock, 1964 [65]).
Teorema 14.2 ley de las raíces cuadradas de Kleinrock: La atribución de capacidad óptima que
reduce T al mínimo (y así el número total de mensajes en todos los nodos) es:
con la condición que:
Con esta atribución óptima resulta:
En esta expresión se indica que a todos los nodos se atribuye primero la capacidad mínima
necesaria i/i. La capacidad restante:
se atribuye entre los nodos en forma proporcional a la raíz cuadrada del flujo medio k/k.
(133000)
- 276 -
Esto se puede determinar introduciendo el multiplicador de Lagrange  y considerar:
El valor mínimo de G se obtiene calculando k conforme a la ecuación (14.26). Si todos los
mensajes tienen el mismo valor medio k=, (se puede considerar entonces diferentes costos en los
nodos conforme a la restricción que se disponga de un monto fijo (Kleinrock, 1964 [65]).
(133000)
- 277 -
(133000)
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