Redes - Matemática Aplicada y Estadística

Sinopsis:
La naturaleza es un entramado de relaciones e interacciones, una red de redes. Gracias a Internet y sus
bases de datos, otra red de redes, disponemos por primera vez de una imagen fidedigna de la estructura
de muchas de ellas. Ecosistemas, metabolismo celular, redes neuronales y un largo etc. exhiben
propiedades topológicas comunes e inesperadas. Los científicos están descubriendo, entre otras cosas,
que el mundo es un pañuelo. Algo que ya sabían nuestros abuelos.
Redes: el mundo es un pañuelo.
¿Qué tienen en común las líneas de alta tensión, el metabolismo celular, Internet, las
cadenas tróficas de los ecosistemas o el cerebro? Algo obvio: todos estos sistemas son
redes. Los conceptos de interacción o de relación entre elementos son pilares básicos
para estructurar una explicación racional del mundo. Ambos pueden visualizarse como
líneas que conectan a los elementos o nodos. La complejidad de interacciones o
relaciones queda entonces plasmada en forma de red. A esta forma de pensar la
naturaleza se la ha denominado conexionismo. Las redes pueden mostrar un
conexionado extremadamente intrincado como en el caso de las redes metabólicas.
Pueden presentarse en continua evolución como ocurre en la WWW donde las páginas
web y los links se crean y destruyen a cada instante. O poseer diferentes pesos asociados
a sus conexiones como en el caso de las redes neuronales donde existen neuronas
activadoras e inhibitorias. Además, los nodos pueden ser sistemas dinámicos no lineales
que varían en forma complicada en el tiempo. O ser de naturalezas muy distintas en la
misma red. Por último, varias de estas complicaciones pueden acoplarse entre sí.
Durante las últimas décadas, para progresar en su estudio se han obviado los problemas
asociados a la estructura o topología. De este modo la investigación podía centrarse en
la complejidad del comportamiento colectivo producida por la dinámica no lineal, en
muchos casos, de los nodos. Así se ha tendido a utilizar redes de geometría regular,
cadenas lineales o cuadrículas bidimensionales por ejemplo, para acoplar sistemas
dinámicos idénticos como en el caso de los autómatas celulares o el modelo de Ising. En
otras áreas se ha optado por la conexión total, todos con todos, como por ejemplo en
algunas redes neuronales. O se han usado estructuras aleatorias, donde las conexiones
entre nodos se establecen al azar. Ejemplos son las redes booleanas aleatorias o los
vidrios de espín. De esta manera se ha progresado mucho en temas como la
sincronización colectiva, el caos espaciotemporal, las transiciones de fase o la
emergencia de complejidad.
Es obvio que la estructura de una red es determinante en su funcionamiento. Un
resultado teórico reciente ha animado a la comunidad científica a atacar con vigor la
vertiente olvidada: la estructura de las redes. En los años 60, el psicólogo S. Milgram,
concluyó un experimento pionero en redes sociales. En su esquema cada individuo
constituía un nodo, que se conectaba a otro individuo en caso de que fueran conocidos
mutuos. ¿Qué número de individuos o nodos intermedios, diría el lector, que separan en
promedio a dos personas escogidas al azar de entre la población norteamericana? La
respuesta es: ¡tan solo seis! Desde entonces este resultado se conoce como “seis grados
de libertad”, la versión estadística del dicho popular: “el mundo es un pañuelo”. Muy
recientemente, inspirados en esta idea, Watts y Strogatz propusieron un modelo sencillo
de red denominado Small World. En la figura mostramos un grafo regular (izquierda) al
que asignaron valor p=0 y la derecha un grafo aleatorio con valor p=1. El valor p indica
la probabilidad de que cualquier nodo redireccione una conexión a cualquier otro nodo
de la red al azar. Por ejemplo, p=0.3 nos indicaría que el 30% de las conexiones son al
azar y el resto regulares. De esta manera parametrizaron de forma continua el paso de
un grafo regular a uno aleatorio. Podemos definir la distancia media entre nodos o
diámetro de una red como el tamaño medio de los caminos mínimos entre todos los
pares de nodos. Para el caso de grafos regulares tenemos que el diámetro crece
linealmente con el número de nodos. Para grafos aleatorios, sin embargo, crece como el
logaritmo del número de nodos. Este resultado expresa matemáticamente nuestra
intuición de que es más rápido alcanzar cualquier punto desde un nodo escogido al azar
en una red aleatoria que en una regular. Ambas redes se distinguen claramente en otra
propiedad: la transitividad de sus conexiones. En una red regular es muy probable que si
un nodo A está conectado con un nodo B, y este a su vez lo está con un nodo C,
entonces A esté conectado con C. En el caso de redes aleatorias esto es muy
improbable. Lo que descubrieron Watts y Strogatz es que al aumentar ligeramente p
desde 0, el equivalente a introducir muy pocas conexiones al azar y probablemente a
larga distancia, el diámetro de la red pasaba bruscamente de crecer linealmente a
hacerlo logarítmicamente. La red adquiría esta propiedad típica de las redes aleatorias
manteniendo el alto grado de transitividad asociado a las redes regulares.
Las Small World son un resultado teórico interesante, pero lo realmente excitante es que
gracias a Internet, las bases de datos y la potencia de los ordenadores hoy disponemos
de una ingente cantidad de datos estadísticos inimaginables hace tan solo unas décadas.
Así, recientemente, han aparecido estudios empíricos sobre la estructura de redes de
naturaleza tan diversa como las comentadas al comienzo del artículo. Y respondiendo a
la pregunta inicial, ¿qué tienen en común?, muchas presentan estructura Small World o
estructura de red libre de escala. En todo caso no presentan ni regularidad en sus
conexiones ni azar puro. Si definimos p(k) como el número esperado de nodos con k
conexiones, muchas de las redes investigadas poseen distribuciones que decaen como
leyes de potencias p(k)  k - . Las redes que presentan esta distribución han sido
denominadas libres de escala por su analogía con los fractales, donde no podemos
definir una escala característica. Estas redes presentan “efecto Small World”: crecen en
su diámetro como las aleatorias y poseen alta transitividad como las regulares. Una
propiedad especialmente interesante de estas redes es que la conexión entre dos nodos
cualesquiera se mantiene robusta frente a la eliminación aleatoria de nodos o
conexiones. A los científicos no se les escapa la importancia de esta conclusión para
entornos como Internet o redes de neuronas. Las especulaciones que determinan que
estas distribuciones son ventajosas evolutivamente por su robustez son en estos
momentos motivo de análisis. Asistimos a la sorpresa de encontrar estructuras
topológicas semejantes y con estructuras inesperadas en las redes de ámbitos
extraordinariamente distintos. Este hecho debe ser justificado teóricamente. La relación
con las reglas de crecimiento y evolución de dichas redes o los principios de
optimización son tan solo algunos de los problemas que serán abordados. El objetivo
final es allanar el camino para entender el diálogo entre la dinámica y la estructura de
esas redes que forman el mundo y en las que en muchos casos estamos inmersos.