PROTOCOLO DE LA SESIÓN CORRESPONDIENTE AL CAPÍTULO PRIMERO DE LOS FUNDAMENTOS DE LA ARITMÉTICA DE GOTTLOB FREGE Universidad Nacional de Colombia Departamento de Filosofía Iván D. González C. En Die Grundlagen der Arithmetik (Los fundamentos de la aritmética), Frege nos dice que hay que distinguir entre fórmulas numéricas y leyes generales (Frege, 1996, §5). Las primeras se cumplen para números determinados y, las segundas, se cumplen para todos los números. De las fórmulas numéricas Frege se pregunta si son demostrables, mientras, de las leyes aritméticas, si son inductivas, sintéticas a priori o analíticas. Esta fue la estructura del capítulo primero, cuya ponencia estuvo a cargo del profesor A. Martín, en la que se discutió la crítica de Frege a lo que podríamos llamar la definición inductiva de número y la limitación de la denominada intuición kantiana, en lo que consistió una disputa irregular, pero instructiva, que tuvo como lugares comunes los nombres de Kant, Leibniz y J. S. Mill. Las fórmulas numéricas son consideradas por Kant como indemostrables y sintéticas. No son axiomas, pues no son generales y el que se admitiera un número infinito de verdades primitivas entraría, como dice Hankel: “... en conflicto con el hecho de que la razón necesita aprehender de una sola vez los primeros principios” (Frege, 1996, §5). El que fórmulas, como 135664+37863=175357, no fueran evidentes, llevó a Kant a considerar sintéticas las fórmulas numéricas, pero, al hacerlas sintéticas, las confina a la demostrabilidad1. Frege pregunta: “¿De qué otra manera pueden ser aceptados, como no sea mediante una demostración, dado que no son directamente evidentes?” (Frege, 1996, §5). La idea de Frege sería que las fórmulas numéricas son aceptadas por ser evidentes inmediatamente o por ser demostrables. La respuesta de Kant es que son aceptadas por la intuición. Kant recurre a la intuición de dedos y puntos, pero la intuición de 1000 dedos no 1 En la forma en que lo expone Frege, Kant tendría que hacer compatible el hecho de considerar las fórmulas numéricas “... tan claras e inmediatas como los axiomas” con el hecho de que el no ser evidentes algunas fórmulas numéricas, como 135664+37863=175357, condujera a Kant a “... sostener el carácter sintético de estos enunciados” (Frege, 1996, §5). es una intuición pura y, por tanto, corre el peligro de hacer empíricos esta clase de enunciados. El término ‘intuición’ ni siquiera parece apropiado. Se dijo que una intuición era: [...] una representación individual (representatio singularis), el concepto es una representación general (representatio per notas communes) o reflejada (representatio discursiva) (Frege, 1996, §12). Y que: Por medio de la sensibilidad, pues, nos vienen dados objetos, y ella sola nos proporciona intuiciones (Frege, 1996, §12). Frege considera distintas estas dos definiciones. En algún sentido, las fórmulas con pequeños números parecen inmediatamente evidentes para la intuición, pero esta caracterización parece totalmente inapropiada para grandes números. ¿Serían las fórmulas con grandes números demostrables, mientras que las de pequeños números evidentes inmediatamente por la intuición? El problema de una tal distinción sería que no podría ser totalmente clara la frontera entre números grandes y pequeños. La otra opción sería conceder que las fórmulas numéricas son demostrables. Leibniz consideró que esto era posible a partir de algunas definiciones elementales como: 2 es 1 y1, 3 es 2 y 1, 4 es 3 y 1, y un axioma fundamental de reemplazo: Si se reemplaza una cosa por otra igual, la igualdad persiste (Frege, 1996, §6). Esto permitiría probar enunciados, como 2+2=4, por el empleo recurrente de las definiciones y el axioma, al constatar que: 2+2=2+1+1=3+1=4. El problema de este procedimiento es que Leibniz asume ilícitamente es el recurso de la asociatividad: a+(b+c)=(a+b)+c, pues no ha sido desmotrado. H. Grassmann pretende hacerlo al considerar que se entiende por la suma a+b el miembro de la serie básica para el cual vale la fórmula: a+(b+e)=a+b+e, donde a y b son dos miembros cualesquiera de la serie básica. Sin embargo, no podemos definir la suma en términos de sí misma: si no entendemos a+b, es imposible entender a+(b+e)2. La importancia de leyes, como la asociatividad, sería que permitirían considerar si “... las fórmulas numéricas son sintéticas o analíticas, a posteriori o a priori, según que lo sean las leyes generales en las que se apoya su prueba” (Frege, 1996, §7). Esta idea es rechazada por J. S Mill quien parece fundamentar la ciencia en definiciones, pero cuyo “... prejuicio de que todo saber es empírico echa a perder en seguida esta idea correcta” (Frege, 1996, §7)3. Las definiciones de Mill tienen carácter empírico y pretenden afirmar un hecho observado: que existen configuraciones de objetos que impresionan los sentidos con la imagen: que puede descomponerse en , donde todas las divisiones similares se notan como ‘3’. 2 Si se intentara evadir esta dificultad considerando que es la adición y no la suma la que debe ser definida, se podría objetar aún que a+b sería “... un signo vacío si no hubiera ningún miembro de la serie básica, o bien hubiera varios, que cumplieran lo exigido. Grassmann presupone sencillamente que esto no ocurre, sin demostrarlo, con lo cual el rigor es sólo aparente” (Frege, 1884, 32). Este argumento no fue discutido. 3 Mill parece considerar demostrables las fórmulas numéricas. Lo que replica aquí Frege es que sostener la demostrabilidad de las fórmulas numéricas no puede ser compatible con el supuesto de que su naturaleza sea empírica. Frege concluye de esto, tres problemas fundamentales: primero, que la definición de Mill es estrecha, pues, p. e., sería incorrecto hablar de tres campanadas, ya que tres campanadas no impresionan los sentidos con la imagen de Mill; segundo, que en la argumentación de Mill, los cálculos se siguen de hechos observados, pero no parece ser necesario decir que ‘4’ se sigue de ‘2+2’ porque hay un hecho empírico que lo constata: el mundo podría comenzar a carecer de estos hechos y nuestra deducción seguiría pareciendo correcta; y, tercero, el problema tendría una instancia previa, pues en las pruebas de Mill, como en las de Leibniz, se asumiría la validez de la ley de asociatividad. En una interpretación radical, si la definición de cada número expresara un hecho físico, un resultado aritmético sólo se admitiría suficientemente si se encontrara un hecho físico que le correspondiera. En una interpretación débil, se tendría que inferir inductivamente una ley general de algunos casos sencillos, donde se tendría una definición inductiva de número. Lo primero que nos dice Frege, de esta última interpretación, es que no hay razón para que los cálculos con números pequeños se funden en la observación si los cálculos con números mayores no lo hicieran. Lo siguiente sería preguntarnos cuál sería esa ley. Toda ley debería garantizar que existiera un hecho físico que correspondiera con el hecho que afirma 10000 o 100000. Tendríamos que conformarnos con la interpretación radical, porque una ley general haría perder el contenido empírico del número 100000 (Frege, 1996, §7)4. Una inducción conduce a una generalización empírica, pero no garantiza que existan tales y cuales configuraciones de cosas. Y ninguna ley obtenida por inducción podría garantizar que existieran los hechos físicos que afirman los números. Se replicó en ese momento que podría considerarse que las leyes generales son las que se infirieren inductivamente. Lo que pregunta Frege es: “¿De qué hechos hay que partir para elevarse a lo general? Estos hechos sólo pueden ser las fórmulas numéricas” (Frege, 1884, 36)5. Este tipo de inducción es rechazado radicalmente por Frege, sin que se 4 En este punto, hubo un argumento que no fue examinado. Si 0 no tiene un significado empírico, el cálculo aritmético no tendría realmente completo significado. Luego, el 0 debe tener significado, pero este significado no puede ser empírico, pues no hay hechos de 0 cosas, y, si 0 pudiera tener sentido sin indicar ningún hecho pertinente, entonces las demás expresiones, como 2+1, podrían tener sentido sin afirmar un hecho observado. 5 Una razón probable para esta afirmación sería que, si nos basáramos en hechos físicos, p. e., que constatáramos que tales y cuales cosas cumplen la asociatividad, llegaríamos inductivamente a una conclusión encontraran, de paso, las razones que Frege tiene para ello. Se propuso, entonces, un principio general, como: (n+1)-1=n. ¿Pero enuncia esto algo distinto a n=n? Sobre este tema no hubo acuerdo. Los objetores de Frege consideraron que parecía que el único argumento para rechazar la propuesta inductivista era que esta propuesta no explicaba la aprioridad de los enunciados aritméticos. Si esto fuera así, el inductivista podría replicar que no tiene por qué considerar estos enunciados como a priori; lo que significaría que la discusión sería una diferencia de puntos de partida. Se considero, sin embargo, que Frege argüía que una inducción era imposible, porque los números son todos distintos entre sí y, por tanto, era improbable encontrar aquello que tienen todos en común6. Esta fue la objeción de Frege que más se analizó. En contra de esto se propuso la idea de sucesor: todo número tiene un sucesor y es sucesor de algún otro. Se tendría que: S(0)=1, S(1)=S(0)+1=2, S(2)=S(1)+1=3, definiendo, para el caso n+1, que: S(n+1)=S(n)+1. sobre hechos físicos y, como las leyes aritméticas no afirman nada de los hechos físicos, pues el mundo podría dejar de existir y estas leyes seguirían cumpliéndose en los números, las leyes aritméticas no podrían inducirse de estos hechos. 6 Frege dice: “... aquí nos falta la uniformidad que puede dar en otros campos una tan gran seguridad a este método la inducción” (Frege, 1884, 36), pues, en palabras de Leibniz, los números“... no se diferencian meramente en su magnitud, sino que, además, son desemejantes” (Frege, 1884, 36). El ejemplo del poso fue también instructivo: no podemos inferir nada de las capas siguientes de un poso, si las capas no tienen nada en común. El examen de los pasajes 9-12 se recomendó para precisar si existía otro argumento distinto al de la aprioridad de los enunciados aritméticos, que condujera a Frege al rechazo del inductivismo. La inducción pareció correcta, pero se objeto el hecho de que no parecía decir nada de un número dado, como 90, pues no consideraba cuál era el sucesor o de quién era sucesor 90. Las otras objeciones de Frege parecen ser que, si las leyes se inducen de las fórmulas numéricas, las fórmulas numéricas no podrían demostrarse de definiciones y leyes, y que toda inducción que se pretendiera hacer sobre fórmulas numéricas sería una deducción, porque “[...] los números son realmente creados por la adición continuada de uno, estando así su naturaleza completamente determinada” (Frege, 1996, §10) y, por tanto: [...] por el modo como ha surgido un número, por ejemplo, el 8, por adición de 1, se pueden deducir ya todas sus propiedades. Con ello se reconoce, en el fondo, que las propiedades de los números se siguen de sus definiciones, y se abre la posibilidad de demostrar las leyes generales de los números a partir del modo de generarse que les es común, mientras que, por otro lado, las propiedades particulares de cada uno de ellos se seguirían del modo particular con que han sido creados por la adición continuada de uno (Frege, 1996, §10). A la pregunta de qué razón tendría Frege para rechazar las definiciones inductivas de números no hubo consenso, sino con la pobre: toda justificación inductiva no garantiza la certeza. Las leyes aritméticas, por tanto, tampoco serían inductivas. Lo que no discute Frege son cuestiones de adquisición: Quizás se pregunte cómo llegaría a existir la aritmética, si no pudieramos distinguir por los sentidos ninguna cosa o sólo tres. Para nuestro conocimiento de los enunciados aritméticos y de sus aplicaciones, un tal estado sería ciertamente algo precario, ¿pero lo sería también para su verdad? Si a un enunciado se le llama empírico, porque hayamos tenido que hacer observaciones para hacernos conscientes de su contenido, entonces es que no se emplea «empírico» en el sentido de opuesto a lo «a priori» (Frege, 1996, §8). Lo que parece rechazar aquí Frege es, entonces, que la aritmética sea a posteriori. Si las leyes aritméticas no pueden ser empíricas o a posteriori, las leyes son sintéticas a priori o analíticas. Kant sostiene que son sintéticas a priori. Esto hace que se fundamenten en la intuición pura, de la cual es difícil decir de qué tipo es: espacial, temporal u algún otro. Frege critica a Hankel, al decir éste, que entiende por adición de magnitudes una operación que cumplen los tres principios fundamentales de la teoría de números reales. Nada garantiza que los números sean magnitudes o que la adición de números tuviese el mismo sentido de la definición. Ni siquiera sabemos que debemos entender por ‘intuición pura de la magnitud’. Si se ha rechazado una intuición de 100000, tenemos que rechazar una intuición del número o la magnitud en general. De las dos definiciones citadas de Kant, por Frege, sólo la intuición como representación individual sirve como fundamento para las leyes aritméticas, pues 100000 podría tomarse como una representación individual. Tomar la intuición como algo dado por la sensibilidad cometería el error de considerar a los números como indiferenciados los unos de los otros. En la geometría sí es posible obtener leyes generales por intuición sensible, porque los puntos, rectas y superficies intuidos no son particulares: pueden servir como representantes de toda su especie. Los números, como señala Leibniz, tienen particularidades. Se observó que las verdades geométricas rigen lo espacialmente intuitivo. Un espacio de cuatro dimensiones o una medida de curvatura positiva se apartan de la intuición. Si empleamos la intuición en estos casos, será siempre una intuición del espacio euclídeo, donde a lo que intuimos curvo lo llamamos recta o plano, aunque, como indica Frege, sea posible aceptar lo opuesto a este o aquel axioma geométrico, sin llegar a contradicciones (Frege, 1996, §14)7. Esto mostraría que: “... los axiomas geométricos son independientes entre sí y de las leyes lógicas primitivas; o sea, que son sintéticos” (Frege, 1996, §14). Esto no ocurre con las leyes aritméticas, porque las verdades aritméticas rigen el dominio de lo numerable, que lo abarca todo, pues “... no sólo le pertenece lo real, no sólo lo intuible, sino también lo pensable” (Frege, 1884, 41)8. 7 Frege consideraba, en contra de la corriente de su época, que la geometría euclidea era la correcta. Las razones para considerar esto, están expuestas implícitamente en estos pasajes de Los fundamentos. 8 Supongamos que una investigación psicológica indica que las nociones más simples de números se adquieren inductivamente de los hechos físicos. Es factible imaginar que las nociones más simples insinúan una regla que permite obtener los demás números. La regla de obtención no sería arbitraria, porque debería respetar los primeros casos obtenidos por inducción de los hechos físicos. En ese caso, podríamos preguntarnos, en consecuencia, si la regla estaría impuesta por nosotros o si podría ser de otra forma. Si fuera posible que la regla fuese de otra forma, parecería que la regla es impuesta Por otro lado, Leibniz consideró que lo a priori coincidía con lo analítico. Consideraba que las verdades necesarias son susceptibles de prueba o de reducción a identidades, donde su problema fue sentar la prueba en un análisis insuficiente 9. Una idea similar fue la de W. S. Jevons, quien consideró al número una simple distinción lógica y al álgebra una lógica altamente desarrollada. Es aquí donde la forma de derivar de la lógica el contenido de la aritmética sería realmente un problema, si la lógica fuera manipulación de signos que no dicen nada. Lo que nos dice Frege es que la lógica tiene sentido, porque se puede distinguir entre los signos y su contenido. El contenido se distingue de los signos, pues se podrían estipular otros signos, sin que hubiese alguna consecuencia relevante; lo importante es el manejo lógico de los signos. Y se debe distinguir el contenido de las aplicaciones, pues en las aplicaciones los enunciados pierden generalidad: se introducen elementos particulares que en otras aplicaciones son reemplazados por otras cosas (Frege, 1996, §16). Lo anterior, dice Frege, nos conduce a aceptar el contenido de las leyes como condiciones. Si en un razonamiento se sustituyen los hechos por condiciones, se obtendrá de éstas una conclusión. Esta verdad estaría fundamentada en el pensamiento. Serían juicios analíticos en el sentido de Frege: deducibles de leyes lógicas. La observación debería decir si se cumplen las condiciones contenidas en las leyes fundamentadas deductivamente (pero que no tendrían por qué ser aplicables a hechos presentes). Este procedimiento conduciría a enunciados generales, donde cada verdad matemática implicaría todo un encadenamiento y, por tanto, que los enunciados aritméticos son impuestos. En ese caso: ¿Sería conveniente hablar de verdad en los enunciados aritméticos? Imaginemos ahora que no fuera posible que la regla fuese de otra forma. No importa cómo la hayamos adquirido ni si hay tales y cuales hechos físicos. En ese caso: ¿Vale la pena hablar de verdad? Si esto fuera así, el problema sería considerar si este resultado indica sólo que tenemos que pensar de la forma como dice la regla, o si indica que hay una realidad que es como indica la regla. En ese ultimo caso: ¿Qué clase de realidad sería esa que no puede ser confirmada empíricamente? 9 El que los enunciados fueran analíticos o sintéticos a priori tendría que corregir estas fallas. Kant consideraría que 7+5 =12 es un enunciado sintético, porque la idea de 12 no estaría contenida en 7 y 5. Sin embargo, el análisis de 7+5=12 se resiste a un examen sujeto-predicado, así como la ley: xy(x+y)=(y+x). Es la lógica de predicados la que permite a Frege formular una definición de analítico como aquello deducible por leyes lógicas. deductivo para usos futuros (para la cual ya no habría que hacer deducciones aisladamente, sino que se formularía, de una sola vez, el resultado de toda la cadena). Esta sería la utilidad de la lógica: “Teniendo en cuenta el impresionante desarrollo de los estudios aritméticos y sus múltiples aplicaciones, ya no se podrá sostener, evidentemente, el menosprecio, tan ampliamente difundido, hacia los juicios analíticos y la leyenda de la esterilidad de la lógica pura” (Frege 1884, 44). BIBLIOGRAFÍA Frege, Gottlob. (1996). Escritos filosóficos. Barcelona: Ed. Grijalbo.