PROTOCOLO DE LA SESIÓN CORRESPONDIENTE AL CAPÍTULO PRIMERO DE
LOS FUNDAMENTOS DE LA ARITMÉTICA DE GOTTLOB FREGE
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Filosofía
Iván D. González C.
En Die Grundlagen der Arithmetik (Los fundamentos de la aritmética), Frege nos dice que
hay que distinguir entre fórmulas numéricas y leyes generales (Frege, 1996, §5). Las
primeras se cumplen para números determinados y, las segundas, se cumplen para todos los
números. De las fórmulas numéricas Frege se pregunta si son demostrables, mientras, de las
leyes aritméticas, si son inductivas, sintéticas a priori o analíticas. Esta fue la estructura del
capítulo primero, cuya ponencia estuvo a cargo del profesor A. Martín, en la que se discutió
la crítica de Frege a lo que podríamos llamar la definición inductiva de número y la
limitación de la denominada intuición kantiana, en lo que consistió una disputa irregular,
pero instructiva, que tuvo como lugares comunes los nombres de Kant, Leibniz y J. S. Mill.
Las fórmulas numéricas son consideradas por Kant como indemostrables y
sintéticas. No son axiomas, pues no son generales y el que se admitiera un número infinito
de verdades primitivas entraría, como dice Hankel: “... en conflicto con el hecho de que la
razón necesita aprehender de una sola vez los primeros principios” (Frege, 1996, §5). El
que fórmulas, como 135664+37863=175357, no fueran evidentes, llevó a Kant a considerar
sintéticas las fórmulas numéricas, pero, al hacerlas sintéticas, las confina a la
demostrabilidad1. Frege pregunta: “¿De qué otra manera pueden ser aceptados, como no sea
mediante una demostración, dado que no son directamente evidentes?” (Frege, 1996, §5).
La idea de Frege sería que las fórmulas numéricas son aceptadas por ser evidentes
inmediatamente o por ser demostrables. La respuesta de Kant es que son aceptadas por la
intuición. Kant recurre a la intuición de dedos y puntos, pero la intuición de 1000 dedos no
1
En la forma en que lo expone Frege, Kant tendría que hacer compatible el hecho de considerar las fórmulas
numéricas “... tan claras e inmediatas como los axiomas” con el hecho de que el no ser evidentes algunas
fórmulas numéricas, como 135664+37863=175357, condujera a Kant a “... sostener el carácter sintético de
estos enunciados” (Frege, 1996, §5).
es una intuición pura y, por tanto, corre el peligro de hacer empíricos esta clase de
enunciados.
El término ‘intuición’ ni siquiera parece apropiado. Se dijo que una intuición era:
[...] una representación individual (representatio singularis), el concepto es una
representación
general
(representatio
per
notas
communes)
o
reflejada
(representatio discursiva) (Frege, 1996, §12).
Y que:
Por medio de la sensibilidad, pues, nos vienen dados objetos, y ella sola nos
proporciona intuiciones (Frege, 1996, §12).
Frege considera distintas estas dos definiciones. En algún sentido, las fórmulas con
pequeños números parecen inmediatamente evidentes para la intuición, pero esta
caracterización parece totalmente inapropiada para grandes números. ¿Serían las fórmulas
con grandes números demostrables, mientras que las de pequeños números evidentes
inmediatamente por la intuición? El problema de una tal distinción sería que no podría ser
totalmente clara la frontera entre números grandes y pequeños.
La otra opción sería conceder que las fórmulas numéricas son demostrables. Leibniz
consideró que esto era posible a partir de algunas definiciones elementales como:
2 es 1 y1,
3 es 2 y 1,
4 es 3 y 1,
y un axioma fundamental de reemplazo:
Si se reemplaza una cosa por otra igual, la igualdad persiste (Frege, 1996, §6).
Esto permitiría probar enunciados, como 2+2=4, por el empleo recurrente de las
definiciones y el axioma, al constatar que:
2+2=2+1+1=3+1=4.
El problema de este procedimiento es que Leibniz asume ilícitamente es el recurso de la
asociatividad: a+(b+c)=(a+b)+c, pues no ha sido desmotrado. H. Grassmann pretende
hacerlo al considerar que se entiende por la suma a+b el miembro de la serie básica para el
cual vale la fórmula: a+(b+e)=a+b+e, donde a y b son dos miembros cualesquiera de la
serie básica. Sin embargo, no podemos definir la suma en términos de sí misma: si no
entendemos a+b, es imposible entender a+(b+e)2.
La importancia de leyes, como la asociatividad, sería que permitirían considerar si
“... las fórmulas numéricas son sintéticas o analíticas, a posteriori o a priori, según que lo
sean las leyes generales en las que se apoya su prueba” (Frege, 1996, §7). Esta idea es
rechazada por J. S Mill quien parece fundamentar la ciencia en definiciones, pero cuyo
“... prejuicio de que todo saber es empírico echa a perder en seguida esta idea correcta”
(Frege, 1996, §7)3.
Las definiciones de Mill tienen carácter empírico y pretenden afirmar un hecho
observado: que existen configuraciones de objetos que impresionan los sentidos con la
imagen:


que puede descomponerse en  , donde todas las divisiones similares se notan como
‘3’.
2
Si se intentara evadir esta dificultad considerando que es la adición y no la suma la que debe ser definida, se
podría objetar aún que a+b sería “... un signo vacío si no hubiera ningún miembro de la serie básica, o bien
hubiera varios, que cumplieran lo exigido. Grassmann presupone sencillamente que esto no ocurre, sin
demostrarlo, con lo cual el rigor es sólo aparente” (Frege, 1884, 32).
Este argumento no fue discutido.
3
Mill parece considerar demostrables las fórmulas numéricas. Lo que replica aquí Frege es que sostener la
demostrabilidad de las fórmulas numéricas no puede ser compatible con el supuesto de que su naturaleza sea
empírica.
Frege concluye de esto, tres problemas fundamentales: primero, que la definición de
Mill es estrecha, pues, p. e., sería incorrecto hablar de tres campanadas, ya que tres
campanadas no impresionan los sentidos con la imagen de Mill; segundo, que en la
argumentación de Mill, los cálculos se siguen de hechos observados, pero no parece ser
necesario decir que ‘4’ se sigue de ‘2+2’ porque hay un hecho empírico que lo constata: el
mundo podría comenzar a carecer de estos hechos y nuestra deducción seguiría pareciendo
correcta; y, tercero, el problema tendría una instancia previa, pues en las pruebas de Mill,
como en las de Leibniz, se asumiría la validez de la ley de asociatividad.
En una interpretación radical, si la definición de cada número expresara un hecho
físico, un resultado aritmético sólo se admitiría suficientemente si se encontrara un hecho
físico que le correspondiera. En una interpretación débil, se tendría que inferir
inductivamente una ley general de algunos casos sencillos, donde se tendría una definición
inductiva de número. Lo primero que nos dice Frege, de esta última interpretación, es que
no hay razón para que los cálculos con números pequeños se funden en la observación si
los cálculos con números mayores no lo hicieran. Lo siguiente sería preguntarnos cuál sería
esa ley. Toda ley debería garantizar que existiera un hecho físico que correspondiera con el
hecho que afirma 10000 o 100000. Tendríamos que conformarnos con la interpretación
radical, porque una ley general haría perder el contenido empírico del número 100000
(Frege, 1996, §7)4. Una inducción conduce a una generalización empírica, pero no garantiza
que existan tales y cuales configuraciones de cosas. Y ninguna ley obtenida por inducción
podría garantizar que existieran los hechos físicos que afirman los números.
Se replicó en ese momento que podría considerarse que las leyes generales son las
que se infirieren inductivamente. Lo que pregunta Frege es: “¿De qué hechos hay que partir
para elevarse a lo general? Estos hechos sólo pueden ser las fórmulas numéricas” (Frege,
1884, 36)5. Este tipo de inducción es rechazado radicalmente por Frege, sin que se
4
En este punto, hubo un argumento que no fue examinado. Si 0 no tiene un significado empírico, el cálculo
aritmético no tendría realmente completo significado.
Luego, el 0 debe tener significado, pero este
significado no puede ser empírico, pues no hay hechos de 0 cosas, y, si 0 pudiera tener sentido sin indicar
ningún hecho pertinente, entonces las demás expresiones, como 2+1, podrían tener sentido sin afirmar un
hecho observado.
5
Una razón probable para esta afirmación sería que, si nos basáramos en hechos físicos, p. e., que
constatáramos que tales y cuales cosas cumplen la asociatividad, llegaríamos inductivamente a una conclusión
encontraran, de paso, las razones que Frege tiene para ello. Se propuso, entonces, un
principio general, como: (n+1)-1=n. ¿Pero enuncia esto algo distinto a n=n? Sobre este
tema no hubo acuerdo. Los objetores de Frege consideraron que parecía que el único
argumento para rechazar la propuesta inductivista era que esta propuesta no explicaba la
aprioridad de los enunciados aritméticos. Si esto fuera así, el inductivista podría replicar
que no tiene por qué considerar estos enunciados como a priori; lo que significaría que la
discusión sería una diferencia de puntos de partida.
Se considero, sin embargo, que Frege argüía que una inducción era imposible,
porque los números son todos distintos entre sí y, por tanto, era improbable encontrar
aquello que tienen todos en común6. Esta fue la objeción de Frege que más se analizó. En
contra de esto se propuso la idea de sucesor: todo número tiene un sucesor y es sucesor de
algún otro. Se tendría que:
S(0)=1,
S(1)=S(0)+1=2,
S(2)=S(1)+1=3,
definiendo, para el caso n+1, que:
S(n+1)=S(n)+1.
sobre hechos físicos y, como las leyes aritméticas no afirman nada de los hechos físicos, pues el mundo
podría dejar de existir y estas leyes seguirían cumpliéndose en los números, las leyes aritméticas no podrían
inducirse de estos hechos.
6
Frege dice: “... aquí nos falta la uniformidad que puede dar en otros campos una tan gran seguridad a este
método la inducción” (Frege, 1884, 36), pues, en palabras de Leibniz, los números“... no se diferencian
meramente en su magnitud, sino que, además, son desemejantes” (Frege, 1884, 36). El ejemplo del poso fue
también instructivo: no podemos inferir nada de las capas siguientes de un poso, si las capas no tienen nada en
común.
El examen de los pasajes 9-12 se recomendó para precisar si existía otro argumento distinto al de la
aprioridad de los enunciados aritméticos, que condujera a Frege al rechazo del inductivismo.
La inducción pareció correcta, pero se objeto el hecho de que no parecía decir nada de un
número dado, como 90, pues no consideraba cuál era el sucesor o de quién era sucesor 90.
Las otras objeciones de Frege parecen ser que, si las leyes se inducen de las
fórmulas numéricas, las fórmulas numéricas no podrían demostrarse de definiciones y
leyes, y que toda inducción que se pretendiera hacer sobre fórmulas numéricas sería una
deducción, porque “[...] los números son realmente creados por la adición continuada de
uno, estando así su naturaleza completamente determinada” (Frege, 1996, §10) y, por tanto:
[...] por el modo como ha surgido un número, por ejemplo, el 8, por adición de 1, se
pueden deducir ya todas sus propiedades. Con ello se reconoce, en el fondo, que las
propiedades de los números se siguen de sus definiciones, y se abre la posibilidad
de demostrar las leyes generales de los números a partir del modo de generarse que
les es común, mientras que, por otro lado, las propiedades particulares de cada uno
de ellos se seguirían del modo particular con que han sido creados por la adición
continuada de uno (Frege, 1996, §10).
A la pregunta de qué razón tendría Frege para rechazar las definiciones inductivas
de números no hubo consenso, sino con la pobre: toda justificación inductiva no garantiza
la certeza. Las leyes aritméticas, por tanto, tampoco serían inductivas.
Lo que no discute Frege son cuestiones de adquisición:
Quizás se pregunte cómo llegaría a existir la aritmética, si no pudieramos distinguir
por los sentidos ninguna cosa o sólo tres. Para nuestro conocimiento de los
enunciados aritméticos y de sus aplicaciones, un tal estado sería ciertamente algo
precario, ¿pero lo sería también para su verdad? Si a un enunciado se le llama
empírico, porque hayamos tenido que hacer observaciones para hacernos
conscientes de su contenido, entonces es que no se emplea «empírico» en el sentido
de opuesto a lo «a priori» (Frege, 1996, §8).
Lo que parece rechazar aquí Frege es, entonces, que la aritmética sea a posteriori.
Si las leyes aritméticas no pueden ser empíricas o a posteriori, las leyes son
sintéticas a priori o analíticas. Kant sostiene que son sintéticas a priori. Esto hace que se
fundamenten en la intuición pura, de la cual es difícil decir de qué tipo es: espacial,
temporal u algún otro. Frege critica a Hankel, al decir éste, que entiende por adición de
magnitudes una operación que cumplen los tres principios fundamentales de la teoría de
números reales. Nada garantiza que los números sean magnitudes o que la adición de
números tuviese el mismo sentido de la definición. Ni siquiera sabemos que debemos
entender por ‘intuición pura de la magnitud’. Si se ha rechazado una intuición de 100000,
tenemos que rechazar una intuición del número o la magnitud en general.
De las dos definiciones citadas de Kant, por Frege, sólo la intuición como
representación individual sirve como fundamento para las leyes aritméticas, pues 100000
podría tomarse como una representación individual. Tomar la intuición como algo dado por
la sensibilidad cometería el error de considerar a los números como indiferenciados los
unos de los otros. En la geometría sí es posible obtener leyes generales por intuición
sensible, porque los puntos, rectas y superficies intuidos no son particulares: pueden servir
como representantes de toda su especie. Los números, como señala Leibniz, tienen
particularidades.
Se observó que las verdades geométricas rigen lo espacialmente intuitivo. Un
espacio de cuatro dimensiones o una medida de curvatura positiva se apartan de la
intuición. Si empleamos la intuición en estos casos, será siempre una intuición del espacio
euclídeo, donde a lo que intuimos curvo lo llamamos recta o plano, aunque, como indica
Frege, sea posible aceptar lo opuesto a este o aquel axioma geométrico, sin llegar a
contradicciones (Frege, 1996, §14)7. Esto mostraría que: “... los axiomas geométricos son
independientes entre sí y de las leyes lógicas primitivas; o sea, que son sintéticos” (Frege,
1996, §14). Esto no ocurre con las leyes aritméticas, porque las verdades aritméticas rigen
el dominio de lo numerable, que lo abarca todo, pues “... no sólo le pertenece lo real, no
sólo lo intuible, sino también lo pensable” (Frege, 1884, 41)8.
7
Frege consideraba, en contra de la corriente de su época, que la geometría euclidea era la correcta. Las
razones para considerar esto, están expuestas implícitamente en estos pasajes de Los fundamentos.
8
Supongamos que una investigación psicológica indica que las nociones más simples de números se
adquieren inductivamente de los hechos físicos. Es factible imaginar que las nociones más simples insinúan
una regla que permite obtener los demás números. La regla de obtención no sería arbitraria, porque debería
respetar los primeros casos obtenidos por inducción de los hechos físicos.
En ese caso, podríamos preguntarnos, en consecuencia, si la regla estaría impuesta por nosotros o si
podría ser de otra forma. Si fuera posible que la regla fuese de otra forma, parecería que la regla es impuesta
Por otro lado, Leibniz consideró que lo a priori coincidía con lo analítico.
Consideraba que las verdades necesarias son susceptibles de prueba o de reducción a
identidades, donde su problema fue sentar la prueba en un análisis insuficiente 9. Una idea
similar fue la de W. S. Jevons, quien consideró al número una simple distinción lógica y al
álgebra una lógica altamente desarrollada. Es aquí donde la forma de derivar de la lógica
el contenido de la aritmética sería realmente un problema, si la lógica fuera manipulación
de signos que no dicen nada.
Lo que nos dice Frege es que la lógica tiene sentido, porque se puede distinguir
entre los signos y su contenido. El contenido se distingue de los signos, pues se podrían
estipular otros signos, sin que hubiese alguna consecuencia relevante; lo importante es el
manejo lógico de los signos. Y se debe distinguir el contenido de las aplicaciones, pues en
las aplicaciones los enunciados pierden generalidad: se introducen elementos particulares
que en otras aplicaciones son reemplazados por otras cosas (Frege, 1996, §16).
Lo anterior, dice Frege, nos conduce a aceptar el contenido de las leyes como
condiciones. Si en un razonamiento se sustituyen los hechos por condiciones, se obtendrá
de éstas una conclusión. Esta verdad estaría fundamentada en el pensamiento. Serían juicios
analíticos en el sentido de Frege: deducibles de leyes lógicas. La observación debería decir
si se cumplen las condiciones contenidas en las leyes fundamentadas deductivamente (pero
que no tendrían por qué ser aplicables a hechos presentes). Este procedimiento conduciría a
enunciados generales, donde cada verdad matemática implicaría todo un encadenamiento
y, por tanto, que los enunciados aritméticos son impuestos. En ese caso: ¿Sería conveniente hablar de verdad
en los enunciados aritméticos? Imaginemos ahora que no fuera posible que la regla fuese de otra forma. No
importa cómo la hayamos adquirido ni si hay tales y cuales hechos físicos. En ese caso: ¿Vale la pena hablar
de verdad? Si esto fuera así, el problema sería considerar si este resultado indica sólo que tenemos que pensar
de la forma como dice la regla, o si indica que hay una realidad que es como indica la regla. En ese ultimo
caso: ¿Qué clase de realidad sería esa que no puede ser confirmada empíricamente?
9
El que los enunciados fueran analíticos o sintéticos a priori tendría que corregir estas fallas. Kant
consideraría que 7+5 =12 es un enunciado sintético, porque la idea de 12 no estaría contenida en 7 y 5. Sin
embargo, el análisis de 7+5=12 se resiste a un examen sujeto-predicado, así como la ley: xy(x+y)=(y+x).
Es la lógica de predicados la que permite a Frege formular una definición de analítico como aquello deducible
por leyes lógicas.
deductivo para usos futuros (para la cual ya no habría que hacer deducciones aisladamente,
sino que se formularía, de una sola vez, el resultado de toda la cadena).
Esta sería la utilidad de la lógica: “Teniendo en cuenta el impresionante desarrollo
de los estudios aritméticos y sus múltiples aplicaciones, ya no se podrá sostener,
evidentemente, el menosprecio, tan ampliamente difundido, hacia los juicios analíticos y la
leyenda de la esterilidad de la lógica pura” (Frege 1884, 44).
BIBLIOGRAFÍA
Frege, Gottlob. (1996). Escritos filosóficos. Barcelona: Ed. Grijalbo.
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