Taller: Módulos de apoyo para las asignaturas propedéuticas de la
Facultad de Ingeniería de la UAEM, con la TI Voyage.
Eugenio Díaz Barriga Arceo, José Ismael Arcos Quezada
Facultad de Ingeniería, UAEM
e-mail: [email protected], [email protected]
Resumen: El presente taller tiene como propósito desarrollar
módulos auxiliares para diversos cálculos que aparecen
frecuentemente en las asignaturas de Geometría Analítica,
Cálculo Infinitesimal y Cálculo Multivariable de la Facultad
de Ingeniería de la UAEM. Contar con un recurso de ésta
índole en el salón de clase permite enfocar las actividades a
dar más espacio al planteamiento y resolución de problemas;
además el estudiante puede recurrir a él como un tutor al cual
consultar durante su estudio en casa.
Introducción.
Las siguientes actividades tienen como marco los cursos que se ofrecen en las materias
propedéuticas de la Facultad de Ingeniería de la UAEM. Se aprovechan de manera
notable las facilidades de cálculo, tanto simbólico cómo numérico, con que cuenta la TI
Voyage. Típicamente, al trabajar desde una perspectiva vectorial los cursos de
Geometría Analítica y Cálculo de una y varias variables, permiten agilizar los cálculos
que de otra forma se llevan mucho tiempo de aula y, a veces oscurecen la discusión
principal del modelo, problema o ejercicio que se ha planteado en el aula.
Además, se ha cuidado que las actividades generen comandos que la TI Voyage no
tenga de antemano construidos, con el objeto de ofrecer un campo donde el estudiante
pueda ir estructurando sus propias herramientas según sus necesidades de cómputo. Se
abordan desde operaciones como el producto interno de dos vectores (que pueden ser
también funciones vectoriales), ángulo entre vectores, longitud de arco para funciones
vectoriales, curvatura e integrales dobles y triples. Se espera que las herramientas se
extiendan hacia otras necesidades (producto externo vectorial, transformadas integrales,
solución de ecuaciones diferenciales de primer orden, etc.)
Actividad: norma de un vector, ángulo entre vectores
Instrucciones: realiza la siguiente actividad auxiliándote de la calculadora TI
VOYAGE, empleando los comandos que se encuentran en los menús de Cálculo (F3) y
Otros (F4).
1. Norma de un vector. Empleando el módulo de Cálculo, construye un comando
(llámalo por ejemplo norm3d(a, b, c)) que nos entregue la norma de un vector de
tres componentes:
norm3d (a, b, c)  a 2  b2  c 2
2. Producto punto de dos vectores. Construye ahora un comando (llámalo por
ejemplo pint(a, b, c, d, e, f)) que nos entregue el producto interno de los vectores
(a, b, c) y (d, e, f):
p int(a, b, c, d , e, f )  a * d  b * e  c * f
3. Ángulo entre dos vectores. Empleando los dos comandos que has construido,
habilita en la calculadora un comando que nos entregue el ángulo entre dos
vectores (llámalo por ejemplo angvect(a, b, c, d, e, f)):
angvect(a, b, c, d , e, f )  cos1 (( p int(a, b, c, d , e, f )) /(norm3d (a, b, c) * norm3d (d , e, f )))
Una ventaja de los comandos que hemos creado es que nuestras componentes pueden
ser funciones que dependan de algún parámetro (por ejemplo del parámetro t).
Exploración de los comandos definidos.
Vamos a explorar la potencia de los comandos recién definidos.
1. Calcula la norma de los vectores siguientes:
a. (1,2,-1)
b. (t, 2t, -t)
c. (4,5, 1-t), en t = 0, 1, -2
d. 2t*(2,3,8), t arbitrario.
2. Calcula el producto interno entre las siguientes parejas de vectores:
a. (1,2,3) y (2, -2, 0)
b. (4,0,1) y (3,-1,2)
c. (2t, t-2, 1/t) y (2,3,-2)
3. Calcula el ángulo entre las siguientes parejas de vectores:
a. (1,1,1) y (1,0,0)
b. (2,2,2) y (1,1,0)
c. (1,0,1) y (0,1,1)
d. (0,1,2) y (0, 3,4)
e. (t, 2t, 3t) y (t-1, 2t-1, 3t-1)
Actividad: longitud de arco y reparametrización.
Instrucciones: realiza la siguiente actividad auxiliándote de la calculadora TI
VOYAGE, empleando los comandos que se encuentran en los menús de Álgebra (F2),
Cálculo (F3) y Otros (F4).
1. Longitud de arco. Empleando el módulo de Cálculo, construye un comando
(llámalo por ejemplo longarc(x, y, z, t, a, b)) que nos entregue la longitud de
arco de una curva parametrizada (x(t), y(t), z(t)) desde t = a hasta t = b:
b
longarc( x, y, z, t , a, b)   ( x' (t ), y' (t ), z ' (t )) dt
t a
2. Reparametrización. Construye ahora un comando que haga la
reparametrización, igualando la variable s, que representará a la longitud de
arco, con el comando anterior tomando como límite superior a la variable t y
entonces despejando t en términos de s y substituyendo esto en cada uno de las
componentes:
repalongar c( x, y, z , t , s, a )  [ x(t ( s )), y (t ( s )), z (t ( s ))] s  
t
T a
( x' (T ), y ' (T ), z ' (T )) dT
Actividad: radio de curvatura y curvatura.
Instrucciones: realiza la siguiente actividad auxiliándote de la calculadora TI
VOYAGE, empleando los comandos que se encuentran en los menús de Álgebra (F2),
Cálculo (F3) y Otros (F4).
1. Radio de curvatura. Empleando el módulo de Cálculo, construye un comando
(llámalo por ejemplo rcurv(x, y, z, t)) que nos entregue el radio de curvatura de
una curva parametrizada (x(t), y(t), z(t)):
rcurn( x, y, z, t )
rcurv( x, y, z, t ) 
rcurvd( x, y, z, t )
donde se definan previamente:
  dx  2  dy  2  dz  2 
rcurn( x, y, z, t )           
  dt   dt   dt  


3/ 2
,
2
 dg d 2 h dh d 2 g 
rcur1( g , h, t )  
 2 
 2  y
dt
dt
dt
dt 

rcurd( x, y, z, t )  (rcur1( y, z, t )  rcur1( z, x, t )  rcur1( x, y, t ))
2. Curvatura. Construye ahora un comando que haga el cálculo de la curvatura de
una curva parametrizada (x(t), y(t), z(t)):
curv( x, y, z, t )  1/ rcurv( x, y, z, t )
Actividad: Integrales dobles y triples
Instrucciones: realiza la siguiente actividad auxiliándote de la calculadora TI
VOYAGE, empleando los comandos que se encuentran en los menús de Cálculo (F3) y
Otros (F4).
4. Empleando el módulo de Cálculo, construye un comando (llámalo por ejemplo
dbint(f, x, y, a, b, c, d)) que nos entregue la integral doble de una función f(x, y),
con intervalos de integración [a, b] para x, [c, d] para y. En la definición de tu
comando las integrales se van a “anidar” sucesivamente, de modo tal que refleje
el cálculo siguiente:
b
d
db int( f , x, y, a, b, c, d )     f ( x, y )dy dx
x  a  y c

5. Empleando el módulo de Cálculo, construye un comando (llámalo por ejemplo
triint(g, x, y, z, a, b, c, d, e, f)) que nos entregue la triple integral de una función
f(x, y, z), con intervalos de integración [a, b] para x, [c, d] para y, [e, f] para z.
b
d
f
tri int(g , x, y, z, a, b, c, d , e, f )       g ( x, y, z )dz dy dx
x  a  y c  z e
 
Una ventaja de los comandos que hemos creado es que nuestras variables de integración
son mudas. Otra ventaja será que podremos intercambiar también el orden de
integración. Además se pueden aprovechar para calcular integrales en diferentes tipos
de coordenadas, tan sólo multiplicando por el factor adecuado al integrando
correspondiente.
Exploración de los comandos definidos.
Vamos a explorar la potencia de los comandos recién definidos.
1. Calcula con el comando para la integral doble el área de la región del plano limitada
por las curvas 1 : y 2  9  x y 2 : y 2  9  9x .
Gráfico:
En nuestro caso, la función a integrar es f(x, y) = 1. Deseamos calcular entonces:
9 x
1
99 x
 9

2   
dydx    
dydx (esto aplicando simetría) o equivalentemente
x 0  y 0
x

0
y

0


 

2
3
 9 y

y3  x 99y2 dx dy .
El orden de integración podemos cambiarlo (primero integrar con respecto de x y luego
con respecto a y). Observa que, en cada una de las integrales sucesivas, los límites de
integración de la integral más interna pueden quedar en términos de la variable externa.
Realiza los cálculos a mano y compruébalos con el comando de la calculadora TI
VOYAGE que has definido para la integral doble.
Si deseas realizar el cálculo según la primera opción que hemos enunciado, ejecuta la
línea de comando siguiente:
2*((dbint(1,x,y,0,9,0,sqrt(9-x))-dbint(1,x,y,0,1,sqrt(9-9*x),sqrt(9-x))).
Para la segunda opción puedes realizar el cálculo mediante la línea de comando
siguiente:
dbint(1, y, x,3,3, (9  y ^2) / 9,9  y ^2) .
En ambos casos el resultado será 32. Observación: cuidado con los signos (-) que
utilizas porque no es lo mismo usar el signo (-) de la tecla gris que el signo (-) de la
tecla negra (consulta el manual de la calculadora para conocer la diferencia).
2. Determinar el centro de masa del sólido homogéneo limitado por las superficies:
1 : x 2  y 2  z 2  16, 2 : x 2  y 2  3z 2 , con z  0.
Gráfico:
Observamos que se trata del cuerpo acotado inferiormente por el cono
2 : x 2  y 2  3z 2 y superiormente por la esfera 1 : x 2  y 2  z 2  16 . Por la simetría
del problema, sabemos que la abscisa y la ordenada del centro de masa son 0; que la
función que nos da la densidad del cuerpo es g ( x, y, z)  k , con k una constante
positiva, ya que el sólido es homogéneo. Puede aprovecharse o no la simetría del sólido
para hacer los cálculos (en la figura se ha representado el haber extraído la parte
contenida en el primer octante).
Las superficies se intersectan a la altura z = 2, en el cilindro x 2  y 2  12.
Para atacar el problema contamos con varias alternativas:
a) Cálculo mediante coordenadas rectangulares
b) Cálculo mediante coordenadas cilíndricas.
c) Cálculo mediante coordenadas esféricas
a) Cálculo mediante coordenadas rectangulares
Se plantea la siguiente integral triple para el cálculo de la masa del sólido:
12 
12  x 2 
16  x 2  y 2
 


dy dx
M  4
kdz
1
2
2
 z  x  y
 
x 0  y 0
3

 

Para las coordenadas del centro de masa Cxm , ym , zm  , se requieren además:
 12 x 2  16 x 2  y 2
 

 1 2 2 kxdzdy dx ,
2 

 
x   12  y   12  x
z
x y
3

 

 12 x 2  16 x 2  y 2
12
 

 1 2 2 kydzdy dx , y
My 
2 

 
x   12  y   12  x
z
x y
3

 

 12 x 2  16 x 2  y 2
12
 

 1 2 2 kzdzdy dx
Mz  
2 

 
x   12  y   12  x
z
x y
3

 

Para obtener entonces las coordenadas pedidas mediante:
M
M
M
xm  x , y m  y y z m  z .
M
M
M
Mx  
12
b) Cálculo mediante coordenadas cilíndricas.
Haciendo el cambio a coordenadas cilíndricas tenemos lo siguiente:
4  2 
16  r 2
 
M       r krdzd dr .

r 0   0
z
3
 
 
También se plantean entonces:
4  2 
16  r 2
 
M x       r kr 2 cosdz d dr ,

r 0   0
z
3
 
 
4  2 
16  r 2
 
M y       r kr 2 sin dz d dr , y

r 0   0
z
3
 
 
4  2 
16  x 2
 
M z       r kzrdz d dr

r 0   0
z
3

 

c) Cálculo mediante coordenadas esféricas
Ahora mediante el cambio a coordenadas esféricas:

4  2 
 
M       3 kr 2 sin d d dr

r 0   0  0
 
 
También se plantean entonces:

4  2 
 
M x       3 kr 3 sin  cosd d dr ,

r 0   0  0

 


4  2 
 
M y       3 kr 3 sin  sin d d dr , y

r 0   0  0

 


4  2 
 
M z       3 kr 3 cosd d dr

r 0   0  0

 

Resultados:
128
128(3  3 )
k . Las coordenadas del centroide son
k , Mx  M y  0, M z 
3
9
3
 2.366..
entonces: xm  ym  0, z m 
3 3
M
Conclusión.
Las herramientas generadas con los menús de Álgebra, Cálculo y Otros de la TI Voyage
pueden ser empleadas muy creativamente en el aula para diversas actividades (búsqueda
de patrones, exploración de propiedades, resolución de diversos problemas y ejercicios,
tutores en la solución de problemarios, entre otros).
Mención aparte merecen las posibilidades gráficas que ofrece la TI Voyage, que no han
sido abordadas aquí, pero que pueden generar un ambiente de aprendizaje rico en
modelaciones, cuyo cómputo puede visualizarse analítica y numéricamente con algunas
de las herramientas desarrolladas en este taller.
Bibliografía:
Arcos, I. (2009). Cálculo multivariable para estudiantes de ingeniería. Editorial Kali.
Arcos, I. (2008). Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Editorial Kali.
Arcos, I. (2007). Geometría analítica para estudiantes de ingeniería. Editorial Kali.
Texas Instruments (2005). Voyage 200 Graphing calculator. Guide book.
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