IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 1. ESTANDARES

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
1. ESTANDARES
Modelar situaciones de variaciones de variación periódicas con funciones
trigonométricas.
2.
LOGROS
2.1. Deducir las identidades trigonométricas fundamentales
2.2. Demostrar identidades trigonométricas
3. ¿Para que sirven las identidades trigonométricas?.
Las identidades trigonométricas sirven para desarrollar el pensamiento
deductivo de los estudiantes. En efecto, en proceso de demostración se hace
necesario de partir de las identidades fundamentales y mediante una serie de
procedimientos algebraicos como sustituciones, operaciones con fracciones
algebraicas, multiplicaciones, factorizaciones y simplificaciones, se debe llegar a
una conclusión final.
CONCEPTOS PREVIOS
Los estudiantes deben de manejar:
Explicar y comprender el concepto de igualdad
Conocer las identidades básicas
Procedimientos algebraicos como operaciones básicas de fracciones
algebraicas productos notables, factorización
DEFINICION DE IDENTIDAD TRIGONOMETRICAS
Es una relación que contiene funciones trigonométricas y que es válida para
todos los valores del ángulo en los que están definidas estas funciones.
Ejemplos:
1.
sec x × cos x = 1
2. sen 2 x + cos 2 x = 1
3.
cos x × tan x × csc x = 1
IDENTIDADES TRIGONOMETRICA FUNDAMENTALES
IDENTIDADES POTAGORICAS
Para deducir estas identidades, se debe tener en cuenta el círculo
trigonométrico cuyo radio es igual a la unidad; las líneas trigonométricas y el
Teorema de Pitágoras
(c
2
= a 2 + b2
)
r =1
Sen x
x
cos x
sec x
Tag
x
r =1
Cot x
r = 1 csc x
x
Por Pitágoras en cada un de las figuras podemos obtener:
1.
Sen 2 x + cos 2 x = 1
2.
Sec 2 x = 1 + tag 2 x
3.
Csc 2 x = 1 + cot 2 x
IDENTIDADES DE COCIENTE
4.
Tag x =
5.
Cot x =
Sen x
Cos x
Sen x
Cos x
IDENTIDADES RECIPROCAS
6.
Cot x =
1
Tag x
7.
Sec x =
1
Cos x
8.
Csc x =
1
Sen x
FUNCIONES PARES E IMPARES
Sen(− x ) = − Sen x
9.
10.
Cos (− x ) = −Cos x
2. PASOS PARA DEMOSTRAR IDENTIDADES
1. Se debe partir del lado más complejo y transformarse en el lado más
sencillo.
2. Sustituir las funciones: tangente, cotangente, secante y cosecante en
función de seno y coseno.
3. Realizar las operaciones algebraicas.
4. Tienen como objetivo, el otro lado de la identidad, para hacer las
sustituciones necesarias para llegar a este lado.
3. Ejemplos:
Verificar las siguientes identidades
1.
Cot x × Sec x × Sen x = 1
Solución:
 cos x   1 
 
Cot x × Sec x × Sen x = 
 (sen x )
sen
x
csc
x




= Sen x
2.
Csc x − Sen x = Cot x × Csc x
Solución:
Csc x − Sen x =
1
− Sen x
Sen x
1 − Sen 2 x
=
Sen x
Cos 2 x
=
Sen x
 Csc x 
= 
 (Cos x )
 Sen x 
= Cot x × Cos x
3.
tan x.senx + cos x = sec x
Solución
 senx 
tan x.senx + cos x = 
(senx ) + cos x
cos
x


Sen 2
=
+ cos x
cos x
Sen 2 x + Cos 2 x
=
cos x
1
cos x
= sec x
=
4.
tan (− x ) = − tan x
Solución
tan (− x ) =
sen(− x )
cos(− x )
− senx
cos x
= −tagx
=
5.
cos x
cos x
+
= 2 sec x
1 − senx 1 + cos x
Solución
cos x
cos x
cos x(1 + senx ) + cos x(1 − senx )
+
=
1 − senx 1 + senx
(1 − senx )(1 + senx )
cos x + senx cos x + cos x − senx cos x
=
1 − Sen 2 x
=
2 cos x
Cos 2 x
1
cos x
= 2 sec x
=2
6.
Sen 4 x − Cos 4 x = Sen 2 x − Cos 2 x
Solución
(
)(
Sen 4 x − Cos 4 x = Sen 2 x + Cos 2 x Sen 2 x − Cos 2 x
= Sen 2 x − Cos 2 x
)
7.
Sec 2 x − Tan 2 x
= Sen 2 x − Cos 2 x
Csc x
Solución
1
Sen 2 x
−
Sec 2 x − Tan 2 x Cos 2 x Cos 2 x
=
1
Csc x
Senx
1 − Sen 2 x
2
= Cos x
1
Senx
Cos 2 x
2
= Cos x
1
Senx
=
1
1
Senx
= Senx
8.
(Sen x + Cos x )2 = 1 + 2Sen x Cos x
Solución
(Sen x + Cos x )2 = Sen2 x + 2Sen x
(
Cos x + Cos 2 x
)
= Sen 2 x + Cos 2 x + 2 Senx Cosx
= 1 + 2 Senx Cosx
9.
Tan x + 2Cosx Cscx = Sec x Cos x + Cot x
Solución
Sec x
+ 2 Cos
Cos x
Tan x + 2Cosx Cscx =
=
 1 
x 

Sen
x


 Cos x 
Sen x
+ 2 

Cos x
Sen
x


Sen 2 x + 2Cos 2 x
=
Senx Cosx
(Sen x + Cos x ) + Cos x
=
2
2
Sen x Cos x
2
1 + Cos 2 x
=
Sen x Cos x
1
Cos 2 x
=
+
Sen x Cosx Sen x Cos x

  1  Cos x
1
 +
= 
 
Senx
Cosx
Cos
x


 Sen x
= Cos x Sec x + Cot x
10.
Tan x +
Cos x
= Sec x
1 + Sen x
Solución
Tan x +
Cos x
Sen x
Cos x
=
+
1 + Sen x Cos x 1 + Sen x
=
Sen x + (1 + Sen x ) + Cos x . Cos x
Cos x (1 + Sen x )
(
senx + sen 2 x + Cos 2 x
=
Cos x(1 + Sen x )
=
(1 + sen x )
Cos x(1 + Sen x )
)
=
1
Cos x
= Sec x
TALLER
Demostrar las siguientes identidades
1.
Cos x . Sec x = 1
2.
Sen x . Csc x = 1
3.
(1 + Cos x )(1 − Cos x ) = Sen2
4.
Sen x
= Csc x
1 − Cos x
5.
Cos x
+ Sen x = Csc x
Sen x
6.
Tan 2 x Cos 2 x = 1 − Cos 2 x
7.
Csc x
= Cos x
Cot x + Tan x
x
8.
9.
Sec x + Tan x =
Cos x
1 − Sen x
1 + Sen x
= 1 + Cos x
Sen x
Sen 2 x − Tan 2 x
10.
= Sen x
Cosc x
11.
Sen x
Cos x
+
=1
Cos x + 1 Sec x
12.
Cos x
Cos x
+
= 2 Tan x
Cosc x Sec x − 1
13.
1 − Cos x Sec x − 1
=
1 + Cos x Sec x + 1
14.
1
1
+
=1
Cosc 2 x Sec 2 x
15.
Cot x +
SOLUCION
Sen x
= Cos x
1 + Cos x
1.
Cos x.Sec x = 1
 1 
D // . Cos x.Secx = (Cosx )
 =1
 Cosx 
2.
Sen x Cos x = 1
 1 
D // Sen x Cosx = Senx
 =1
 Senx 
3.
(1 + Cos x ) (1 − Cos x ) = Sen2 x
D // . (1 + Cosx ) (1 − Cosx ) = 1 − Cos 2 x = Sen 2 x
4.
Sen x
= Cosc x
1 − Cos 2 x
D // .
5.
Sen x
Senx
1
=
=
= Csc x
2
2
1 − Cos x Sen x Sen x
Cos 2 x
+ Sen x = Csc x
Sen x
Cos 2 x
Cos 2 x + Sen 2 x
1
D // .
+ Sen x =
=
= Csc x
Sen x
Sen x
Sen x
6.
Tan 2 x Cos 2 x = 1 − Cos 2 x
 Sen 2
D // Tan x Cos x = 
2
 Cos
2
7.
2
(
)
x
 Cos 2 = Sen 2 x = 1 − Cos 2 x
x
Cos x
= Cos x
Cot x + tan x
1
Cscx
Sen x
D // .
=
Cot x + Tan x Cos x + Sen x
Sen x Cos x
1
Sen x
=
Sen 2 x + Cos 2 x
Sen x Cos x
1
Sen x
=
1
Sen x Cos x
=
Sen x Cos x
Sen x
= Cos x
8.
Sec x + Tan x =
Cos x
1 − Sen x
D // . Sec x + Tan x =
1
Sen x
+
Cosx Cos x
=
1 + Sen x
Cos x
=
(1 + Sen x )(1 − Sen x )
Cos x(1 − Sen x )
1 − Sen 2 x
=
Cos x(1 − Sen x )
Cos 2 x
=
Cos x(1 − Sen x )
=
9.
D//
Cos x
1 − Sen x
1 + Sen x
= 1 + Csc x
Sen x
1 + Sen x
1
Sen x
=
+
Sen X
Sen x Sen x
= Csc x + 1
10.
D//
Sen 2 x − Tan 2 x
= Sen x
Csc x
1
Sen 2 x
−
2
2
2
Sec x − Tan x Cos x Cos 2 x
=
1
Cos x
Sen x
1 − Sen 2 x
Cos 2 x
=
1
Sen x
Cos 2 x
Cos 2 x
=
1
Sen x
=
1
1
Sen x
= Sen x
11.
D//
Sen x Cos x
+
=1
Csc x Sec x
Sen x Cos x Sen x Cos x
+
=
+
1
1
Csc x Sec x
Sen x Cos x
= Sen 2 x + Cos 2 x
=1
12.
D//
Cos x
Cos x
+
= 2Tan x
Csc x + 1 Csc x − 1
Cos x
Cos x
Cos x
Cos x
+
=
+
1
1
Csc x + 1 Csc x − 1
+1
−1
Sen x
Sen x
=
=
Cos x
Cos x
+
1 + Sen x 1 − Sen x
Sen x
Sen x
=
Sen x Cos x Sen x Cos x
+
1 + Sen x
1 − Sen x
Sen xCos x (1 − Sen x ) + Sen x Cos x (1 + Sen x )
(2 + Senx )(1 − Senx )
=
2 Sen x Cos x
Cos 2 x