Unidad 1 Cálculo diferencial e integral
Actividad de Aprendizaje 2: La derivada de una función
Instrucciones
En la sección Guía de aprendizaje responde las cuestiones que se te indican. Luego
lleva a cabo los ejercicios de la segunda sección.
Recuerda que debes incluir evidencias del proceso que llevaste a cabo para resolver
cada problema.
Cuando hayas terminado, guarda las respuestas y envía el archivo a tu asesor.
GUÍA DE APRENDIZAJE
1. Investiga cómo obtener la pendiente de una recta, escribe la formula y un ejemplo de
esto.
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación. m= tan
La pendiente de la recta que pasa por dos puntos P(x1,y1) y P(x2,y2) es:
m= tan = y2 - y1 / x2 - x1
Ejemplo:
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que une a los puntos A(2,3) y
B(5,8)
Supongamos que 2 es x1, 3 es y1, 5 es x2 y 8 es y2
m=y2-y1 / x2-x1
m= 8-3 / 5-2
m= 5/3
m= tan
5/3=tan
59.03 = tan
2. Grafica la siguiente función
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y
y = x^2





x











3. Obtén la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3, f(3)) y (4, f(4)):
4. Lo que trataremos de hacer es encontrar la pendiente o inclinación en el punto x=3, para lo
cual te pediremos que completes la siguiente tabla.
x
3
4
3
3.5
3
3.1
3
3.01
f(x)
f(3)=
f(4)=
f(3)=
f(3.5)=
f(3)=
f(3.1)=
f(3)=
f(3.01)=
Aplicando la fórmula de pendiente
m=
m=
m=
m=
5. Si observas la tabla que completaste, verás que el denominador va disminuyendo y nos
vamos acercando al 3, pero el valor de la pendiente se va acercando a___________(aquí
escribe a qué valor se va acercando la pendiente).
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6.- En cálculo podemos escribir lo anterior en forma matemática de la siguiente manera:
7.- Ahora, investiga en tu libro de cálculo o páginas de internet la definición de derivada.
Escríbela:
La definición formal es:
f'(x) = lim [f(x + h) - f(x)] / h
. . . . .x->h
La interpretación gráfica:
La derivada se interpreta como el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el
punto dado.
Por ejemplo, si:
f(x) = x³ - 3x + 2
f'(x) = 3x² - 3
Si nos piden la pendiente de la recta tangente a la función en x= 1, entonces:
f'(1) = 3(1)² - 3 = 3 - 3 = 0
Es decir, la recta tangente a la gráfica es horizontal (o paralela al eje de las "x") en el punto x =
1.
EJERCICIOS DE DERIVADAS
Ejemplo 1:
Determina la pendiente de f(x)=x2 en el punto x=1
Solución:
Usando la definición de derivada:
m=
Primero lo vamos a hacer usando el punto “a” en forma general y al final sustituiremos
el valor de a=1
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m=
Factorizando el numerador (diferencia de cuadrados) quedaría de la siguiente forma:
m=
Simplificando, los factores iguales, que en este caso es ( x-a) quedaría:
m=
Ahora sustituimos solamente la x por la “a” y listo; ya tenemos nuestra pendiente que
es la derivada en el punto “(a, f(a))
m= a + a = 2a
¿Se parecen en algo x2 y 2a?____________________
Finalmente la respuesta es m=2a= 2(1)=2 que es el valor de la pendiente en el punto
(1, f(1)) en el punto donde la x=1
Ejemplo 2:
Hallar la pendiente de la función
en el punto x=2
Solución:
Usando la definición de derivada:
m=
Como en el ejemplo anterior primero lo vamos a hacer usando el punto “a” y al final
sustituiremos el valor de “a”, que en este caso es a=2
Sustituyendo la función tenemos:
m=
Eliminando los paréntesis obtenemos:
m=
y eliminando -3+3=0 nos queda:
m=
Factorizando el numerador (diferencia de cuadrados) quedaría de la siguiente forma:
m=
Simplificando, los factores iguales, que en este caso es ( x-a) quedaría:
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m=
Ahora, si sustituimos el valor de x por la “a” , ya tenemos la pendiente que es la
derivada en el punto “(a, f(a))”:
Ahora sustituyendo para a=2, tenemos:
Encontramos que la pendiente es
en el punto (2, (f2)) que es el punto donde
x=2
¿Qué relación observas entre la función
y su pendiente
cuando x=a?:
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
¿Qué observas en los resultados de los dos ejemplos con respecto a la función y la
pendiente obtenida en ambos casos?
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Ejercicios:
Determina la pendiente de cada función en el punto indicado en cada caso, siguiendo
los pasos del ejemplo mostrado.
1.- f(x)=
en el punto en el que x=1,
2.- f(x)=
en el punto donde x=-3,
3.-f(x)=
en el punto en el que x=1,
4.-
en el punto en el que x=-2,
5.-
en el punto en el que x=1,
6.-
en el punto en el que x=-1,
Elaborada por Edgar Silva y Patricia Rodríguez
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN:
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Lo anteriormente visto fue el procedimiento para obtener la derivada de una función, dicho
proceso en ocasiones resulta complicado; a continuación investigaremos cuáles son algunas
fórmulas que tienen como objeto simplificar este proceso de derivación. También debes de
tener en mente cada vez que apliques estas fórmulas que la derivada es un límite de la forma
anteriormente estudiada.
1. Investiga las notaciones más comunes para la derivada ____________________________
y cómo se lee ___________________________________.
2. Investiga en la bibliográfica recomendada o en páginas de internet lo referente a las
formulas de derivación y completa la siguiente tabla (utiliza la notación correspondiente).
Nombre
Derivada de una
constante
f(x)= c
Fórmula
F(x) = 0
Ejemplo
Sea cual sea la constante dara siempre 0
pues no tiene como factor a la x.
F(x)= 5ª = f1(x)= 0
Derivada de una
variable elevada
a un número n
f(x)=xn
f´(x) = nx*(n-1)
f(x) x*4
la derivada seria
f´(x) = 4x*3
Derivada de una
suma de
funciones
Derivada de un
producto de
funciones
Derivada de un
cociente de
funciones
Derivada del
producto de una
constante por
una función
Derivadas de las
funciones
trigonométricas
Ejercicios
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Determina las derivadas de cada una de las siguientes funciones aplicando las reglas de
derivación investigadas:
1. f(x)= x3
2. f(x)= 3x2
3. f(x)= 4x2 -3x+2
4.
5. f(x)= senx
6. f(x)= tanx
7. f(x)= 25
8. f(x)= (-5x)(7x2)
9. f(x)=
10. f(x)=
Aplicaciones de la derivada
Con frecuencia se presentan en nuestra vida casos cuya solución consiste en establecer valores
extremos (máximos o mínimos) de una función. Si podemos o sabemos cómo plantear la
función requerida, nos será posible resolver muchos de estos casos de aplicación práctica.
A continuación te presentaremos un ejemplo completo donde se aplica esto, paso por paso;
por favor léelo, si tienes dudas no dudes en preguntar a tu asesor. Después te presentaremos
otras dos situaciones donde ayudarás a completar el procedimiento. ¡Ánimo! No hay peor
lucha que la que no se hace.
Ejemplo1
Determina dos números naturales cuya suma es 30, tales que su producto sea lo más grande
posible.
Pasos:
Procedimiento:
1. Plantear el problema.
Primero pensaremos en dos números naturales cualesquiera,
pueden ser “x” y “y”
Ahora la suma de estos números es 30, eso lo escribimos de
forma matemática de la siguiente manera:
x + y = 30
Ahora pensaré en lo que yo quiero maximizar “Quiero
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maximizar el producto” esto en lenguaje algebraico se escribe
así:
f(x)= (x)(y) esto me indica que quiero maximizar el producto
de x por y
Pero la función anterior tiene dos variables y para poderla
derivar solo debe tener una. ¿Cómo le hacemos?
¿Te acuerdas que x + y = 30?, de aquí despeja “y”; la x que está
sumando pasa al otro miembro restando, ¿verdad?, ¿te
acuerdas? OK, entonces y=30-x
Este despeje lo sustituyes en la función que deseas maximizar:
f(x)= (x)(y)
f(x)= (x)(30-x)
Ya quedó tu función a maximizar con una sola variable.
Esperamos que no se te hayan quemado un par de neuronas
con esto.
2. Escribir
matemática
variables.
la relación f(x)= x(30-x)
entre
las o si multiplicamos
f(x)= 30x – x2
3. Derivar la función
Nuestro siguiente paso es derivar la función:
f´(30x)= 30 y f´(x2)= 2x
f´(x)= 30 – 2x
4. Igualar a cero la derivada Ahora igualamos a cero la derivada:
y resolver.
30 -2x =0 y resolvemos esto
30=2x
x=30/2
x=15
5. Los valores encontrados f(x)= 30x-x2
sustituirlos en la función que f(15)= 30(15)- 152
deseamos maximizar.
f(15)= 450-225
f(15)= 225
6. Decidir cuál valor es el El valor que maximiza la función es cuando x=15 y lo máximo
que maximiza o minimiza la del producto sería 225.
función.
Ejemplo2
Se quiere construir una caja de volumen máximo utilizando una pieza cuadrada de aluminio
de 10 centímetros por lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando las partes
restantes, ¿cuál debe ser la altura de la caja, para obtener un volumen máximo?
Pasos:
Procedimiento:
1. Plantear el problema.
Para plantear esta situación te recomendamos lo siguiente:
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a) Recorta una hoja del tamaño que se indica, cuadrado
de 10 cm. de lado.
b) En cada esquina recorta un cuadrado, de la medida
que quieras, pero los cuatro cuadrados deben ser
iguales.
c) Ahora forma la caja. La pregunta es: ¿de qué altura
debe ser la caja para alcanzar el volumen máximo?
d) Al centro se forma un cuadrado de lado 10-2x
¿Por qué 10-2x?, el lado es de 10
centímetros y le quitas dos x por el recorte que se hace de
cada esquina.
e) ¿Cómo obtenemos el volumen de una caja? Área de la
base por la altura.
f) Volumen es igual = base por altura, la base es un
cuadrado de lado 10-2x, por la altura que es “x”, la
base como es un cuadrado su área quedaría así
B=(10-2x)(10-2x)
2. Escribe
matemática
variables.
la relación V= volumen
entre
las V= (10-2x)(10-2x)(x)
Efectúa la multiplicación para que te sea más fácil derivar.
Escribe aquí el resultado.
__________________________________
Completa los siguientes pasos, tal como se hizo en el primer
ejemplo.
3. Derivar la función.
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4. Igualar a cero la derivada
y resolver.
5. Los valores encontrados
sustituirlos en la función que
deseamos maximizar.
6. Decidir cuál valor es el
que maximiza o minimiza la
función.
Ahora te toca a ti:
Ejemplo3
Una empresa estima que el costo, en dólares, de producción de x unidades de cierto producto
es C=800+0.04x+0.0002x2.
Calcular el nivel de producción que hace mínimo el costo medio por unidad. Si sabemos que
el costo medio se denomina y es igual a
Pasos:
1. Plantear el problema.
2. Escribir
matemática
variables.
Procedimiento:
la relación
entre
las
3. Derivar la función.
4. Igualar a cero la derivada
y resolver.
5. Los valores encontrados
sustituirlos en la función que
deseamos minimizar.
6. Decidir cuál valor es el
que minimiza la función.
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