Probabilidad y Estadística en Medicina UNED Curso de Experto Universitario en Probabilidad y Estadística en Medicina www.ia.uned.es/cursos/prob-estad Teorema de Bayes en medicina F. J. Díez Vegas Dpto. Inteligencia Artificial. UNED [email protected] www.ia.uned.es/~fjdiez Teorema de Bayes X Sabíamos que P ( x| y ) = P ( x, y ) P (y ) P ( x , y ) = P ( x )·P ( y | x ) P (y ) = ∑ P (y| x ) ⋅ P (x ) por la definición de P(x|y) por la definición de P(y|x) por el teorema de la prob. total x X Combinando estos resultados P ( x| y ) = P ( x, y ) P ( x ) ⋅ P ( y | x ) = = P (y ) P (y ) P (x ) ⋅ P (y| x ) ∑ P (x' ) ⋅ P (y| x' ) x' X Es decir, conociendo P(x) y P(y|x) calculamos P(x|y) 1 Probabilidad y Estadística en Medicina UNED Teorema de Bayes. Ejemplo X X X X X La enfermedad pediátrica A tiene una prevalencia del 3%. El 80% de las personas adultas que padecieron A en su infancia desarrollan la enfermedad B. Solamente el 1% de las personas que no padecieron A en su infancia desarrollan B. Tenemos un paciente que presenta la enfermedad B. ¿Cuál es la probabilidad de que padeciera A en su infancia? Solución: P ( + b) = P ( + b|+ a ) ⋅ P ( + a ) + P ( + b| ¬ a ) ⋅ P ( ¬ a ) = 0'80 ⋅ 0'03 + 0'01⋅ 0'97 = 0'024 + 0'0097 = 0'0337 P ( + a|+ b ) = = P ( +a ) ⋅ P ( + b|+ a ) P ( + b) 0'03 ⋅ 0'8 = 0'7122 0'0337 Conceptos básicos en medicina Enfermedad E, hallazgo H X Prevalencia: P(+e) X Sensibilidad: P(+h|+e) X Especificidad: P(¬h|¬e) X Incidencia absoluta = nuevos casos / período de tiempo X Incidencia relativa = nuevos casos / ( período de tiempo × nº habitantes ) Ejemplo: 13’73 casos de IAM / año × 10.000 habitantes · En situaciones estables: 2 Probabilidad y Estadística en Medicina UNED Valor predictivo de un hallazgo X Valor predictivo positivo: P(+e|+h) P ( + e ) ⋅ P ( + h|+ e ) P ( + e ) ⋅ P ( + h|+ e ) + P ( ¬ e ) ⋅ P ( + h | ¬ e ) P ( + e |+ h ) = VPP = X P rev ⋅ S e ns P re v ⋅ S ens + (1 − P re v ) ⋅ (1 − E sp ec ) Valor predictivo negativo: P(¬e|¬h) P ( ¬ e| ¬ h ) = VPN = P ( ¬ e ) ⋅ P ( ¬ h| ¬ e ) P ( + e ) ⋅ P ( ¬ h|+ e ) + P ( ¬ e ) ⋅ P ( ¬ h| ¬ e ) ( 1 − P re v) ⋅ E s p e c P re v ⋅ ( 1 − S e n s ) + ( 1 − P re v ) ⋅ E s p e c Ejemplo Prev 0’01 0’08 0’01 0’01 Sens 0’99 0’99 0’999 0’99 Espec 0’99 0’99 0’99 0’999 Vpp 0’5 0’84 0’502 0’9 Vpn 0’9999 0’9995 0’99999 0’9999 3 Probabilidad y Estadística en Medicina UNED Advertencia X ¡Mucho cuidado al hablar de la fiabilidad de un test! X Ejemplo: ³ La prevalencia de X es el 1‰ → P(+x) = 0’001 ³ La sensibilidad de Y es el 98% → P(+y|+x) = 0’98 ³ La especificidad de Y es el 96% → P(¬y|¬x) = 0’96 ³ Por tanto, la fiabilidad de Y es: F = P(+x,+y) + P(¬x,¬y) = P(+y|+x) · P(+x) + P(¬y|¬x) · P(¬x) = 0’98 · 0’001 + 0’96 · 0’999 = 0’96002 ³ Es decir, la prueba Y determina el valor correcto de X en el 96% de los casos. ³ Sin embargo, un resultado positivo en Y no significa que el paciente tenga un 96% de probabilidad de padecer X. ³ De hecho, Vpp = P(+x|+y) = 0’024 = 2’4% ≠ 96% Forma racional del teorema de Bayes P ( + e ) ⋅ P ( h |+ e ) P ( + e ) ⋅ P ( h |+ e ) + P ( ¬ e ) ⋅ P ( h | ¬ e ) P ( ¬ e ) ⋅ P ( h| ¬ e ) P ( ¬ e| h ) = P ( + e ) ⋅ P ( h | + e ) + P ( ¬ e ) ⋅ P ( h | ¬ e ) P ( + e| h ) = ⇒ R P p re ≡ P (+e ) P (¬e ) P ( + e| h ) P ( + e ) P ( h |+ e ) = ⋅ P ( ¬ e| h ) P ( ¬ e ) P ( h| ¬ e ) R P post ≡ P ( + e| h ) P (¬ e| h ) RV ≡ P ( h |+ e ) P ( h| ¬ e ) RP = Razón de probabilidad (“odds”) RV = Razón de verosimilitud (“likelihood ratio”) R P p o s t = R P p re ⋅ R V 4 Probabilidad y Estadística en Medicina UNED Ejemplo P ( + e ) = 0 '0 3 ⇒ R P p re = R P p o s t = R P p re ⋅ R V h severo m oderado leve ausente P(h|+e) 0’35 0’45 0’16 0’04 P ( + e| h ) = P(h|¬e) 0’01 0’03 0’16 0’80 0 '0 3 = 0 '0 3 0 9 1 − 0 '0 3 P ( + e| h ) = RV 35 15 1 0’05 R P post 1 + R P post RP post 1’0825 0’4640 0’0309 0’0015 P(+e|h) 0’5198 0’3169 0’0300 0’0015 P ( + e ) ⋅ P ( h |+ e ) P ( + e ) ⋅ P ( h | + e ) + ( 1 − P ( + e )) ⋅ P ( h | ¬ e ) 5