APUNTES PARA MICROECONOMÍA I

APUNTES PARA MICROECONOMÍA I
LA FUNCION DE PRODUCCION Y LA MAXIMIZACION DE
BENEFICIOS1
Ing. Lorenzo Castro Gómez2
LA MAXIMIZACION DE BENEFICIOS CON UN INSUMO VARIABLE
El objeto del análisis insumo-producto es determinar la cantidad
óptima de combinación de insumo variable con insumos fijos y debe
responder a cuestiones como ¿cuánto fertilizante aplicar por hectárea?, etc..
La respuesta depende del administrador:
 Maximizar sus beneficios dado el precio del producto y
el precio del insumo. (Competencia perfecta).
 Un productor que actúa racionalmente, debe operar en
la etapa II de la producción en donde 0 > E < 1.
Bajo los siguientes supuestos:
 El productor trata de obtener el máximo beneficio
de la aplicación del insumo variable.
 El productor conoce con exactitud su función de
producción y los precios del insumo y del producto
precios sobre los que no influye en forma individual
(para él los precios son constantes).
Métodos para determinar el óptimo económico.
Determinar el punto óptimo de operación más rentable para la
empresa en el corto plazo para determinar el óptimo económico (beneficio
máximo) de la empresa, debemos determinar el nivel óptimo de utilización
del insumo y a partir de éste el nivel óptimo de producción. Dada la función
de producción el precio del insumo y el precio del producto, la función de
beneficio de la empresa es:
1
BT = IT - CT3
2
BT = IT – (CVT + CFT)4
3
BT = Py Y – (Px X + CFT)5 ;
Notas para la materia de Microeconomía I, de la carrera de Economía Agrícola y Agronegocios. DCSE –
UAAAN.
2
Profesor del departamento de Economía Agrícola DCSE – UAAAN, Saltillo, Coah. México
1
3
4
Donde BT = beneficio total, IT = ingreso total y CT = costo total.
Donde CVT = costo variable total y CFT = costo fijo total
Departamento de Economía Agrícola, DCSE - UAAAN
Página 1
APUNTES PARA MICROECONOMÍA I
4
BT = Py Y – (Px X + a) , donde a = CFT
5
BT = Py ƒ(x) – (Px X + a)6
DETERMINACION DEL NIVEL OPTIMO DE APLICACION DEL INSUMO
La función de beneficio está en función de la cantidad de insumo que
se aplique, por lo tanto podemos encontrar el valor máximo de la función de
beneficios igualando a cero su primera derivada:
dBT/dx = Py dy/dx - Px = 0
Py PMg - Px = 0
insumo.
; donde Py PMg es el valor del PMg y Px es el precio del
Despejando
se tiene Py PMg = Px
que es la condición de
maximización de beneficios, esta condición implica que para maximizar
beneficios, un productor siempre debe buscar que el ingreso generado por
la última unidad de insumo sea igual al costo de dicha unidad. En otras
palabras, el productor no debe dejar de agregar unidades de insumo
mientras éstas le generen un ingreso más alto que lo que le cuesta
aplicarlas.
En un experimento se trató de medir el efecto de diferentes cantidades
de semilla por hectárea sobre la producción de papa. Para ello sólo se
permitió que variase el nivel de utilización de semilla al momento de la
siembra, mientras que todos los demás factores de la producción fueron
controlados lo más estrictamente posible.
5
Py es el precio del producto y Px es el precio de los insumos.
6
Donde Py f(x) es el ingreso total (IT) y (Px X + a) es el costo total (CT).
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Página 2
APUNTES PARA MICROECONOMÍA I
DESPUES DE LA COSECHA SE REGISTRARON
RENDIMIENTOS PROMEDIO POR HECTAREA.
Cantidad
Producción Product
de
de
papa o medio
semilla/Ha* Ton/Ha
0
0
0
1
4.8
4.8
2
12.4
6.2
3
21.6
7.2
4
31.2
7.8
5
40.0
8.0
6
46.8
7.8
7
50.4
7.2
8
49.6
6.2
9
43.2
4.8
* Cada unidad equivale a 360 Kg.
** Promedio
*** Exacto
Producto
marginal
P**
E***
0
0
4.8
7.6
7.6
9.2
9.2
9.6
9.6
9.4
8.8
8.0
6.8
5.4
3.6
1.6
-0.8
-3.4
-6.4
-9.6
LOS
SIGUIENTES
Precio del Precio de
Nitrógeno
la papa
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Con estos datos ¿Qué cantidad de semilla aconsejaría que use el productor?
¿Por qué ?
De qué manera(s) puede dar una recomendación con certeza.
Es suficiente esta información para hacer una recomendación económica.
Estas preguntas saltan a la vista en el análisis y deberán tener respuesta.
Otra forma de presentar los datos más compacta es por la función de
producción que es una ecuación que se puede obtener a partir de los datos
de aplicación de insumos y rendimientos mediante las técnicas de mínimos
cuadrados -(regresión)7
sea Y = ƒ(x) donde Y = PT, rendimientos en toneladas de papa y X las
unidades de semilla aplicadas (una unidad equivale a 360 Kg.). Entonces se
tiene:
Y = 3X + 2X2 - 0.2X3
y el precio de la papa es de $ 3 por tonelada y el de la semilla es de $ 7 por
cada 360 Kg entonces Py = 3 y Px = 7, sustituyendo el PMg en la condición de
equilibrio queda lo siguiente
Py PMg = Px o lo que es lo mismo 3 ( 3 + 4X - 0.6X2 ) = 7
7
Es un modelo estadístico de la forma Y = a + bx1 + bx2 + …. + bxn + u , que se estudiará de estadística.
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APUNTES PARA MICROECONOMÍA I
resolviendo para X se tiene 9 + 12X - 1.8X2 - 7 = 0, finalmente queda 2 + 12X 1.8X2 8 dando como resultado 6.5 que es el nivel óptimo económico de
aplicación del insumo,
sustituyendo el valor de X en la función de producción se encuentra el nivel
de producción de máximo beneficio.
Y = 3 (6.5) + 2 (6.5)2 - 0.2 (6.5)3
Y = 49
Para la determinación gráfica del nivel de aplicación de insumo, los
datos se organizan de la siguiente manera y luego se hace la gráfica.
X
Y
PMg
PyPMg
Px
VPMg*
1
4.8
6.4
19.2
7
2
12.4
8.6
25.8
7
3
21.6
9.6
28.8
7
4
31.6
9.4
28.2
7
5
40.0
8.0
24.0
7
6
46.8
5.4
26.2
7
7
50.4
1.6
4.8
7
8
49.6
-3.6
-10.8
7
9
43.2
-9.6
-28.8
7
_____________
* Valor del producto marginal
8
Como esta estructura se parece a AX2 + BX - C = 0 y para la resolución de estas ecuaciones se hace uso de la
general.-b ±√b2 – 4ac /2a
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fórmula
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La condición de maximización es P y PMg = Px y se puede convertir en
PMg = Px / Py, el producto marginal del insumo variable debe ser igual a la
relación entre el precio del insumo y el precio del producto. Si P x / Py = 3 la
última unidad del insumo debe agregar 3 unidades a la producción. En
conclusión, el nivel de aplicación del insumo depende de Px, Py y de la
relación física entre insumo y producto.
3.- DETERMINACION DE LA PRODUCCION OPTIMA ECONOMICA CUANDO
SE CONOCE LA FUNCION DE COSTOS
Cuando la diferencia entre el ingreso total y el costo total es máxima los
beneficios son máximos, cuando esto sucede se ha encontrado el nivel
óptimo de producción de la empresa, y por tanto, dada la función de
producción, el nivel óptimo de utilización de insumos es
1
BT = IT - CT
2
IT = Py Y
3
CT = Px X + CFT , donde Px X es el CVT
4
BT = Py Y – (Px X + CFT), pero
X = f-1 (Y)
5
BT = Py Y – [Px ƒ-1 (Y) – CFT]
Dado que en 5 los beneficios dependen únicamente del nivel de producción,
las condiciones marginales para la maximización de beneficios se convierte
en:
dBT/dy = Py - Px dx/dy = 0
la dy/dx nos indica cómo cambia el nivel de utilización del insumo cuando
varía la producción, de donde se tiene que
dx/dy = 1/dy/dx = 1/PMg
Por lo que la condición marginal puede escribirse como:
dBT/dy = Py -Px/PMg = 0
dado que sabemos que CMg = Px/PMg
entonces, la condición de
maximización también puede escribirse como:
dBT/dy = Py - CMg = 0
Px = CMg
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APUNTES PARA MICROECONOMÍA I
En forma más general, la diferenciación de la ecuación de beneficios
puede escribirse como:
dBT/dy = dIT/dy - dCT/dy = 0
dBT/dy = IMg - CMg = 0
IMg = CMg esto se da sólo en competencia perfecta.
OPTIMIZACION CON UN INSUMO VARIABLE
SEA LA FUNCION Y = 3X + 2X2 - 0.2X3
insumo producto
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
4.8
12.4
21.6
31.2
40.0
16.8
50.4
49.6
43.2
PMg
exacto
6.40
8.6
9.6
9.4
8.0
5.4
1.6
-3.4
-9.6
IT
0
14.4
37.2
64.8
93.6
120.0
140.4
151.2
148.8
129.6
IMg
3
3
3
3
3
3
3
3
3
CT
100
107
114
121
128
135
142
149
156
163
CMg
exácto
1.9
0.82
0.73
0.74
0.88
1.30
4.38
---------------------
BT
-100
-92.6
-76.8
-56.2
-36.4
-15.0
-01.6
-02.2
-07.2
-33.4
IT = Py Y ; Py = 3, IT = 3Y por lo tanto dIT/dY = 3, y sabiendo que el precio es
Px = 7.
Podemos calcular el CMg sin tener la función de CT, simplemente
sabiendo que CMg = Px / PMg. De la misma manera podemos calcular CVM, y
se tiene CVM = Px / PM, el IMg = Py = 3.
PARA SABER EL NIVEL óPTIMO DE LA PRODUCCION
insumo
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Producto
0
4.8
12.4
21.6
31.2
40.0
46.8
50.4
49.6
43.2
CVM
CMg
IMg
CMT
---------------- ---------------- ---------------- ---------------1.46
1.09
3
22.29
1.13
0.82
3
9.19
0.97
0.73
3
5.60
0.90
0.74
3
4.10
0.88
0.88
3
3.38
0.90
1.30
3
3.03
0.96
4.38
3
2.93
1.13
---------------3
3.15
1.46
---------------3
3.77
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APUNTES PARA MICROECONOMÍA I
El punto óptimo se encuentra entre el insumo 6 y 7 y todos los demás
valores de la fila.
¿PRODUCIR O NO PRODUCIR?
En el corto plazo el productor debe producir sólo si el precio que
recibe por su producto es mayor que el costo variable medio. Esto es así
porque en el corto plazo de cualquier modo debe pagar los costos fijos y si
el precio no cubre el costo variable medio (CVM), además de los costos fijos
perderá parte de los costos variables. En el largo plazo sólo producirá si el
precio del producto es mayor que el CMT ya que en el largo plazo puede
ajustar todos los máximos (fijos y variables) o retirarse del negocio.
CVMmín = Px / PM , cuando PM es máximo.
De la función de producción el producto medio es:
PM = 3 + 2X - 0.2X2
donde la dPM/dx = 2 - 0.4X esto es igual a 2 / 0.4 = X y X = 5
PMmax = 3 + 2X - 0.2X2 = 3 + 2 (5) - 0.2 (5)2 = 10
CVMmin = Px / PM = 7/10 = 0.70
A corto plazo se produce si y sólo si Py = 0.70, es decir, si el precio del
producto es menor o igual al costo variable medio mínimo. A largo plazo se
produce sólo si el precio del producto es mayor que el costo medio total.
¿Qué pasa si aumenta el precio del insumo? El precio del insumo
ocasiona movimientos de la curva de costo marginal; es decir, que el mínimo
nivel de producción se puede obtener a mayor costo, y, por lo tanto, si el
precio del producto permanece constante, se produce menos. El cambio del
precio del producto ocasiona movimientos a lo largo de la curva de CMg, lo
que implica que si aumenta el precio del producto y todo "permanece
constante", el productor está dispuesto a incrementar su producción.
Comparación del método de optimización de insumos y el método de
optimización de la producción como criterios de maximización del beneficio
total.
El criterio del óptimo de insumos es:
VPMg = Px implica que Py PMg = Px
Py ( dy/dx ) = Px lo que implica que Py ( dx/dy ) = CMg
Py dy = Mide el incremento en el ingreso debido a un
incremento de la producción. Es el valor de la
producción adicional.
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Página 7
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Px dx = Mide el incremento del costo debido a un incremento
en la utilización del insumo. Es el costo de las
unidades adicionales de insumo.
Bajo el criterio de la producción óptima
Py = CMg
Py = Px/PMg = Px / PMg
Py = Px /(dy/dx) = Px /(dy/dx)
Px = Px / (dx/dy)
Py dy = Px dx
Los dos Métodos son comparables y conducen a la misma condición
de maximización. El CMg y el IMg se refieren a unidades de producto. Un
aumento de una unidad de producto incrementa el ingreso total en P y dy =
IMg, e incrementa el
CT en Px /dy/dx = Px dx/ dy = CMg.9
9
El criterio de CMg = IMg no debe usarse cuando se habla de ingresos o costos por unidad de insumo. El criterio de
VPMg = Px no debe usarse cuando se habla de unidades adicionales de producto.
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LA COMBINACION OPTIMA DE INSUMOS
( Relación Insumo-Insumo )
Hemos estudiado el caso en que la decisión de producción dependería
de la aplicación de un sólo insumo pero muchos problemas de producción
implican la variación de dos o más insumos variables. Esto plantea al
productor el problema de seleccionar una combinación de insumos que le
permita maximzar sus beneficios.
El caso más simple de este tipo es aquel en el que sólo dos insumos
son variables y el resto fijos
Y = ƒ (X1, X2, / X3 . . . Xn)
Y = Producción de maíz Ton/Ha.
X1= Cantidad de nitrógeno Lits/Ha
X2= Densidad de plantas miles/Ha
X3= 1 hectárea
Xe . . . Xn = Clima, tecnología, etc..
Cuando se pueden variar dos o más insumos, un mismo nivel de
producción puede obtenerse de varias formas:
Ejemplo:
Respuesta del rendimiento de maíz a la aplicación de nitrógeno y al número
de plantas por ha. (Hipotético).
Kgs.N/ha
PLANTAS POR HECTÁREA (MILES)
0
50
100
150
200
9
12
15
18
50.6
54.2
53.5
48.5
78.7
85.9
88.5
87.5
94.4
105.3
111.9
114.2
97.8
112.4
122.6
128.6
88.9
107.1
121.0
130.6
Al analizar hileras Y = f (D)
21
39.2
81.9
112.2
150.3
135.9
Al
analizar
columnas
Y = f(N)
Dado que distintas formas de obtener el mismo nivel de producción el
problema es determinar cuál es la forma más rentable de lograrlo. (Se debe
decidir qué combinación de insumo usar).
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Cada combinación de insumos produce una cantidad única de
producto:
ISOCUANTA (10)
UNA FUNCION DE PRODUCCION HIPOTETICA PARA DOS INSUMOS
VARIABLES
La tabla representa la cantidad de producto que se puede obtener
como resultado de cada combinación de insumos X1 y X2. Todos estos
niveles de producción fueron generados a partir de la función de producción
siguiente:
Y = 18X1 - X21 + 14X2 - X21
(1)
10
Muestra las diferentes combinaciones de insumo que greneran una misma cantidad de producto. (Los insumos se
pueden combinar de distintas maneras para obtener el mismo nivel de producción)
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Página 10
APUNTES PARA MICROECONOMÍA I
La producción para cualquier combinación de insumos puede
calcularse mediante la sustitución de los valores seleccionados de X1 y X2 en
la función de producción.
La producción alcanza su nivel máximo cuando el producto marginal para
cada insumo es igual a cero:
dy/dX1 = 18 - 2X1 = 0
dy/dX2 = 14 - 2X2 = 0
X1 = 9 y X 2 = 7
Cuando X1 = 9 y X2 = 7, la producción es máxima ( Y = 130 ).
Para niveles de aplicación de insumos mayores ( X1 > 9; X2 > 7 ) la
producción disminuye.
La posibilidad de sustituir un insumo por otro (relación insumo insumo), permite obtener un nivel dado de producción con distintas
combinaciones de insumos (isocuanta)
por ejemplo, 105 unidades de producto pueden obtenerse con las siguientes
combinaciones de insumos: sea la siguiente tabla de datos. (11)
X1
X2
9
2
6
3
5
4
4
7
5
10
Isocuanta
ECUACION DE LA ISOCUANTA
Resolviendo la función de producción (1) para X1 mediante la fórmula
cuadrática:
11
A partir de los datos de la tabla se pueden construir otras isocuantas.
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APUNTES PARA MICROECONOMÍA I
X21 - 18X1 + (Y + X22 - 14X2) = 0
como se tiene una estructura la cual se resuelve con la formula general, se
obtiene la solución siguiente.12
X1 = 18 √ 324 + 56X2 - 4X22 - 4Y / 2
= 18 – √( 81 - 14X2 - X22 – Y) / 2
Sacando 4 como factor común en la raíz y dividiendo entre 2
obtenemos la ecuación de la isocuanta13
X1 = 9 - ( 81 + 14X2 - X22 - Y )½
Por ejemplo: si X2 = 7 y Y = 105, X1 = 4, si X2 = 4; Y = 105 y X1 = 5.
TASA MARGINAL DE SUSTITUCION TECNICA
La tasa marginal de sustitución técnica (TMgST) se define como la
cantidad en que debe disminuir un insumo por unidad de incremento del
otro para mantener constante el nivel de producción. La TMgST está dada
por la pendiente de la isocuanta y varía para cada punto de la misma.
TMgSTx2 por x1 = AX1/AX2 = 6 - 9 / 3 - 2 = - 3
Forma de calcular la tasa marginal se sustitución técnica exacta: la
función de producción es: Y = ƒ(X1, X2), sacando el diferencial total, se tiene
dy = dy/dX1 dX1 + dy/dX2 dX2
recordando que dy/dX1 = PMg X1
dy/dX2 = PMg X2
En una isocuanta al variar la combinación de insumos dy = 0
PMg X1 dX1 + PMg X2 dX2 = 0
dX1 = PMg X2 / PMg X1 dX2
dX1 / dX2 = PMg X2 / PMg X1 = TMgST (x2 por x1).
12
Ver nota seis.
Con esta ecuación se pueden generar distintas combinaciones de insumos, para una determinada producción
que el productor decida.
13
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Página 12
APUNTES PARA MICROECONOMÍA I
RELACIONES ENTRE INSUMOS
Los insumos son técnicamente sustituibles cuando un incremento en
el uso de un insumo permite disminuir el uso del otro sin variar el nivel de
producción.
Las maneras en que los insumos pueden combinarse para obtener un
mismo nivel de producción se dividen en tres grupos:
1). Insumos que se combinan en proporciones fijas ( insumos
complementarios ).
Existe sólo una manera de combinar los insumos para obtener un
nivel de producción ( 2H + O = H2O ; 4H + 2O = 2H2O; ....etc.).
Es muy fácil encontrar casos de proporciones fijas en la agricultura (1
tractor por 1 arado).
No existe ningún problema para determinar la combinación óptima de
insumo, el único problema es determinar cuánto producir.
2). Tasa de sustitución constante. (Insumos perfectamente sustituibles).
Ocurre cuando la cantidad de un insumo que es reemplazada por una
unidad del otro no varía con la cantidad del insumo que se agrega.
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Página 13
APUNTES PARA MICROECONOMÍA I
La gráfica muestra que TMgST = - AX1 / AX2 = K (14)
3). Insumo con tasa de sustitución variable.
Para mantener constante la producción se requieren cantidades
mayores de un insumo para sustituir una cantidad del otro.(Cada vez es más
difícil sustituir un insumo por otro). La TMgST decrece a lo largo de la
isocuanta. (Una vaca producirá más o menos la misma cantidad de leche con
una pequeña adición de granos y una disminución relativa mente grande de
heno). Ver la siguiente gráfica.
14
La TMgS de X2 por X1 es constante, lo cual implica que la isocuanta es una línea recta. (un insumo perfectamente
sustituible). En una ración alimenticia se sabe más o menos con exactitud cuantos Ks. de maíz deben usarse para sustituir
a un Kg. de sorgo sin variar el valor alimenticio de la ración. Otro ejemplo es la sustitución de un trabajador cal ficadpor
uno no calificado ( siempre se sabe a cuantostrabajadores no calificados equivale uno calificado).
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Página 14
APUNTES PARA MICROECONOMÍA I
LINEA DE ISOCOSTOS
Cada combinación tiene costo asociado con ella. El costo es variable
porque los insumos son considerados variables. Si:
X1 = Cantidad empleada del insumo X1
X2 = Cantidad empleada del insumo X2
PX1 = Precio unitario del insumo X1
PX2 = Precio unitario del insumo X2 (15)
CVT = PX1X1 + PX2X2 dados los precios de los insumos:
PX1 = 2
y
PX2 = 3
El costo variable es función de las cantidades empleadas de insumos:
CVT = 2X1 + 3X2
Sí CVT = 18 , CVT = 24 se tiene la siguiente gráfica.
La ecuación de isocosto puede determinarse resolviendo la ecuación
de CVT para X1
PX1X1 = CVT - PX2X2
X1 = CVT / PX1 - PX2/PX1 * PX2
15
PX1 , PX2 son conocidos por el productor.
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Página 15
APUNTES PARA MICROECONOMÍA I
X1 = 18/2 - 3/2 * X2
X1 = 9 - 3/2 X2
PX2/PX1 es la pendiente de la isocosta; si varía el precio de los insumos varía
la pendiente de la isocosta.
COMBINACION OPTIMA DE INSUMOS (COMBINACION DE MINIMO COSTO)
Generalmente el problema del productor es determinar como obtener
cierto nivel de producción a un costo mínimo:
CT = PX1X1 + PX2X2 + b ; donde b es CFT
Una vez seleccionado el nivel de producción, el problema consiste en
encontrar la combinación de insumos de mínimo costo.
Por lo tanto, el problema consiste en minimizar el CT sujeto a la
restricción de obtener una producción fija; utilizando la técnica del
multiplicador de Lagrange:16
Por lo que se tiene la TMgST = PX2/PX1, PMgX1/PX1 = PMgX2/PX2. El último
peso invertido debe generar la misma producción si se invierte X 1 que si se
invierte en X2.
La producción de mínimo costo se obtiene cuando la TMgST es igual a
la relación de precios de los insumos. Gráficamente esto significa que una
línea de isocosto debe ser tangente a una isocuanta.
"La pendiente de la isocuanta es igual a la pendiente de la isocosta".
16
El metodo más ampliamente usado para obtener máximos y mínimos de funciones sometidas a restricciones de igldad,
es el de los multiplicadores de Lagrange. Consultar a E. Draper Jean Matemáticas para administración y economía. pp.
375-385 Ed. Harla.
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APUNTES PARA MICROECONOMÍA I
TMgST = dX1 / dX2 indica cómo se puede sustituir técnicamente
los insumos.
PX2 / PX1
india la tasa a la que pueden sustituirse
los insumos en el mercado.
Entonces la igualdad dX1 / dX2 = PX2 / PX1 indica que la combinación
de insumos que genera una determinada producción al mínimo costo es
aquella en que se iguala la tasa a la que los insumos se pueden sustituir en
el mercado, o también dX2 PX2 = - dX1 PX1 indica que el aumento en el costo debido a la
disminución de X1.
Entonces, si se encuentra que:
( - PX1 dX1 > PX2 dX2 ) se deben hacer los siguientes ajustes X2 se
incrementa, X1 disminuye, por lo que el CT disminuye también.
En cambio si se encuentra que:
( PX1 dX1 < - PX2 dX2 ) se deben hacer los diferentes ajustes
X1 se incrementa, X2 disminuye, por lo que el CT disminuye también.
Ejemplo:
Nuestra función de producción es Y = 18X1 - X21 + 14X2 - X22
PMg X1 = 18 - 2X1
PMg X2 = 14 - 2X2
entonces la
TMgST = dX1/dX2 = PMg X2 / PMg X1 y esto es igual a:
14 - 2X2 / 18 - 2X1, por lo que la TMgST = 7 - X2 / 9 - X1
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APUNTES PARA MICROECONOMÍA I
Sí PX1 = 2 y PX2 3, la combinación de mínimo casto se obtiene cuando
TMgST = PX2 / PX1 que es, 7 - X2 / 9 - X1 = 3/2
despejando X2:
7 - X2 = 3 (9 - X1)
- X2 = 3X1 - 27 + 7 / 2
X2 = 3X1 - 27 + 14 / 2
X2 = 3X1 - 27 + 14 / 2
X2 = 3X1 - 13 / 2
Dados los valores de X1 se pueden encontrar los niveles de X2 que hacen
mínimo el costo dado cierto nivel de producción.
Substituyendo X2 en la función de producción se tiene:
Y = 18 X1 - X21 + 14 (3X1 - 13) / 2 - (3X1 - 13)2/2
Y = 18 X1 X21 + (42X1 - 182)/2 - (9X21 - 78X1 + 169)/4
Y = 72X1 - 4X21 + 84X21 - 364 - 9X21 - 78X1 169 / 4
Y = 234X1 - 13X21 - 533 / 4
Y = 58.5X1 - 3.25X21 - 133.25
Si el nivel deseado de producción es Y = 105 entonces
105 = 58.5X1 - 3.25X21 - 133.25 resolviendo para X1 dado que Y = 105, se tiene
50.5X1 - 3.25X21 - 133.25 - 105 = 0, dividiendo por 3.25, se tiene X21 - 18X1 +
73.30 = 0, y resolviendo por la fórmula general se tiene que:
X1 = 18 ± √ 324 - 4(73.30) / 2, por lo que queda X1 = 6.2 y X2 = 3X1 - 13 / 2 = 3 (6.2) - 13 / 2 = 2.8.
Sustituyendo estos valores en la condición de minimización de costos
se tiene TMgST = PX2 / PX1, la cual puede expresarse también como:
PMgX1 / PX1 = PMgX2 / PX2 entonces tenemos
18 - 2 (6.2) / 2 = 14 - 2 (2.8) / 3 = 2.8
El último peso gastado en insumos debe producir 2.8 unidades de producto.
Es decir que el producto marginal del último peso gastado en insumos debe
ser igual para los dos insumos.
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LA RUTA DE EXPANSION
La ruta de expansión es una línea que representa las combinaciones
de insumo de mínimo costo para todos los niveles de producción. Lo cual se
describe en la siguiente gráfica.
A, B, C = Combinaciones de insumos de mínimo costo para distintos niveles
de productos. ( puntos donde la TMgST es igual)
ECUACION DE LA RUTA DE EXPANSION
La ecuación de la ruta de expansión se obtiene de la condición de
minimización de costos PMgX2/PMgX1=PX2/ PX1, la cual se resuelve para X1
dada la relación de precios de los insumos, PX1 = 2 ; PX2 = 3 por lo que se
tiene:
14 - 2X2 / 18 - 2X1 = PX2 / PX1 , y entonces 7 - X2 / 9 - X1 = PX2 / PX1 lo que
implica que (7 - X2) PX1 = (9 - X1) PX2 por lo que se tiene
X1 = 9 - (PX1 / PX2) (7-X2), y
X2 = 9 - (2/3) (7 - X2)
X1 = 13/3 + 2/3 X2 que es la ecuación de la
ruta de expansión.
La ecuación de la ruta de expansión cambia cuando varía la relación
de precios de los insumos.
X1 = 9/7 X2 cuando PX2 /PX1 = 9/7
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APUNTES PARA MICROECONOMÍA I
Mediante la ecuación de la ruta de expansión y la función de
producción puede encontrarse la combinación de insumos de mínimo costo
para cada nivel de producción. La cuestión es ahora: ¿Cuál es el nivel de
producción de máximo beneficio? sólo uno de los puntos de la ruta de
expansión es de máximo beneficio.
MAXIMIZACION DE BENEFICIOS
Como se vio en el apartado de los costos y los beneficios se tiene que,
BT = IT - CT
BT = Py Y – (Px1 X1 + Px2 X2 -+CFT)
Maximizar BT con respecto a los insumos variables se tiene que
dBT/dX1 = Py dy/dX1 - PX1 = 0
VPMgX1 = PX1
dBT/ dX2 = Py dy/dX2 - PX2 = 0
VPMgX2 = PX2
El criterio de maximización requiere que el beneficio marginal para cada
insumo sea igual a su costo. Esto debe cumplirse simultáneamente para los
dos insumos:
VPMgX1/PX1 = VPMgX2/PX2
VPMgX1 = PX1, lo que es lo mismo VPMgX1/PX1
VPMgX2 = PX2, lo que es lo mismo VPMgX2/PX2
Sabemos que:
PMgX1 = 18 - 2X1
PMgX2 = 14 - 2X2
Sí Py = 0.65
VPMgX1 = (18 - 2X1) 0.65
VPMgX2 = (14 - 2X2) 0.65
Si el precio de los insumos es PX1 = 9 y PX2 = 7 las condiciones de
maximización son:
VPMgX1 = PX1
(18 - 2X1) 0.65 = 9
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VPMgX2 = PX2
(14 - 2X2) 0.65 = 7
resolviendo para X1 y X2 se tiene:
X1 = 2.08, y X2 = 1.6, al sustituir estos valores en la función de producción de
máximo beneficio (Y=53) cuando -PX1 = 9; PX2 = 7 y Py = 0.65.
GENERALIZACION DE LOS CRITERIOS DE OPTIMIZACION PARA MAS DE
DOS INSUMOS VARIABLES
Minimización de costos:
PMgX1/PX1 = PMgX2/PX2 = . . . . . . PMgXn/PXn
La razón entre el PMg y el precio debe ser igual para todos los
insumos. Si un insumo (X) cuesta dos veces más que otro (Y), una unidad
adicional de (X) deberá producir dos veces más producto que una de (Y).
MAXIMIZACION DE BENEFICIOS
VPMgX1/PX1 = VPMgX2/PX2 = . . . . . VPMgXn/PXn
La relación entre los beneficios marginales generados por cada
insumo y el costo deben ser iguales.
OTRO METODO PARA DETERMINAR LA PRODUCCION DE MAXIMO
BENEFICIO CON DOS INSUMOS VARIABLES
Como se sabe que
BT = IT - CVT - CFT
BT = Py Y - CV(Y)
dBT/dy = Py - dCV/dy
= Py - CMg = 0
IMg = CMg
Requerimos expresar la función de beneficio exclusivamente como
función de la producción por lo tanto, se requiere encontrar la función de
costos a partir de la función de producción. Para ello se procede de la
siguiente manera.
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APUNTES PARA MICROECONOMÍA I
1.- Expresar la ecuación de producción como función de una sola variable,
esto se logra sustituyendo la ecuación de la ruta de expansión en la función
de producción.
Y = 18X1 - X21 + 14X2 - X22 teniendo que PX2 = 7 y PX1 = 9 en donde se tiene
despejando X1 = 9/7 X2, por lo que sustituyendo se tiene Y = 18 (9/7X2) (9/7X2)2 + 14X2 - X22,
Y = 162/7X2 - 81/49X22 + 14X2 - X22
Y = 162X2 - 81/49X22 + 98/7 X2 - 49/49X22
Y = 260/7 X2 130/49 X22.
2.- Sustituir la ruta de expansión en la ecuación de costo variable total, para
desde esta manera restringirlo a combinaciones de insumos de mínimo
costo.
CVT = PX1X1 + PX2X2
CVT = 9X1 + 7X2 Ecuación de costo
CVT = 9 (9/7X2) + 7X2 Cuando X1 9/7X2
CVT = 81/7X2 + 7X2
CVT = 130/7 X2
3.- Resolviendo la ecuación de producción mediante la fórmula cuadrática
para encontrar su inversa para valores enteros entre 0 y 130 unidades de
producto:
260/7X2 - 130/49X22 - Y = 0
130/49X22 - 260/7X2 + Y = 0
X2 = 260/7 ± ¹ (260/7)2 - 4 (130/49) Y / 2 (130/49)
X2 = 260/7 ± ¹ (260/7)2 - 520/49 Y / 2 (130/49)
X2 = 7 - 49/260 ± ¹ 260/7 - 520/49 Y
El costo variable total a lo largo de la ruta de expansión es: CVT 130 ( 1 7/260 ± ¹ (260/7)2 - 520/49 Y )
CVT = 130 [ 1- 7/260 { (260/7)2 - 520/49 Y }½ ]
CMg = dCVT/dy = ½ (520/49) (-7 * 130 / 260) { (260/7)2 - 520/49 Y }-½
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CMg = 130/7 [ (260/7)2 - 520/49 Y ]-½
La condición de equilibrio es:
IMg = CMg
Py = CMg
Sí Py = 0.65
0.65 = 130/7 [ (260/7)2 - 520/49 Y ]-½
0.65 (7/130) = [ (260/7)2 - 520/49 Y ]-½
0.65 (7/130) = ¹ (260/7)2 - 520/49 Y
¹ (260/49)2 - 520/49 Y = ( 1/0.65 * 130/7)
520/49 Y = (260/7)2 - (130/0.65*7)2
520/49 Y = 563.28
Y = (563.28 * 49) / 520
Y = 53.08
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