Limites infinitos-Asintotas De Una Curva

Asíntotas De Una Curva
Al analizar la forma de una curva
, muchas veces se precisa conocer el
comportamiento de la función, cuando la abscisa y la ordenada de un punto variable de
la curva, juntas, o por separado tienden en valor absoluto a infinito. Es decir, para un
punto (x, y) ó (x, f (x)) variable de la curva, interesa estudiar los siguientes casos:
1. Cuando
, entonces
Límites al infinito
2. Cuando
, entonces
Límites al infinito
3. Cuando
, entonces
} Límites infinitos
Aquí tiene especial importancia el caso para el cual la curva analizada se aproxima
indefinidamente a una recta llamada ASÍNTOTA de la curva y cuya definición y
determinación se precisará mas delante.
Límites Al Infinito
En la unidad 8 se ha considerado el límite de una función f (x) cuando
,
ó
, siendo a un número real.
Ahora, se quiere conocer el comportamiento de f (x) cuando la variable x toma
valores positivos o negativos tan grandes en valor absoluto como se quiera. Esto
último se expresa frecuentemente en el cálculo usando los símbolos:
ó
.
Considere por ejemplo la función:
aparece en la fig. 9.18.
y cuya gráfica
fig. 9.18.
En la tabla 1 aparecen tabulados los valores de f (x) cuando la variable x toma
sucesivamente los valores: 0, 1, 10, 100, 1.000, 10.000 y 100.000.
X
0
1
10
100
1000
10000
1.33
1.4
1.47826
1.4975369
1.4997504
1.499975
100000
1.4999975
Tabla 1
X
-1
-10
-100
-1000
-10000
-100000
1
1.52941
1.502538
1.50025
1.500025
1.5000025
Tabla 2
Nótese que a medida que la variable x toma valores más y más grandes, f (x) se
aproxima cada vez mas al valor 1.5.
Observe, además, que cuando x = 100, entonces
y cuando x
= 1000, entonces
.
Esto muestra que cuando la variable x toma valores más y más grandes, entonces
la cantidad
se hace cada vez más pequeña.
Supóngase ahora que se quiere que
x satisfacen esta desigualdad?
Se puede verificar que si
. ¿Qué valores de la variable
, entonces
. En particular, si
.
Lo anterior se puede generalizar de la manera siguiente:
Dado un número
número
, tan pequeño como se quiera, se puede encontrar un
tal que:
Si
, entonces
y esto se expresa escribiendo:
.
Considérese ahora los valores tabulados en la tabla 2. Nótese que a medida que la
variable x toma valores negativos y grandes en valor absoluto, nuevamente f (x) se
aproxima cada vez mas al valor 1.5.
Asi, cuando x = – 100, entonces,
cuando x = – 10.000, entonces,
Aquí también tiene cabida la siguiente pregunta: ¿Para que valores de x negativos,
se verifica que
?
Se puede probar fácilmente (hágalo como ejercicio) que si
se cumple la desigualdad deseada. En particular, si
, entonces
, entonces,
.
Lo anterior se puede generalizar diciendo que al fijar un número
encontrar un número
, tal que si
, entonces
equivale a decir que:
.
De una manera mas general se tiene la siguiente definición:
Definición:
, se puede
y esto
i.
Sea f una función definida en un intervalo
(L
para todo
ii.
. Entonces:
R) si y solo si, para cada
, si
, entonces,
.
Sea f una función definida en un intervalo
(L
, existe un B > 0 tal que,
. Entonces:
R) , si y solo si, para cada
, existe un
tal que,
para todo
, si
, entonces,
.
Observaciones:
i.
La definición anterior (parte i.) puede interpretarse geométricamente asi:
fijado un número positivo  , siempre es posible encontrar un número
positivo B, a partir del cual todos los valores funcionales están en el
intervalo
. (fig. 9.19.).
Similarmente, la parte ii. puede interpretarse asi: fijado un número positivo
 , siempre es posible encontrar un número negativo B, para el cual si se
evalúa la función en puntos anteriores a B, dichos valores funcionales están
en el intervalo
. (fig. 9.19.).
fig. 9.19.
ii. Para una función dada puede suceder que:
1.
, y,
Asi por ejemplo, para la función
9.20. se cumple que:
(Ver ejercicio 18 de la sección 9.10.).
,L
K.
y cuya gráfica aparece en la fig.
fig. 9.20.
2.
.
En este caso se puede escribir simplemente:
Asi por ejemplo, para la función
9.21. se cumple que:
.
y cuya gráfica aparece en la fig.
(Ver ejercicio 19 de la sección 9.10.).
fig. 9.21.
Los siguientes teoremas, proporcionan herramientas importantes para la manipulación
con límites al infinito
TEOREMA (Algebra De Límites Al Infinito)
1. Sean f, g dos funciones tales que
Entonces:
y
, sea K
R.
i.
ii.
iii.
2. Si existe un real B tal que f (x) = g (x) para todo x > B y si
además
, entonces,
3. Si n es un entero positivo y
.
,
entonces,
. Si n es par, L debe ser positivo.
Observación:
El teorema es igualmente válido cuando se reemplaza
por
.
TEOREMA:
Generalización, si n N , entonces,
.
Observación: En la sección 8.4. al evaluar ciertos límites se presentó la forma
indeterminada . Otras formas indeterminadas son las siguientes:
, , 0 0 , 0,1 . En los ejercicios 18 y 19 de la sección 9.10., se ilustra el
, 0.
tratamiento de las formas: ;
y
–
.
El siguiente teorema que se enuncia sin demostración, facilita la evaluación de
límites al infinito para funciones racionales y en los cuales solo se necesita
comparar los grados del numerador y del denominador para su determinación.
TEOREMA (Límite Al Infinito Para Funciones Racionales).
Sea
con
m y n enteros positivos. Entonces:
i. Si m < n (grado N < grado D), entonces,
ii. Si m = n (grado N = grado D), entonces,
iii. Si m > n (grado N > grado D), entonces,
Asi por ejemplo,
una función racional,
(Puesto que el grado del Numerador es menor que el grado
del Denominador)
(Puesto que el grado del Numerador es igual al
grado del
Denominador)
(Puesto que el grado del Numerador es mayor
que el grado del Denominador)
Límites Infinitos
Se entiende por límites infinitos de una función, cuando el valor de la función crece
o decrece sin "limite" a medida que la variable x se aproxima a un valor dado.
Son límites al infinito uno cualquiera de las formas:
1.
;
2.
Para el caso particular de estudio de las asíntotas se hace referencia a los límites de
la primera forma.
Considere por ejemplo, la función
(a).
cuya gráfica aparece en la fig9.22.
(a)
(b)
fig. 9.22.
Nótese que cuando
(valores de x mayores que 3), el numerador de f (x)
tiende a 2, y, el denominador, toma valores cercanos a 0, pero positivos, asi que el
cociente, tiende a
. De una manera mas simple, se escribe:
(1)
Igualmente,
(2)
En el caso (1) se dice que f (x)crece sin límite, o se hace infinita, cuando x
tiende a
, y se escribe:
En el caso (2) se dice que f (x)decrece sin cota, o se hace infinitamente
negativa, cuando x tiende a
, y se escribe:
Otro ejemplo importante en el cual se analiza el comportamiento de una función
cerca de los puntos donde no existe el límite es el siguiente.
Considere la función, definida por:
infinita cuando
Asi que:
Igualmente,
y cuando
, f (x) se hace
(valores de x que anulan el denominador).
Los límites al infinito y los límites infinitos tratados anteriormente, están
íntimamente ligados con el concepto de asíntota de una curva que se describe y
detalla a continuación.
En primer lugar, se dice que un punto desplazable M se mueve a lo largo de una
curva hacia infinito si la distancia entre este punto M y el origen de coordenadas
crece indefinidamente.
Definición:
Si la distancia
entre una recta A y el punto desplazable M de una curva tiende a
cero, mientras que el punto M tiende a infinito, se dice entonces, que la recta A es
una asíntota de la curva (fig. 9.23.)
(a)
(b)
(c)
(d)
fig. 9.23.
Clasificación De Las Asintotas
En el trazado de una curva, es preciso distinguir: las asíntotas verticales, x = a
en la fig. 9.23. (a) (rectas paralelas al eje y), las asíntotas horizontalesy = k en
la fig. 9.23. (b) (rectas paralelas al eje x) y las asíntotas oblicuas, que son rectas
de la forma: y = mx + b (fig. 9.23 (c) y (d)).
Asíntotas Verticales
La recta x = a es una asíntota vertical de la curva y = f (x) si
ó
, o bien
.
Por consiguiente, para determinar las asíntotas verticales de una curva, es preciso
encontrar todos los valores de x = a que, al aproximarse a los mismos, la función
tiende a infinito.
En particular, cuando la función es racional, y está reducida a su mínima
expresión, son asíntotas verticales, todos aquellos valores de x que anulan
el denominador.
Asi por ejemplo, la función
(fig. 9.22.(a)) tiene una asíntota vertical x = 3.
La función
x = -2 y x = 2.
(fig. 9.22.(b)) tiene dos asíntotas verticales:
La curva, y = f (x) = tan x
, tiene infinidad de asíntotas
verticales:
Esto se deduce del hecho de que tan
9.24.).
Nótese que
cos x = 0.
, cuando x tiende a estos valores. (fig.
son los valores de x para los cuales
fig. 9.24.
Asíntotas Horizontales
La recta y = k es una asíntota horizontal de la curva y = f (x) si
ó
.
Asi por ejemplo, la función
como asíntota horizontal.
La función
horizontal.
(fig. 9.21.) tiene a la recta y = 4
(fig. 9.22.(a)) tiene a la recta y = 0 (eje x) como asíntota
La función
(fig. 9.20) tiene dos asíntotas horizontales: y = 1 y y = – 1.
Las asíntotas horizontales son un caso particular de las asíntotas oblicuas y = mx +
b (si m = 0, la asíntota es horizontal) que se describen y determinan a
continuación.
Asíntotas Oblicuas
Sea M (x, y) un punto desplazable que se mueve a lo largo de una curva hacia
infinito y supóngase que la curva tiene una asíntota oblicua que forma un ángulo 
con el eje x (fig. 9.25.) y cuya ecuación es y = mx + b.
fig. 9.25.
Al trazar las perpendiculares
al eje x y
rectángulo MPN y en el cual se tiene:
a la asíntota, se forma el triángulo
(1)
De acuerdo a la definición de asíntota,
.
Luego
Recíprocamente si
(2)
, entonces,
Pero
.
.
Asi que la igualdad (2) toma la forma:
.
El razonamiento anterior, permite establecer la siguiente definición:
Definición:
La recta no vertical y = mx + b es una asíntota oblicua para la curva y = f (x)
si,
, ó,
, ó ambos.
Estas condiciones significan que cuando
, (o ambos), la distancia vertical
entre el punto (x, f (x)) sobre la curva y el punto (x, mx + b) sobre la recta, tiende
a cero.
Para una curva dada y = f (x), que tiene una asíntota oblicua y = mx + b, ¿cómo
determinar las constantes m y b?.
En primer lugar, de acuerdo a la definición de asíntota
oblicua,
(1)
O equivalentemente,
Puesto que
Pero,
, la igualdad anterior se cumple si
, por tanto,
.
y de aquí se deduce que
(2)
Conociendo el valor de m, se puede hallar b de la igualdad (1):
(3)
De esta forma, si la recta y = mx + b es una asíntota, entonces m y b se
encuentran según las fórmulas (2) y (3). Recíprocamente, si existen los límites (2)
y (3), se cumple la igualdad (1) y la recta y = mx + b es una asíntota. Si alguno de
los límites (2) y (3) no existe, la curva no tiene asíntota oblicua. Nótese, que se
ha estudiado el problema referente al caso cuando
, sin embargo, todos los
razonamientos son válidos también para el caso cuando
.
Observaciones:
i. Aunque las asíntotas de una curva no son parte de su gráfica, proporcionan
información acerca de la manera como debe verse la gráfica realmente.
ii. Si se piensa desde el punto de vista intuitivo que las asíntotas oblicuas de una
curva son "rectas tangentes a la curva en el infinito", entonces, otra fórmula válida
para determinar la pendiente m de la asíntota oblicua a una curva es:
iii. Si la recta y = mx + b es una asíntota a una curva cuando
y
cuando
, se dice entonces que se trata de una asíntota doble.
iv. En el caso particular en el cual la curva de estudio corresponde a una función
racional, las siguientes reglas son útiles en la determinación de las asíntotas de la
curva.
REGLA
Supóngase que la función y = f (x) es una función racional de la forma:
en la cual el grado del
numerador es m y el del denominador es n.
1. Son asíntotas verticales, todos aquellos valores reales de x para los
cuales
(siempre que la fracción este reducida
a su mínima expresión)
2. Si f es una función racional propia (m < n: grado N < grado D), la gráfica tendrá
a y = 0 (eje x) como asíntota horizontal.
3. Si f es una función racional impropia (m >= n), se tiene que:
a. Si m = n (grado N = grado D), entonces, la gráfica tendrá a
horizontal.
como asíntota
b. Si m = n + 1 (El grado del N supera al grado del D en 1); entonces al efectuar la
división de h (x) entre g (x), el cociente es de la forma ax + b, y la recta y = ax +
b es una asíntota oblicua de la curva.
c. Si m > n + 1 (El grado del N supera en mas de 1 unidad al grado del D);
entonces al efectuar la división de h (x) entre g (x), el cociente es un polinomio de
grado mayor o igual a 2 y de esta forma la curva y = f (x) se comporta como la
gráfica del cociente.