LÍMITES EN EL INFINITO. CONCEPTO: Se trata de conocer cómo se comporta una función y=f(x) cuando x toma valores grandes positivos (x →∞) y/o negativos(x →-∞). Básicamente pueden ocurrir tres cosas: 1) que los valores de y asociados a esos valores de x tiendan a ser también muy grandes (positivos o negativos) Se dice que el valor del límite cuando x →∞ ó x →-∞ (según el caso) es ∞ (-∞) . También se dice que la función diverge cuando x →∞ (ó x →-∞) 2) que los valores de y correspondientes a esos valores de x se estabilicen en torno a un valor numérico y=a. Se dice que el valor del límite cuando x →∞ ó x →-∞ (según el caso) es a . También se dice que la función converge a a cuando x →∞ (ó x →-∞) 3) que los valores de y asociados a esos valores de x no muestren tendencia alguna. Se dice que no existe límite cuando x →∞ ó x →-∞ (según el caso). Ejemplos: La función y=ex verifica lo siguiente en relación a sus límites en el infinito: Cuando x →∞ , la función diverge , esto es y →∞. Cuando x →-∞, la función converge al valor y=0. La función y=1/x verifica lo siguiente en relación a sus límites en el infinito: Cuando x →∞ , la función converge al valor y=0. Cuando x →-∞, la función converge al valor y=0. La función y=sen(x) no tiene límite cuando x →∞. La función y=sen(x) no tiene límite cuando x →-∞. Los límites en el infinito son muy útiles para determinar asíntotas horizontales y oblicuas. CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO. ARITMÉTICA CON ∞:No debéis olvidar que ∞ representa un número muy grande.Por tanto es lógico el cumplimiento de las siguientes reglas cuando nos enfrentamos a operaciones en las que entre en juego el citado símbolo. SUMAS →∞+→∞=→∞ K + →∞ =→∞ K + → - ∞ =→ - ∞ PRODUCTOS 1 →∞.→∞=→∞ → (-∞).→ (-∞)=→∞ →∞.→ (-∞)=→(-∞) PRODUCTOS 2 →K. →∞=→∞ si K>0 →K. →∞=→(-∞) si K<0 →K. → (-∞)=→(-∞) si K>0 →K. → (-∞)=→∞ si K<0 DIVISIONES 1 (→0+) alude a una función que se aproxima a la recta y=0 (eje X) desde valores positivos cuando x→∞ ó x→-∞ (→0-) alude a una función que se aproxima a la recta y=0 (eje X) desde valores negativos cuando x→∞ ó x→-∞ →K/(→0+) =→∞ si K>0 →K/(→0+) = →(-∞) si K<0 →K/(→0 ) =→∞ si K<0 →K/(→0-) = →(-∞) si K>0 DIVISIONES 2 →K/ (→∞) =→0 (para cualquier K). ACTIVIDAD: Aclara como tiende a cero este cociente según el valor de K. Idem con →K/ (→- ∞) = →0 POTENCIAS 1 (→∞)→∞ = →∞ (→∞)→ - ∞ = 0 POTENCIAS 2 →K→∞=→∞ (con K>0,K≠1) →K→ - ∞=→0 (con K>0,K≠1) INDETERMINACIONES:Determinadas operaciones no tienen un resultado claro cuando aparecen el símbolo ∞.Estas situaciones se denominan indeterminaciones. →∞/→∞ →(-∞)/→∞ →∞/→(-∞) →(-∞)/→(-∞) →0+.→∞ →0+.→(-∞) →0-.→∞ →0-.→(-∞) →∞ - →∞ →1→∞ 1→ - ∞ IMPORTANCIA DE FUNCIONES PARA VALORES DE x→∞ El cálculo de límites cuando x→∞ ó x→-∞ se simplifica si conocemos la importancia de los diferentes tipos de funciones con esos valores. De mayor a menor importancia nos encontramos las siguientes funciones. cuando x→∞ Cuando x→-∞ y= ax (si a >1) y= ax(si 0<a <1) y=xa (a >0) y=xa (a >0) y=logax y= K (a >1) y= K y=xa (a<0) y=xa y= ax (a<0) (si 0<a <1) x y= a (si a >1) PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO. 1.- Gráfico 2.-Numérico 3.-Analítico. MÉTODO ANALÍTICO. Algunos ejemplos. Límites en el infinito de f(x) x1 x2 1 x→∞ En el denominador x2+1 es mucho más importante el sumando x2 que 1. Por tanto podemos deshacernos de éste último para el estudio del comportamiento de la función. En el numerador ocurre algo parecido con x y -1 (se impone x). f(x) en esas circunstancias se transforma en f(x)= x/ x2 y haciendo uso de nuestros conocimientos de operaciones con potencias eso es igual a g(x)=1/x. De acuerdo a las reglas de la aritmética con ∞ , 1/x se transforma en una expresión del tipo →1/ (→∞) y eso tiende a 0+. Por tanto este límite es igual a 0 (aproximándonos a ese valor con números positivos) x→ - ∞ En el denominador x2+1 es mucho más importante el sumando x2 que 1. Por tanto podemos deshacernos de éste último para el estudio del comportamiento de la función. En el numerador ocurre algo parecido con x y -1 (se impone x). f(x) en esas circunstancias se transforma en f(x)= x/ x2 y haciendo uso de nuestros conocimientos de operaciones con potencias eso es igual a g(x)=1/x.De acuerdo a las reglas de la aritmética con ∞ , 1/x se transforma en una expresión del tipo →1/ (→ -∞) y eso tiende a 0-. Por tanto este límite es igual a 0, (aproximándonos a ese valor con números negativos). Límites en el infinito de f (x) x 2 x 4 x→∞ En el numerador x+2 es más importante el factor x que el 2. En el denominador x-4 es más importante el sumando x que -4. El radicando de f(x) en esas circunstancias se transforma en x/x , es decir 1. Por tanto f(x) se comporta en x→∞ como la raiz cuadrada de 1 y su límite es por tanto 1. x→ -∞ Mismo razonamiento que para x→∞ . Límites en el infinito de g(x) x3 x2 1 x→∞ En el denominador el sumando x2 es mucho más importante que 1. Por tanto g(x) se convierte en x3/x2 que es igual a x. Por tanto el límite es ∞ . x→ -∞ En el denominador el sumando x2 es mucho más importante que 1. Por tanto g(x) se convierte en x3/x2 que es igual a x. Por tanto el límite es - ∞ . Límites es el infinito de f (x) x3 1 x3 2 x 2 3 x x2 9 x→∞ La función f(x) consta de dos sumandos. El primero es una fracción de polinomios y el segundo una raíz de un polinomio de segundo grado. En la fracción de polinomios , el término más importante del numerador es x3, y en el denominador x3. Por tanto ese sumando en x→∞ se transforma en x3/ x3 que es igual a 1. En la raíz se verifica que el término más importante del radicando es x2 que cuando x→∞ toma también el valor ∞ . Como la raíz cuadrada de ∞ es ∞ ., éste es el valor del segundo sumando. El límite de la suma de las dos partes se obtiene sumando los dos resultados anteriores. →1+ →∞ = →∞ x→-∞ En relación al primer sumando vale lo indicado anteriormente. En la raíz se verifica que el término más importante del radicando es x2 que cuando x→ ∞toma también el valor ∞ (un número negativo elevado al cuadrado es positivo). Como la raíz cuadrada de ∞ es ∞ , éste es el valor del segundo sumando. Al igual que lo indicado anteriormente, el límite de la suma de las dos partes se obtiene sumando los dos resultados anteriores. →1+ →∞ = →∞. Límites en el infinito de x→∞ En el numerador el sumando x4 es mucho más importante que 1. Por tanto f(x) se convierte en x4/x2 que es igual a x2. Por tanto el límite es ∞ . x→ -∞ Válido lo explicado en el apartado anterior. No se debe olvidar que un valor negativo elevado al cuadrado tiene signo positivo. x 1 . x 2 Límites en el infinito de y = ln x→∞ En el interior del paréntesis en el numerados y el denominador el factor más importante es la x. Por tanto ese paréntesis en x→∞ equivale a x/x , es decir a 1. Como ln 1=0 , éste es el valor del límite. x→- ∞ Mismo razonamiento que el caso anterior. Observar que no hay problemas de dominio puesto que tanto numerador y denominador en esta “zona” son negativos y por ello el resultado del cociente es positivo. Límites en el infinito de x→∞ Usando lo que sabemos acerca de exponentes negativos la función f(x) se transforma en (x-1)/ ex . En el numerador el término más importante es x. Por tanto esa función se comporta en x→∞ como x/ ex . Llegamos a una indeterminación del tipo →∞/→∞ que se resuelve fácilmente teniendo en cuenta que la función x es menos importante que ex Por ello el límite es 0. x→∞ Por la misma razón que antes esta función se comporta como x/ ex. La indeterminación →∞/→∞ se resuelve en esta zona de otra forma ya que la función x ahora es más importante. Haciendo uso de los signos el límite es - ∞.