Coordinadas polares

COORDENADAS POLARES
INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA DE ENVIGADO
FACULTAD DE INGENIERÍAS
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
ÁREA DE CALCULO INTEGRAL
ENVIGADO, OCTUBRE 28
2004
INTRODUCCIÓN
En el desarrollo de nuestro plan de estudios, se han tratado diversidad de temas que han requerido el uso de
planos para el óptimo adelanto de las temáticas tratadas (coordenadas cartesianas). Ahora, dentro de este
trabajo se observara una nueva clase de coordenadas, Coordenadas Polares.
Se consignara entonces para el buen entendimiento de este tema: teoría básica, algunos ejemplos, graficas
ilustrativas, aplicaciones de este tipo de coordenadas y por último se plantearan varios ejercicios para su
posterior desarrollo.
COORDENADAS POLARES
Para construir el sistema de coordenadas polares en el plano, fijamos un punto o, llamado el polo o el origen,
y trazamos desde o un rayo inicial llamado el eje polar. Entonces se puede asignar a cada punto en el plano
unas coordenadas polares (r,0), como sigue.
r =distancia dirigida de 0a P
=ángulo dirigido, en sentido antihorario, del eje polar al segmento 0P
Acontinuacion se muestran tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Observemos que, en le sistema,
es conveniente localizar los puntos respecto a un reticulo de circunferencias concentricas y rectas radiales que
pasan por el polo.
1
En coordinas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una representación única. Esto no ocurre en coordenadas
polares. Por ejemplo, las coordenadas (r, ) y (r,2+)representan un mismo punto. A si mismo como r es una
distancia dirigida, las coordenadas (r, ) y (−r,+) representan un mismo punto. En general, el punto (r, ) se
puede expresar como:
(r, ) = (r, +2n)
o como:
(r, ) = (−r,+(2n+1))
siendo n un entero. Además, el polo esta representado por (0,
),donde
es cualquier ángulo.
CAMBIO DE COORDENADAS
Para establecer la relación entre las coordenadas polares y las rectangulares, hagamos coincidir el eje polar
con el semieje x positivo y el polo con el origen, puesto que (x, y)esta sobre una circunferencia de radio r, se
sigue que r
=x
+y
. Ademas para r >0, la definición de las funciones trigonometricas implica que:
tg
=
, cos
=
y sen
=
2
El lector puede comprobar que si r<0,se verifican las mismas relaciones.
Cambio de coordenadas
Las coordenadas polares (r,
) de un punto estan relacionados con sus coordenadas rectangulares (x, y) por:
• x = r cos
2. tg
=
y = r sen
r
=x
+y
Ejemplo1 Cambio de coordenadas polares a rectangulares.
• Para el punto c = (2,
),
x = r cos
=2 cos
=−2 e y = r sen
=2 sen
=0
Así pues, las coordenadas rectangulares son (x, y)=(−2,0).
• Para el punto (r,
)=(
,
),
X=
3
cos
=
e
sen
=
Por tanto, las coordenadas (x, y)=
,
Ejemplo 2 Cambio de coordenadas rectangulares a polares
• Para el punto del segmento cuadrante (x. y)=(−1,1)
tg
=
= −1
Dado que
se ha escogido en el mismo cuadrante que (x, y), debemos tomar un valor de r positivo.
r=
=
4
=
Esto implica que un conjunto de coordenadas polares es (r,
)=
• Como el punto (x, y)= (0,2) esta en el eje y positivo, elegimos
=
y r=2, de modo que un conjunto de coordenadas polares es (r,
)=2,
).
GRAFICAS EN POLARES
Una forma de representar la grafica de una ecuación en polares consiste en pasar de coordenadas rectangulares
y después dibujar la grafica de la ecuación rectangular.
• Ejemplo 3 REPRESEN TACION GRAFICA DE ECUACIONES POLARES
Describir la grafica de una de las siguientes ecuaciones en polares. Verificar cada descripción pasando a una
ecuación rectangular.
a) r = 2 b)
=
c) r = sec
Solución
5
• La grafica de la ecuación polar r=2 esta formada por todos lo puntos que distan 2 unidades del polo. En
otras palabras, la grafica es una circunferencia de radio 2 centrada en el origen, podemos confirmarlo
usando la relación r
=x
+y
para obtener la ecuación rectangular.
x
+y
=2
Ecuación rectangular.
• La grafica de la ecuación polar
=
contiene todos los puntos de la
semirrecta radial que forma un ángulo de
con el semieje x positivo. Podemos confirmarlo usando la relación tg =
para obtener la ecuación rectangular
y=
6
Ecuación rectangular.
• La grafica de la ecuación polar r = sec
no es evidente por simple inspección, por lo que podemos comenzar por pasarla a forma rectangular usando
la relacion r cos
= x.
r = sec
Ecuación polar
r cos
=1
x = 1 Ecuación rectangular
Deducimos que la grafica es una recta vertical.
NOTA: Un método para representar a mano la grafica de r = 2 cos 3
consiste en confeccionar una tabla de valores.
0
r
2
0
−2
0
2
Extendiendo la tabla y marcando los
puntos, se obtendrá la curva del ejemplo 4.
• Ejemplo 4. REPRESENTACION DE UNA GRAFICA EN POLARES
Representar la grafica de r = 2 cos 3
Solución: Comenzamos por escribir la ecuación en forma parametrica.
X = 2 cos 3
cos
e y = 2 cos 3
sen
Para dibujar la curva se puede se puede hacer variar
de 0 a
, si se intenta reproducir esta grafica encontrara que, al hacer variar de 0 a 2 lo que ocurre realmente es que la
curva se recorre dos veces.
7
0
8
PENDIENTE Y RECTAS TANGENTES
Para determinar la pendiente de una recta tangente a una grafica en polares, consideremos una funcion
derivable r = f (
) . Para pasar a polares, utilizamos las ecuaciones
X = r cos
=f(
) cos
e y = r sen
=f(
) sen
Teorema :
Si f es una derivable de
, la pendiente de la recta tangente a la grafica de r =f (
) en el punto r=
es.
9
Siempre que
en ( r,
).
Apartir de este teorema podemos hacer las siguientes observaciones.
1. Las soluciones de
=0 conducen a tangentes horizontales siempre que
2. las soluciones de
conducen a tangentes verticales, siempre
si
y
, no se puede extraer ninguna conclusión sobre las rectas tangentes.
• Ejemplo 5. Rectas tangentes horizontales
Hallar las tangentes horizontales y verticales de r =sen
,0
Solucion: primero escribimos la ecuación en forma parametrica
X = r cos
=sen
cos
e y = r sen
10
= sen
sen
= sen
Luego derivamos x e y con respecto a
e igualamos a 0 cada derivada.
Por tanto la siguiente grafica posee tangentes verticales en
)y
(
), y tangentes horizontales en (0,0) y (1,
).
Tangentes horizontales y verticales de r = sen .
11