Coordenadas cilíndricas y esféricas

• Definir las coordenadas cilíndricas.
Son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una
distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. Es una extensión de las coordenadas
polares para tres dimensiones.
• Representar gráficamente las coordenadas cilíndricas.
L a representación de coordenadas cilíndricas de un punto (r, , z), donde r y son las coordenadas polares de
la proyección de P en plano polar y z es la distancia dirigida desde el plano hasta P.
• Escribir las formulas para transformar las coordenadas rectangulares a cilíndricas y de cilíndricas a
rectangulares y hacer un ejemplo de cada uno.
x = rCos , y = rSen , z = z.
r2 = x2 + y2, tan = x/y, z = z.
Ejemplo 1.
Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas para la superficie cuya ecuación se ha expresado en
coordenadas cilíndricas, e identifique la superficie: r = 6Sen.
r = 6Sen. (r)
r2 = 6rSen.
x2 + y2 = 6y.
x2 + (y − 3)2 = 9.
Es un cilindro circular recto, cuya sección transversal en el plano xy es la circunferencia con centro (0, 3) y
radio 3.
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Ejemplo 2.
Obtenga una ecuación en coordenadas cilíndricas para la superficie cuya ecuación se ha dado en coordenadas
cartesianas, e identifique la superficie: x2 − y2 = z.
x2 − y2 = z.
r2Cos2 − r2Sen2 = z.
Cos2 − Sen2 = Cos2.
r2Cos2 = z.
La grafica es un paraboloide elíptico.
• Mencionar y explicar los casos de coordenadas cilíndricas, representarlo gráficamente cada uno de ellos y
hacer un ejemplo de cada caso.
• Definir el sistema de coordenadas esféricas.
Se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un
punto mediante una distancia y dos ángulos.
• Representar gráficamente las coordenadas esféricas.
La representación en coordenadas esféricas de un punto P es (, , ), donde
= |OP|, es la medida en radianes del ángulo polar de la proyección de P en el plano polar y es la medida
en radianes no negativa del ángulo menor medido desde la parte positiva del eje z a la recta OP.
• Escribir las formulas para transformar las coordenadas de rectangulares a esféricas, de cilíndricas a
esféricas, esféricas a cilíndricas y de esféricas a rectangulares hacer un ejemplo de cada uno.
• Rectangulares a esféricas
,,
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• Cilíndricas a esféricas
,,
• Esféricas a cilíndricas
,,
• Esféricas a rectangulares
Ejemplo 1. (Rectangulares a esféricas)
Una ecuación cartesiana para el plano 3x + 2y + 6z = 0. Utilizando las formulas ya antes mencionadas esta
ecuación se hace directamente sustituyendo.
3x + 2y + 6z = 0
3 Sen Cos + 2 Sen Sen + 6 Cos = 0.
Ejemplo 2. (Esféricas a rectangulares)
Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas de la superficie siguiente, cuya ecuación se ha expresado en
coordenadas esféricas, e identifique la superficie: Cos = 4.
z = 4.
La grafica es un plano paralelo al plano xy ubicado 4 unidades por arriba de este.
Ejemplo 3. (Esféricas a cilíndricas)
Convertir las coordenadas esféricas del punto en coordenadas cilíndricas.
,
Ejemplo 4. (Esféricas a rectangulares)
Convertir las coordenadas esféricas del punto en coordenadas rectangulares.
,
• Mencionar y explicar los casos de coordenadas esféricas, representarlo gráficamente cada uno de ellos y
hacer un ejemplo de cada caso.
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UNIVERSIDAD DON BOSCO
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS
ASIGNATURA: MATEMATICA III
TEMA:
COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS.
DOCENTE:
ING. RUDY TORRES.
INTEGRANTES:
KARLA JAEL GUILLEN PEÑA GP050074
FAUSTO EMMANUEL GOMEZ MAJANO GM050013
GRUPO: 1.
FECHA DE ENTREGA:
20−ABRIL−2006.
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