Ventajas de los diseños factoriales

DISEÑOS DE EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K
P. Reyes / Sept. 2007
EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K
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CONTENIDO
1. Principios y definiciones básicas
2. Diseño factorial de dos factores
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P. Reyes / Sept. 2007
DISEÑOS FACTORIALES
1. Principios y definiciones básicas
Muchos
experimentos se llevan a cabo para estudiar los efectos
producidos por dos o más factores. Puede mostrarse que en general
los diseños factoriales son los más eficientes para este tipo de
experimentos. Por diseño factorial se entiende aquel en el que se
investigan todas las posibles combinaciones de los niveles de los
factores en cada ensayo completo o réplica del experimento. Por
ejemplo, si existen “a” niveles del factor A y “b” niveles del factor B,
entonces cada réplica del experimento contiene todas las “ab”
combinaciones de los tratamientos. A menudo, se dice que los factores
están cruzados cuando éstos se arreglan en un diseño factorial.
El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta
producida por un cambio en el nivel del factor. Con frecuencia, éste se
conoce como efecto principal porque se refiere a los factores de interés
primordial del experimento. Por ejemplo, consideremos los datos de la
tabla 1. El efecto principal del factor A podría interpretarse como la
diferencia entre la respuesta promedio en el primer y segundo nivel de
ese factor. Numéricamente:
A
40  52
2

20  30
2
 21
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Factor B
B1
B2
A1
20
30
A2
40
52
Factor A
Tabla 1 Un experimento factorial
En otras palabras incrementar el factor A del nivel 1 al 2 produce un
cambio en la respuesta promedio de 21 unidades. Similarmente, el
efecto principal de B es:
B
30  52

20  40
2
 11
2
Si los factores tienen más de dos niveles, el procedimiento anterior debe
ser modificado ya que las diferencias entre las respuestas promedio
pueden expresarse de muchas formas.
En algunos experimentos puede encontrarse que la diferencia en la
respuesta entre los niveles de un factor no es la misma en todos los
niveles de los otros factores. Cuando esto ocurre existe una interacción
entre los factores. Por ejemplo, considérense los datos de la Tabla 2.
Factor B
B1
B2
A1
20
40
A2
50
12
Factor A
Tabla 2. Un experimento factorial con interacción
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En el primer nivel del factor B, el efecto de A es:
A = 50 - 20 = 30
Mientras que en el segundo nivel de B, el efecto de A es:
A = 12 - 40 = 28
Puede observarse que existe una interacción entre los factores A y B
porque el efecto de A depende del nivel elegido de B.
Estas ideas pueden ilustrarse gráficamente. En la Fig. 1 se muestra una
gráfica de la respuesta de los datos de la Tabla 1 contra los niveles del
factor A para ambos niveles del factor B. Se observa que las rectas B1 y
B2 son, aproximadamente, paralelas. Esto indica que no hay interacción
entre los factores. De manera similar, en la Fig. 2 se presenta una gráfica
de la respuesta de los datos de la Tabla 2.
60
B2
Respuesta
50
B1
40
30
20
10
B2
B1
A1
Factor A
A2
Figura 1 Un experimento factorial sin interacciones
En este caso se ve que las rectas B1 y B2 no son paralelas. Esto muestra
que existe una interacción entre A y B. Sin embargo, no debe ser la
única técnica para analizar los datos, porque su interpretación es
subjetiva y su apariencia, a menudo, es engañosa.
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60
B1
Respuesta
50
B2
40
30
20
B1
10
B2
A1
Factor A
A2
Figura 2 Un experimento factorial con interacciones
Hay
que
notar
que
cuando
una
interacción
es
grande
los
correspondientes efectos principales tienen poco significado práctico.
Una estimación del efecto principal de A de los datos de la Tabla 2 es:
A
50  12
2

20  40
2
1
El cual resulta ser muy pequeño corriéndose el riesgo de concluir que no
existe un efecto debido a A. Sin embargo, cuando se examinó el efecto
de A en niveles diferentes de B se concluyó que éste no era el caso. El
factor A tiene un efecto, pero depende del nivel del factor B. En otras
palabras, es más útil conocer la interacción AB que el efecto principal.
Una interacción significativa oculta a menudo el significado de los
efectos principales.
Ventajas de los diseños factoriales
Las ventajas de los diseños factoriales pueden ilustrarse fácilmente.
Supongamos que se tienen dos factores, A y B, cada uno con dos
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niveles. Estos niveles se representan mediante A1, A2, B1 y B1. La
información acerca de ambos factores puede obtenerse variando un
factor a la vez como aparece en la tabla 3. El efecto de variar el factor
A está dada por A2B1 -A1B2. A causa de que existe error experimental, es
conveniente realizar, por ejemplo, dos observaciones de cada
combinación de tratamientos y hacer una estimación de los efectos de
los factores usando las respuestas promedio. Por lo tanto, se requiere un
total de seis observaciones.
Factor B
B1
B2
A1
A1B1
A1B2
A2
A2B1
12
Factor A
Tabla 3 El método de un factor a la vez
Los diseños factoriales poseen algunas ventajas.

Son más eficientes que los experimentos de un factor a la vez.

Los diseños factoriales son necesarios cuando alguna interacción
puede estar presente, para evitar hacer conclusiones engañosas.

Los diseños factoriales permiten estimar los efectos de un factor en
diversos niveles de los otros factores, produciendo conclusiones
que son válidas sobre toda la extensión de las condiciones
experimentales.
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2. Diseño factorial de dos factores
El primer diseño de la serie 22 es aquel en el que solo dos factores, A y B,
cada uno con dos niveles. Este diseño se conoce como diseño factorial
22. Arbitrariamente, los niveles del factor pueden llamarse “bajo” y
“alto”.
Ejemplo 1 Considérese una investigación llevada a cabo para estudiar
el efecto que tiene la concentración de un reactivo y la presencia de
un catalizador sobre el tiempo de reacción de un proceso químico. Sea
la concentración del reactivo el factor A con dos niveles de interés, 15%
y 20%. El catalizador constituye el factor B; el nivel alto o superior denota
el uso de dos sacos de catalizador y el nivel bajo o inferior denota el uso
de un solo saco. El experimento se realiza (“replica o repite”) tres veces,
y los datos son como sigue:
Replica
Combinación de
tratamientos
I
II
III Total
A baja, B baja
28 25 27
80
A alta, B baja
36 32 32 100
A baja, B alta
18 19 23
60
A alta, B alta
31 30 29
90
En la figura 4 siguiente se presentan gráficamente las combinaciones de
tratamiento para este diseño, el efecto de un factor se denota por la
letra latina minúscula. De este modo, “A” se refiere al efecto del factor
“A”, y “B” se refiere al efecto del factor “B”, y “AB” se refiere a la
interacción entre AB. En el diseño 22 los niveles bajo y alto de A y B se
denotan por “-“ y “+” respectivamente, en los ejes A y B. Así – en el eje B
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representa el nivel bajo de catalizador mientras que + denota el nivel
Cantidad de catalizador B
alto.
Alto (2 sacos) +
bajo (1 saco) -
b = 60(18+19+23)
ab = 90(31+30+19)
(1) = 80(28+25+27)
a = 100(36+32+32)
bajo (15%)
+
alto (20%)
Concentracion de reactivo A
Figura
Fig. 3 1: Combinaciones de tratamiento en el diseño factoriall
Las cuatro combinaciones de tratamientos en el diseño pueden
representarse por letras minúsculas, cono se muestra en la figura 3. En
esta figura se aprecia que el nivel superior de cualquier factor de una
combinación de tratamientos esta representado por la presencia de la
letra minúscula correspondiente, mientras que la ausencia de esta
ultima representa el nivel inferior del factor.
Así

“a” representa la combinación de tratamientos, en la que A se
encuentra en el nivel superior y B en el nivel inferior;

“b” representa aquella en la que A se halla en el nivel inferior y B
en el superior, y

“ab” representa a ambos factores en el nivel superior.

Por convención (1) se usa para representar a ambos factores en
el nivel inferior.
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El efecto promedio de un factor se define como el cambio en la

respuesta producida por un cambio en el nivel de ese factor,
promediado sobre los niveles del otro factor.
Como se ilustra en la figura 3, las letras minúsculas (1), a, b y ab también
se usan para representar los totales de las n replicas de las
combinaciones de tratamientos correspondientes. Ahora bien,
el
efecto de A en el nivel B es {a-(1)}/n. Mientras que el nivel superior B es
{ab-b}/n. Tomando el promedio de estas dos cantidades se obtiene:
A
1
2n
1
ab  b  a  (1) 
ab  a  b  (1)
2n
El efecto promedio de B se determina a partir de su efecto en el nivel
inferior de A (esto es, {b-(1)}/n, y de su efecto en el nivel superior de A
(que es igual a [ab-a]/n obteniéndose:
B 
1
ab  a  b  (1)  
2n
1
ab  b - a  (1)
2n
El efecto de la interacción AB se define como la diferencia promedio
entre el efecto de A en el nivel superior de B y su efecto en el nivel
inferior de B, así:
AB 
1
2n
ab  b  a  (1) 
1
ab  (1)  a  (b)
2n
Por otro lado se puede definir AB como la diferencia promedio entre el
efecto de B en el nivel superior de A y el efecto de B en el nivel inferior
de A.
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Las formulas para los efectos de A, B y AB pueden deducirse por otro
método. El efecto de A puede hallarse como la diferencia en la
respuesta promedio de las dos combinaciones de tratamiento en la
mitad derecha (que llamaremos Y
A+,
puesto que es la respuesta
promedio para las combinaciones de tratamientos a las que A que se
encuentra en el nivel alto) y las dos combinaciones de tratamientos en
la mitad izquierda (o
Y A).
Esto es,
A  YA   YA 

ab  a

b  (1)
2n

1
2n
ab  a  b  (1)
2n
Este es exactamente el mismo resultado, el efecto de B se encuentra
como la diferencia entre el promedio de las dos combinaciones de
tratamientos en la parte superior del cuadrado ( Y B+) y el promedio de
las dos combinaciones de tratamientos en la parte inferior ( Y B-), o
B  YB   YB 

ab  b
2n

a  (1)
2n
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1

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ab  b  a  (1)
2n
Finalmente el efecto de interacción AB es el promedio de las
combinaciones de tratamientos en la diagonal de derecha a izquierda
del cuadrado ab y (1) menos el promedio de las combinaciones de
tratamientos en la diagonal de izquierda a derecha (a y b), o
ab  (1)
AB 
2n


ab
2n
ab  (1)  a  b
1
2n
Con los datos que aparecen
en la figura 1, las estimaciones de los
efectos promedio son:
1
A 
90  100  60  80   8.33
2(3)
90  60  100  80   5.00
1
B 
2(3)
AB 
1
90  80  100  60   1.67
2(3)
El efecto de A (concentración de reactivo) es positivo; esto sugiere que
al elevar A del nivel bajo (15%) al nivel alto (25%) incrementará el
rendimiento. El efecto de B (catalizador) es negativo; esto sugiere que
elevar la cantidad del catalizador agregada
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al proceso reducirá el
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rendimiento. Al parecer, el efecto de interacciones es pequeño
comparado con los dos efectos principales.
En muchos experimentos que implican diseños 2K se examina la
magnitud y la dirección de los efectos de los factores para determinar
cuales variables es probable que sean importantes. Por lo general
puede
emplearse
el
análisis
de
varianza
para
confirmar
esta
interpretación. En el diseño 2k existen algunos métodos rápidos
especiales para realizar los cálculos del análisis de varianza.
Consideremos la suma de cuadrados para A, B y AB.
Obsérvese la
primera ecuación que se utiliza un contraste para estimar A; esto es,
ContrasteA  ab  a  b  (1)
Este contraste suele llamarse efecto total de A. A partir de la segunda y
tercera ecuación, puede apreciarse que también se utilizan contraste
para estimar B y AB. Además, estos tres contrastes son ortogonales. La
suma de cuadrados de cualquiera de ellos puede calcularse usando la
siguiente ecuación:


aciyi. 2 na ci2
SSc  1
a
.
Esta ecuación establece que la suma de cuadrados de contraste es
igual al contraste elevado al cuadrado entre el producto del número de
las observaciones de cada
total del contraste
por la suma de
cuadrados de los coeficientes del mismo. En consecuencia, se obtiene
que las sumas de cuadrados de A, B y AB sean:
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2

ab  a  b  (1) 
SSA 
n*4
2

ab  b  a  (1) 
SSB 
n*4
2

ab  (1)  a  b 
SSAB 
n*4
Con los datos de la figura 1, las sumas de cuadrados se pueden calcular
aplicando las ecuaciones anteriores, obteniéndose:
SSA 
50
2
 208.33
4(3)
SSB 
 30
2
 75.00
4(3)
SSAB 
10
2
 8.33
4(3)
La suma total de cuadrados se determina de la manera usual mediante:
2
Y ...
2
2
2
n
SST  i1  j1 k 1 Y ijk 
4n
En general SST tiene 4n –1 grados de libertad. La suma de cuadrados del
error, con 4(n-1) G.L. se puede calcular en la forma usual, por diferencia,
mediante.
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2
2 2 3
Y
2
SSE     Yijk 
 9398.00  9075.00  323.00
i1j1k 1
4(3)
SSE  SST  SS A  SSB  SS AB
 323.00  208.33  75.00  8.33  31.34
El análisis de varianza completo se presenta en la tabla siguiente.
Ambos efectos principales son significativos al 1%.
A menudo se es conveniente escribir las combinaciones de tratamientos
en el orden (1), a, b, y ab. Este orden se conoce como orden estándar.
Cuando se utiliza es posible apreciar que los coeficientes de los
contrastes usados para estimar los efectos son
Efectos (1) a
b
Ab
A:
-1
+1 -1 +1
B:
-1
-1 +1 +1
AB:
+1 -1 -1 +1
Tabla ANOVA para los datos del ejemplo 3.1 es la siguiente:
Fuente de
variación
SS
G.L.
MS
Fo
A
208.33 1
208.33 53.15a
B
75.00
1
75.00
19.13a
AB
8.33
1
8.33
2.13
Error
31.34
8
3.92
Total
323.00 11
a
significativo al 1%
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Signos algebraicos para calcular los efectos en un diseño 22
Combinación
Efecto Factorial
De
Tratamientos
I A B AB
(1)
+ - - +
a
+ + - -
b
+ - + -
ab
+ + + +
Observe que los coeficientes de los contrastes usados para estimar la
interacción son iguales al producto de los coeficientes correspondientes
a los dos efectos principales. Los coeficientes de los contrastes siempre
son +1 o –1 y se puede usar una tabla de signos positivos y negativos
como la mostrada en la de signos algebraicos para determinar el signo
apropiado de cada combinación de tratamientos. En el encabezado
de las columnas de tabla y se encuentran los efectos principales (A y B),
la interacción AB, e I, que representa el total el total o el promedio de
todo el experimento. Se observa que la columna encabezada por I se
compone de solo de signos positivos. Los renglones corresponden a las
combinaciones de tratamientos.
Para encontrar un contraste con el fin de estimar cualquier efecto,
simplemente se multiplican los signos de la columna apropiada de la
tabla por la correspondiente combinación de tratamientos, y se suma.
Por ejemplo, el contraste para estimar A es –(1) + a – b + ab, lo cual
concuerda con la ecuación.
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A 
1
2n
ab  b  a  (1) 
1
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ab  a  b  (1)
2n
Los tipos más sencillos de diseños factoriales implican sólo dos factores o
conjuntos de tratamientos. Haya “a” niveles del factor A y “b” niveles
del factor B, dispuestos en un diseño factorial; esto es, cada A repetición
o réplica del experimento contiene todas las combinaciones de
tratamiento ab. En general, hay n repeticiones.
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