Ejemplo ilustrativo

PROBLEMA RESUELTO
Objetivos:

Identificar un diseño bifactorial de efectos fijos con bloques.

Estudiar la influencia de los bloques y de la interacción entre los factores.

Plantear el modelo adecuado tras los análisis anteriores.

Utilizar el programa SAS en su resolución.
Tiempo: 30 minutos.
Grado de dificultad: medio.
Se desea comparar el efecto conjunto del detergente y del tipo de blanqueador
empleados en la limpieza de un tejido concreto, sobre su resistencia. Para realizar este
análisis, se seleccionaron cuatro tipos de blanqueadores y tres detergentes distintos. En
cuatro rollos de tela, se cortaron 12 muestras de 1 metro, en las que se probaron todas
las combinaciones blanqueador-detergente. Las medidas de resistencia obtenidas son los
que aparecen a continuación :
Rollo
de
tela
1
2
3
4
1
Detergente
1
2
3
63
66
60
62
66
61
62
68
62
64
67
62
Blanqueador
2
3
Detergente
Detergente
1
2
3
1
2
3
68
71
65
70
73
68
67
71
66
69
72
69
67
72
64
70
71
68
67
71
65
71
72
67
4
Detergente
1
2
3
68
73
63
66
71
64
67
73
65
68
72
64
Se pide:
1. Identificar los elementos del problema planteado. Escribir el modelo matemático
asociado y las condiciones del mismo.
2. Construir la tabla ANOVA. ¿Se debe realizar alguna modificación sobre el
modelo planteado?.
3. Sacar conclusiones sobre los factores que influyen en la resistencia de los tejidos.
4. Obtener un gráfico de las resistencias medias con cada tratamiento. ¿Es coherente
con los resultados del apartado 3?. Interpretar las interacciones con la ayuda de
este gráfico.
Solución
1. Identificar los elementos del problema planteado. Escribir el modelo matemático
asociado y las condiciones del mismo
1
La variable respuesta en este experimento es la resistencia del tejido siendo los
trozos de tela de 1 metro las unidades experimentales, contamos con 48 unidades
experimentales. Sobre la resistencia intervienen dos factores: Blanqueador, que
presenta cuatro niveles, y Detergente con tres niveles. El número de tratamientos es
de doce, formados a partir de las combinaciones de los niveles de los dos factores.
Además en el experimento aparece una nueve fuente de variación, el rollo de tela, que al
no ser objetivo de estudio del experimento y tal como se ha llevado a cabo la
aleatorización, debe ser tratado como Factor Bloque con cuatro niveles. Estos niveles
de Factores y Bloque han sido fijados por el experimentador, por lo que se tiene un
Modelo Bifactorial de Efectos Fijos con Bloques.
El modelo matemático asociado a nuestro experimento es, en consecuencia:
yijk    i   j  ( )ij   k  eijk ,
con
i  1,..., 4; j  1,...,3; k  1,..., 4.
donde y ijk es el valor de la variable respuesta para el i-ésimo Blanqueador, el j-ésimo
Detergente y el k-ésimo Rollo;  , media global,  i , efecto del i-ésimo Blanqueador,
 j , efecto del j-ésimo Detergente,  k , efecto del k-ésimo Rollo de tela son parámetros
a estimar, con las condiciones,

4
i  0,  j 1  j  0,
3
i 1

4
k 1
 k  0 . Además
consideramos la existencia de interacción ( )ij entre los dos factores siendo esto
efecto
también
un
parámetro
a
estimar,
con
las
condiciones,
4
3
i 1
j 1
 ( )ij  0,  ( )ij  0, por último, eijk  N (0, ) independientes.
2. Construir la tabla ANOVA. ¿Se debe realizar alguna modificación sobre el
modelo planteado?.
Para la resolución de este apartado, utilizamos el programa que se presenta a
continuación:
Data limpiezas;
Do rollo=1 to 4;
do blanqueador=1 to 4;
do detergente=1 to 3;
input resistencia @@;
output;
end;
end;
end;
datalines;
63 66 60 68 71 65 70 73 68 68 73 63
62 66 61 67 71 66 69 72 69 66 71 64
62 68 62 67 72 64 70 71 68 67 73 65
64 67 62 67 71 65 71 72 67 68 72 64
; proc print;run;
proc glm data=limpiezas;
Class rollo blanqueador detergente;
Model resistencia=rollo blanqueador|detergente;run;
2
En primer lugar analizamos la influencia del factor bloque en la tabla ANOVA
que se presenta a continuación, tabla 2, obtenida mediante el programa SAS anterior.
Para ello observamos que el valor F  CMrollo CME  0.81 es inferior a 1, lo que nos
hace llegar a la conclusión de que realmente los rollos de tela no influyen sobre la
resistencia del tejido. Por lo tanto, el modelo debe ser modificado.
Tabla 1. The GLM Procedure
Dependent Variable: resistencia
Source
Model
Error
Corrected Total
DF
14
33
47
Sum of Squares
576.7916667
23.5208333
600.3125000
Mean Square
41.1994048
0.7127525
F Value
57.80
Pr > F
<.0001
Tabla 2.
Source
DF
rollo
blanqueador
detergente
blanquead*detergente
Type I SS
3
3
2
6
Mean Square
1.7291667
260.0625000
294.0000000
21.0000000
F Value
0.5763889
86.6875000
147.0000000
3.5000000
0.81
121.62
206.24
4.91
Pr > F
0.4982
<.0001
<.0001
0.0011
Por tanto, tendríamos un Modelo Bifactorial de Efectos fijos, con cuatro
réplicas para cada tratamiento Blanqueador-Detergente:
yijk    i   j  ( )ij  eijk ,
con
i  1,..., 4; j  1,...,3; k  1,..., 4.
donde y ijk es el valor de la k-ésima réplica de la variable respuesta para el i-ésimo
Blanqueador y el j-ésimo Detergente;  , media global,  i , efecto del i-ésimo
Blanqueador,  j , efecto del j-ésimo Detergente, son parámetros a estimar, con las
condiciones,
i1 i  0 ,  j 1  j  0 .
4
3
Además consideramos la existencia de
interacción ( )ij entre los dos factores siendo esto efecto también un parámetro a
estimar, con las condiciones,
i1  ij  0 ,  j 1  ij  0
4
3
por último,
eijk  N (0, ) independientes.
CONCLUSIÓN Apartado 2. El modelo debe ser modificado ya que los rollos de tela
no influyen en su resistencia.
3. Sacar conclusiones sobre los factores que influyen en la resistencia de los
tejidos.
Para continuar con nuestro estudio, modificamos el Programa SAS
3
proc glm data=limpiezas;
Class blanqueador detergente;
Model resistencia=blanqueador|detergente;run;
Obtenemos la siguiente tabla ANOVA:
Tabla 3. The GLM Procedure
Dependent Variable: resistencia
Source
Model
Error
Corrected Total
DF
11
36
47
Sum of Squares
575.0625000
25.2500000
600.3125000
Mean Square
52.2784091
0.7013889
F Value
74.54
Pr > F
<.0001
Tabla 4.
Source
blanqueador
detergente
blanquead*detergente
DF
3
2
6
Type I SS
260.0625000
294.0000000
21.0000000
Mean Square
86.6875000
147.0000000
3.5000000
F Value
123.59
209.58
4.99
Pr > F
<.0001
<.0001
0.0008
A la vista de la tabla 4 comprobamos que ambos factores son significativos, así
como la interacción entre ambos.
CONCLUSIÓN Apartado 3. La resistencia de la tela es distinta según el tipo de
blanqueador y el detergente que se utilice.
4. Obtener un gráfico de las resistencias medias con cada tratamiento. ¿Es
coherente con los resultados del apartado 3?. Interpretar las interacciones con la
ayuda de este gráfico.
Para obtener el gráfico de interacciones, ejecutamos el Programa SAS
proc sort data=limpiezas;by blanqueador detergente;
run;
proc means;var resistencia;by blanqueador detergente;output out=graf
mean=media;
run;
proc gplot data=graf;
plot media*detergente=blanqueador;
run;
En la tabla 4 se ha constatado la existencia de interacción significativa entre los
factores Blanqueador y Detergente. Vamos a analizar gráficamente estos resultados.
En el Gráfico 1, se presentan cuatro líneas quebradas. Cada una de ellas
pertenece a uno de los niveles del factor Blanqueador con cada uno de los tres niveles
del factor Detergente. Si no existiera interacción entre los dos factores, las cuatro líneas
deberían ser paralelas; es decir la diferencia de las resistencias medias de los tejidos con
dos tipos de Blanqueador cualesquiera se mantiene constante, no depende del tipo de
detergente que se utilice. En nuestro caso observamos que, en particular, con el
4
Detergente “2” la diferencia de las resistencias medias de los tejidos con el Blanqueador
“4” y “3” es positiva, mientras que con el Detergente “3” es negativa.
Si interpretamos más detenidamente el Grafico 1, se deduce que:
 Con el Detergente “2” la resistencia media siempre es superior.
 Cuando se emplea el Blanqueador “3” la mayor resistencia en los
tejidos se obtiene si se combina con el Detergente “1” o con el
Detergente “3”. Sin embargo utilizándolo con el Detergente “2” la
resistencia media es levemente inferior a la obtenida con el Blanqueador
“4”.
 La resistencia media más baja se obtiene siempre con el Blanqueador
“1”.
Gráfico 1. Interacciones entre Blanqueador y Detergente
Blanqueador 4
Blanqueador 3
Blanqueador 2
Blanqueador 1
Detergente
No obstante, este gráfico sugiere la conveniencia de hacer un estudio de
comparaciones múltiples entre las medias de cada combinación de ambos factores.
CONCLUSIÓN Apartado 4. Basándonos en este gráfico de interacciones, si se desea
mejorar la resistencia de los tejidos, debemos utilizar las combinaciones Detergente 2 Blanqueador 4 o Detergente 2- Blanqueador 3. El blanqueador 1 nos lleva siempre a los
peores resultados.
5