ayudantia n3 modelos estocasticos

Profesor: Iván Derpich
Ayudante: Paulina Moreno
1° semestre 2010
Modelos Estocásticos
Ayudantía Nº 3
Proceso de Poisson
1. En un taller de máquinas de control numérico computarizado se procesan varios tipos de piezas, los
cuales van desde pernos, tuercas, planchas de acero, etc. En este taller hay maquinas que pueden
cumplir una tarea para varios tipos de piezas, éste es el caso de la maquina pulidora, la cual elimina
residuos o astillas propios de la fabricación. La máquina fue programada para procesar tuercas y
tornillos al mismo tiempo. Estudios efectuados al interior de la fábrica mostraron que la fabricación de
tornillos corresponde a un proceso de Poisson a tasa λ1(unid/min) y que las tuercas se fabrican según
un proceso de Poisson a tasa λ2(unid/min). Se le ha encomendado a usted la siguiente tarea ya que el
encargado actualmente se encuentra estudiando otras máquinas al interior de la fábrica.
a. ¿Qué tipo de proceso es el que cuenta el número de piezas procesadas en la máquina pulidora?
b. Si en un tiempo t llegaron n piezas correspondientes a tuercas ¿Cuál es la probabilidad de que
en ese tiempo t, llegaran k piezas correspondientes a tornillos?
c. Dado que la máquina procesó 10 unidades en un tiempo t, ¿cuál es la probabilidad que estas 10
unidades sean tornillos?
d. Si la máquina procesó un total de 100 unidades durante los primeros 5 minutos de trabajo,
¿cuál es la probabilidad que durante los primeros 7 minutos de operación procese 150
unidades?
2. En la sala de un hospital llegan pacientes según un proceso de Poisson a tasa 2 (per./hora). En esta sala
hay un médico que tiene un turno de 12 horas desde las seis de la mañana hasta las seis de la tarde. Se
pide que calcule lo siguiente:
a. Si el médico ha visitado a 6 pacientes a las 8 de la mañana, ¿Cuál es la probabilidad de que ve a
un total de 9 pacientes antes de las 10 de la mañana?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre llegada de pacientes sucesivos sea más de una
hora?
c. ¿Cuál es el tiempo esperado entre desde que el médico se hizo cargo de su turno hasta que ve
a su primer paciente?, ¿Cuál es la probabilidad de que vea a su primer paciente antes de 15
minutos desde que se hizo cargo de su turno?
d. De los pacientes que llegan al hospital, se calcula que el 14% viene por servicios de urgencias
¿Cómo se distribuye el proceso de conteo que cuenta a los pacientes de urgencia?, ¿Cómo es la
probabilidad de que el médico vea a seis pacientes de urgencia durante su turno?
3. En pleno invierno como es habitual las salas de emergencias de los hospitales no dan abasto, ya que
aumenta sustancialmente el número de enfermos. Las enfermedades respiratorias aumentan en esta
fecha ya sea por los fríos, el smog, y la gran humedad que se produce luego de las lluvias. Se realizará
un estudio en una de estas salas de emergencias.
Por esto en la sala de emergencias del hospital Sotero del Río llegan personas de acuerdo a un proceso
de Poisson a una tasa de 50 personas por hora. Como en invierno ocurren ciertos eventos especiales en
cuanto a salud hay un plan en el hospital que le permite funcionar adecuadamente frente a las crisis.
En el momento de recibir a los pacientes estos son designados a su correspondiente sector, siendo
este: enfermedades respiratorias, accidentes varios (cortes, quemaduras, fracturas, etc.) y emergencias
cardiacas. Las probabilidades asociadas a cada uno de los sectores de subdivisión de emergencias son
0.5, 0.38 y 0.12 respectivamente.
Responda:
a. Han llegado 120 pacientes dentro de la mañana (7 a 10 horas) ¿Cuál es la probabilidad que
estas llegadas ocurrieran entre las 7 y las 9 horas?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que dado que han llegado 18 pacientes sean para enfermedades
respiratorias?
c. Se quiere saber ¿cuál es la probabilidad de que durante la 1 AM. Y las 4 AM lleguen 10
pacientes a emergencias cardiacas?
d. ¿Cuál es la probabilidad que los siguientes 3 pacientes se designe un a cada sector, es decir,
que llegue uno con enfermedad respiratoria, otro con quemaduras y otro con complicaciones
cardiacas?
Desarrollo
1.a) Se tiene el siguiente esquema del proceso
Poisson (λ1)
¿N(t)?
Poisson (λ2)
Sea N1(t): Proceso de Poisson a tasa λ1 (unid/min), que cuenta el numero de tornillos que llegan a ser
procesados a la maquina pulidora.
Sea N2(t): Proceso de Poisson a tasa λ2 (unid/min), que cuenta el numero de tuercas que llegan a ser
procesados a la maquina pulidora.
Los procesos N1(t) y N2(t) son procesos independientes.
El proceso aquí descrito es una suma de procesos de Poisson, por lo tanto, el proceso N(t) es un proceso de
Poisson a tasa (λ1 + λ2), el cual cumple con las propiedades de Incrementos Estacionarios, Incrementos
Independientes y la Propiedad de Orden.
Poisson (λ1)
Poisson (λ1 + λ2)
Poisson (λ2)
b) Si se tiene que N1(t) y N2(t) son procesos de Poisson independientes, la llegada de un determinado
numero de piezas de un producto como la tuerca, no condiciona la llegada de los tornillos. Luego se
tiene que:
e-λ1t (λ1t) k
P[N1(t) = k / N(t)2 = n] = P[N(t)1 = k] =
k!
Si se quiere ver por otra forma:
P[N1(t) = k / N(t)2 = n] = P[N(t)1 = k, N(t)2 = n ] =
P[N(t)1 = k, N(t)2 = n ]
P [N(t)2 = n]
Se sabe que ambos procesos son independientes, luego
P[N1(t) = 10 / N(t)2 = 10] =
P[N(t)1 = k] * P[N(t)2 = n] =
P [N(t)2 = n]
P[N(t)1 = 10] * P[N(t)2 = 10] =
P [N(t)2 = 10]
e-λ1t (λ1t) k
P[N(t)1 = k] =
k!
c) Se sabe que N(t) = N1(t) + N2(t) y se esta condicionando a que N1(t) = 10 y N2(t) = 0, se tiene que:
P[N(t)1 = 10, N(t) = 10] =
P [N(t) = 10]
P[N(t)1 = 10, N(t)1 = 10, N(t)2 = 0] =
P [N(t) = 10]
P[N(t)1 = 10, N(t)2 = 0] =
P [N(t) = 10]
Se sabe que ambos procesos son independientes, luego:
e-λ1t (λ1t) 10
e-λ1t (λ2t) 0
10!
0!
P[N(t)1 = 10] * P[N(t)2 = 10] =
P [N(t) = 10]
e-(λ1+ λ2)t (λ1+ λ2) t) 10
10!
=
e-(λ1+ λ2)t (λ1t) 10
=
e –( λ1+ λ2)t [(λ1+ λ2)t]10
λ1
λ1 + λ2
d) Se tiene la siguiente situación:
0
N(5)=100
5
7
t
N(7)=150
P[N(7) = 150 / N(5) = 100] =
P[N(7) = 150, N(5) = 100] =
P [N(5) = 100]
P[N(2) = 50, N(5) = 100] =
P [N(5) = 100]
P[N(2) = 50] =
P[N(7-5) = 150-100, N(5) = 100] =
P [N(5) = 100]
P[N(2) = 50]*P[N(5) = 100]
P [N(5) = 100]
e-(λ1+λ2)t ((λ1 + λ2)t) 50
50!
2.Sea N(t) proceso de Poisson que cuenta el numero de personas que llega al hospital.
a) Se considera como la hora cero a las seis de la mañana, por lo tanto se tiene lo siguiente:
0
N(2)=6
2
4
N(4)=9
P[N(4) = 9 / N(2) = 6] =
P[N(2) = 3] =
P[N(4) = 9, N(2) = 6] =
P [N(2) = 6]
e-2*2 (2*2) 3
3!
P[N(2) = 3, N(2) = 6] =
P [N(2) = 6]
P[N(2) = 3] * P[ N(2) = 6] =
P [N(2) = 6]
= 0.1954
b) Sea Ti el tiempo en que llega el i-ésimo paciente y Ti+1 el tiempo en que llega el (i+1)-ésimo paciente a
contar desde que llega el anterior paciente. Luego Ti y Ti+1, son tiempos entre eventos.
y
Ti
x
Ti+1
P[Ti+1 < x / Ti = y] Por ser tiempos entre eventos se disminuyen exponencialmente con tasa β, luego por la
propiedad de falta de memoria de la distribución exponencial no es información relevante cuanto tiempo tardo
en suceder el evento i, solo interesa desde que ocurrió hasta que ocurrió el evento i+1. Luego se tiene que
P[Ti+1 <= x / Ti = y] puede ser planteado como:
P[Ti+1 < x] = 1 - P[Ti+1 > x]
P[Ti+1 > x], significa que un periodo x no ocurra ningún evento, es decir:
P[Ti+1 > x]= P[N(x) = 0]= e-λx
Finalmente se tiene que:
P[Ti+1 <= x] = 1 - P[Ti+1 > x] = 1 - e-λx = e-2*1
c) Se sabe que E[N(t)]= λ*t, se indica en el enunciado que se tiene una esperanza de recibir una persona, y se
pregunta por la esperanza del tiempo, luego despejando se tiene:
E[N(t)]= 2*t = 1, luego el tiempo es t=1/2 horas.
d) Se tiene que es un descomposición de procesos de Poisson, esta genera otros procesos de Poisson a tasa λp,
donde p es la probabilidad de seguir un camino, demás esta decir que estos procesos tienen las mismas
propiedades que el proceso que los genera.
Poisson (λp)
Poisson (λ)
Poisson (λ(1-p))
Donde p=0,14, luego se tiene:
P[Nur (12) = 6] =
e-(2*0,14)12 (2*0,14*12) 6
6!
= 0.0694
3.Definir:
N=numero de pacientes que llegan a la sala de emergencia del hospital Sotero del Río en [0,t]~P(λ=50)
NR= numero de pacientes que llegan con enfermedades respiratorias [0,t]~P(λR=25)
NA= numero de pacientes que llegan con quemaduras, cortadas, etc. [0,t]~P(λA=19)
NC= numero de pacientes que llegan con complicaciones cardiacas [0,t]~P(λC=6)
NR(t) ~ P(λR=25)
N(t) ~ P(λ=50)
NA(t) ~ P(λA=19)
NC(t) ~ P(λC=6)
a) P[N(2)=120/N(3)=120] =
P[N(2) = 120, N(3) = 120] = P[N(2) = 120, N(3)-N(2) = 0] =
P [N(3) = 120]
P [N(3) = 120]
P[N(2) = 120]*P{N(1) = 0] =
P [N(3) = 120]
e-50*2 (50*2) 120
120!
P[N(2) = 120, N(1) = 0] =
P [N(3) = 120]
e-50*1 (50*1) 0
0!
= (2/3)120
e-50*3 (50*3) 120
120!
b) P[NR(t)=18/N(t)=18] =
P[NR(t) = 18, N(t) = 18] = P[NR(t) = 18, NC(t) = 0,NA(t)=0] =
P [N(t) = 18]
P [N(t) = 18]
P[NR(t) = 18]*P[NC(t) = 0]* P[NA(t)=0] =
P [N(t) = 18]
c) P[NC(3)=10] =
e-6*3 (6*3) 10 =
10!
d) P[NR(t)=1; NC(t)=1;NA(t)=1;N(t)=3] =
e-25*t (25*t) 1
1!
e-18 (18) 10
10!
e-25*t (25*t) 18
18!
e-6*t (6*t) 0
0!
e-50*t (50*t) 3
3!
= (1/2)18
e-50*t (50*t) 18
18!
= 0.0149
P[NR(t) = 1;NC(t) = 1;NA(t) = 1] =
P [N(t) = 3]
e-6*t (6*t) 1
1!
e-19*t (19*t) 0
0!
e-19*t (19*t) 1
1!
P[NR(t) = 1]*P[NC(t) = 1]*P[NA(t) = 1] =
P [N(t) = 3]
= 3! * 25* 6 * 19
503
= 0.1368