PROYECCIÓN TRANSVERSAL DE MERCATOR (TM)

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PROYECCIÓN TRANSVERSAL DE MERCATOR (TM)
ALGORITMO SISTEMA DE PROYECCIÓN TM
(FÓRMULAS COMPILADAS POR RENÉ ZEPEDA GODOY)
VERSIÓN 3 – JULIO 2003
Gerhardus Mercator, nombre latinizado de Gerhard Kramer (1462-1532) creó la proyección
cilíndrica entre 1511 y 1513 como ayuda a la navegación, situando el eje de un cilindro
coincidente con el eje del mundo.
En 1559, Edward Wright desarrolló la proyección
matemáticamente. El inconveniente de la proyección es que las superficies se deforman
significativamente con el aumento de la latitud.
Johan Heirich Lambert (1782-1777) resolvió el problema de pérdida de escala y resolvió colocar el
cilindro perpendicular al eje del mundo (transversal) pero fue Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
que la desarrolló matemáticamente a partir de 1822, posteriormente L. Krugger, entre 1912 y 1919
publicó las fórmulas referentes al elipsoide.
En Europa la proyección es conocida como Gauss-Krugger mientras que en otros países se la
denomina como Transversal de Mercator - TM.
Los meridianos y paralelos no son proyectadas como rectas, sino como curvas complejas, excepto
el ecuador y el meridiano central.
En 1947 Estados Unidos adoptó la TM estandarizada recibiendo el nombre de Universal
Transversal de Mercator – UTM, con constantes definidas y de uso entre las latitudes 80ºN y 80ºS.
La proyección Transversal de Mercator es conforme, es decir mantiene en la proyección la
magnitud de los ángulos infinitesimales formados en el elipsoide, es equivalente a decir que
mantiene las formas infinitesimales.
La proyección se forma implantando un cilindro cuyo eje es transversal al eje terciario del elipsoide
adoptado (eje Z) y coincidente con el ecuador.
Huso UTM
Elipsoide
WGS-84
Meridiano
Central
Plano UTM
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Huso 18
-78
-16
-75
-72
Huso 19
-69
-66
-20
Husos UTM
18 19
-24
λ=0º
Meridiano
Origen
-28
Este
Polo Sur
01
λ=180º
60
-32
-36
-40
-44
-48
-52
-56
Se adoptaron husos de 6º de amplitud en longitud, numerados desde 1 a 60, partiendo del anti
meridiano origen, en sentido Este. A Chile le corresponden los Husos 18 y 19.
Las demás constantes son:
Factor de Escala en el Meridiano Central (MC) = 0,9996
Norte Falso (NF) para el hemisferio sur = 10.000 km
Este Falso (EF) = 500 km.
El origen de las coordenadas ortogonales formada por la cuadrícula es en la intersección de las
proyecciones del ecuador y el meridiano central.
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HUSO UTM PARA EL HEMISFERIO SUR
NORTE
Cuadrícula
UTM
NF = 10.000 km
NV
EF = 500 km
Origen: Meridiano
Central / Ecuador
Meridianos y Paralelos
Proyectados
NC
ESTE
NC
NV
Ko=0,9996
K>1
K=1
K=1
K>1
Huso: 6º
Ko= 1-1/2.500 = 0,9996
FN(Y) = 10.000km
FE(X) = 500km
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ELEMENTOS DE LA PROYECCIÓN
N
ECUADOR
NF=10.000 km
O
NC CM NV
ESTE
EF= 500 km
N’2
MC
2
E’2
N’1
B
NC
t 2-1
φ2
β α
NV
3
T 2-1
CM
t 1-2
meridiano de P1
T1-2
paralelo de P1
E’1
1
φ1
N=NF+N´
E=EF+E´
∆λ1
t: azimut plano
T: azimut geodésico proyectado
∆λ2
α: ángulo observado
β: ángulo plano de cuadrícula
polo
Las fórmulas que se presentan a continuación provienen de un estudio realizado en la Universidad
de Sao Paulo y son NO iterativas en el cálculo de la latitud.
ALGORITMO SISTEMA DE PROYECCIÓN TM
Valores auxiliares
α=
A ⋅ a ⋅ (1 − e 2 )
ρo
D ⋅ a ⋅ (1 − e 2 )
δ=
6
β=
B ⋅ a ⋅ (1 − e 2 )
2
E ⋅ a ⋅ (1 − e 2 )
ε=
8
γ=
C ⋅ a ⋅ (1 − e 2 )
4
F ⋅ a ⋅ (1 − e 2 )
ξ=
10
(1)
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180 o
= 57 o ,295 779 513 082...
π
180 o * 3600"
1
ρ" =
= 2062648,06 2470963551 564 =
π
sen 1"
3 2 45 4 175 6 11025 8 43659 10
A = 1+ e +
e +
e +
e +
e + ...
4
64
256
16384
65536
3
15 4 525 6 2205 8 72765 10
B = e2 +
e +
e +
e +
e + ...
4
16
512
2048
65536
(2)
15 4 105 6 2205 8 10395 10
C=
e +
e +
e +
e + ...
64
256
4096
16384
35 6
315 8 31185 10
D=
e +
e +
e + ...
512
2048
131072
315 8
3465 10
E=
e +
e + ...
16384
65536
639
F=
e 10 + ...
131072
ρo =
e2
e' =
1 − e2
a2 − b2
e'2 =
b2
2
2
e = f (2 − f )
a2 − b2
e =
a2
2
f=
a −b
a
(3)
COORDENADAS PLANAS NORTE Y ESTE
N = NF + N’
N (-) al sur del Ecuador
E = EF + E’
E (+) al este del MC
E (-) al oeste del MC
(=10.000.000m + N’)
(=500.000m + E’)
N' = k 0 ⋅ (B + N1 + N2 + N3)
N1 = 12 ∆λ"2 N1 senφ cos φ sen21"
(
senφ cos φ sen 1"⋅( 61 − 58t
∆λ"4 N1 senφ cos3 φ sen41"⋅ 5 − t 2 + 9η2 + 4η4
N2 =
1
24
N3 =
1
720
∆λ"6 N1
5
6
2
)
+ 4t 4 + 270η2 − 330t 2η2
(4)
)
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E' = k 0 ⋅ (E1 + E2 + E3)
E1 = ∆λ" N1 cos φ sen1"
(
E2 = 16 ∆λ"3 N1 cos φ3 sen31"⋅ 1 − t 2 + η2
(
)
(5)
1
∆λ"5 N1 cos φ5φ sen51"⋅ 5 − 18t 2 + t 4 + 14η2 − 58t 2η2
E3 = 120
)
con
∆λ" = (λo − λo 0 ) ⋅ 3600
B = α φ o − β sen2φ + γ sen4φ − δ sen6φ + ε sen8φ − ξ sen10φ
N1 =
(6)
a
1− e 2 sen 2 φ
t = tgφ
η = e' cos φ
latitud del punto considerado
φ
longitud del punto considerado
λ
λ0
longitud del MC del huso
∆λ
diferencia en longitud entre el punto considerado y el MC del huso
B
arco de meridiano desde el ecuador, sobre el MC correspondiente a la latitud del
K0
factor de escala en el MC (0,9996 para UTM)
NF
constante N en el ecuador (10.000.000 para UTM en el hemisferio sur)
EF
constante E en el MC (500.000 para UTM)
N’
distancia plana del punto al ecuador
E’
distancia plana del punto al MC
a, b, e, e’
constantes del elipsoide del sistema (datum) de referencia
punto
COORDENADAS GEODÉSICAS (LATITUD Y LONGITUD)
φ = φ1 + cφ
cφ" = −
2
E'2 t1 (1 + η1 )
2
2 N1 sen1" k 0
2
+
2
2
2
2
4
4
2
E'4 t1 (5 + 3t1 + 6η1 − 6η1 t1 − 3η1 − 9η1 t1 )
4
24 N1 sen1" k 0
4
−
(*)(7)
2
4
2
2 2
2 4
E'6 t1 (61 + 90t1 + 45t1 + 107η1 − 162η1 t1 − 45η1 t1 )
−
6
6
720 N1 sen1" k 0
2
2
2
4
2
2
2
E'
E'3 (1 + 2t1 + η1 )
E'5 (5 + 28t1 + 24t1 + 6η1 + 8η1 t1 )
∆λ" =
−
+
5
5
N1 cos φ1 sen1" k 0 6 N13 cos φ1 sen1" k 03
120 N1 cos φ1 sen1" k 0
(*)(8)
(*)términos de correcciones de la latitud y longitud en segundos
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φ=
primera aproximación de φ1:
N'
(9)
k 0 α ρo
φ1 = φ + ∆ φ
∆φ = T + β1 T 2 + β 2 T 3 + β 3 T 4 + β 4 T 5 + β 5 T 6 ...
φ1
corrección de φ
(10)
latitud del pié de la perpendicular del punto al MC; corresponde a la latitud de B.
L = α ρo − 2β cos 2φ + 4 γ cos 4φ − 6δ cos 6φ + 8ε cos 8φ − 10ξ cos10φ
Funciones auxiliares:
(
(
(
(
(
)
γ cos 4φ + 36 δ cos 6φ)
γ sen4φ − 54 δ sen6φ)
(11)
α 1 = − L1 2 β sen2φ − 8 γ sen4φ + 18 δ sen6φ
α 2 = − L1
α 3 = − L1
α4 = −
4
3
β cos 2φ − 323
2
3
β sen2φ + 323
1 4
L 15
α 5 = − L1
4
15
β cos 2φ +
128
15
γ cos 4φ −
324
5
δ cos 6φ
)
β sen2φ − 256
γ sen4φ + 324
δ sen6φ
45
5
(12)
)
β1 = α1
β 2 = α 2 + 2 α1
2
β 3 = α 3 + 5 α1 α 2 + 5 α1
3
2
2
β 4 = α 4 + 6 α1 α 3 + 3 α 2 + 21 α1 α 2 + 14 α1
(
4
(13)
)
β 5 = α 5 + 7 (α1 α 4 + α 2 α 3 ) + 28 α1 α 3 + α1 α 2 + 84 α1 α 2 + 42 α1
(
2
2
3
T = L1 β sen2φ − γ sen4φ + δ sen6φ − ε sen8φ + ξ sen10φ
5
)
FACTOR DE ESCALA EN FUNCIÓN DE N, E
 E' 2
E' 4
+
k = k 0 
2
2
 2 M N 24 M N





E' 2
E' 4
= k 0 1 +
+
2
24 R 4
 2R




(14)
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k medio entre los puntos 1 y 2
(
)
 1

1
2
2
k = k 0 1 + E'1 +E'1 E'2 +E'2

2
2 k 0 R 2 
 3
  2 1

1

= k 0 1 +  E'm + ∆E 2 
2
2  (15)
12
 2 k 0 R 
 
Fórmula aproximada

E' 2 
k = k 0 1 +
2 
 2 R 
φm =
N' m
k 0 α ρo
(16)
N=
a
1 − e 2 sen 2 φ
M=
a (1 − e 2 )
(1 − e 2 sen 2 φ) 3
FACTOR DE ESCALA EN FUNCIÓN DE φ, λ
(
k = k 0 1 + 12 ∆λ" 2 cos 2 φ sen 2 1" (1 + η 2 ) + 241 ∆λ" 4 cos 4 φ sen 4 1" (5 − 4t 2 )
)
Fórmula aproximada
 ∆λ2 cos 2 φ 
 ∆λ=(λ–λo) en rad
k = k 0 1 +

2


(18)
CORRECCIÓN POR ALTURA.
Esta corrección puede ser expresada por un factor proporcional como factor de escala:
KH =
R +h R+H+N
=
R
R
Para H>0 Æ KH>0
distancia elipsóidica x KH = distancia terreno
(20)
(17)
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CORRECCIÓN ANGULAR (t-T) = ψ :
ψ1−2
(1 + e '2 ⋅ cos 2 φm ) ⋅ (1 − e 2 ⋅ sen 2 φm )
1
= − ∆N(E'1 − ⋅ ∆E) ⋅
3
2 ⋅ a 2 ⋅ k 02 ⋅ sen1"
ψ 2−1
(1 + e '2 ⋅ cos 2 φm ) ⋅ (1 − e 2 ⋅ sen 2 φm )
1
= + ∆N(E' 2 + ⋅ ∆E) ⋅
3
2 ⋅ a 2 ⋅ k 02 ⋅ sen1"
ψ 1− 2 =
ψ 2−1 =
(NA − NB )(2E A + EB − 3FE)
2
6 k 02 R m
(NA − NB )(2EB + E A − 3FE)
2
6 k 02 R m
(21)
⋅ (1 + η2m )
2
)
⋅ (1 + ηm
CONVERGENCIA MERIDIANA EN FUNCIÓN DE φ, λ
CM = ∆λ" senφ + 13 ∆λ"3 senφ cos 2 φ sen 21" (1 + 3η2 + 2η4 ) + 151 ∆λ"5 senφ cos 4 φ sen 41" ( 2 − t 2 )
(22)
CONVERGENCIA MERIDIANA EN FUNCIÓN DE N, E
CM =
(23)
E' tgφ1
E'3 tgφ1
E'5 tgφ1
2
2
4
2
4
−
+
−
η
−
η
+
(
1
t
2
)
(2 + 5t1 + 3t1 )
1
1
1
3
3
5
5
k 0 N1 sen1" 3 k 0 N1 sen1"
15 k 0 N1 sen1"
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Secuencia de cálculo para conversión de coordenadas:
Dados (φ, λ) Æ calcular (N, E)
1- Definir parámetros del elipsoide: a, e, e’
2- Calcular A,B,C,D,E,F usando (2)
3- Calcular α, β, γ, δ, ε, ξ usando (1) y (2)
4- Calcular ∆λ” usando (6)
5- Calcular B usando (6)
6- Calcular N’ usando (4)
7- Calcular E’ usando (5)
Dados (N, E) Æ calcular (φ, λ)
1- Definir parámetros del elipsoide: a, e, e’
2- Calcular A,B,C,D,E,F usando (2)
o
3- Calcular α, β, γ, δ, ε, ξ, ρ usando (1)
4- Calcular N’
5- Calcular φ usando (9)
6- Calcular función auxiliar L y T usando (11) y (13)
7- Calcular los αi usando (12)
8- Calcular los βi usando (13)
9- Calcular ∆ φ usando (10)
10- Calcular φ1 usando (10)
11- Calcular N1, t1 y η1 usando (6)
12- Calcular E’ = E – EF
13- Calcular φ usando (7)
14- Calcular ∆λ usando (8)
DATOS DE EJEMPLO DE TRANSFORMACION UTM --> GEODESICAS (GG.MMSS)
DATOS DE ENTRADA (WGS84) :
A,E^2,E, 6378137.00000000
0.669437999014132D-002 0.818191908426215D-001
N,E,H,MC 6297641.737
343637.923
546.490000000000
-69
0.506310859723875D-002
0.106275901587118D-004
A,B,C,D,E,F: 1.00505250178821
0.208203782644488D-007
0.393237129380285D-010
0.655454778252015D-013
16038.5086626504
16.8326131614633
0.219843738776170DALFA,BETA,... 111132.952547913
001 0.311416246803449D-004 0.415259397939981D-007 57.2957795130823
-0.581683451896783
DEQ(E'),FIMEDIO -3702358.26300000
ELE(L) 6354692.54940169
T -0.231535674055095D-002
ALFA1, ALFA2... 0.461913030138781D-002 -0.135271845489754D-002
0.156547935730516D-002 -0.251396118487884D-003 0.607054662959559D-003
BET1, BET2... 0.461913030138781D-002 -0.131004572541514D-002
0.153473022052833D-002 -0.203119388634888D-003 0.585263273219358D-003
FIMEDIO,DELTAFIM,FI1,FI1(GRAD) -0.581683451896783 -0.231533196165746D-002
-0.583998783858441
-33.4606655558614
-0.660898736573758
N,t,n,E' 6384637.02633239
0.684884784189982D-001 -156362.077000000
TÉRMINOS DE CORRECCIONES A LA LATITUD (SEG)
FI11-12-13 -41.1055412559478 -0.129466677784492D-001 -0.446447776928301D-005
-41.0925990526471
FI1,DALAT(SEG),DALAT9RAAD) -0.583998783858441
-0.199222542130721D-003
-33.4492509450135
LAT,LAT(GRAD) -0.583799561316310
TÉRMINOS DE CORRECCIONES A LA LONGITUD
DEA1,DEA2.. -6057.45672639476 -1.13824006053108 -0.397469044983469D-003
-0.293618625202986D-001
DEA(SEG),DEA(RAAD) -6056.31888380328
-70.6823108010565
LON(RAD),ALON(GRAD) -1.23363904639639
CONVERGENCIA A PARTIR DE PLANAS
0.956983923071687
TÉRMINOS CP1,CP2,CP3,CP(SEG),CP(GRAD) 3339.86587050979
0.381576390025727D-003 3338.90926816310
0.927474796711974
CONV RAD 0.161874889318890D-001
A PARTIR DE GEODESICAS
0.931649828744238
TÉRMINOS CG1,CG2,CG3,CG(SEG),CG(GRAD) 3338.23185212101
0.125350663919404D-003 3339.16362730041
0.927545452027893
M: 6354816.89348335
0.999901190776070
-98.8092239301108
ESCALA RIGU (PLANAS),PPM
0.999901175652225
-98.8243477752311
ESCALA APRX (PLANAS),PPM
0.999901431488548
-98.5685114520022
ESCALA RIGU (GEOD),PPM
0.999899975205923
-100.024794077512
ESCALA APRX (GEOD),PMM
1.00008579512130
85.7951212997262
FACT ESCALA ALTURA, PPM
FACT ESCALA COMB, PPM
1.00018462258764
184.622587644538