Programación de Proyectos con PERT-CPM

Universidad Nacional del Santa.
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería en Energía.
Docente:
Mg. Carlos E. Vega Moreno.
CHIMBOTE – PERÚ
2008
IÍNDICE
Pág.
Introducción............................................................................................................................ 3
CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE REDES Y CÁLCULO DE LA RUTA CRÍTICA. .....................4
Proyecto ................................................................................................................................. 4
Actividad ................................................................................................................................ 4
Diagrama de barras de Gannt ................................................................................................ 4
Método PERT – CPM ............................................................................................................. 4
Fases de la programación de proyectos PERT-CPM ............................................................. 5
Diagrama de Flechas ............................................................................................................. 5
Cálculo de la Ruta Crítica ....................................................................................................... 6
Procedimiento para construcción del diagrama de flechas ..................................................... 8
Práctica ................................................................................................................................ 10
DIAGRAMAS DE TIEMPO Y NIVELACIÓN DE RECURSOS. .............................................................11
Determinación de holguras ................................................................................................... 11
Diagrama de Tiempo ............................................................................................................ 13
Construcción del diagrama de tiempo .................................................................................. 14
Diagrama de Nivelación de Recursos................................................................................... 15
Practica ................................................................................................................................ 22
CONSIDERACIONES DE COSTO EN LA PROGRAMACION DE PROYECTOS ...............................23
Regla práctica ...................................................................................................................... 24
Practica ................................................................................................................................ 29
PERT TIEMPO .......................................................................................................................................30
BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................................34
INTRODUCCIÓN
La Planeación, programación y control de proyectos es una actividad inherente a cualquier
área de la ingeniería. Estos proyectos nacen como una idea o alternativa de solución a
algún tipo de problema o para aprovechar las oportunidades que se presenta teniendo en
cuenta las fortalezas que tiene la organización.
Los proyectos deben tener un inicio y fin (no existen proyectos ilimitados) además, se le
provee de recursos la misma que deben ser adecuadamente asignadas y controladas a
cada actividad del proyecto a fin de que se cumpla con lo planificado.
Teniendo en cuenta estas consideraciones el presente manual cumple con estas fases
empleando para ello la técnica PERT – CPM.
Se planifica las actividades haciendo uso de la red de actividades (Diagrama de Redes)
teniendo en cuenta las actividades de inicio y fin de proyecto además de las precedencias y
actividades paralelas (simultáneas).
Se programa asignándolo tiempos y recursos a fin de que estas actividades se puedan
realizar en un tiempo óptimo con el menor uso recursos. La duración del proyecto se calcula
haciendo uso de la ruta critica que es el tiempo máximo de duración del proyecto.
Se Controla las actividades teniendo en cuenta el tiempo y los recursos asignados buscando
la probabilidad de que el proyecto se pueda cumplir en el tiempo previsto.
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PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS CON PERT-CPM
CONSTRUCCIÓN DE DIAGRAMA DE REDES Y CÁLCULO DE LA RUTA CRÍTICA
Un proyecto define una combinación de actividades interrelacionadas que deben ejecutarse
en un cierto orden antes que el trabajo completo pueda terminarse. Las actividades están
interrelacionadas en una secuencia lógica en el sentido que algunas de ellas no pueden
comenzar hasta que otras se hayan terminado. Una actividad en un proyecto, usualmente
se ve como un trabajo que requiere tiempo y recursos para su terminación. En general, un
proyecto es esfuerzo de un solo periodo; esto es, la misma sucesión de actividades puede
no repetirse en el futuro.
En el pasado, la programación de un proyecto (en el tiempo) se hizo con poca planeación.
La mejor herramienta conocida de "Planeación" entonces era el diagrama de barras de
Gantt, el cual especifica los tiempos de inicio y terminación de cada actividad en una celda
de tiempo horizontal. Su ventaja es que la interdependencia entre las diferentes actividades
(la cual controla principalmente el progreso del proyecto) no puede determinarse a partir del
diagrama de barras. Las complejidades crecientes de los proyectos actuales han
demandado técnicas de planeación más sistemáticas y más efectivas con el objeto de
optimizar la eficiencia en la ejecución del proyecto. La eficiencia aquí implica efectuar la
mayor reducción en el tiempo requerido para terminar el proyecto mientras se toma en
cuenta la factibilidad económica de la utilización de los recursos disponibles.
La administración de proyectos ha evolucionado como un nuevo campo con el desarrollo de
dos técnicas analíticas para la planeación, programación y control de proyectos. Tales son el
Método de Ruta Crítica (CPM) y la Técnica de Evaluación y Revisión de Proyectos
(PERT). Las dos técnicas fueron desarrolladas por dos grupos diferentes casi
simultáneamente (1956-1958). El CPM fue desarrollado por E.I. du Pont de Nemours &
Company como una aplicación a los proyectos de construcción y posteriormente se extendió
a un estado más avanzado por Mauchly Associates. El PERT, por otra parte, fue
desarrollado por la Marina de Estados Unidos por una organización consultora con el fin de
programar las actividades de investigación y desarrollo para el programa de misiles Polaris.
Los métodos PERT y CPM están básicamente orientados en el tiempo en el sentido que
ambos llevan a la determinación de un programa de tiempo. Aunque los dos métodos fueron
desarrollados casi independientemente, ambos son asombrosamente similares. Quizá la
diferencia más importante es que originalmente las estimaciones en el tiempo para las
actividades se supusieron determinantes en CPM y probables en PERT. Ahora PERT y
CPM comprenden realmente una técnica y las diferencias, si existe alguna, son únicamente
históricas. En adelante, ambas se denominarán técnicas de "programación de proyectos".
Programación de Proyectos con PERT – CPM
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Ingeniería en Energía
La programación de proyectos por PERT-CPM consiste en tres fases básicas: Planeación,
Programación y Control.
La fase de planeación se inicia descomponiendo el proyecto en actividades. Las
estimaciones de tiempo para estas actividades se determinan luego y se construye un
diagrama de red (o de flechas) donde cada uno de sus arcos (flechas) representa una
actividad. El diagrama de flechas completo da una representación gráfica de las
interdependencias entre las actividades del proyecto. LA construcción del diagrama de
flechas como una fase de planeación, tiene la ventaja de estudiar los diferentes trabajos en
detalle, sugiriendo quizá mejoras antes del que el proyecto realmente se ejecute. Será más
importante su uso en el desarrollo de un programa para el proyecto.
El último objetivo de la fase de programación es construir un diagrama de tiempo que
muestre los tiempos de iniciación y terminación para cada actividad, así como su relación
con otras actividades del proyecto. Además, el programa debe señalar las actividades
críticas (en función del tiempo) que requieren atención especial si el proyecto se debe
terminar oportunamente. Para las actividades no críticas el programa debe mostrar los
tiempos de holgura que pueden utilizarse cuando tales actividades se demoran o cuando se
deben usar eficientemente recursos limitados.
La fase final en la administración de proyectos es la de control. Esto incluye el uso del
diagrama de flechas y la gráfica de tiempo para hacer reportes periódicos del progreso. La
red puede, por consiguiente, actualizarse y analizarse y si es necesario, determinar un
nuevo programa para la porción restante del proyecto.
Diagramas de Flechas
El diagrama de flechas representa las interdependencias y relaciones de precedencia entre
las actividades del proyecto. Se utiliza comúnmente una flecha para representar una
actividad, y la punta indica el sentido de avance del proyecto. La relación de precedencia
entre las actividades se especifica utilizando eventos. Un evento representa un punto en el
tiempo y significa la terminación de algunas actividades y el comienzo de nuevas. Las
actividades que originan un cierto evento no pueden comenzar hasta que las actividades
que concluyen en el mismo evento hayan terminado. En la terminología de la teoría de redes
cada actividad está representada por un arco dirigido y cada evento está simbolizado por un
nodo. La longitud del arco no tiene que ser proporcional a la duración de la actividad ni tiene
que dibujarse necesariamente como línea recta.
i
Dij
TTTi TIPi
Programación de Proyectos con PERT – CPM
j
TTTj TIPj
Pág. 12
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Donde:
(i,j)
Di,j
TIPi
TIPj
TTTi
TTTj
: Actividad con nodo de inicio i y de terminación j.
: Duración de la actividad ( i , j ).
: Tiempo de iniciación mas próxima en el Nodo i.
: Tiempo de iniciación mas próxima en el Nodo j.
: Tiempo de Terminación mas tardía en el Nodo i.
: Tiempo de Terminación mas tardía en el Nodo j.
Las reglas para construir el diagrama de flechas se resumirán ahora:
1. Cada actividad está representada por una y un solo una flecha en la red. Ninguna
actividad puede representarse dos veces en la red.
2. Dos actividades diferentes no pueden identificarse por el mismo evento inicio y de
termino. A efectos de eliminar esto se usa actividades Ficticias o Artificiales que tendrían
duración 0 y se traza con líneas punteadas.
A
1
2
B
Esta representación No es valida. Dos actividades tienen el mismo nodo de origen y
fin.
A
2
D1
1
3
B
Representación Valida. Donde D1 es actividad Ficticia o Artificial.
3. Al fin de asegurar la relación de precedencia correcta el diagrama de flechas, las
siguientes preguntas deben responderse cuando se agrega cada actividad a la red:
¿Qué actividad debe terminarse inmediatamente antes de que esta actividad pueda
comenzar?
¿Qué actividades deben seguir a esta actividad?
¿Qué actividades deben efectuarse simultáneamente?
Cálculo de la Ruta Crítica.
La aplicación del PERT-CPM deberá proporcionar un programa, especificando las fechas de
inicio y terminación de cada actividad. El diagrama de flechas constituye el primer paso
hacía esa meta. Debido a la interacción de las diferentes actividades, la determinación de
los tiempos de inicio y terminación, requiere de cálculos especiales. Estos cálculos se
realizan directamente en el diagrama de flechas usando aritmética simple. El resultado final
es clasificar las actividades de los proyectos como críticas y no críticas. Se dice que una
Programación de Proyectos con PERT – CPM
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actividad es crítica si una demora en su comienzo causará una demora en la fecha de
terminación del proyecto completo. Una actividad no crítica es tal que entre su tiempo de
comienzo de inicio más próximo y de terminación más tardío (como lo permita el proyecto)
es más grande que su duración real. En este caso, se dice que la actividad no crítica tiene
un tiempo de holgura.
Los cálculos de la ruta crítica incluyen dos fases. La primera fase se llama "cálculos hacía
adelante", donde los cálculos comienzan desde el nodo de inicio y se mueven al nodo de
terminación. En cada nodo se calcula un número que representa el tiempo de ocurrencia
más próximo del evento correspondiente. Estos números se colocan sobre la flecha de la
actividad (al inicio y final). En la Segunda fase llamada "cálculos hacia atrás", comienzan
los cálculos desde el nodo de terminación y se mueven hacia el nodo de inicio. El número
calculado en cada nodo (colocados debajo de la flecha de cada actividad) representa el
tiempo de ocurrencia más tardío del evento correspondiente.
Determinación de la Ruta critica:
Calculo Hacia delante:
TIPJ = MAX{TIPI + DI J}
Calculo hacia atrás.
TTTI = MIN{TIPJ - DI J}
Ejemplo 01:
Actividad
A
B
C
D
Precedentes
Ninguno
Ninguno
A
AyB
Duración (semanas)
2
5
4
3
Solución:
Red de actividades:
2
4
2
A=2
C=4
1
0
4
D1=0
0
B=5
8
8
D=3
3
5
Programación de Proyectos con PERT – CPM
5
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Procedimiento para construcción del diagrama de flechas:
Observado la tabla se puede decir que:
La actividad A y B son inicio de proyecto por lo tanto empiezan en el nodo 1 con un tiempo
de inicio y terminación igual a 0.
La siguiente actividad que se construye es la actividad C debido a que su predecesor
inmediato es A. Esto da origen al nodo 2.
Debido a que la actividad D requiere de la actividad A entonces se traza una actividad
artificial D1.
Procedimiento para obtención de la ruta critica
Paso hacia delante:
El nodo 1 es inicio de proyecto, entonces su TIP1 = 0.
En el nodo 2 TIP2 =TIP1+D12 = 0 + 2 = 2.
En el nodo 3 TIP3 = max {TIP2+D23 , TIP1+D13} = max{2,5} = 5
En el nodo 4 TIP4 = max {TIP2+D24 , TIP3+D23} = max{6,8} = 8
Paso hacia atrás:
El nodo 4 es final de proyecto, entonces, su TTT4 = 8
En el nodo 3 TTT3 = TTT4 – D34 = 8 – 3 = 5.
En el nodo 2 TTT2 = min { TTT3 – D23 , TTT4 – D24 } = min { 5 , 4 } = 4.
En el nodo 1 TTT1 = min { TTT3 – D13 , TTT2 – D12 } = min { 0 , 2 } = 0.
Luego las únicas actividades que cumplen con las reglas de críticas son B y D. Estas dos
forman la ruta crítica y la duración del proyecto será 8 semanas.
Ejercicio Nº 01.
La Gerencia de una aerolínea desea determinar la cantidad mínima de tiempo necesaria
para que un aeroplano dé la vuelta, desde el momento en que alcanza la puerta hasta que
se encuentra listo para salir por ella. Para tal efecto, el administrador de vuelo ha
identificado las siguientes tareas que se necesitan llevar a cabo entre la llegada y la partida:
Nº Actividad
Descripción
Duración
(Minutos)
1
A
Desalojo de pasajeros
15
2
B
Descarga del equipaje
25
3
C
Reabastecimiento de combustible
30
4
D
Limpieza del interior
15
5
E
Carga de la comida
15
6
F
Carga del equipaje
20
7
G
Abordaje de los pasajeros
20
8
H
Realización de la revisión de seguridad
10
Programación de Proyectos con PERT – CPM
Predecesores
Pág. 15
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Ingeniería en Energía
Las comidas no pueden ser subidas a bordo ni la limpieza del interior puede efectuarse
hasta que han bajado los pasajeros. El equipaje de los pasajeros que parten no puede ser
cargado hasta que se ha descargado el equipaje de los que llegan. Los pasajeros no
pueden abordar la nave hasta que el interior este limpio. La prueba de seguridad puede
realizarse solamente después de que los motores han sido abastecidos de combustible y las
comidas, los equipajes y los pasajeros ya están a bordo.
a) Identifique los predecesores inmediatos de cada tarea.
b) Trace la red de proyecto y calcule la ruta crítica y duración del proyecto.
Ejercicio Nº 02:
Dado la siguiente tabla de actividades construya la red de actividades y calcule la ruta
crítica.
Actividad
A Compra de las materias primas
Precedentes
Ninguno
B Producción del stock inicial
A
C Envasado del stock inicial
B,H
D Estudio del mercado
Ninguno
E Estudio de la campaña de publicidad
Realización de la campaña de
F publicidad
G
G Estudio y diseño de los envases
D
H Preparación de los envases
G
I
D
Selección del equipo de vendedores
Entrenamiento del equipo de
J vendedores
Selección de los posibles
K distribuidores
E
I
D
L Venta a los distribuidores
J,K
M Envió de los primeros pedidos
C,L
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PRÁCTICA
Individualmente desarrolla las siguientes actividades.
1.- Complete las siguientes oraciones con la frase mas apropiada.
................................................ define una combinación de actividades interrelacionadas que
se ejecutan en cierto orden antes que el trabajo completo……….............................................
Las fases del desarrollo de un proyecto son: ...........................................................................
…………………………………………………………….consiste en descomponer un proyecto
en actividades y representarlo mediante un diagrama de flechas.
........................................... Determina la duración total del proyecto.
............................................ Consiste en construir un diagrama de tiempo (calendario)
indicando sus tiempos de inicio mas próximo y terminación mas tardío.
2.- Dada la siguiente tabla construir el diagrama de flechas.
Actividad Precedencias
A
Ninguno
B
Ninguno
C
A
D
A
E
A
F
C
G
D
H
B, E
I
H
J
F, G, I
3.- Dado el siguiente diagrama de actividades y sus duraciones (ver tabla) Hallar la ruta
critica. ¿Cuánto es la duración total del proyecto?.
B
Duración
Tarea
Normal
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
10
5
15
11
10
5
5
10
10
15
1
A
E
3
4
I
D1
0
D
D2
C
2
F
Programación de Proyectos con PERT – CPM
5
G
H
6
7
J
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8
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Ingeniería en Energía
DIAGRAMAS DE TIEMPO Y NIVELACION DE RECURSOS
DETERMINACIÓN DE HOLGURAS
Se toman en cuenta los siguientes tiempos:
IT: Tiempo de inicio mas próximo.
TT: Tiempo de terminación mas próximo.
Sea la actividad (i, j):
ITIJ = TTTJ - DIJ
TTIJ = TIPI + DIJ
A partir de estos tiempos se definen las siguientes holguras:
HOLGURA TOTAL (HT).
Es la diferencia entre el máximo tiempo disponible para realizar la actividad (TTTJ – TIPI) y
su Duración (DIJ).
HTIJ = TTTJ – TIPI – DIJ = TTTJ – TTIJ = ITIJ - TIPI
HOLGURA LIBRE (HL).
Es el exceso de tiempo disponible (TIPJ – TIPI) sobre su Duración ( DIJ ) si es que todas las
actividades comienzan tan pronto como sea posible:
HLIJ = TIPJ – TIPI - DIJ = TIPJ - TTIJ
HOLGURA INDEPENDIENTE (HI).
Margen de tiempo sobrante suponiendo que de ambos nodos se parte lo mas tarde posible:
HIIJ = TTTJ – TTTI – DIJ = ITIJ - TTTI
Pueden tomar valores negativos, lo cual nos refleja escazes de tiempo para que puedan
cumplirse sus supuestos.
Ejemplo 01:
El proyecto de construcción de una casa consta de las siguientes tareas:
Actividad
Descripción
Precedentes
A
B
C
D
E
F
G
H
Preparación
Cimientos
Albañilería
Desagües
Tejado
Piso
Instalación Eléctrica
Instalación
Hidráulica
Carpintería
Pintura Interior
Pintura Exterior
Limpieza
A
B
B
C
D
E
E
I
J
K
L
Programación de Proyectos con PERT – CPM
E, F
G, H, I
I
J, K
Duración Recursos
(semanas) (Personas)
2
5
4
8
4
4
1
2
5
3
1
5
3
2
4
3
6
8
2
1
4
3
3
2
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Solución:
3
E=5
10 10
5
G=3
7
15 15
21 18
C=4
A=2
0
0
0
B=4
1
2
2
D2=0
D1=0
2
6
H =4
9
6
D=1
D3=0
4
F=1
6
14 7
I =6
15 15
10
J=8
L=1
29 29
21 21
11
30 30
K=2
8
21 21
RESUMEN DE CÁLCULO DE TIEMPOS Y HOLGURAS
Duración
TIPi TTTi TTij
Dij
Actividad
(0,1)
A
2
0
0
2
0
2
2
0
0
0
Si
(1,2)
B
4
2
2
6
2
6
6
0
0
0
Si
(2,3)
C
4
6
6
10
6
10
10
0
0
0
Si
(2,4)
D
1
6
6
7
13
14
7
7
0
7
No
(3,5)
E
5
10
10
15
10
15
15
0
0
0
Si
(4,6)
F
1
7
14
8
14
15
15
7
7
0
No
(5,6)
D1
0
15
15
15
15
15
15
0
0
0
Si
(5,7)
G
3
15
15
18
18
21
18
3
0
3
No
( 7, 9 )
D2
0
18
21
18
21
21
21
3
3
0
No
(5,9)
H
4
15
15
19
17
21
21
2
2
2
No
(6,8)
I
6
15
15
21
15
21
21
0
0
0
Si
(8,9)
D3
0
21
21
21
21
21
21
0
0
0
Si
( 9 , 10)
J
8
21
21
29
21
29
29
0
0
0
Si
( 8 , 10)
K
2
21
21
23
27
29
29
6
6
6
No
(10 , 11)
L
1
29
29
30
29
30
30
0
0
0
Si
Programación de Proyectos con PERT – CPM
ITij TTTj TIPj HTij HLij HIij
Actividad
crítica
(i,j)
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Ingeniería en Energía
DIAGRAMA DE TIEMPO
El diagrama de tiempo es el producto final de los cálculos de una red de actividades.
El diagrama de tiempo puede convertirse en un programa calendario apropiado para el uso
del personal que ejecutara el proyecto.
El diagrama de tiempo debe hacerse dentro de las limitaciones de los recursos disponibles,
ya que no es posible realizar actividades simultáneas debido a las limitaciones de personal y
equipo.
PROCEDIMIENTO PARA CONSTRUIR EL DIAGRAMA DE TIEMPO.
1. Construir el diagrama de tiempo para las actividades críticas con líneas continuas. Si en
la red existe una actividad critica ficticia trazar una línea vertical.
2. Considerar las actividades no críticas indicando sus límites de tiempo TIPI y TTTJ en el
diagrama. Los límites de tiempo se indican con líneas punteadas indicando que dichas
actividades pueden ejecutarse dentro del límite de tiempo sin afectar su precedencia.
FUNCIONES DE LA HOLGURA TOTAL Y LIBRE.
1. Si la Holgura Total es igual a la Holgura Libre, la actividad no critica se puede
programar en cualquier parte entre los tiempos de inicio mas temprano (TIPI) y del
tiempo de terminación mas tardío (TTTJ).
2. Si la Holgura Libre es menor que la Holgura Total, el inicio de la actividad no crítica se
puede demorar en relación con su tiempo de inicio más temprano (TIPI) una cantidad no
mayor que el monto de su Holgura Libre (HLIJ), sin afectar la programación de sus
actividades inmediatamente sucesivas.
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Ingeniería en Energía
CONSTRUCCIÓN DEL DIAGRAMA DE TIEMPO
0
1
2
3
5
6
8
9
2
4
D
4
10 11
F
6
5
G
7
5
7
9
H
9
8
K
10
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
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Pág. 21
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DIAGRAMA DE NIVELACION DE RECURSOS
0
1
2
3
5
6
8
9
2
10 11
4
4
6
5
7
7
9
5
9
8
10
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
9
8
7
6
5
4
3
2
1
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
9
8
7
6
5
4
3
2
1
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Ejemplo 02.
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La siguiente tabla pertenece a un proyecto que tiene una lista de actividades con sus
respectivas duraciones indicadas en semanas.
Actividad
Precedida
por
Duración Duración
Normal
Limite
Costo
Normal
Costo
Rápido
A
-
8
6
4000
6000
B
-
5
4
1500
2000
C
-
6
4
2500
3000
D
A
4
3
1800
2000
E
A, B
6
5
1000
1200
F
C
7
5
2000
3000
G
A
5
3
3000
6000
H
D, E, F
8
5
4500
9000
I
C
9
4
6000
10000
J
D, E, F
6
4
6000
8000
K
G, H
4
3
2000
2600
L
D, E, F
6
3
3000
9000
M
I, J
4
2
8000
12000
Emplearemos solo la Duración Normal para la construcción de la red de actividades
quedando las demás datos para cálculos de temas posteriores.
1
8
G=5
5
8
22 22
K=4
A=8
D=4
H =8
D1=0
7
0
0
B=5
0
2
8
4
E=6
L=6
26 26
14 14
8
F=7
J =6
C=6
M=4
3
7
I =9
6
6
22 20
Ruta Critica = { 0, 1, 2, 4, 5, 7 }
Duración = 26 semanas.
Programación de Proyectos con PERT – CPM
Pág. 23
Universidad Nacional del Santa
( i , j ) Actividad
Ingeniería en Energía
RESUMEN DE CÁLCULOS DE TIEMPOS Y HOLGURAS
Duración
TIPi
TTTi TTij ITij TTTj TIPj HTij HLij HIij
Dij
Tipo
Actividad
(0,1)
A
8
0
0
8
0
8
8
0
0
0
Critica
(0,2)
B
5
0
0
5
3
8
8
3
3
3
No Critica
(0,3)
C
6
0
0
6
1
7
6
1
0
1
No Critica
(1,2)
D1
0
8
8
8
8
8
8
0
0
0
Critica
(1,4)
D
4
8
8
12
10
14
14
2
2
2
No Critica
(1,5)
G
5
8
8
13
17
22
22
9
9
9
No Critica
(2,4)
E
6
8
8
14
8
14
14
0
0
0
Critica
(3,4)
F
7
6
7
13
7
14
14
1
1
0
No Critica
(3,6)
I
9
6
7
15
13
22
20
7
5
6
No Critica
( 4, 5 )
H
8
14
14
22
14
22
22
0
0
0
Critica
(4,6)
J
6
14
14
20
16
22
20
2
0
2
No Critica
(4,7)
L
6
14
14
20
20
26
26
6
6
6
No Critica
(5,7)
K
4
22
22
26
22
26
26
0
0
0
Critica
( 6 , 7)
M
4
20
22
24
22
26
26
2
2
0
No Critica
Luego asignamos recursos (personal) para cada una de las actividades para hacer el
diagrama de nivelación de recursos.
(i,j)
Actividad
(0,1)
A
Recursos
(Personas)
3
(0,2)
(0,3)
B
C
1
0
(1,2)
(1,4)
D1
D
0
4
(1,5)
(2,4)
G
E
4
2
(3,4)
F
0
(3,6)
( 4, 5 )
I
H
5
3
(4,6)
(4,7)
J
L
2
2
(5,7)
K
1
( 6 , 7)
M
1
Programación de Proyectos con PERT – CPM
Pág. 24
Universidad Nacional del Santa
Ingeniería en Energía
DIAGRAMA DE TIEMPO
0
1
2
0
4
5
7
2
0
3
1
4
1
5
3
4
3
6
4
6
4
7
6
7
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
PROGRAMACIÓN QUE INICIE LO MAS PROXIMO POSIBLE ( TIP )
PROGRAMACIÓN QUE TERMINE LO MAS TARDE POSIBLE ( TTT )
Programación de Proyectos con PERT – CPM
Pág. 25
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Ingeniería en Energía
DIAGRAMA DE CARGA Y NIVELACION DE RECURSOS
0
1
2
0
4
5
7
2
0
3
1
4
1
5
3
4
3
6
4
6
4
7
6
7
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
NIVELACION DE RECURSOS CON EL TIEMPO DE INICIO MAS PROXIMO.
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Programación de Proyectos con PERT – CPM
Pág. 26
Universidad Nacional del Santa
Ingeniería en Energía
0
1
2
0
4
5
7
2
0
3
1
4
1
5
3
4
3
6
4
6
4
7
6
7
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
NIVELACION DE RECURSOS CON EL TIEMPO DE TERMINACIÓN MAS TARDIA
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Programación de Proyectos con PERT – CPM
Pág. 27
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Ingeniería en Energía
RECURSOS NIVELADOS
0
1
2
0
4
5
7
2
0
3
1
4
1
5
3
4
3
6
4
6
4
7
6
7
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
01 02 03
04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Programación de Proyectos con PERT – CPM
Pág. 28
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Ingeniería en Energía
PRÁCTICA
Dados los siguientes proyectos (A y B), construya la red de actividades, diagrama calendario
con una programación optima, diagrama de nivelación de recursos programado (lo mas
pronto posible y lo mas tarde posible) y el diagrama de recursos nivelados. Determine para
cada caso el número de obreros requeridos.
Proyecto A.
Actividad
( I , J )
1
2
1
4
1
5
2
3
2
5
2
6
3
4
3
6
4
6
4
7
5
6
5
7
6
7
Tiempo
10
1
5
9
8
10
3
4
5
4
7
3
8
Número de
Obreros
5
4
3
1
2
3
7
9
1
10
4
5
2
Proyecto B.
Actividad
( I , J )
1
2
1
3
1
4
1
6
2
3
2
5
3
4
3
7
4
5
4
7
5
6
5
7
6
7
Tiempo
3
1
15
7
8
10
3
10
10
22
5
12
7
Número de
Obreros
1
2
5
3
1
4
10
9
8
7
2
5
3
Programación de Proyectos con PERT – CPM
Pág. 29
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Ingeniería en Energía
CONSIDERACIONES DE COSTO EN LA PROGRAMACION DE PROYECTOS
20000
16000
12000
8000
4000
0
0
3
6
Costo Directo
9
Costo indirecto
12
Costo Total
La programación de proyectos considerando costos esta asociado a los Costos Directos.
Costo
CL
CN
DL
DN
PC 
Tiempo
CL  CN
D N  DL
Donde:
PC : Pendiente de Costo.
DL : Duración limite o duración mínima.
DN : Duración Normal.
CL : Costo en duración límite.
CN : Costo en duración normal.
Programación de Proyectos con PERT – CPM
Pág. 30
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Ingeniería en Energía
Regla práctica:
1. La reducción se da en la ruta crítica.
2. La actividad crítica a reducir es aquella que tiene menor pendiente de costo.
3. El tamaño de la reducción esta en función a su duración limite de la actividad critica y las
holguras libres positivas de las actividades no criticas.
4. Se considera el mínimo entre las holguras libres y el tamaño que permita reducir la
actividad (DN – DL).
5. La Holgura libre sirve para analizar que actividad no crítica puede convertirse a crítica al
final de una reducción.
6. Si existe más de una ruta crítica las reducciones se hacen simultáneamente en todas las
rutas críticas.
7. Las iteraciones terminan cuando las actividades críticas han llegado a su duración límite
o no se pueda reducir simultáneamente en más de una ruta crítica.
Ejemplo:
-
Duración
Normal
30
Duración
Limite
26
Costo
Normal
5000
Costo
Limite
9000
B
A
6
4
6000
9000
3
C
B,G
4
3
10000
10500
4
D
A
5
3
5000
6500
5
E
D
10
7
4500
6300
6
F
E,G
8
6
20000
22500
7
8
G
H
A
C,F
14
2
12
2
10000
25000
15000
25000
Nº
Actividad
Predecesores
1
A
2
Solución:
1. Construimos la red de actividades y calculamos la ruta critica:
C=4
4
49
6
44
53
B=6
53
H=2
D1
0
0
1
0
A=30
30
7
30
G=14
3
45
55
44
F=8
D2
D=5
55
2
35
35
5
E=10
Programación de Proyectos con PERT – CPM
45
45
Pág. 31
Universidad Nacional del Santa
Ingeniería en Energía
2. En la tabla de actividades calculamos la Reducción Límite y su pendiente de costo de
acuerdo a la fórmula.
Nº
Actividad
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
E
F
G
H
Duración
Normal
30
6
4
5
10
8
14
2
Duración
Limite
26
4
3
3
7
6
12
2
Costo
Normal
5000
6000
10000
5000
4500
20000
10000
250000
Costo
Limite
9000
9000
10500
6500
6300
22500
15000
25000
Reducción
Limite
4
2
1
2
3
2
2
0
Pendiente
de costo
1000 *
1500
500
750 *
600 *
1250 *
2500
-
* Actividades críticas.
El costo del proyecto en Duración Normal es de: S/. 310500 con una duración de 55
semanas.
La actividad candidata a reducir es E por tener menor pendiente de costo (600) pero la
reducción dependerá de la Holgura Libre (HL) y la Reducción Limite (RL).
3. Calculamos las holguras libres de las actividades:
Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
Actividad
A
B
C
D
E
F
G
H
DN
30
6
4
5
10
8
14
2
DL
26
4
3
3
7
6
12
2
HL
0
8
5
0
0
0
9
D1
0
10
D2
1
RL
4
2
1
2
3
2
2
0
0
PC
1000 *
1500
500
750 *
600 *
1250 *
2500
-
Nota: Las actividades criticas tienen HL = 0
Luego el Mínimo (3,1) = 1....... Entonces, se reduce en 1 semana la actividad E y con ese
valor se regresa al paso 1.
El costo a incrementarse en el proyecto será: 1 * 600 = S/. 600
4. Habiendo hecho los cálculos tenemos la siguiente red de actividades:
C=4
4
48
6
44
52
B=6
52
H=2
D1
0
0
0
A=30
1
30
30
7
G=14
3
44
54
44
54
F=8
D2
D=5
2
35
35
5
E=9
Programación de Proyectos con PERT – CPM
44
44
Pág. 32
Universidad Nacional del Santa
Ingeniería en Energía
Ahora tenemos dos rutas criticas: ( A, D, E, F, H ) y ( A, G, D2, F, H ). Por lo tanto el análisis
se realizará en ambas rutas.
5. Calculamos las holguras libres y determinamos que actividades criticas se van a reducir:
Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
Actividad
A
B
C
D
E
F
G
H
9
D1
10
D2
DN
30
6
4
5
9
8
14
2
DL
26
4
3
3
7
6
12
2
RC1
X
RC2
X
X
X
X
HL
0
8
4
0
0
0
X
X
X
X
RL
4
2
1
2
2
2
2
0
0
PC
1000 *
1500
500
750 *
600 *
1250 *
2500
-
0
X
0
Según la tabla podemos ver que en la RC1 sigue siendo E la de menor PC y tiene RL>0 y la
RC2 la actividad A tiene menor PC (PC = 1000). Haciendo un incremento de 600 + 1000 =
1600 por una unidad de reducción. Además podemos observar que la actividad A es común
a ambas rutas por lo tanto basta con reducir a esta actividad produciendo un incremento de
S/. 1000 al reducir en una semana al proyecto.
La cantidad se semanas a reducir será: Min(4,4) = 4. Produciendo un incremento al proyecto
en 4*1000 = S/. 4000.
Con los nuevos datos regresar al paso1.
6. Habiendo hecho los cálculos tenemos la siguiente red de actividades:
C=4
4
44
6
40
48
B=6
48
H=2
D1
0
0
0
A=26
1
26
26
7
G=14
3
40
50
40
50
F=8
D2
D=5
2
31
31
5
E=9
40
40
Se mantienen las dos rutas críticas, pero la actividad A ya llego a su DL.
Programación de Proyectos con PERT – CPM
Pág. 33
Universidad Nacional del Santa
Ingeniería en Energía
7. Calculamos las holguras libres y determinamos que actividades criticas se van a reducir:
Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
Actividad
A
B
C
D
E
F
G
H
9
D1
10
D2
DN
26
6
4
5
9
8
14
2
DL
26
4
3
3
7
6
12
2
RC1
X
RC2
X
X
X
X
HL
0
8
4
0
0
0
X
X
X
X
RL
0
2
1
2
2
2
2
0
0
PC
1000 *
1500
500
750 *
600 *
1250 *
2500
-
0
X
0
Se reduce la actividad F por ser común a ambas rutas criticas (idem. que el anterior). Se
disminuye en Min(2,4) = 2 semanas, produciendo un incremento en el costo del proyecto de:
2*1250 = S/. 2500. La actividad queda en su duración limite F = 6
Con los nuevos datos regresar al paso 1.
8. Habiendo hecho los cálculos tenemos la siguiente red de actividades:
C=4
4
42
6
40
46
B=6
46
H=2
D1
0
0
1
0
A=26
26
7
26
G=14
3
40
48
40
48
F=6
D2
D=5
2
31
31
5
40
E=9
40
9. Calculamos las holguras libres y determinamos que actividades criticas se van a reducir:
Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
Actividad
A
B
C
D
E
F
G
H
9
D1
10
D2
DN
26
6
4
5
9
6
14
2
DL
26
4
3
3
7
6
12
2
RC1
X
X
X
X
X
Programación de Proyectos con PERT – CPM
RC2
X
X
X
X
HL
0
8
2
0
0
0
0
0
RL
0
2
1
2
2
0
2
0
PC
1000 *
1500
500
750 *
600 *
1250 *
2500
-
0
X
0
Pág. 34
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Ingeniería en Energía
En la RC1 se reduce la actividad E (PC = 600) y en la RC2 se reduce la actividad G (PC =
2500) en una cantidad = Min(2,2) = 2 semanas, produciendo un incremento de : 2*(600 +
2500) = S/. 6200
10. Habiendo hecho los cálculos tenemos la siguiente red de actividades:
C=4
4
40
6
38
44
B=6
44
H=2
D1
0
0
0
A=26
1
26
26
7
G=12
3
38
46
38
46
F=6
D2
D=5
2
31
31
5
38
E=7
38
11. Calculamos las holguras libres y determinamos que actividades criticas se van a reducir:
Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
Actividad
A
B
C
D
E
F
G
H
9
D1
10
D2
DN
26
6
4
5
7
6
12
2
DL
26
4
3
3
7
6
12
2
RC1
X
X
X
X
X
RC2
X
X
X
X
HL
0
6
2
0
0
0
0
0
RL
0
2
1
2
0
0
0
0
PC
1000 *
1500
500
750 *
600 *
1250 *
2500
-
0
X
0
En la RC1 podemos reducir la actividad D mientras que en la RC2 no hay actividades que
reducir. Por lo tanto, termina el proceso debido a que las reducciones deben de hacerse
simultáneamente en todas las rutas críticas.
Incremento en el costo = 600 + 4000 + 2500 + 6200 = S/. 13300.
Costo Total = Costo inicial + incremento = 310500 + 13300 = S/. 323800, con una
duración de 46 semanas.
Ejercicio:
Resolver el ejemplo Nº 02 de la segunda sesión.
Programación de Proyectos con PERT – CPM
Pág. 35
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Ingeniería en Energía
PRACTICA
1.
Se tiene la siguiente programación de actividades:
Actividad
Predecesora
Tiempo
Normal
Tiempo
acelerado
Costo
Normal
Costo
acelerado
A
-
3
2
6000
8000
B
-
5
1
5000
7000
C
A
4
2
16000
25000
D
B
3
2
18000
26000
E
B
1
1
20000
20000
F
C, D, E
4
2
16000
18000
G
C, D
2
1
2000
4000
H
F, G
2
1
6000
10000
I
F
3
2
9000
12000
Determine la duración del proyecto, la ruta crítica e interprete el tiempo de holgura.
Además considere los nuevos tiempos acelerados y los costos respectivos. Basándose
en esto, determinar qué actividades deben ser aceleradas y cuánto para finalizar el
proyecto en un tiempo máximo de T semanas incurriendo en un costo mínimo.
El proyecto SIGMA tiene la lista de actividades de la tabla siguiente, con las duraciones
indicadas en semanas:
Actividad
Precedida
Por
Duración
Normal
Duración
Rápida
Coste
Normal
Coste
Rápido
A
-
3
2
3000
5000
B
-
4
2
4000
6000
C
-
5
3
5000
8000
D
A
8
6
5000
6000
E
A,B
3
2
3000
4000
F
C
5
3
4000
8000
Obtener el diagrama de actividades obteniendo la ruta crítica y duración total de proyecto.
Calcular en cuanto se incrementa el costo cuando el proyecto se reduce en 1, 2, 3 y 4
semanas.
Programación de Proyectos con PERT – CPM
Pág. 36
Universidad Nacional del Santa
Ingeniería en Energía
PERT TIEMPO
Los proyectos se programan teniendo en cuenta tres tiempos:
1.
Tiempo Optimista (a): Es el tiempo mas corto en el que la tarea puede ejecutarse.
Asumiendo que la ejecución va extremadamente bien.
2.
Tiempo Pesimista (b): Es el tiempo mas largo que se puede llevar una tarea dentro
de lo razonable. Se asume que las cosas van normal.
3.
Tiempo más probable (m): Es el tiempo que la tarea requiere con mayor frecuencia
en circunstancias normales.
En base a estos tres tiempos se obtiene el tiempo esperado o media que servirá para
programar la red de actividades y obtener la ruta critica.
a
D
m
m
Simétrica
( a  b) 2  2m
3
b
Entonces,
m
m
Sesgada a la derecha
a
D
b
a
m
m
b
Sesgada a la Izquierda
a  4m  b
6
La varianza se obtiene con la siguiente formula:
V
 
ba 2
6
Con el valor D encontramos el tiempo de terminación esperado, pero el tiempo de
terminación real puede variar debido a que los tiempos de término de las tareas son
variables.
Dado una red de actividades en esas condiciones uno puede hacerse las siguientes
interrogantes:
a)
¿ Cuál es la probabilidad de cumplir con una fecha especifica de terminación del
proyecto?. Para esto se hace uso de tiempos probables (TP) asignados por el mismo
analista.
b)
¿ Qué fecha de terminación puede cumplirse con un nivel dado de confianza?. Es decir
si ya tengo una probabilidad (Ejemplo 97%) cual seria la fecha de finalización bajo
esas condiciones.
Programación de Proyectos con PERT – CPM
Pág. 37
Universidad Nacional del Santa
Ki 
Ingeniería en Energía
TPi  Eu i 
K i : Se busca en la tabla de distribución normal.
Varu i 
EN GENERAL:
o
Para calcular el tiempo esperado de terminación del proyecto, se suma los tiempos
esperados D de terminación de todas las tareas a lo largo de esa trayectoria crítica.
Eui   ESi
o
Para calcular la varianza de terminación del proyecto; se suma las varianzas de los
tiempos de terminación de la tarea a lo largo de esa trayectoria critica.
Varu i   Vk
k
Ejemplo 01: Dada la siguiente tabla de actividades y tiempos. Programar según el PERT
TIEMPO.
Tiempos de Tarea (MIN)
Optimista Mas probable Pesimista
(a)
(m)
(b)
TARE
A
PRED
A
-
Desalojo de pasajeros
12
15
20
B
-
Descarga de equipaje
20
25
35
C
-
Reabastecimiento de combustible
27
30
40
D
A
Limpieza del interior
12
15
20
E
A
Carga de la comida
12
15
20
F
B
Carga del equipaje
15
20
30
G
D
Abordaje de los pasajeros
15
20
30
10
10
10
H
DESCRIPCIÓN
C,E,Fy G Realización de la revisión de seguridad
Solución:
1)
Calcular D y V para cada una de las actividades.
TAREA
DESCRIPCIÓN
Tiempos de Tarea (min)
(a)
(m)
(b)
D
V
A
Desalojo de pasajeros
12
15
20
15,3333
1,7778
B
Descarga de equipaje
20
25
35
25,8333
6,2500
C
Reabastecimiento de combustible
27
30
40
31,1667
4,6944
D
Limpieza del interior
12
15
20
15,3333
1,7778
Programación de Proyectos con PERT – CPM
Pág. 38
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Ingeniería en Energía
E
Carga de la comida
12
15
20
15,3333
1,7778
F
Carga del equipaje
15
20
30
20,8333
6,2500
G
Abordaje de los pasajeros
15
20
30
20,8333
6,2500
H
Realización de la revisión de seguridad
10
10
10
10,0000
0,0000
2)
Trazar la red de actividades con D (Tiempo esperado) y calcular la ruta critica.
1
D=15.3333
15.3333
3
30.6666
15.3333
30.6666
E = 15.3333
A=15.3333
G=20.8333
0
4
H = 10
5
C = 31.1667
0
51.4999
0
61.5
51.4999
61.5
B = 25.8333
F = 20.8333
2
30.6666
25.8333
Calcular el acumulado de los tiempos esperados Eui  y el acumulado de las
3)
varianzas Varui  en cada uno de los nodos (eventos).
Nodo (evento)
Ruta
Eui 
Varui 
Varu i 
1
(0,1)*
15.3333
1.7778
1.3333
2
(0,2)
25.8333
6.2500
2.5000
3
(0,1,3)*
30.6666
3.5556
1.8856
4
(0,1,3,4)*
51.4999
9.8056
3.1314
5
(0,1,3,4,5)*
61.5000
9.8056
3.1314
* Ruta critica
Luego el tiempo esperado de culminación del proyecto será: 61.5 minutos, varianza
acumulada de 9.8056 y Desviación Estándar 3.1314
4)
Para calcular la probabilidades se construye la siguiente tabla:
Varu i 
TPi
Ki
P(Z≤Ki)
1.7778
1.3333
18
2.0000
97.72%
25.8333
6.2500
2.5000
24
-0.7333
23.1677%
30.6666
3.5556
1.8856
28
-1.4142
ESi
(Media)
V
(0,1)*
15.3333
2
(0,2)
3
(0,1,3)*
Nodo
(evento)
Ruta
1
k
k
Programación de Proyectos con PERT – CPM
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4
51.4999
9.8056
3.1314
53
0.4791
(0,1,3,4,5)* 61.5000
9.8056
3.1314
60
-0.4790
(0,1,3,4)*
5
Ingeniería en Energía
31.596%
Donde:
TPi : Tiempos probables asignados por el analista o gerente de proyectos.
Varui  =
V
Eui   ESi
Ki 
k
k
T Pi  ESi
Vk
P(Z≤Ki) : Ver tabla de Distribución Normal
Calculo para K = - 0.7333
-0,73
-0,7333
-0,74
1 - 0,7673 =0,2327
X
1 - 0,7704 = 0,2296
Interpolando:
0,01
0,0031
=
0,0033
0,2327 - X
Luego:
X = 0,231677 , entonces, X = 23.1677%
Dado una probabilidad también se puede obtener el tiempo de terminación del proyecto bajo
esas condiciones de probabilidad.
Por Ejemplo:
En el proyecto anterior calcular el tiempo de duración sabiendo que la probabilidad que se
de es del 95.05%
En este caso se busca el valor en la tabla de Distribución Normal 95.05% = 0.9505 y este valor esta
para un Z = K = 1.65. Reemplazando este valor en la formula de K se tiene:
1.65 
TP  61.5
3.1314
TP = 66.66681 = 66.67 minutos.
Programación de Proyectos con PERT – CPM
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Universidad Nacional del Santa
Ingeniería en Energía
Podemos Notar que:

Cuando el TPi asignado por el usuario se aproxima al tiempo optimista la probabilidad de
que se ejecute el proyecto disminuye.

Cuando el TPi asignado por el usuario se aproxima al tiempo pesimista la probabilidad
de que se ejecute el proyecto aumenta.
Recomendación:
Cuando un proyecto tiene más de una ruta crítica se debe tener en cuenta aquella que tenga mayor
Varianza (o Desviación Estándar).
BIBLIOGRAFÍA.

Taha, Handy, “Investigación de Operaciones”; Alfa Omega Grupo Editor, S.A. Quinta
Edición. México. 1995.

Gallagher, Charles, “Métodos cuantitativos para la toma de decisiones en
administración”; Ed. Mc Graw Hill Internacional. México, 1982.

Gould J. , “Investigación de Operaciones”. Ed. Prentice Hall. 1987.

Prawda, Juan, “Métodos y modelos de investigación de operaciones”. Vol I; Ed.
Limusa; México. 1982.

Tierouf, Robert J., “Toma de decisiones por medio de investigación de operaciones”;
Ed. Limusa; México; 1989.
Programación de Proyectos con PERT – CPM
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