GUIÓN DE ACTIVIDADES DE AULA EN MATEMÁTICAS.

DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
GUIÓN DE ACTIVIDADES DE AULA EN MATEMÁTICAS.
Actividad nº: 9
Nivel: 2º ciclo ESO.
Objetivos: O69-O76
Tema: Sistemas.
Metodología: Aula, Individual.
Alumno: _____________________________________ Curso/Grupo: _____ Nº: ____
Sistemas de ecuaciones de primer grado.
Ya hemos visto antes que una ecuación de primer grado con una incógnita era, geométricamente hablando, una recta en el plano, y que la ecuación canónica de una recta en el
plano era de la forma: y  m  x  b
Puesto de otra forma, la expresión general, sería: ax  by  c  0
Despejando las variables quedaría: ax  by  d
De dicha expresión se puede deducir la expresión canónica, quedando: y 
a
b
x 
d
b
y por comparación con lo visto anteriormente, tenemos:
 Pendiente de la recta: m 
 Ordenada en el origen: y 
a
b
d
b
Visto lo visto tenemos entonces que:
Conceptos:
 Sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones.
 Clasificación:
 Por el grado de los términos que lo componen:
 De primer, segundo, tercer grado... etc.
 Por el número de variables que intervienen:
 De dos, tres, cuatro variables... etc.
 Por el número de ecuaciones que lo componen:
 De dos, tres, cuatro ecuaciones... etc.
 Sistema de ecuaciones de primer grado es un conjunto de dos o más ecuaciones en el cual el mayor grado de los términos que los componen es uno. Son los
llamados Sistemas lineales.
Adaptaciones nivel 2
Página.- i
Acti9-Sistemas.
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 Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
(Sistemas lineales):
 Expresión general:
 a 1x  b1 y  d 1

a 2 x  b 2 y  d 2
 Interpretación gráfica: son dos rectas en el plano.
 Posiciones relativas de dos rectas en el plano:
 Pueden cortarse.
 Pueden ser paralelas.
 Pueden estar superpuestas.
 Solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de primer
grado:
 Si las rectas se cortan lo harán en un punto, las coordenadas de dicho
punto son la solución del sistema y se dice entonces que el sistema es
un Sistema Compatible Determinado. (SCD)
 Si las rectas están superpuestas entonces coinciden, o se cortan, en infinitos puntos, luego habrá infinitas soluciones. Se dice que el sistema
es un Sistema Compatible Indeterminado. (SCI)
 Si las rectas son paralelas no se cortan en ningún punto, luego no hay
soluciones, y se dice que el sistema es un Sistema Incompatible, no
tiene solución. (SI)
 Discusión analítica de las soluciones de un sistema:
 Si el sistema es SCD (Sistema Compatible Determinado, una única
solución) entonces las rectas no pueden ser paralelas, con lo que sus
pendientes han de ser distintas, y por ende:

a1

b1
a2

b2
a1

a2
b1

b2
los coeficientes respectivos de
x e y no están en proporción.
 Si el sistema es SCI (Sistema Compatible Indeterminado, infinitas soluciones) entonces las rectas son superpuestas, tienen la misma
pendiente, pero además debe ser igual la ordenada en el origen,
así:

a1

b1
a2
; pero además
b2
d1

b1
d2
a1

b2

a2
b1
b2

d1

d2
los coeficientes de las variables están en proporción
entre sí y con los términos independientes de las ecuaciones.
 Si el sistema es SI (Sistema Incompatible, no tiene solución) entonces
las rectas son paralelas, tienen la misma pendiente, y no tienen
la misma ordenada en el origen, en resumen:

a1
b1

a2
b2
;
d1
b1

d2
b2

a1
a2

b1
b2

d1
d2

los coeficientes
de las variables están en proporción, pero no lo están
con los términos independientes.
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 Pasos a seguir para resolver un sistema de dos ecuaciones de pri-
mer grado con dos incógnitas:
 Solución gráfica:
 Representar ambas rectas en una plantilla de papel milimetrado y ver
si se cortan en un punto, las coordenadas del punto de corte es la solución del sistema.
 Ejemplo:
S is te ma Compatible D e te rminado
OY
20
18
16
14
12
10
8
y= -x+ 12
6
4
2
0
-2 - 3
-4
-6
-8
y= x-2
-1
1
3
5
7
9
11
13
15
17
OX
 Representar ambas rectas en una plantilla de papel milimetrado y ver
si son paralelas, en cuyo caso no se cortan y no hay solución.
 Ejemplo:
S is te ma Incompatible
9
7
5
OY
3
y= -x+ 7
1
-1
-3
-1
1
3
5
7
9
11
13
y= -2x/2+ 9/2
-3
-5
-7
-9
OX
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 Representar ambas rectas en una plantilla de papel milimetrado y ver
si coinciden en todos sus puntos, es decir, ver si se superponen, en
cuyo caso hay infinitos puntos de corte y, en consecuencia, infinitas
soluciones.
 Ejemplo:
S is te ma C ompatible Inde te rminado
6
4
2
OY
0
y= x-3
-3
-1
1
3
5
7
y= 2x/2-6/2
-2
-4
-6
-8
OX
 Solución numérica:
 Construir dos tablas de valores, una para cada ecuación, y mirar el o
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
los puntos en que coinciden los valores, esa o esas serán las soluciones, si no coincidieran en ningún punto entonces no habrá solución.
 Ejemplos:
y=x-3
y=2x/2-6/2
CASO I: (SCI)
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Sistema Compatible Indeterminado, infinitas
soluciones.
Todas son soluciones.
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x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
y=-x+12
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y=x-2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
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CASO II: (SCD)
Sistema Compatible Determinado, una única solución.
La solución es la sombreada.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
y=-x+7
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y=-2x/2+9/2
7,5
6,5
5,5
4,5
3,5
2,5
1,5
0,5
-0,5
-1,5
-2,5
-3,5
-4,5
-5,5
-6,5
-7,5
-8,5
CASO III: (SI)
Sistema Incompatible, no hay solución.
No hay solución.
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 Solución analítica:
 Proceder con ambas ecuaciones por separado siguiendo los pasos
necesarios para resolver una ecuación de primer grado hasta llegar a
obtener una expresión para cada una de la forma ax  by  d . Para
ello aplicar los principios de equivalencia para ecuaciones de primer
grado.
 Principios de equivalencia:
 Si a los dos miembros de una ecuación se le suman o restan las mismas
cantidades la ecuación no varía, tiene las mismas soluciones.
 Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por una
misma cantidad, distinta de cero (  0 ), la ecuación no varía, tiene las
mismas soluciones.
 Una vez tengamos el sistema en su forma general, procederemos a discutir sus soluciones, de modo que, ejemplos:
SISTEMA INCOMPATIBLE:
x  y  7

2 x  2 y  9
NO HAY SOLUCIÓN, no seguimos
Relación:
1

2
1

2
7
 SI
9
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO:
x  y  3

2 x  2 y  6
HAY INFINITAS
Relación:
1

2
1

2
3
 SCI
6
SOLUCIONES, tomamos dos cualesquiera de ellas, por ejemplo, si en la primera
ecuación hacemos x = 0, tenemos y = −3, y haciendo y = 0 obtenemos x = 3, luego ya
tenemos las soluciones S 1 0 ,  3  ; S 2 3 , 0  .
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO:
 x  y  12

x  y  2
HAY UNA ÚNICA
Relación:
1
1

1
1
 SCD
SOLUCIÓN, en cuyo caso procederemos ha buscarla de modo analítico empleando
uno cualquiera de los siguientes métodos:
 Una vez conseguida la misma podemos proceder de tres maneras
diferentes:
 Reducción.
 Sustitución.
 Igualación.
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 Método de reducción:



Consiste en eliminar una de las dos variables sumando
o restando miembro a miembro ambas ecuaciones.
Para que el coeficiente de una de las dos variables se anule mediante sumas o restas, es necesario que el coeficiente de dicha variable, en ambas ecuaciones, sea el mismo.
¿Cómo conseguir igualar el coeficiente de una variable
en ambas ecuaciones a la vez?. Buscando el m.c.m. de
sus coeficientes, dividiendo éste por el coeficiente de la
variable en la ecuación, y multiplicando ambos miembros
de la ecuación por el cociente de la división. Lo mismo en
la otra ecuación. Es como reducir fracciones a común denominador, así:
5 x  2 y  4
 para eliminar

3 x  4 y  1
la x, el m.c.m. de sus coeficient
es es 15.
 En la primera ecuación, el coeficiente de x es 5, luego 15/5 = 3, debemos
multiplicar la primera ecuación por 3.
 En la segunda ecuación tenemos, 15/3 = 5, luego debemos multiplicar la
segunda por 5, y obtendríamos el sistema equivalente (que tiene la misma
solución que el original):
15 x  6 y  12

15 x  20 y  5
Si ahora restamos, miembro a miembro, a la primera la segunda, nos quedaría:
15 x  6 y  12

15 x  20 y  5
0 x  14 y  7  y 
7
14

1
que es la solución
en y.
2
Para hallar la solución en x, sustituimos el valor de y en una cualquiera de las
dos ecuaciones del sistema original, por ejemplo, en la primera, y nos quedaría:
5x  2 
1
 4  5 x  5  x  1 , que es la solución en x.
2
Luego la solución del sistema será:
x  1

 1

1 ; o bien, S  1,  . Comprobarlo
 2
y 
2

aplicando los otros dos méto-
dos.
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A la postre lo que hacemos es aplicar los principios de equivalencia para sistemas de ecuaciones, que son, a saber:
 Principios de equivalencia para sistemas de ecuaciones:

Si sustituimos una de las ecuaciones del sistema por una combinación
lineal de las otras, el sistema que resulta es equivalente, tiene las mismas
soluciones.
 Si sustituimos una o más ecuaciones del sistema por ellas mismas multiplicadas o divididas (ambos miembros), por un número real distinto de cero, el
sistema no varía.
 Si sustituimos una o más ecuaciones del sistema, a las que se les ha sumado
o restado la misma cantidad a ambos miembros, el sistema no varía.
 Una combinación lineal de dos o más ecuaciones no es más que la suma o resta
de las mismas, multiplicadas o divididas por números reales adecuados, distintos de cero. Así, de este modo, en el caso anterior tendríamos la combinación
lineal:
 3  5 x  2 y  4   5  3 x  4 y  1   14 y  7  , con lo que pasaríamos al sistema
equivalente:

5 x  2 y  4
5 x  2 y  4

 

7
1  Con sustituir el valor de
14 y  7


y 
14
2

y en la
primera ecuación ya tenemos la solución del sistema.
 Método de sustitución:

Consiste en despejar una de las dos variables en una
cualquiera de las dos ecuaciones, y luego reemplazar la
expresión obtenida en el lugar que ocupa dicha variable
en la otra ecuación, así:
2 x  y  8
y  2x  8
 
 Hemos despejado la y en la primera ecuación,

4 x  5 y  2
4 x  5 y  2
ahora sustituiremos dicho valor en la segunda, con lo que nos queda:
4 x  5   2 x  8   2  la cual no es más que una ecuación de primer grado con
una incógnita, que ya sabemos resolver. Resolviéndola, nos queda:
4 x  5   2 x  8   2  4 x  10 x  40  2  14 x  42  x  3 , que es la
solución en x, para hallar la solución en y nos vamos a la primera ecuación del
sistema equivalente y sustituimos el valor hallado, así:
y  2 x  8  y  2  3  8   2 , que es la solución en y.
x  3
La solución del sistema será 
 y  2
 o bien , S 3,  2  . Comprobarlo
apli-
cando los otros dos métodos.
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 Método de igualación:

Consiste en despejar la misma variable en las dos
ecuaciones, y luego igualar las expresiones así obtenidas,
así de este modo:
 3 x  11

 y 
 3 x  2 y  11
 3 x  11
 5 x  21
2
 


  3 x  5 x  21  11 


5
x

21
2
2
 5 x  2 y  21
y 

2
 2 x  10  x  5 , que es la solución en x. Para hallar la solución en y sustituimos éste valor en una cualquiera de las dos ecuaciones del sistema equivalen-
te, y así y 
 3 x  11
2
 y 
 3  5  11

 15  11
2
2

4
  2 , que es la solu-
2
ción en y.
x  5
Con lo que la solución del sistema es 
 y  2
 o bien, S  5,  2  .
Comprobarlo aplicando los otros dos métodos.
Hay problemas que requieran del uso de la técnica de resolución de sistemas debido a
que el planteamiento de los mismos, como sistema, los hace más fáciles de resolver.
 Resolución de problemas mediante el uso de sistemas de ecuaciones.
 En muchos casos la información que proporcionan los enunciados de los problemas es escasa para poder plantear éstos como una ecuación de una sola variable. En dichos casos se hace necesario el planteamiento de los mismos en
dos variables, y para poder resolverlos necesitaremos entones de dos ecuaciones o de dos condiciones previas. Así:
 Ejemplo: Las dos cifras de mi edad suman 7. Invirtiendo el orden de
las cifras, resulta un número igual al duplo del primero más dos unidades. ¿Qué edad tengo?.
 Mi edad es un número de dos cifras, por ejemplo ab, en
forma polinómica 10  a  b . Del enunciado se deduce que
a  b  7 , que es la 1ª condición. Además, si invierto el
orden de las cifras, ba, en forma polinómica 10  b  a , resulta que 10  b  a  2  10  a  b   2 , 2ª condición.
 Con lo que se nos plantea el sistema:
a  b  7
 El cual ya sabemos resolver.

10  b  a  2  10  a  b   2
Para ello, lo primero es arreglar las ecuaciones de
modo que se parezcan a la forma general de un sistema de
ecuaciones, así:
a  b  7
a  b  7
 

10 b  a  20 a  2 b  2
19 a  8 b   2
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Aplicando el método de sustitución:
b  7  a
 19 a  56  8 a   2  27 a  54  a  2

19 a  8 7  a    2
que es la solución en a, para la solución en b sustituimos en
la primera ecuación del sistema equivalente, y nos queda:
b  7  a  b  7  2  5 , luego mi edad es de 25 años.
Ahora compruébalo confirmando los datos del
enunciado.
 En muchos casos, como en el caso anterior, no es necesario el planteamiento
del problema como un sistema, ya que hay una relación de totalidad entre
las variables, con lo que siempre podemos escribir una en función de la otra y
pasar directamente a una ecuación de primer grado en una variable.
Actividades de aplicación.
P1.- Resolver, por el método gráfico, los siguientes sistemas:
2 x  3y  5
a) 
3 x  y  4
x  y  1
d) 
3 x  5 y  4
3 x  y  6
3 x  4 y  8
b) 
c) 
x  2y  2
 2 x  3 y  11
x  2 y  5
e) 
3 x  y  6
x  3y  8
f) 
2 x  4 y  4
P2.- Resolver los siguientes sistemas, por los tres métodos:
y
 x

 1

2
a )  10


 25  2 y  3 x
x  y  5

b) x

y

 0

3
2
 3x
 3  y

c) 2


 9 x  108   4 y
 3x
 2  3  2 y

d )

y
x

 2
 2
2
 2 x  25  3 y

e)

y
25

2 x 
2
2

x
 2  6 y  6 ,5

f )

y

6x 
 5 ,5

2
 x  2  x  y   3 y  2

g )

x
y
 3
 
2
3
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4x  y  1
 3  y  2 x  2 


4
3

h )

x  y
y  1
x  y


 3
6
6
Página.- x
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2  y
5x  y
 3  x  y 



4
4
6

i)

2y  7x
x  y
x

1 



12
2
2
x  y
x  y

 2

2
j)  2


  3 x  10 y  16
4  x  y 
 x  3y

 x  2

4
5

k )

7
x

3
1
5

x


  y  1 
 5

8
8
4
x  2
 3x  y

 4

6
3
l) 


 2  3  x  y   0
P3.- En unos grandes almacenes hacen una rebaja del 20% en abrigos y del 10% en
camisas. Julia paga 208.85 € por un abrigo y una camisa. Si los hubiera comprado
antes de las rebajas le habrían costado 255.43 €. ¿Cuál era el precio del abrigo y
de la camisa en ese momento?.
P4.- En un examen, cada pregunta correcta vale un punto y cada una incorrecta resta
1/4 de punto. Si una alumna ha contestado 75 preguntas y obtenido 56 puntos y
1/4, ¿Cuántas ha contestado correctamente y cuál ha sido la nota final del
examen?.
P5.- En una clase hay 45 alumnos entre chicos y chicas. Practican natación el 32% de
los chicos y el 60% de las chicas. Si el número total de alumnos que practican
natación es de 20, ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase?.
P6.- En un almacén hay dos tipos de lámparas. Las del tipo A utilizan tres bombillas y
las del tipo B utilizan cuatro bombillas. En el almacén hay en total 60 lámparas y
220 bombillas. ¿Cuántas lámparas hay de cada clase?.
P7.- Las dos cifras de mi edad suman 7. Invirtiendo el orden de las cifras, resulta un
número igual al duplo del primero más dos unidades. ¿Qué edad tengo?.
P8.- Luisa tiene 225 ptas. en monedas de duro y de diez pesetas. Si tiene 29 monedas
en total, ¿Cuántas tiene de cada clase?.
P9.- En un avión hay 192 personas entre hombres y mujeres. El número de mujeres
son los 3/5 del de los hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres hay?.
P10.- Entre la bolsa A y la B hay un total de 80 bolas. Si pasamos 10 bolas de la bolsa
B a la A, el número de bolas de la bolsa A es tres veces el número de bolas de la
B. ¿Cuántas bolas hay en cada bolsa?.
P11.- La suma de dos números es igual a 54. La quinta parte del mayor es igual a la
cuarta parte del menor. ¿Cuáles son esos números?.
P12.- Un albergue juvenil tiene habitaciones con literas de dos y de cuatro camas. Sabiendo que tiene 80 habitaciones y 270 camas, ¿Cuántas habitaciones hay de cada
clase?.
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P13.- Dividir el número 1.000 en dos sumandos tales que si de los 5/6 del primero se
resta 1/4 del segundo, se obtiene 10.
P14.- Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 35 cm. Calcula la longitud de sus
lados sabiendo que los lados iguales miden tres veces más que el lado desigual.
P15.- Hallar dos números sabiendo que están en proporción 5 a 3, y que si se resta 10 al
primero y se aumenta 10 al segundo, la proporción en que se hallan los nuevos
números es la inversa de la anterior.
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