TEMA I : ÁLGEBRA Sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss

TEMA I : ÁLGEBRA
Sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss
1. Discute los siguientes sistemas y resuelve los que sean compatibles determinados:
2. En unos grandes almacenes un señor compra 2 trajes de chaqueta, 1 cazadora y 2
pantalones. Paga 530 euros. En la caja contigua, otra persona está pagando 840 euros por 3
trajes de chaqueta, 3 cazadoras y unos pantalones. Al día siguiente hay una oferta en la que se
hace un 10 % de descuento, y un chico ha pagado 225 euros por un traje de chaqueta y una
cazadora. ¿Cuánto cuesta cada artículo?
3. Una ecuación lineal con dos incógnitas de la forma ax + by + c = 0 es la expresión de una
recta en el plano. Según esto, las rectas del plano expresadas por las ecuaciones de los
siguientes sistemas, ¿serán paralelas, secantes o coincidentes?
4. Dadas las ecuaciones:
x + y - 2z = 0
x - 2y + z = 0
Escribe una tercera ecuación para que el sistema resultante sea incompatible.
5. Resuelve los siguientes sistemas
Soluciones : a) x =16, y = 2, z = 4
b) x =3,y = 3, z = 3
c) x= 6, y = -2, z = -5/2
6. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:
x-y=2
ax+y+2z=0
x-y+az=1
Se pide:
a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a
b) Resolver el sistema a = -1
c) Resolver el sistema para a = 2
7. (Matemáticas 2007-2008) Se considera el sistema
a) Estudiar cuántas soluciones tiene dependiendo del parámetro a.
b) Resolverlo para a = 1.
8. (Matemáticas 2005-2006)
a) Estudiar el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro λ,
indicando el número de soluciones que tiene en cada caso.
b) Resolverlo para los valores de λ, para los que el sistema posee más de una solución.
9. Estudiar el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro λ y resolverlo
cuando posea más de una solución.
10. (Matemáticas Aplicadas 2006-2007) Se considera el siguiente sistema de ecuaciones
lineales, dependientes del parámetro a
a) Estudiar el sistema según los diferentes valores del parámetro a.
b) Resolver el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
11. (Matemáticas Aplicadas 2007-2008) Hallar todas las matrices X
que satisfacen la ecuación matricial X2=2X.
12. Se dice que una matriz cuadrada es ortogonal si AAT=I (el producto de la matriz por su
matriz transpuesta es la matriz identidad)
a) Estudiar si la siguiente matriz A es ortogonal
b) Siendo A la matriz del apartado anterior, resolver el sistema:
13. Considerar el sistema de ecuaciones
a) Discutirlo según los valores del parámetro λ.
b) Resolverlo para λ = 0.
c) Resolverlo para λ = 3.
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Sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss
SOLUCIONES
1.-
Tiene infinitas soluciones; por tanto, se trata de un sistema compatible indeterminado.
Sistema compatible determinado. Solución: z = -1; y = -1; x = 6.
2.- Sean x, y, z los precios en euros del traje de chaqueta, la cazadora y los pantalones,
respectivamente.
Solución: Los precios del traje de chaqueta, la cazadora y los pantalones son 100, 150 y 90
euros, respectivamente.
3.-
Sistema compatible indeterminado. Las rectas son coincidentes, pues tienen en común
infinitos puntos.
Sistema incompatible. Las rectas no tienen ningún punto común, luego son paralelas.
Sistema compatible determinado. Las rectas tienen un único punto en común; son secantes.
4.-
Las soluciones del sistema formado son de la forma: x = y = z. Para obtener un sistema
incompatible se añade una ecuación en la que x = y = z no sea solución; por ejemplo:
x - 2y + z = 5 (si x = y = z, x - 2y + z = 0).
5. Resuelve los siguientes sistemas
Soluciones : a) x =16, y = 2, z = 4
b) x =3,y = 3, z = 3
6. Resolución:
Hallemos la matriz A de los coeficientes y la matriz ampliada A1:
Solución general compatible determinada:
a = 0 , S.I. (sistema incompatible)
c) x= 6, y = -2, z = -5/2
Para a = 2:
Como a = 2 corresponde al caso a ≠ 0, a ≠ -1 => SCD
7.
8. a) Sea A la matriz del sistema, B el término independiente y A * (AIB) la matriz ampliada.
9.
10.
11.
12.
13. a) Sea A la matriz de coeficientes y M la matriz ampliada. El sistema tendrá solución
cuando r(A) = r(M).
El determinante de A, A = λ(λ -1) . Con esto:
cuya solución es: x = 1, y = 0, z = 1. (Es inmediato aplicando Cramer).