Conjuntos matemáticos

CONJUNTOS
La palabra CONJUNTO nos remite, intuitivamente a una agrupación o colección de objetos. Sin embargo
para que una colección de objetos sea un conjunto, deberá cumplir algunas condiciones:
• UN CONJUNTO QUEDA DETERMINADO POR SUS ELEMENTOS QUE PERTENECEN A ÉL..
En símbolos lo escribimos así
Le ponemos como nombre una letra imprenta mayúscula y lo leemos: A es el conjunto formado por m, t y h
2) PARA QUE UN CONJUNTO EXISTA ES NECESARIO QUE SUS ELEMENTOS
• EXISTE EL CONJUNTO VACIO
Hemos dicho que para que un conjunto queda determinado si sus elementos están unívocamente definidos.
Suponga que se le pide formar el conjunto de las ranas que maúlla. Ud. responderá "ninguna rana maúlla". El
conjunto es VACÍO no hay ranas que cumplan esa condición, los elementos están bien definidos pero no hay
ninguno.
El conjunto vacío es único y se representa simbólicamente:
ð
• UN CONJUNTO ESTÁ EXPRESADO POR EXTENSIÓN CUANDO SE NOMBRAN TODOS SUS
ELEMENTOS.
5) LOS CONJUNTOS SE REPRESENTAN GRAFICAMENTE MEDIANTE DIAGRAMAS DE VENN
Se trata de curvas cerradas . Dentro de la región interior se colocan los elementos, representamos el conjunto
A2 del ejercicio anterior
A2
En matemática
• a las oraciones incompletas se las llama expresiones proposicionales
• en lugar de puntos suspensivos se utilizan otras letras que se llaman variables ( x,y,z )
CONJUNTO DE NUMEROS NATURALES
El conjunto de NUMEROS NATURALES:
• Es un conjunto ordenado según la relación de menor, y tiene primer elemento
• Es un conjunto infinito
• No es denso, porque entre dos elementos cualesquiera existe un número finito de números naturales.
Podemos representar el conjunto de números Naturales en una recta numérica:
1
La flecha indica el orden creciente,
El orden de los números naturales se representa en la recta numérica.
OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES
1.−SUMA
=14
Los términos que intervienen en la operación suma se llaman sumandos. La palabra suma se utiliza para
referirse a la operación o al resultado
Propiedades de la suma:
1.− La suma es una ley de composición interna, es decir , siempre tiene resultado 2.− La suma es asociativa,
es decir , que el resultado no varía si se realizan sumas parciales.
3.− La suma es conmutativa, es decir el orden de los sumandos no altera la suma
4.− El cero es un elemento neutro para la suma
a
2
6
9
b
3
1
7
c
5
8
4
Asociatividad
(a+b)+c = a+(b+c)
Conmutatividad
a + b = b+a
Elemento Neutro
a+0=a
2.− MULTIPLICACIÓN
La multiplicación se construye a partir de la suma, es una suma particular donde todos los sumandos son
iguales
3 + 3 + 3 + 3 = 4.3 = (4)(3)
a+a+a=3a
Los términos de una multiplicación se llaman FACTORES, el resultado de la multiplicación se llama
PRODUCTO.
Indique cuáles son los factores y cuál el producto en:
6.5.7.2=
Propiedades del producto
Complete el cuadro
a
2
b
3
c
5
Asociatividad
(ab)c = a(bc)
Conmutatividad
ab = ba
Elemento Neutro
a.1 = a
2
6
9
1
7
8
4
3.−LA DIFERENCIA
MINUENDO − SUSTRAENDO = DIFERENCIA O RESTA
PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA
NO es conmutativa PORQUE
• no es igual a 2−3
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO A LA DIFERENCIA
3( 6 − 2) = 3.6 − 3.2
3.4 = 18 − 6
12 = 12
4.− EL COCIENTE
DIVIDENDO
COCIENTE
RESTO
En la división se verifica que:
DIVIDENDO = DIVISOR . COCIENTE + RESTO
IGUALDADES. ECUACIONES . DESIGUALDADES. INECUACIONES
1.− Toda ecuación está compuesta por dos miembros separados por el signo igual
Los miembros de una igualdad pueden conmutarse
PRIMER MIEMBRO = SEGUNDO MIEMBRO
EJEMPLO
3 + 7 = 10 o bien
10 = 3+7
2.− Se llama IDENTIDAD a toda igualdad en la que figuran incógnitas y que es verdadera para cualquier
valor de las variables
EJEMPLO:
3
a+b=b+c
3.− Se llama ECUACIÓN a toda igualdad en la que figuran variables y que es verdadera para ciertos valores
de la variable
EJEMPLO:
3x = 15
x=5
RESOLVER una ecuación significa hallar los valores de la variable que la hacen verdadera
DESPEJAR la variable significa trasponer las constantes a uno de los miembros de modo que la variable
quede aislada en el otro. La transposición de términos se realiza utilizando la propiedad de los elementos
neutros de cada operación y respetando el orden de las operaciones.
EJEMPLOS
2(x + 4) = 24
2x + 4 = 24
2(x + 4)]/2 = 24/2
2x + 4 − 4 = 24 − 4
x = 24/2
2x = 24 − 4
x + 4 = 12
(2x) /2 = 20/2
x + 4 − 4 = 12 − 4
x = 20/2
x = 12 − 4
x = 10
x= 8
En el cuadro anterior se ha remarcado los pasos fundamentales. Los pasos intermedios pueden hacerse
mentalmente
• POTENCIACION
BASE Exponente = POTENCIA
43=4.4.4=64
41=4
La potenciación es un caso particular de producto: todos los factores son iguales
En general: an = a. a....a
n veces
La base es el número que se multiplica
4
El exponente indica las veces que se multiplica la base
an se lee a elevado a la ene
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
• NO ES CONMUTATIVA PORQUE 34 NO ES IGUAL A 43
• Es distributiva respecto a la producto y al cociente
Ejemplo: (3.2)3=33.32
• NO ES DISTRIBUTIVA respecto a la suma y a la diferencia
(3+2)3=53=125 que es distinto a 33+23=9+8=17
PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE:
El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual a la suma de
los exponentes de las potencias dadas
En símbolos:
an.am= am+n
EJEMPLO:
23.24=23+4=27
COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
El cociente de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual a la
diferencia entre los exponentes de las potencias dadas
En símbolos:
an:am= am−n
EJEMPLO:
25:23=25−3=22
EXPONENTE CERO
El exponente cero aparece cuando dividimos dos potencias iguales:
EJEMPLO:
24:24=24−4=20
Pero, en este caso estamos dividiendo un número por sí mismo
24:24 Luego: 20=1
5
CONVENCIÓN: Todo número elevado a la cero da por resultado 1
POTENCIA DE POTENCIA
La potencia de otra potencia es una potencia de la misma base cuyo exponente es igual al producto de los
exponentes dados
(an)m= am.n
(24)3= (2)12
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS
Llamaremos número primo a aquel número que es divisible por sí mismo y por la unidad.
Los números que no son primos se llaman compuestos
Todo número natural puede escribirse como producto de factores primos, diremos que se ha factoreado.
Ejemplo:
180
90
45
15
5
1
divisores
2
2
3
3
5
Luego :
180 = 22325
MULTIPLO COMÚN MINIMO (m.c.m): Dados dos o más números factoreados se llama múltiplo común
mínimo al producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente
DIVISOR COMÚN MÁXIMO (d.cm): Dados dos o más números factoreados se llama divisor común
máximo al producto de los factores comunes con su menor exponente.
Ejemplo:
Sea hallar el m.c.m y d.c.m de 180, 150 y 60
Descomponiendo esos números en sus factores primos resulta:
180 = 22325
300 = 22.3.52
120 = 23.3.5
6
Luego:
mcm (180,150,60 )= 23.32.52 = 600
dcm (180,150,120) = 22.3.5 = 60
• RADICACIÓN
La radicación es una operación inversa a la potenciación
En general:
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
• No es conmutativa
• Es distributiva respecto al producto y al cociente
• NO es distributiva ni asociativa respecto de la suma y de la resta
LOGARITMOS
Si pretendemos resolver la ecuación
nos encontramos conque no existe ninguna operación, de las que conocemos, que nos permita despejar la
incógnita. Ello hace necesario la definición de una nueva operación, la LOGARITMACIÓN
Introducción a la definición
En el ejemplo anterior, el valor de equis es 4. Es decir, que la nueva operación determina exponentes
El logaritmo de 81 en base 3 es el exponente 4, es decir, 4 es el número al que hay que elevar la base 3 para
obtener 81
Escribimos:
Conjunto de Números enteros
1.− Necesidad de su creación
Ecuaciones del tipo x+5=3 no tienen solución en el conjunto de Números Naturales
Esto generó la necesidad de crear un conjunto de números que diera solución a la operaciones similares al
3−5.
El conjunto Z de números enteros está formado por los números positivos, los negativos y el cero.
Llamaremos
2.− Módulo de un entero (valor absoluto)
El módulo de un número es la distancia al cero .
7
La distancia es un número positivo
3.− NUMEROS OPUESTOS
Dos enteros distintos son opuestos si tienen el mismo módulo
La expresión
−x se lee el opuesto de un número
Sabemos que: el opuesto de +2 es −2; el opuesto de −6 es +6, aplicando la expresión que define el opuesto en
lenguaje simbólico resulta:
4.− ORDEN EN EL CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS
En la recta numérica, (ver página anterior) la flecha indica el orden creciente.
Ese orden debe mantenerse al agregar los números negativos
Diremos que:
• Dados dos números positivos, es mayor el de mayor valor positivo
• Dados dos números negativos es mayor el de menor valor absoluto
• Todo número positivo es mayor que cero
• Todo número negativo es menor que cero
5.−OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS
Dada la correspondencia entre los números naturales y los números positivos al definir las operaciones no
pueden contradecirse las definiciones ni las propiedades de ellas sino que deben ampliarse
A.− SUMA ALGEBRAICA:
1.1.−Para definir la suma debemos tener en cuenta que se debe verificar la igualdad
De esta expresión los matemáticos acuerdan una convención
1.2.− Resta o diferencia
Recordemos que:
B.− PRODUCTO DE NUMEROS ENTEROS
Por la correspondencia entre los números naturales y los positivos sabemos que
Multiplicar dos por cinco significa sumar dos veces el cinco.
Teniendo en cuenta esta definición de producto y que la multiplicación es conmutativa podemos calcular
Pero nos falta encontrar un significado para el producto de dos números negativos:
Sobre la base de estas deducciones concluímos:
8
C.− COCIENTE DE NÚMEROS ENTEROS
La división es la operación inversa a la multiplicación. Ud. sabe que, por ejemplo, 14 dividido 7 es 2 porque 2
por 7 es igual a catorce. Entonces está en condiciones de realizar las siguientes divisiones
APLICACIONES
1) FACTOR COMÚN
El cálculo del factor común es la inversa de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto al
producto.
Dada una suma para calcular el factor común se procede así:
• Se determina el d.c.m , llamado factor común, de los sumandos
• Se divide cada sumando por el factor común, obteniéndose los nuevos sumandos
• El resultado es el producto del factor común por la suma de los nuevos sumandos obtenidos en el paso
anterior.
PROPIEDAD DEL PRODUCTO IGUAL A CERO
Si el producto de varios números es igual a cero entonces alguno de los factores es igual a cero. En símbolos:
PRODUCTO DE LA SUMA DE DOS NÚMEROS POR SU DIFERENCIA
El producto de dos números por su diferencia es igual al a la diferencia entre los cuadrados de dichos números
• POTENCIACION EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS
La definción de potencia es la misma que en los números naturales, veamos:
E.− RADICACIÓNLa radicación es la operación inversa a la potenciación:
Conjunto de Números Racionales
FRACCIONES − NUMEROS RACIONALES
La ecuación: 2x=5
no tiene solución en el conjunto de números enteros. Aplicando las reglas de resolución de ecuaciones
resulta:
El resultado obtenido es una fracción: el cociente indicado de dos números enteros.
Llamamos:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS RACIONALES
CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES
1.− Son FRACCIONES EQUIVALENTES las que representan el mismo punto en la recta numérica.
EJEMPLO:
9
2.− Son fracciones irreductibles aquellas cuyo numerador y denominador son números coprimos, es decir no
tienen divisores comunes. EJEMPLO:
3.− Son fracciones aparentes aquellas cuyo numerador es múltiplo del denominador. Son números enteros
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
1.− SUMA DE FRACCIONES
Para sumar fracciones es necesario que tengan el mismo denominador.
Para reducir fracciones a común denominador se procede así:
• Se determina el m.c.m. de los denominadores de las fracciones. Sumandos
• Se calculan las fracciones equivalentes con ese denominador de cada sumando
EJEMPLOS:
2.− PRODUCTO DE FRACCIONES
El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de los
factores, y cuyo denominador es el producto de los denominadores de los factores
EJEMPLO
3.− INVERSO MULTIPLICATIVO
El inverso multiplicativo de una fracción es otra fracción tal que multiplicada por la primera da por resultado
1
El inverso multiplicativo de
4.− COCIENTE ENTRE DOS FRACCIONES
El cociente entre dos fracciones es igual al producto entre el dividendo y el inverso multiplicativo del divisor.
5.− POTENCIACION Y RADICACIÓN DE FRACCIONES
EJEMPLO:
POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO
Sabemos que al dividir dos potencias de igual base se obtiene otra potencia de la misma base, cuyo exponente
es igual a la diferencia entre las potencias dadas.
Veamos este caso donde, de la aplicación de la regla resulta un exponente negativo
Analicemos el significado de esta expresión tratando de resolver el ejercicio:
Resulta entonces que:
NÚMEROS COMPLEJOS
10
1. LA UNIDAD IMAGINARIA
Ecuaciones del tipo
11