4.4 Cálculo de volúmenes.

4.4 Cálculo de volúmenes.
Volúmenes de sólidos obtenidos por revolución
Cuando una región en el plano rota alrededor de una línea recta tal que a lo suma esta línea es frontera
de la región ( no la intersecta) se produce un sólido tridimensional que se llama sólido de revolución .
La recta alrededor de la cual rota la región se llama eje de rotación o de revolución.
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MÉTODO DE DISCOS:
Inicialmente la rotación será alrededor de una de los ejes coordenados
La región limitada por la gráfica de la curva
las rectas
el eje
rota alrededor del
eje .
Se hace una partición del intervalo
para un subintervalo
se toma
Las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son discos circulares de radio
el volumen de un disco será
de modo que
Al tomar el límite cuando la norma de la partición tiende a cero
Ejemplo 1: Utilizando rotación de una semicircunferencia alrededor del eje se puede verificar
que el volumen de una esfera es
. Así
Tomando la parte superior de la circunferencia
y haciendo rotar la región
limitada por la semicircunferencia y el eje alrededor del eje se obtiene
Ejemplo 2: La región limitada por la curva
el origen , la recta
el eje rota
alrededor del eje . Encontrar el volumen del sólido obtenido.
Los elementos que van a llevar a la expresión del volumen son perpendiculares al eje .
Al rotar se van a obtener discos cuyo volumen es
para
con lo cual
MÉTODO DE ARANDELAS:
Cuando se va a rotar una región limitada por dos curvas el sólido de revolución es hueco por dentro, las
tajadas perpendiculares al eje de rotación son ahora arandelas o anillos.
Supongamos que tenemos dos curvas cuyas ecuaciones son
sus puntos de intersección son
y
y que
y
para
tal que las abscisas de
; la región limitada por
las dos curvas va a rotar alrededor del eje . Las secciones transversales perpendiculares al eje de
rotación son anillos acotados por dos círculos; cada anillo tiene un radio exterior
interior
y un radio
, por lo tanto el área de la sección transversal es
A(x)=
y el volumen de cada sección transversal es
con lo cual el volumen
Note que el radio exterior dado por la curva
es mayor que el radio interior dado por
que la integral planteada proviene de una resta de volúmenes y no del volumen de una resta
Ejemplo 3: Encontrar el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por
y
y
alrededor del eje
Radio exterior va a estar dado por la curva
Radio interior por la curva
( que es la mayor en ordenada )
( que es la mayor en ordenada )
(unidades cúbicas)
Ejemplo 4:Encontrar el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por las curvas
y
alrededor:
del eje
alrededor de la recta
Las curvas son las mismas del ejemplo anterior.
Las secciones perpendiculares al eje de rotación son arandelas pero de ancho
El radio exterior corresponde a la mayor abscisa que es la de la curva
y como es positiva
Por lo tanto el radio interior corresponde a la curva cuyas abscisas son menores en
el intervalo.
El volumen de un anillo o arandela será
Como los puntos de intersección de las dos curvas son (0,0) y (1,1), los límites de integración en este
caso son iguales en o en .
La curva que tiene mayor abscisa es la que determina la parte exterior del sólido y sigue siendo
pero el radio ahora es la distancia al eje de rotación
La parte interior la determina la que tiene menor abscisa, siendo la distancia al eje de
revolución
y
MÉTODO DE CORTEZAS Ó CAPAS CILÍNDRICAS:
Supongamos que se quiere rotar la región limitada por la curva
Si se fueran a usar arandelas de espedor o ancho
y el eje alrededor del eje
se tendría que buscar con la simetría que tiene la
curva con repecto a la recta x=2 , cúal es el radio exterior en función de y cúal el exterior en términos
de , es decir despejar de
en términos de resolviendo la ecuación cuadrática
lo cual me dice que
.
con lo cual
después de efectuar y simplificar lo cual es siempre un proceso!
Además aún no se ha realizado la integral y se está contando con que se pudo expresar en términos de
.
Ahora tomemos rectángulos paralelos al eje de rotación, que al girar producen cilindros
concéntricos circulares (cortezas cilíndricas o capas cilíndricas). Estas capas tienen una altura , un
radio exterior
un radio interior
; si se abre un cilindro de estos se produce una lámina delgada
rectangular cuya área es 2
y cuyo espesor es
2
Su volumen estará dado por
.
Traduciendo al caso de la curva del ejemplo
en un subintervalo cualquiera
; el radio de una corteza es
haciendo una partición regular del intervalo
si
la altura de una corteza es
, el espesor
quedando el volumen de la
iésima corteza
con lo cual
Volumen total. Ahora tomando el límite cuando
se obtiene
Si se generaliza este proceso para una curva contínua
con
.
Ejemplo 5: Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar la circunferencia de
centro en el punto
y radio 2 alrededor de la recta
(Toro)
El volumen se puede hacer por arandelas siendo la parte superior de la circunferencia la que genera el
volumen de la parte exterior y la parte inferior de la circunferencia la que genera el volumen de la parte
interior.
Sinembargo se facilita mucho utilizar capas cilíndricas ( producidas por rectángulos paralelos a la recta
El radio es la distancia al eje de rotación desde cualquier ordenada es decir
La altura
y el espesor
con lo cual
que conduce a la integral
integral que se calcula haciendo
y al
reemplazar
con lo cual
(unidades cúbicas).
Otra manera de ver el volumen de una corteza cilíndrica.
Sea
el radio exterior de la corteza ,
el radio interior de la corteza, h la altura.
El volumen del cascarón será la diferencia entre el volumen externo y el volumen interno es decir
Observemos que
es el promedio de los radios que se podría llamar
y
podríamos
llamarlo el espesor de la capa cilíndrica.
Ya utilizando la expresión del volumen obtenida, al hacer una partición regular del intervalo
en el intervalo
el volumen de una corteza será
con
Haciendo suma de volúmenes de cortezas
,
Al tomar el límite cuando