) ( Dos Horas Representación analítica, tabular y grafica de una función cúbica

Nombre de la actividad
Comprensión de la función cúbica f ( x)  ax3  bx2  cx  d
Autor:
Maria de Jesús Rivera Flores
Tiempo estimado
Dos Horas
Prerrequisitos
 Representación analítica, tabular y grafica de una función cúbica
 Aplicaciones de la función cúbica
Objetivos
Disciplinares
Que los estudiantes:
Educacionales
1. Desarrollen la habilidad de trabajo en
equipo, haciendo dinámica.
2. Desarrollen la habilidad de análisis e
interpretación de los resultados gráficos
y tabulares obtenidos de la hoja de
trabajo.
3. Desarrollen la habilidad de cuestionar
los resultados obtenidos con actitudes
adecuadas al trabajar en equipo.
4. Desarrollen
la
habilidad
de
investigación y
aplicación de los
resultados.
1.- Dominen el concepto de función y
desarrollen la habilidad para utilizar las
diversas formas de representación (tabla,
grafica y analítica) de una función cúbica.
2.- Analicen los efectos de los parámetros
en la gráfica de f ( x)  ax3  bx2  cx  d ,
utilizando como principal herramienta la
computadora.
3.- Apliquen diversos criterios que les
permita verificar una solución correcta.
Contenidos Disciplinares
a) Gráfica de funciones
Medios de enseñanza (métodos de enseñanza y recursos tecnológicos)
Métodos de Enseñanza
Recursos Tecnológicos
Dinámica de grupo, por parte del
Pizarrón
alumno, a partir de la conducción del
Papel y lápiz
profesor.
Computadora (manejo de Excel)
Resolver la actividad, en equipos
formados por los alumnos, utilizando el
procedimiento adecuado bajo la
conducción del profesor.
1
Organización del trabajo en el aula
1. El profesor asigna la actividad, y después lee las instrucciones contenidas en la hoja de
trabajo.
2. Los alumnos discuten el contenido de la hoja de trabajo, para una mayor compresión de la
actividad y si se presenta una confusión acerca de cómo realizar la actividad, el profesor
aclarara dicha confusión.
3. La actividad se desarrolla con las indicaciones por el profesor, y una vez comprendidas por el
alumno, se realiza una dinámica de grupo, con el fin de que el alumno participe en la
elaboración de la hoja de trabajo.
Sugerencia de evaluación de la actividad
1. Se discuten los resultados obtenidos de la hoja de trabajo, se hace una dinámica por cada
equipo promovido por el profesor.
2. El profesor asigna un trabajo extra a cada equipo que le permita tener un puntaje extra
representativo, para la calificación del examen parcial que equivale al 100% de su
calificación.
Referencias
- Larson Hostetler Edwards, Octava editición, Cálculo I, Mc Graw-Hill
http://eud.uniandes.co/servidor/em/recinf/docnopub/De_lo_simb_a_lo_Graf/De_lo_simb_a_lo_Graf09.html
2
Función Cúbica
El presente trabajo denominado comprensión de la función cúbica tiene como objetivo que el
estudiante identifique una función cúbica, así como también realice la grafica en una forma correcta y
precisa. Este tipo de funciones se encuentra dentro del tipo de funciones polinomicas, motivo por el
cual no es un tema muy tradicional como las funciones cuadráticas o las lineales o trigonométricas. En
cuanto aplicación se refiere la función cúbica tiene mucha ingerencia en la vida cotidiana.
Esta función es GENERALMENTE utilizada para relacionar VOLÚMENES en determinados
espacio o tiempo. Asimismo podemos decir que algunos ejemplos prácticos serian por ejemplo el
relacionar el crecimiento de un feto en gestación con el hecho de relacionar su distancia de los pies a la
cabeza
se
puede
determinar
la
semanas
de
gestación
del
feto.
Otro ejemplo característico pudríamos decir que seria el hecho de relacionar los vientos o la energía
eólica con respecto a la intensidad de estos y su tiempo de duración. Esta función cúbica se utiliza más
en el campo de la economía como de la física. En prácticas posteriores se presentaran las diferentes
aplicaciones de esta función en una forma mas detallada.
Esta práctica se enfoca a la función cúbica para una mejor comprensión por parte de los
estudiantes cursando actualmente la materia de Calculo Diferencial e Integral I. Se describirán algunas
características de las graficas de funciones cúbicas también conocida como función Polinómica de
grado 3, cuya forma es:
3
2
f ( x)  ax  bx  cx  d
donde a (diferente de cero), b, c y d son números reales
Podrán identificar como varia la función de acuerdo a la variación de parámetros a, b, c y d, en
las siguientes graficas se muestra esta variación de parámetros y comprender las intersecciones que esta
presenta con el eje x:
1) Si a = 1, b = 0, c = 0 y d = 0, tendremos como resultado la siguiente función: f(x) = x3, cuya grafica
se muestra a continuación, esta grafica corta al eje x en 0
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
f(x)= x^3
-125
-64
-27
-8
-1
0
1
8
27
64
125
f(x) = x^3
200
100
0
-10
-5
0
-100
-200
3
5
10
Esta grafica tiene como propiedades:
- El dominio de la función es la recta real
- El recorrido de la función es. la recta real
- La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).
- La función es continua en todo su dominio.
- La función es siempre creciente.
- La función no tiene asintotas.
- La función tiene un punto de corte con el eje Y.
- La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con l eje X.
2) Si a = 2, b = 3, c = -12 y d = 0, tendremos como resultado la siguiente función: f(x) = 2x3 + 3x2 -12 ,
cuya grafica se muestra a continuación. Esta grafica muestra un ponto de intersección en el origen
x
-150
-120
-90
-60
-30
0
30
60
90
120
150
f(x) = 2x^3
+ 3x^2 -12
-6680700
-3411360
-1432620
-420480
-50940
0
56340
442080
1481220
3497760
6815700
f(x) = 2x^3+3x^2 -12
-200
-100
4
0
100
200
3) Si a = -1, b = 0, c = 0 y d = 8, tendremos como resultado la siguiente función: f(x) = -x3 + 8 , cuya
grafica se muestra a continuación. Esta grafica nos muestra un punto de intersección con el eje x.
f(x) = -x^3+8
x
f(x) = -x^3+8
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
133
72
35
16
9
8
7
0
-19
-56
-117
80
30
-6
-4
-2
0
-20
-70
-120
5
2
4
6
Comportamiento de la función cúbica f(x)= ax3 + bx2 + cx +d, variando los parámetros a, b, c y d.
a
X
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
f(x) = ax ^3+bx^2+cx+d
-7719
-5606
-3919
-2610
-1631
-934
-471
-194
-55
-6
1
14
81
250
569
1086
1849
2906
b
c
8
6
3
d
2
1
f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
5000
3000
1000
-15
-10
-5 -1000 0
5
10
-3000
-5000
1. Considerando, las graficas anteriores como referencia
2. Haga un análisis detallado, variando los parámetros a = -1, b = c = d = 0. Observe el
comportamiento de la grafica, respecto a la gráfica de referencia, mostrada en 1).
3. Asigne el valor a = 0 , a ≠ b ≠ c ≠ 0 y explique el comportamiento de la grafica. Observe el
cambio en la gráfica, ¿cambian los valores en la tabulación?.
4. ¿Qué comportamiento tiene la grafica cuando el parámetro a <0?, ¿intersecta la grafica al
eje x?
5. ¿Qué comportamiento tiene la grafica cuando parámetro a, -1 < a < 0 o 0 < a < 1?
6. ¿Qué importancia tiene que el parámetro sea a ≠ 0, cómo se ubica geométricamente el valor
de a?.
7. Asigne valores a los parámetros de acuerdo a su criterio y observe el comportamiento de la
grafica.
8. Utilizando diferentes valores para los parámetros, bosqueje graficas tabulando para un
intervalo dado, utilizando cuaderno, lápiz.
9. Utilizando diferentes valores para los parámetros, bosqueje graficas sin tabulación, en su
cuaderno, utilizando como herramienta solo un lápiz. Y esboce la grafica
3
f ( x)  ax  b  c , para a = 2, b = -1 y c = 0, ¿Qué comportamiento presenta dicha
grafica?, e indique los puntos donde cruza al eje x.
10. ¿Puede la función cúbica no tener ningún un punto que corte al eje x?, si los hay, indíquelos
a través de un intervalo.
11. ¿Qué parámetros son los que determinan la intersección con el eje x?
12.- Trabajo fuera del aula, investigar que tipo de aplicación tiene la función cúbica de acuerdo
al área del estudiante que cursa actualmente.
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