Los Autómatas Celulares son redes de autómatas simples

Universidad Católica Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Industrial
Cátedra Investigación de Operaciones
Caracas, 31 de Enero de 2005
Indice
Introducción............................................................
Antecedentes.............................................................
Descripción de un Autómata Celular..............................
Los primeros Autómatas Celulares................................
4.1. Maquina de Turing..............................................
4.2. Autómata autorreproductor de Freeman Dyson.......
4.3.
Autómata
autorreproductor
de
Von
modeloscinematico.........................................................
4.4. Autómata celular de Von Newman.........................
5. Estructura de un Autómata Celular...............................
6. Consideraciones adicionales........................................
7. Autómata celular en una dimensión..............................
8. Autómatas celulares en tres dimensiones.......................
9. Algunos ejemplos y aplicaciones...................................
10. Conclusiones............................................................
Bibliografía....................................................................
Pag.
2
4
8
10
11
15
1.
2.
3.
4.
Newmann
15
17
18
20
20
22
27
29
31
Introducción
Los autómatas celulares poseen caracterizas que hacen importante su
estudio a las diversas ciencias.
Los mencionados son útiles en la construcción de modelos donde los
elementos componentes son de similar naturaleza y comportamiento; donde
éstos se rigen por reglas parecidas y donde, en el mismo sistema real, se
identifican componentes diferenciables, independientes, aislables y/o discretos.
Es típico de un Autómata Celular generar comportamientos complejos a
partir de reglas muy sencillas.
Desde su concepción original, la cual era proporcionar un marco formal a
la investigación de comportamientos complejos, se han encontrado múltiples
aplicaciones a la mencionada herramienta.
Las múltiples aplicaciones de los autómatas celulares hacen de mucho
interés su estudio por parte de diversas ciencias.
Entre las aplicaciones de la teoría de autómatas celulares abarcan
aspectos de la ciencia tan diversos como: Mecánica de fluidos, Medioambiente:
polución, incendios forestales, Sistemas biológicos: evolución de las especies,
crecimiento de poblaciones, comportamiento de colonias de microorganismos,
sistemas inmunes, vida artificial, etc., Modelos socio-económicos: urbanismo,
tráfico, procesos económicos, Modelos de reacciones químicas como la reacción
de Belousov-Zhabotinsky, Patrones de pigmentación de piel, Construcción de
fractales, Criptología , entre otros.
El presente es un marco referencial para el estudio inicial de los
Autómatas Celulares, en el cual se van a repasar diversos conceptos
y
aportaciones en el referido campo, fundamentalmente desde una perspectiva del
análisis de la herramienta dejando a un lado los modelos específicos de sus
diversas aplicaciones.
La organización del documento es el que sigue. En el siguiente apartado
se narran brevemente los antecedentes, seguidamente se describe un autómata
celular, su funcionamiento, su estructura y se mencionan algunas de sus
aplicaciones.
2
Antecedentes
El desarrollo de los autómatas celulares comenzó hacia 1943 cuando John
Von Neumann empezó a considerar la posibilidad de generación de vida artificial,
tratando de que un robot se copiara a si mismo. Bajo sugerencia de Stanislaw
Ulam, coinventor de la bomba de hidrogeno, Von Neumann utilizo patrones, en
una cuadrícula en el plano, que evolucionan según una regla de transformación
fija.
De esta forma, el problema de autorreproducción mecánica quedaba
reducido a la búsqueda de ciertas configuraciones que, con la aplicación de la
regla, dieran lugar a copias idénticas.
Muchos autómatas interesantes han surgido como “juegos de
computador”, y, gracias a las facilidades computacionales, a diversas
teselaciones del plano se aplican reglas locales dando lugar a vistosos cambios en
las configuraciones en las que subyace una rica estructura matemática.
Un investigador inicial de Autómatas Celulares que merece ser
mencionado es Edward Fredkin quien, en 1960, formulo un concepto de
“mecánica de la información”, en analogía con la mecánica quántica. Se basa en
el supuesto de que el mundo físico proporciona constantemente información y
puede, por consiguiente, modelarse como un gran Autómata Celular
tridimensional.
En 1965, John Holland utilizo Autómata Celulares para resolver problemas
de adaptación y optimización. Hedlund (1969) y Richardson (1972) estudian los
Autómata Celulares como sistemas dinámicos.
Por otro lado, el desarrollo de estructuras y patrones de ciertos
organismos vivos simples obedece reglas locales sencillas que permiten la
descripción por medio de autómatas celulares. En poblaciones de plantas, por
ejemplo, el valor de una celda podría corresponder a la presencia o ausencia de
una planta y las reglas serían ciertas interacciones ecológicas locales.
Hasta ahora, gran parte de la teoría desarrollada corresponde a autómatas
celulares que evolucionan según reglas determinísticas. Con el fin de obtener
modelos más exactos de fenómenos naturales es necesario considerar aspectos
probabilísticas en su dinámica. Esto da lugar a los llamados autómatas celulares
estocásticos, los cuales pueden generalizarse aun más con la admisión de reglas
locales no uniformes.
De esta manera, se pueden convertir en sistemas que alcanzan un
comportamiento prefijado mediante aprendizaje
3
Las aplicaciones de los autómatas celulares son múltiples en campos como
física, biología, química, matemáticas y ciencias de la computación, entre otros.
4
Los Autómatas Celulares son redes de autómatas simples conectados
localmente. Cada autómata simple produce una salida a partir de varias
entradas, modificando en el proceso su estado según una función de transición.
Por lo general, en un autómata celular, el estado de una célula en una generación
determinada depende única y exclusivamente de los estados de las células
vecinas y de su propio estado en la generación anterior.
Los autómatas celulares son herramientas útiles para modelar cualquier
sistema en el universo. Pueden considerarse con una buena alternativa a las
ecuaciones diferenciales y han sido utilizados para modelar sistemas físicos,
como interacciones entre partículas, formación de galaxias, cinética de sistemas
moleculares y crecimiento de cristales, así como diversos sistemas biológicos a
nivel celular, multicelular y poblacional.
Un Autómata Celular es un sistema dinámico que involucra reglas
simples determinísticas, como en cualquier sistema los cambios de variables
están en función de sus valores predichos, se considera una idealización
matemática en donde el espacio y el tiempo son caracterizados de manera
discreta, así las cantidades relacionadas toman valores discretos.
Una automatización celular consiste de un enrejado uniforme y regular,
que es por lo regular extenso con una variable discreta para cada sitio, que es
denominada 'célula', el valor del sitio de la variable comienza a ser afectado por
el valor de una variable que se encuentra en una 'vecindad' en previos tiempos
determinados. Las vecindades son los sitios alrededor de cierta célula, las
variables de cada sitio están sincronizadas, basadas en los valores de las
variables en sus vecindades y prescindiendo del tiempo.
El tiempo es discreto y en pasos progresivos, el espacio es particionado en
células discretas, teniendo una geometría dada n-dimensional y las condiciones
pueden ser definidas en un espacio finito. En un sistema celular uno puede
formularse, precisar y gobernar con reglas simples la operación del sistema.
Camino intuitivo por el cual el Autómata finito se autorreproduce, la lista finita de
estados para el sistema, por cada célula es un estado distinguible y una regla que
da el estado de cada célula. Cualquier diseño puede ser fijado como una
condición inicial en un tiempo dado t0, cada célula de orden simultáneo tiene un
valor que involucra un nuevo estado global al tiempo t 1, el nuevo valor de una
célula dada al tiempo t, es una función de los valores y locaciones de una
determinada célula las cuales son las vecindades que se encuentran en el tiempo
t0, así se forma una sucesión de estados globales para la interacción de estos
estados globales, es donde surgen la llamada función de transición, ésta es
constante por lo que el sistema es caracterizado, entonces por la evolución de un
Autómata Celular de estados iniciales, este tipo de funciones son funciones
boleanas, asignando así el valor discreto de la célula, en este sistema celular se
constituye un espacio en donde toman lugar los eventos de automatización y
pueden formularse con reglas simples para la operación del sistema.
Descripción De Un Autómata Celular
5
En pocas palabras, un autómata celular es un modelo formal que está
compuesto por un conjunto de entes elementales, cada uno de ellos susceptible
de encontrarse en un cierto estado y de alterarlo de un instante al siguiente,
asumiendo que el tiempo transcurre de forma discreta. La regla que gobierna la
transición de estados en los entes es sensible a los estados de los demás
elementos de su vecindad, siendo por tanto una regla de transición local. El
aspecto que más caracteriza a los autómatas celulares es su capacidad para
dotar al conjunto del sistema, visto como un todo, una serie de propiedades
emergentes inducidas por la propia dinámica local.
En general, no es fácil obtener las propiedades globales de un
sistema definido como el anterior, complejo por naturaleza, a no ser por
vía de la simulación, partiendo de un estado inicial de la población de
objetos y cambiando en cada instante los estados de todos ellos de forma
sincrónica.
Al hablar de un autómata celular es necesario fijar los siguientes puntos:

Conjunto de entes. Se necesita saber cuántos objetos elementales van a
formar la población del sistema. En principio no hay restricción a su
número, pudiendo ser desde unos pocos hasta una infinidad. En ocasiones
es importante situarlos sobre una región geográfica, identificándose
entonces los entes con sus respectivas coordenadas geográficas.

Vecindades. Para cada elemento del sistema es necesario establecer su
vecindad, esto es, aquellos otros elementos que serán considerados como
sus vecinos. En caso de asociar objetos con coordenadas de un sistema de
referencia, el criterio suele ser construir la vecindad de un elemento dado
con todos aquellos otros elementos que se encuentran a menos de una
cierta distancia o radio, de forma que los más alejados no ejerzan
influencia directa sobre él.

Conjunto de estados. En cada instante, cada elemento deberá
encontrarse en un cierto estado. El caso más sencillo corresponde a los
elementos biestables, los cuales se pueden encontrar en sólo uno de dos
estados posibles, 0 y 1, por ejemplo. Pero también el estado puede venir
representado por un vector de componentes reales o por una cadena de
un lenguaje formal.

Regla de transición local. La regla de transición define la dinámica del
sistema. Dado un elemento y un instante determinados, la regla devuelve
el siguiente estado del elemento, para ello necesita como argumentos los
estados actuales, tanto del elemento considerado como de aquellos que
conforman su vecindad. Las reglas de transición pueden ser deterministas
o probabilistas, además, no todos los elementos necesitan obedecer a la
misma regla.
6
Los Primeros Autómatas Celulares
Los estudios sobre autómatas finitos, máquinas de Turing, y otros
modelos que siguen la misma filosofía configuran lo que se ha denominado Teoría
de Autómatas y Máquinas de Turing, o simplemente Teoría de Autómatas, dentro
de la Teoría de la Computación.
En la década de los 50, dos neurofisiólogos, Warren S. McCulloch y
Walter Pitts diseñaron
un
modelo matemático para representar
el
funcionamiento de
las células cerebrales que fue el origen de los que
hoy se conoce por redes neuronales. El modelo era una aproximación
muy
sencilla al comportamiento real de las neuronas, pero tenía grandes
aplicaciones en otros contextos. En el campo puramente matemático, Kleene
redefinió el modelo y dio lugar a los autómatas finitos, especie de máquinas
ideales o modelos matemáticos, al modo de la máquina de Turing, con
posibilidades bastante más reducidas, pero muy adecuadas para ciertos procesos
de cálculo.
Por otra parte el inglés Turing consiguió definir conceptualmente una
máquina de cálculo que se considera universal, es decir, el mecanismo de
procesar cualquier algoritmo.
Turing diseñó un modelo matemático de
autómata que siguiendo unas reglas simples conseguía solucionar una gran gama
de problemas. En principio, la máquina de Turing constituye el instrumento de
cálculo universal, el más general. No es posible dar una demostración rigurosa de
esto, aunque sí se tiene una gran cantidad de indicios, agrupados en lo que se
conoce como Tesis de Church, que puede plantearse así: "No existen funciones
que puedan ser definidas por personas, y cuyo cálculo sea descrito por algún
algoritmo, que no puedan computarse con una máquina de Turing". Basándose
en la máquina de Turing, Von Neumann trabajó en una máquina
autorreproductiva que llamó kinematon y en la idea de autómata celular.
La Máquina de Turing.
Definición.
Una máquina de Turing es una máquina idealizada para el procesamiento
de información, cuyas acciones están especificadas en términos matemáticos. En
definitiva, es un dispositivo que lleva a cabo un procedimiento de cálculo definible
en términos finitos. Es un elemento de matemática abstracta, y no un objeto
físico.
Descripción.
La máquina de Turing consta de las siguientes partes:

Una cinta ilimitada por sus dos lados, y dividida en células.
7

Un número finito de signos que forman el alfabeto exterior, en el que se
cifran los datos introducidos en la máquina y los datos finales de la
máquina. Estos signos se introducen en las células; entre ellos se
encuentra el signo vacío que borra el signo que había antes en una célula,
y deja la célula vacía. Como máximo puede haber un signo exterior en
cada célula.

Un número finito de estados internos diferentes.

La unidad lógica que tiene dos canales de entrada; por uno de ellos entra
el dato externo que lee en la cinta, y por el otro el estado interno en el
que está la máquina.

Después de observar una célula de la cinta de datos, la Unidad Lógica
sustituye el símbolo observados por otro signo. Si la célula no cambia, se
borra lo que había en esa célula.

El funcionamiento de la máquina se realiza en unidades consecutivas de
tiempo. Cuando se pasa de una unidad de tiempo a la siguiente, la
dirección de la célula observada puede cambiar en no más de una unidad;
es decir, se contemplará la vecina de la derecha, izquierda, o la misma
célula del tiempo anterior.

La Unidad Lógica tiene tres canales de salida: el primero para la salida de
la cinta donde se ha modificado el dato de entrada; el segundo indica el
estado en el que debe situarse la máquina; el tercero para indicar cuál
será el siguiente dato a leer de la cinta de entrada.

Los signos que constituyen el alfabeto interno de la máquina.

Dependiendo de los datos iniciales puede ocurrir que:
a. Después de un número finito de tiempos, la máquina se para; en este
caso se dice que la máquina es utilizable para la información inicial.
b. La información de parada no aparece; en este caso se dice que la
máquina no es utilizable para la información inicial.
Funcionamiento.
Una máquina de Turing es un dispositivo que transforma un INPUT
(entrada) en un OUTPUT (salida) después de algunos pasos. Tanto el INPUT
como el OUPUT constan de números en código binario (ceros y unos). En su
versión original la máquina de Turing consiste en una cinta infinitamente larga
con unos y ceros que pasa a través de una caja. La caja es tan fina que solo el
trozo de cinta que ocupa un bit (0 ó 1) está en su interior. La máquina tiene una
serie de estados internos finitos que también se pueden numerar en binario.
8
Para llevar a cabo algún algoritmo, la máquina se inicializa en algún
estado interno arbitrario. A continuación, se pone en marcha y la máquina lee el
bit que se encuentra en ese momento en su interior y ejecuta alguna operación
con ese bit (lo cambia o no, dependiendo de su estado interno). Después se
mueve hacia la derecha o hacia la izquierda, y vuelve a procesar el siguiente bit
de la misma manera. Al final se para, dejando el resultado al lado izquierdo por
ejemplo.
Hipótesis Física Church-Turing

Turing y su colaborador, Alonzo Church presentaron posteriormente la
'Hipótesis Física Church-Turing' donde postulaban que el modelo de
máquina diseñado por Turing podría no sólo duplicar las funciones de las
máquinas matemáticas sino también imitar las funciones de la naturaleza.
La 'Hipótesis
de
Church-Turing'
se
basaba
en
que cualquier
procedimiento que
puede ser descrito con precisión puede ser
programado
para que lo realice una computadora. Esta tesis era la
hipótesis básica de la teoría de algoritmos, que es que cualquier algoritmo
puede ser representado por medio de un esquema funcional de Turing y
realizado en la correspondiente máquina de Turing.
Compararon la mente con una máquina de estados finitos, que seguiría
simplemente un protocolo lógico, una 'tabla de reglas' determinada por fuerzas
físicas y biológicas.
Como en el campo de la lógica se comprobó que todas las computadoras digitales
eran el equivalente de la máquina de Turing, se les calificó entones como
computadoras universales.
Autómata autorreproductor de Freeman Dyson.
Freeman Dyson, profesor de Física, ideó un autómata autorreproductor
con objeto de enviarlo al Enceladus, una de las lunas de Saturno. Dyson propuso
una máquina que extraería la energía necesaria del Sol para crear fábricas que
produjesen una larga cadena de naves de vela impulsadas por dicha energía
solar, llevando cada una de ellas un bloque de hielo. Estas naves de vela se
dirigirían a Marte donde la brusca caída de temperatura dentro de la atmósfera
marciana haría que se deshelasen los bloques de hielo. Dyson imaginó que la
humedad acumulada podría calentar la atmósfera del cuarto planeta del Sol,
Marte, transformando la atmósfera de este planeta en un ambiente adecuado
para las formas de vida y la agricultura.
Autómata autorreproductor de Von Newmann o modelo cinemático .
El primer autómata autorreproductor descrito por Von Newmann fue una
computadora compuesta de distintas partes para el procesamiento de la
información. Ideó una máquina para ser construida como una masa sólida que
9
existiese en el mundo real. Además de sus elementos computacionales, autómata
también constaba de otros cinco componentes:
1. Un elemento de manipulación, que acepte las órdenes de la parte
computacional (o control) de la máquina.
2. Un elemento que sea capaz de desconectar dos elementos a petición de la
computadora.
3. Un elemento de fusión que podría conectar dos partes.
4. Un elemento sensorial que fuese capaz de reconocer cualquiera de las
partes y conducir esa información a la computadora.
5. Unas vigas que actúen como elementos estructurales y que proporcionen
tanto el chasis a la criatura, como el aparato para el almacenamiento de
la información.
La criatura imaginada por Von Newmann tendría también un hábitat. Su
ambiente sería un gigantesco depósito que contendría los mismos tipos de
elementos que formaban parte de la criatura ( fábrica, duplicador, aparato de
control, la computadora, las instrucciones desplegadas en una larga cadena...)
El propósito que pretendía conseguir con el diseño de dicha máquina, era
crear una criatura que fuese capaz de crear su propia descendencia a partir de
las piezas que requería para ello. El diseño pretendía dotar a la nueva criatura
creada de una copia de las instrucciones de información, por tanto se conseguiría
una criatura que sería fértil, es decir, capaz de repetir el mismo proceso. Pero
estos autómatas no sólo eran capaces de reproducirse sino que con el paso del
tiempo tenían la capacidad de evolucionar a algo más complejo que su estado
original.
Este primer autómata autorreproductor de Von Newmann llegó a ser
conocido como modelo cinemático, pero tenía un fallo importante, que residía en
sus elementos; constaba de demasiadas 'cajas negras'.
Autómata celular de Von Neumann.
A partir de la Red Infinita planteada por Stanislaw Ulam, Von Newmann
rehizo el planteamiento de su Autómata Autorreproductor o Modelo Cinemático,
dando lugar a lo que se conocería como el Primer Autómata Celular.
El nuevo modelo que ideó comenzaba con un tablero de damas infinito, en
el que cada célula estaba en un estado inactivo, que tenían diferentes estados
posibles. La precisa combinación de esas células en sus estados determinados
decía la criatura cómo debía comportarse. El mecanismo de reproducción de esta
máquina consistía en reclamar y transformar el territorio. Una vez dentro del
tablero el autómata seguiría las reglas, es decir, que cada célula individual, como
una Máquina de Estados Finitos, comenzaría cumplir la regla que se le aplica. El
efecto de esas conductas locales ocasionaban una conducta global emergente; la
estructura autorreproductora interactuaba con células vecinas y cambiaba
algunos de sus estados. Siguiendo las reglas de transición que Von Newmann
1
0
postuló, el organismo lograba hacer un duplicado de su cuerpo principal. Se
obtenían así dos criaturas idénticas, ambas capaces de autorreproducción, que se
encontraban en un tablero de damas infinito. Von Neumann nunca completó su
prueba escrita del autómata celular.
Estructura de un Autómata Celular
Un Autómata Celular es una herramienta computacional que hace parte de
la Inteligencia Artificial basada en modelos biológicos, el cual está básicamente
compuesto por una estructura estática de datos y un conjunto finito de reglas
que son aplicadas a cada nodo o elemento de la estructura. El interés que ha
despertado esta técnica radica en la sencillez y en la simplicidad que caracteriza
la construcción de los modelos; además, en la particularidad de los patrones de
comportamiento presentados por el Autómata en tiempo de ejecución.
Basados en el planteamiento que presenta Muñoz acerca de la estructura
de un Autómata Celular, se definen como sus componentes básicos:

Un plano bidimensional o un espacio n-dimensional dividido en un número
de subespacios homogéneos, conocidos como celdas. A todo esto se le
denomina Teselación Homogénea.

Cada celda puede estar en uno de un conjunto finito o numerable o de
estados.

Una Configuración C, la que consiste en asignarle un estado a cada celda
del autómata.

Una Vecindad definida para cada celda, la que consiste en un conjunto
contiguo de celdas, indicando sus posiciones relativas respecto a la celda
misma.

Una Regla de Evolución, la cual define cómo debe cada celda cambiar de
estado, dependiendo del estado inmediatamente anterior de su vecindad.

Un Reloj Virtual de Cómputo conectado a cada celda del autómata, el cual
generará "tics" o pulsos simultáneos a todas las celdas indicando que
debe aplicarse la regla de evolución y de esta forma cada celda cambiará
de estado.
1
1
Consideraciones adicionales
Un Autómata Celular puede ser construido definiendo alguna especificación
para cada uno de sus componentes, es decir, de alguna forma se definirá su
teselación, los posibles estados, las vecindades y la regla de evolución; no
obstante, se tienen unas consideraciones y posibilidades con estos componentes,
las que permitirán cierta flexibilidad en el momento de construir el autómata.
 El autómata puede ser de 1, 2, 3, ..., n dimensiones.
 La teselación puede ser finita o infinita, con condiciones de frontera
abiertas o periódicas.
 El conjunto de estados  no necesita tener ninguna estructura algebraica
adicional.
 La vecindad puede ser simétrica o no y puede incluir o no a la propia
celda.
 La regla de evolución es una tabla o unas reglas.
Autómatas Celulares En Una Dimensión
El estudio de los autómatas celulares en una dimensión ha tenido mucho
interés a través de la historia, por esta razón se ha logrado obtener una amplia
literatura en este tipo de autómatas celulares. Sea Z el conjunto de Z+ los
enteros y el conjunto de los enteros positivos, entonces el espacio de evoluciones
en una dimensión se representa como una sucesión de elementos que
determinarán un arreglo lineal,  representa las posiciones de cada elemento
dentro del arreglo por lo que i Є Z . Cada una de las posiciones del arreglo es
llamado célula, estas células pueden tomar elementos de un conjunto  y  Є Z+,
1
2
este conjunto representa el número de estados que puede manejar el autómata
celular en estudio por lo que i Є , es decir, cada una de las células tendrá un
elemento del conjunto . Una sucesión de células es llamada una configuración,
en general Wolfram representa a los autómatas celulares de una dimensión con
dos parámetros (k.r), donde k representa el número de estados del conjunto  y
r el número de vecinos con respecto a una célula central. Los vecinos son células
que se encuentran ubicadas a la izquierda y a la derecha en igual número con
respecto a la célula central, por lo tanto los vecinos mas la célula central forman
una vecindad como se ilustra en la Figura
Vecindad de tamaño 2r+1
Los autómatas celulares en una dimensión se pueden representar como el
sistema:
(, r,, Ci )
donde  es el conjunto de estados, r el número de vecinos con respecto a una
célula central,  la función de transición y Ci la configuración inicial del sistema.
Autómatas Celulares En Tres Dimensiones
Los autómatas celulares en tres dimensiones han sido ampliamente
analizados por Bays en [2], [3], [4], [5], [6], [7] y [8]. Su estudio se enfoca
principalmente en encontrar una regla de evolución en tres dimensiones que sea
la sucesora de Life en el espacio tridimensional, muchos de sus resultados son de
tipo cuantitativo, basados principalmente en la simulación de varias reglas de
evolución en pequeños espacios tridimensionales para encontrar estructuras que
sean similares a Life y de esta manera ha logrado obtener varias reglas de
evolución que presentan características similares a Life en autómatas celulares
de tres dimensiones.
Existe muy poca literatura que trata de generalizar una notación en
autómatas celulares de tres dimensiones, la mayoría de los trabajos realizados
en este tipo de autómatas han sido de tipo estadístico, tratando de encontrar
comportamientos colectivos no triviales en el espacio de evoluciones, por otra
parte se ha intentado encontrar aplicaciones en las áreas de la química y la
1
3
arquitectura. Si bien los autómatas celulares en dos dimensiones son difíciles de
representar, en tres dimensiones el problema crece exponencialmente.
Sea
el conjunto de estados, el espacio de evoluciones en tres
dimensiones se determina por el producto
. Al igual que los autómatas
celulares en dos dimensiones, en tres dimensiones también se utilizan reglas de
evolución semitotalísticas y la función de transición
solo utiliza la vecindad de
Moore como se ilustra en la Figura 2.8, la vecindad de Moore en el espacio
tridimensional es solo una extensión de dos dimensiones en tres dimensiones,
donde
es la célula central de la vecindad y
son los vecinos de la vecindad con respecto a la célula central, para toda
. La vecindad de Moore en tres dimensiones tiene una célula central y
26 vecinos alrededor de ésta por lo que
, por lo tanto una vecindad en
tres dimensiones está formada por 27 células.
Figura 2.8: Vecindad de Moore en tres
dimensiones
Para representar una regla de evolución
se debe definir la
transformación de cada vecindad que conforma una regla, los autómatas
celulares en tres dimensiones tienen
vecindades, lo que produce
reglas
de evolución. El problema de representar una regla de evolución crece
exponencialmente conforme aumenta la dimensión del autómata celular, por esta
razón se utilizan reglas semitotalísticas.
Sea
una
el conjunto de estados,
célula
es
el número de vecinos, entonces
directamente
,
conectada
es
decir,
a
la
una
célula
vecindad
de
1
4
Moore
en
tres
dimensiones,
es
la
célula
central
y
son los vecinos alrededor de la
célula central para toda
. En la Ecuación
transformación local, las variables
células ocupadas por el estado 1 en
y
en
, entonces
y las variables
el
en el tiempo
tiempo
,
.
una
y
el número
en un tiempo
. Si
en
si
entonces
Finalmente
define la
indican el número mínimo de
máximo de células ocupadas por el estado 1 en
el tiempo
2.3.1 la función
. Si
en
regla
el
tiempo
semitotalística
dimensiones se representa como
deben tomar valores entre 1 y 26.
si
en
tres
, donde
y
Cuando el estado de una celda depende exclusivamente de su estado
actual y el de su vecindario, se dice que el Autómata Celular es determinista. Si
se incorpora a la regla de transición algún elemento probabilístico o estocástico,
el Autómata Celular se denomina estocástico
El comportamiento de las reglas de transición en los bordes de la malla de
celdas depende de las condiciones de frontera, las cuales pueden ser de tres
tipos:

Cíclica: los símbolos del borde aparecen en una celda en la frontera
opuesta.

Finita: los símbolos no están disponibles para traspasar la frontera así que
tienden a acumularse en sí mismos.

Infinita: las entidades que cruzan
simulación.
la frontera
desaparecen
de
la
La siguiente figura muestra un ejemplo de un Autómata Celular de 2dimensiones.
1
5
Los modelos de Autómata Celular asumen una discretización del espacio en
una teselación de celdas. Tradicionalmente, esta teselación o rejilla en modelos
de Autómata Celular se hace sobre celdas de igual forma y tamaño para
simplificar los cálculos. Las más usadas son las teselaciones triangulares,
cuadradas y hexagonales.
Algunos ejemplos y aplicaciones
Tal vez, lo más llamativo e interesante de los Autómatas Celulares es el
comportamiento presentado por el modelo en tiempo de ejecución y la similitud
de éste con la complejidad de la naturaleza continua. "Life" o "El Juego de la
Vida", por ejemplo, simula la existencia de diferentes "formas de vida" sobre un
espacio bidimensional, las cuales presentan singular comportamiento a través del
tiempo; "Evolución" es un autómata que simula cómo un conjunto de microbios
sobreviven comiendo bacterias; y "Mayoría Alineada" muestra cómo es el
comportamiento de la tensión superficial entre líquidos no permeables. A
continuación, algunos ejemplos de Autómatas Celulares (tomados de Muñoz6).
1
6

"Life" o "El Juego de la Vida", de John Hourton Conway.

"Mayoría Alineada". Modelo Celular de Dedwdney2.

"Evolución". Modelo Celular de Dewdney3.

"Reacción Química
Dewdney2.

"HPP-GAS" (modelo de dinámica de fluidos), de Hardy, de Pazzis y
Pomeau
de
Belousov-Zhabotinski".
Modelo
Celular
de
El modelar un sistema del mundo real por medio de un Autómata Celular,
requiere que se conozca al menos su comportamiento global. Si conocido este
comportamiento se quiere deducir un conjunto de reglas de evolución local que lo
genere, entonces se desea desarrollar el autómata por el Problema Inverso. De
lo contrario, si se desea primero experimentar y ajustar una Regla de Evolucion
pseudo-aleatoria hasta lograr un comportamiento similar al del sistema real,
entonces se desea desarrollar el autómata por el Problema Directo. No obstante,
se puede lograr algo intermedio, a partir de comportamientos locales del sistema
real construir una regla de evolución local y ponerla a prueba para determinar si
se logra un autómata que modele el comportamiento del sistema global, a esto
se el denomina el Problema Intermedio.
Dependiendo de la naturaleza compleja de un sistema y de la posibilidad
de identificar estados locales y reglas generales de evolución, se podrían simular
comportamientos por medio de Autómatas Celulares; por ejemplo, los mundos y
sistemas enunciados a continuación son susceptibles a un modelamiento por esta
técnica: Simulación de tráfico automotor, virus, glóbulos, epidemias, bacterias,
contaminación, ecosistemas, evolución galáctica, flujo de electrones, acción &
reacción, medios granulares y gases de Fermi entre otros.
Conclusiones
Es típico de un Autómata Celular generar comportamientos complejos a
partir de reglas muy sencillas. En conclusión, un Autómata Celular está
compuesto por:

Una Teselación Homogénea.

Un conjunto finito de Estados para cada celda.
1
7

Una Vecindad para cada celda.

Una Regla de Evolución.
Son útiles en la construcción de modelos donde los elementos base o
componentes (actores) son de similar naturaleza y comportamiento; donde éstos
se rigen por reglas parecidas y donde, en el mismo sistema real, se identifican
componentes diferenciables, independientes, aislables y/o discretos.
Hemos visto algunas de las aplicaciones que han sido desarrolladas usando
técnicas de autómatas celulares, algunas de las ventajas en usar este tipo de
modelos reside en el hecho de que los sistemas complejos a niveles moleculares
pueden ser estudiados con sistemas dinámicos simples, la complejidad de los
algoritmos es barata en términos de recursos computacionales utilizados y los
resultados obtenidos pueden ser de mucha ayuda en los estudios de los
comportamientos de los materiales ante diversos experimentos con el fin de
adecuar las características propias de cada material al objetivo para el que han
sido diseñados.
Bibliografía
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