SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE (Capitulo 5)
Introducción:
Los métodos numéricos que se trataran en este capitulo permitirán obtener
aproximaciones numéricas al problema de la búsqueda de raíces de una función,
dicho problema consiste en obtener una raíz, o solución, de una ecuación de la forma
f(x) = 0; dicho problema se remonta por lo menos al año 1700 a.c. periodo al cual
pertenece una tabla cuneiforme que se encuentra actualmente en la Yale Babylonian
Collection, en dicha tabla se da un número sexagesimal equivalente a 1.414222 como
aproximación de 2 ,con una precisión de hasta 10-5.(Richard Burden.2002.Análisis
numérico.p.48. Thomson Learning.)
Objetivos:
. Describir algunas técnicas numéricas para hallar ceros de funciones (f(x)=0):
método de la bisección, método de Newton, método de Newton mejorado, método de
la secante y método del punto fijo.
. Estudiar y comparar los métodos mediante algunos ejemplos.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA (capítulo 4)
Introducción:
En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de
algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida, y por extensión,
el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver
ecuaciones diferenciales.
El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución
b
aproximada a la integral definida:  f ( x ) dx
a
Son varias las razones para llevar a cabo la integración numérica, entre las cuales se
destacan las siguientes:
- Se conocen sólo ciertos puntos del integrando f, como se obtiene al hacer un
muestreo. Algunos sistemas empotrados (Un sistema embebido o empotrado es un
sistema electrónico que realiza un tarea específica bajo la supervisión de un
microprocesador y un programa computacional.) y otras aplicaciones informáticas
pueden necesitar de la integración numérica por esta razón.
- Se conoce una fórmula para el integrando, pero es difícil o imposible encontrar su
primitiva. Un ejemplo de un tal integrando es e  x .
2
- Puede ser posible encontrar una primitiva analíticamente, pero puede ser más
sencillo calcular una aproximación numérica que hallar su primitiva. Este puede ser el
caso si la primitiva es dada como una serie infinita o un producto infinito, o si su
evaluación requiere de alguna función especial que no está disponible.
Objetivos:



Conocer los métodos estándares de diferenciación e integración numérica,
aplicarlos usando su implementación en MATLAB o cualquier otro software
de su dominio. (JAVA, PYTHON, MOZART, C++, DERIVE, OTROS).
Lograr que el estudiante desarrolle cierta capacidad para analizar y escoger,
de entre los métodos disponibles para resolver problemas, cual es el más
eficiente
Ofrecer al estudiante ejemplos de aplicación que ilustren de una manera
simple la forma como funcionan los algoritmos que se estudian en el curso.
Taller Capitulo 4 y 5:
1. Calcule los ceros de la función f ( x )  x 3  4 x 2  10 utilizando los
métodos vistos en clase, para el caso del punto fijo, utilice las
funciones:
g1 ( x ) 
10
4 x
g2 ( x )  x  x  4 x  10
3
2
Con cual función trabaja mejor y porque?
Con respecto a todos los métodos, (bisección, Newton, Secante y
Punto fijo) cual es mejor (rapidez, precisión, error) y porque (Aplicado
a este ejercicio).
2. Determine los valore de n y h que se requieren para aproximar

2
2x
e s e n3 xd x
0
al aplicar las reglas de Simpson y trapecio compuestas
con una exactitud de 10-4. Indique cual de los dos métodos es mejor y
porque y cual algoritmo de los utilizados trabajo mejor.
3. De una cierta cantidad física Q(t), se obtuvo en el laboratorio la
siguiente información:
t
Q(t)
0
3
0.5
2
1.0
2.5
a- Escoger un método para aproximar

1.5
2.8
2.0
2.9
Q ( t ) dt
. De una fórmula
2
0
general del método escogido.
b- Halle un valor aproximado para dicha integral, usando el método
definido en el ítem anterior, utilizando los 5 puntos dados en la tabla.
c- Exhiba con claridad el paso que corresponde a la situación
numérica en la fórmula.
4. Sea f ( x )  3 3 x  1  7  5 2 x .
a- Utilice cualquier software o calculadora graficadora para tratar de
encontrar todos los ceros de f.
b- Grafique f(x) para obtener una aproximación inicial de los ceros de f.
c- Con el método de Newton y de la secante encuentre los ceros de f
con una exactitud de 10-16.
d- Encuentre algebraicamente las soluciones exactas de f(x) = 0.
5. Use la regla de Simpson
1
3


2
x
2
1 x
5
dx .
para calcular una aproximación de