ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
"FLUJOS DE POTENCIA UTIL^n.lDO EL CONCEPTO DE RED ADJUNTA"
GUSTAVO ADRIÁN CORONEL VASCONEZ
TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO DE INGENIERO EN SISTEMAS ELECTR^
COS
DE POTENCIA
!\ Q
*./ _1. l~s
QUITO, MARZO DE 1987
f
s
Certifico que el presente trabajo ha
sido realizado en su totalidad
por
el señor Gustavo Coronel Vásconez.
\
I?tg>Jd£Ú£r¡§ Vass KDirectora de Tesis
A MIS
HERMANOS
PADRES Y
AGRADECIMIENTO
Deseo agradecer a la Ing. Helena Vass y al Ing. Gabriel
Arguello, por el Invalorable apoyo, continua supervisión
y asistencia durante el desarrollo de este trabajo. Agra_
decer de Igual manera a los Ingenieros que componen
el
Centro de Control de Energía (DOSNI) de INECEL por
su
comprensión y continuo Interés.
Agradecer al Dr. Mohamed A. EL - Kady de Ontario - Hydro,
Toronto Canadá y al Dr. Stephen W. Director de CarnegleMellow Unlverslty por el envío de Importante material bj_
bllográfico para la ejecución de esta Tesis.
A todas las personas que han ayudado a realizar un sueño..
GRACIAS .
ÍNDICE
Pag,
Capítulo
I
Capítulo II
: INTRODUCCIÓN
1
: DEFINICIÓN DE RED ADJUNTA
2.1.
El Teorema de Tellegen
3
2.2.
Definición de Red Adjunta..
7
2.2.1. La red adjunta en circuitos R-L-C
2.3.
9
Aplicaciones —.- ——
12
Capítulo III : EL FLUJO DE POTENCIA UTILIZANDO LA RED ADJUNTA
3.1.
Modelación.-del Flujo de Potencia.—-
r
3,1.1. Sensitividad de redes
15
•—
17
3.2.
Variables del sistema de potencia —
19
3.3.
Ecuaciones adjuntas .-—
23
3.3.1. Modelación adjunta de elementos de transmisión
26
3.3.2. Generalización de la modelación adjunta en el siste_
3.4.
ma de potencia T--
29
Simplificación de las ecuaciones"adjuntas
33
3.4.1. Barras de carga
3.^.2.
Barras de-generación
3.5.
Algoritmo de solución —
3.5.1. Análisis de la función "f" —
- 34
-•—
•
35
39
39
Pag.
3.5.2.
Algoritmo
-
44
Capitulo IV : APLICACIÓN Y. ANÁLISIS-DE RESULTADOS
Ejemplo 1
—
Ejemplo 2
*
Ejemplo 3
Capítulo
48
55
.68
V : CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
APÉNDICES
BIBLIOGRAFÍA
73
77
'
78
CAPITULO I
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo nace de" la necesidad de poder calcular
los
cambios de los valores de los elementos que componen una red
y
que afectan la respuesta del mismo, llamada sensitividad, de una
manera más eficiente y rápida.
Esta sensitividad, debe ser establecida en algunos estudios elé£
trieos, sean funciones de diseño, de planeación, de costos,
análisis, etc.
de
Por tal motivo resulta Importante el establecer
una nueva técnica que facilite el cálculo de sensitividades.
Como respuesta a estas necesidades se desarrolla el concepto
de
"RED ADJUNTA" establecido utilizando el Teorema de Tellegen. Su
obtención y definición es discutido en el Capítulo II, luego de
•\o cual se establece un ejemplo para redes R - L - C, obten
se expresiones más sencillas para el cálculo de sensitividades.
Pero la ayuda que pueda dar la "RED ADJUNTA" no se limita tan só_
lo a redes R - L - C, pues se establecen algunas de las aplicaciones que se han dado, tanto en el área de circuitos eléctricos
como en electrónica, sistemas digitales y en sistemas de
poten-
cia. [1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13].
En el capitulo III se presenta un importante aprovechamiento del
concepto de "RED ADJUNTA" en el análisis de sistemas eléctricos cp_
mo es el cálculo de flujos de potencia.
Primer úñente se
realiza
una modelación del problema del flujo, en base al nuevo • concepto
introducido, para lo cual se desarrolla una expresión de sensitivi_
dad de redes, incorporándose el Jacobiano de cada uno de los
ele-
mentos. El análisis matemático ,en todo el transcurso de este capj^
tulo es complejo, pues se realizan varias definiciones que
resul-
tan claras con una buena comprensión del problema de flujos
y el
concepto de red adjunta.
La incorporación al estudio de redes de la Modelación Adjunta
en
los sistemas de potencia, nos va a permitir el desarrollar una téc_
nica para el cálculo de sensitividades que luego será
aprovechado
en la obtención del algoritmo de solución del.flujo de potencia.
Una vez obtenido este algoritmo se presentan en el Capítulo IV
ejemplos didácticos de aplicación, en donde analizamos las
jas y desventajas del nuevo método.
3
venta-
La mecánica a seguirse en un
ejemplo de 2 barras y otro de 3 barras aclarará los criterios
da-
dos en el capítulo anterior.
Se trata también, una comparación con el método rormal
de resolj¿
ción de .flujos.por Newton - Raphson. El análisis en este
sentido
da una visión más amplia del problema tratado, introduciendo
clusiones en base a resultados obtenidos. '
con-
CAPITULO
II
DEFINICIÓN DE RED ADJUNTA
2.1. EL TEOREMA DE TELLEGEN •
El Teorema de Tellegen establece que cuando todos los voltajes de
ra-
ma VN y todas las .¿;- -ientes de rama i, satisfacen las leyes de voltajes y corrientes de Kirchhoff, respectivamente, se tiene:
b
2 v,(t) . i, (t) = O
k=l K
K
(2.1)
donde el sumatorio incluye todas las ramas del circuito y, "b" es
número de ramas,
el
[l]
Para demostrar el teorema se partirá de una red donde arbitrariamente
se ha seleccionado un nodo de referencia (1).
Entonces, ei = 0.
Aho_
ra e y e son los voltajes en el p-ésimo y q-ésimo nodo, respectivar
H
mente, con respecto al nodo de referencia. Se asume además que
el
elemento k conecta los nodos (p) y (q) como se muestra en la figura
2.1. y entonces se tiene que i pq es la corriente que fluye por la ra_
ma k desde el nodo (p) al nodo (q), así:
Vk
•
obviamente, v, . i. puede ser escrito en términos de i q p , la corrien
te desde el nodo (q) al nodo (p)> como
VkK
ep
eq
Fig. 2.1. Una rama k arbitraria, conectando los nodos p y q; la corríen_
te 1^ es designada por i p q 6 - igp.
Sumando las ecuaciones (2.2) y (2.3), se obtiene:
Vk
•
Ahora, si se aplica el sumatorio al 7 ado izquierdo de la ecuación (2.4)
para todas las ramas en el gráfico, se obtiene
2 v, . i,,
k=l K
(2.5)
El correspondiente sumatorio en el leído derecho de la ecuación ( 2 . 4 ) d^
rá
4-
2
Z
Un - Oinn
(2.6)
donde el doble sumatorio en p y q introduce todos los nodos en el gr£
fico.
Igualando (2.5) y (2.6)
b
Z
=l
n
1
Vk
K
n
" \ 4- * l <
K
p=l q=l '
luego que la ecuación (2.7) ha sido establecida, separando en
sumato-
rios la parte izquierda como se
b•
-
n
n
p=l " q=l "^
k=l
,
n
n
q=l ^ p=l
(2.8)
n
Para cada p-, Z ipq-es'e.l sumatorio de todas la; corrientes de rama
q=l
en el nodo p.
Para cada q,
E i es el sumatorio de todas.las corrientes de rama
= pq
en el dodo q.
Por las leyes de Kirchhoff cada uno de estos sumatorios es cero enton-
ces :
b
2
k=l
lo que prueba el teorema.
v, . i, = O
K
[2]
K
(2.9)
Particularizando el estudio -para redes l i n e a l e s invariantes en el tiein
po.
Por s i m p l i c i d a d se toma una fuente s i n u s o i d a l en la rama 1,
se muestra en la figura Z . 2 .
Por cada rama se representa el
coino
voltaje
de rama v^ por e l . f a s o r VK y la corriente de rama i u • p o r 1^.
V2
•v
13
V3
Fig. 2/2. Red l i n e a l i n v a r i a n t e en el tiempo; V^ e 1^ fasores que
presentan los voltajes y corrientes s i n u s o i d a l e s .
re-
Claramente V l 5 - V 2 » ...... Vfa e I l 3 I 2 , . . . . I b satisfacen las leyes
de
Kirchhoff.
Cumpliéndose entonces:
*
2
v —.
( VR(jw) ] [ Ik(jw) )
=O
(2.10)
J_
que se conoce como el .teorema de conservación de energfa. [2]
En la demostración del teorema de Tellegen se muestra fácilmente que
(2.10) es válido sin la conjugada de la corriente, es ico es
b
s
R=1
'
í MJW)
k.
K
>1 k MJW)
K
^1
=
°
(2'U)
entonces
f\ V,(jw)
]S IS.f Ik(jw)1
-O
/
X
(2.12)
2.2. DEFINICIÓN DE RED ADJUNTA
El concepto de "Red Adjunta" nace de la necesidad de poder
calcular
los cambios de los valores de los elementos que componen una red y que
afectan la respuesta del mismo, llamada sensitividad, de una
manera
más eficiente y rápida.
Al escoger dos circuitos con Igual topología, esto es si el primer cir_
culto tiene un conjunto de voltajes de rama v^Ct), v2("i;)s ..., v^(t)
y corrientes de rama ú(t)5 i2(t), ...3 l^ít) con polaridades asignadas bajo el sistema de referencia, entonces el segundo circuito tiene
un conjunto de voltajes VI(T)s v2(r), ..., ^(T) y corrientes de rama
J\.
S^
-^-
II(T), IZ(T), - . . , "¡b^) con polaridades asignadas come las anteriores existiendo una correspondencia uno a uno entre .los nodos
de
las
ramas de los dos circuitos, entonces el segundo circuito tiene una ra_
ma correspondiente k, no necesariamente el mismo tipo de elemento
valor.
A este segundo circuito se lo denomina Red Adjunta.
SI
o
esos
voltajes y corrientes de rama satisfacen las leyes de Kirchhoff emsus
respectivos circuitos, se tiene
__
b
z
k=l
b
y
(t) . í k (r)
vk
~
2T
Vi (T)
. ik(t)
k=l
= o
(2.13)
(
= o
((2.14)
xs.
4
D\fe
-
N
-r
V0(
lVk, Ik i
•t
5¡o
N
+
"s( )\
-
(o)
-
iVk,¡k}
(b)
Fig. 2.3. El circuito principal (a) y su correspondiente Red Adjunta
(b) poseen igual,conjunto de voltajes y corrientes de rama
pero no necesariamente .el mismo tipo de elemento o valor.
Al generalizar las ecuaciones (2.13) y (2.14) en términos de fasores
mostrando £ vk(jw) "1 el vector'voltajes de rama de una malla
e
í Ik(jw) ] el vector corrientes de rama se tiene respectivamente:
2Vk(jw) . Ik(jw) = O
(2.15.a)
ZVk(jw) . Ik(jw) = O
(2.15.b)
donde V
representa el vector de la red adjunta.
2.2.1. La Red ADjunta en. circuitos R - L - C
Como se estableció» se debe calcular la sensitividad del voltaje
de
salida V 0 con respecto a todos los parámetros de. la red N s compuesta
por resistenciasj capacitores e inductores., que tiene una señal de en_
trada V-j midiéndose la señal de -salida a través de una .fuente de
rriente de valor 0.
co_
.
En lo concerniente a. la matriz, adjunta N , se deberá imponer que
po-
see igual topología que N pero no necesariamente los mismos tipos de
elementos en las correspondientes ramas. El voltaje y corrientes
f^
'
f -^
rama en N se denotará por- y y $ , respectivamente. [4]
Vi
Fig. 2.4. Representación simbólica
Io=0©Vo
de la red.
Aplicando el teorema de Tellegen en N y N tenemos:
de
10
v(jw)
(lk(jw) )
Üw)
= O
(yk(¿w) ]
= O
'
.
(2.16)
(2.17)
Al sustraer estas dos expresiones y al existir variación de voltaje.y
corriente en N.
T
{(Vk(jw) ]
+
T
+ [ AVR(jw) ) j
.[ AI x (jw) } } - ( y k ( j w ) ]
T
= O
(2.18)
de lo cual se tiene
b
( AVk(jw) $k(jw) - Alk(jw) Yk(jw) ) = O
(2.19)
k=l
al expandir el sumatorio
-i Yi + A V 0 $o - A l o Yo + 2 [AV R $R - AI R
R
YR
R
AIC YC)+ 2 (AVL $L - AI L YL)
Al tenerse variaciones en R 4 L o c se obtendrán variaciones en:
AV R = R .AIR + I R . AR
(2.21)
AI C = j.wc.AVc + jwVc . AC
(2.22)
11
o
AV¡_ = jwIL. AL + jwL . AI L .
(2.23)
Sustituyendo estas expresiones en (2.15) se obtendrá
S ((R $R - YR) . AI R + I R $R . A
K
- JWVor Y r{*-
L
Aí
[(jwL $L - YL) AI|_ + ¿wIL \L ]
(2.24)
Peso se desea -una expresión que relacione el cambio en la salida, AVo
con los cambios en los parámetros R, L y C. Eliminamos AI-j si coloca_
mos YI = O-
Similarmente'.AlR se elimina si R en N es cambiada a
un
resistor así:
YR = R $R
o
R $R - YR = O
(2.25)
igualmente en ramas capacitivas e inductivas. Además el cambiar la ra.^
ma O en N a ser una fuente de corriente de valor unitaria ($0 = 1), la
expresión (2.19) queda
AV 0 = 2 (- I R $R).AR + Z (jwVc YC)AC + E (- jwl,_ $L)AL
K
de lo que se concluye que
C
L
(2.26)
12
=
jw V c Y
-yj^= - Jw I L $L
(2.28)
.
(2.29)
En definitiva se muestra que la.sensitividad del- voltaje de salida Vo
con respecto .a los parámetros de una red y en' función de la frecuencia
pueden ser obtenidas .siguiendo los siguientes pasos:
1. Analizando la red original-y.calculando corrientes y voltajes
de
rama.
2.
Formando la red adjunta, a la cual excitamos con una fuente de co_
rrlente de valor .unitario en la rama de salida correspondiente de
la red original, para calcular voltajes y corrientes.
3. Formando los productos de voltaje y corriente en N con los correspondientes en N» como.se/1nd1can desde (2.27) a (2.29).
fll
2.3. APLICACIONES
El desarrollo de esta, nueva, técnica [4l, ha. reducido el esfuerzo
para
el calculo de sensitividad,'asi encontramos dos grandes bloques donde
ha encontrado aplicación, esto, es en las áreas de la electrónica y
los sistemas eléctricos de potencia.
en
13
Como una transposición de los filtros digitales.se definen los
fil-
tros digitales. adjuntos para la derivación de su sensitividad,
.para
el efecto se definen los diferentes elementos digitales por sus
res-
pectivos componentes adjuntos.
Por otra parte en los amplificadores diferenciales el cálculo de la re_
lación de rechazo en modo común (CMRR), como también para minimizar le.
distorsión en el diseño de amplificadores de señal, puede ser encontrados usando la red adjunta y las transformadas de Fourier
[6l ., [7] .
El concepto de red adjunta y su relevancia en. el diseño automatizado de redes en el dominio del tiempo y de la frecuencia, muestra como el
vector gradiente para un tipo de función con respecto a -todos los
ele_
mentos existentes puede ser evaluado desde solo dos análisis complejos,
uno es tomando la red y otro su equivalente topológico en la red adjun
ta.
•
La red puede contener elementos lineales, invariantes en el tiempo
y
parámetros distribuidos tales como ITneas.de transmisión o .líneas
RC.
Los resultados pueden ser incorporados para optimizar algoritmos
para
obtenerse coeficientes de reflexión, funciones de ganancias yotrasfun_
ciones que se decida obtener, [sj , [9j .
El método usual empleado para definir el equivalente de.Thévenin o
ton de una red establece dos análisis: un análisis donde definimos
el
voltaje en circuito abierto o corriente en cortocircuito, el .
segundo
establece la impedancia equivalente. Pero usando el. concepto
de
red
adjunta se puede demostrar que un simple análisis es suficiente pira determinar los equivalentes de Thévenin o Norton, [icf] .
En la mayoría de redes eléctricas el problema de optimización trae con_
sigo una complejidad que requiere una evaluación, computacional
de la
función. Adicionalmeñte, la optimización eficiente se tiene en el cáj_
culo del gradiente de la función objetivo. Un importante caso se tie_
ne cuando la función es. definida en términos de voltajes y
corrientes
de puntos terminales, y la variedad de .parámetros a ser incluidos como
cantidades eléctricas, dimensiones geométricas (resistencias y longitud de líneas de transmisión) y frecuencia.
Con.'su formulación ,, la evaluación del gradiente de la función
objetivo
es requerida., o sea la evaluación de las derivadas parciales, para el
efecto podemos utilizar el concepto de red adjunta evaluándolas
cientemente,
efi-
flll
La localización de fallas en sistemas de distribución y transmisión es
esencial para el mantenimiento seguro y continuo del servicio. Se
pre_
sen'ta una alternativa para la.localización de.falles, procedimiento ba_
sado .en el concepto de. red adjunta y el teorema del número má"ximo4esimulaciones independientes de N terminales. El apro/echamiento teórico
es descrito para circuitos abiertos y cortocircuitos.
[l2]
Se presenta también una forma diferente de resolver los flujos
de po_
tencia de un sistema, para lo cual utilizaremos el concepto de Red Ad_
junta. 13 . Este método se desarrolla en el siguiente capítulo.
15
CAPITULO III
EL FLUJO DE POTENCIA UTILIZANDO LA RED ADJUNTA
El análisis de sensitividad es esencial en el estudio de sistemas
de
potencia, en este capítulo se presenta un aprovechamiento general ba_
sado en el concepto de red adjunta, llegándose a presentar una solución al flujo de potencia.
3.1. MODELACIÓN DEL FLUJO DE POTENCIA
De las ecuaciones (2.15.a) y (2.15.b).y de la definición del teorema
de Tellegen se obtiene:
Z íb* . AV b * = O
(3.1)
2 Vb* . Alb* = O
b
(3.2)
2
b
Ib . AV b = O
(3.3)
V b . AI b = O
(3.4)
que en combinación con
resulta
s\b
b
. AV b + I b *.AV b * - V b .AI b - V b *.AI b = O
(3.5)
16
que escrita en conveniente forma-es
14
S fbT . AW b = O
b
(3.6)
donde
fbi
"ib
íb*
~
fb =
á
(3.7)
pr
-v b
f bv
-v b *
fo\
^^
*"»
s
S 'dí !o \ N
—
Wbi
-
,
-
vb*
~
Wb =
/
Vb
Wbv
___
^
A
(3.8)
Ib
Ib*
-ír~" significa que se trata de un vector o matriz.
Por otro lado, en el flujo de potencia se definen variables de estado
(Xb) y de control (ub) asociadas con cada uno de los el amentos> estas
variables pueden ser designadas por
Xb
(3.9)
17
Una variación de Zb en términos de Awb involucra el utilizar la matriz
Jacobiana (Jb) de la siguiente manera:
Axb
AZb =
= Jb . AWb
(3.10)
Aub
dc.,J, la matriz jacobiana es la transpuesta de las derivadas parciales
de las variables de estado con respecto a los de control.
(3.11)
despejando de (3.10) Awb y reemplazando en (3.6) se tiene
^T
E fbl .
11
. AZb = O
(3.12)
o en forma apropiada
i
(Jb" 1 )
T
fb |
. AZb = O
(3.13)
que es el sumatorio de donde se partirá para resolver el flujo de
tencia.
3.1.1. Sensitividad de redes
Definiendo:
po_
18
fb
nb =
(3.14)
nbu
y reemplazando en (3.13) se obtiene
v
,- T
^ T
' _bx • AXb + '"ib u
(3.15)
Para una función compleja.f de todas las variables de estado Xb y
de
control Ub, su derivada con respecto a las de estado será
3f
(3.16)
que define los elementos adjunto, entonces desde (3.15)
(3.17)
Af =
asi como
df
du b
3f
(3.18)
de donde se encuentra las derivadas totales de la función "f" con
pecto a las variables de este.do.
Las ecuaciones (3.16).y (3.18) representan el cálculo de sensitividades, que resolverán el flujo de potencia. Se debe tener presente que
19
la función "f" va a ser definida para cada tipo de elemento y
luego
para cada variable a ser determinada, estas definiciones se realizarán una vez obtenida 1 -a forma general de la matriz adjunta.
3. 2.. VARIABLES DEL SISTEMA DE POTENCIA
Cada elemento que compone una red posee dos variables de estado -. (Xb)
y dos variables de control (ub) ^que se identifican ya sea en coordena_
das polares o rectangulares. A continuación se define estas
varia-
bles en base a voltajes y corrientes, con la finalidad de poder
gene^
ralizar. luego con las variables que se tienen en el teorema de Telle_
gen 'y más precisamente con el concepto de red adjunta,
Se usa la notación de "l"-para identificar cargas> "g" para identificar ramas de generación., "n" al tratar con variables del. generador de_
signado como oscilante y "t11 para otro tipo de elementos tales
como
líneas de transmisión.
Las variables, para una carga son usualmente definidas como:
IVI
* 1/2
(VI VI )
tan'1 (j(Vl* - V1)/(V1 + VI*) ]
XI
Zl =
(3.19.a)
ul
Pl
(VI.II* + Vl*.R)/2
Ql
j(Vl* II - V1.Il*)/2
20
ó por ejemplo:
^
VI
VI
VI*
vi*
A
Zl =
(3.19.b)
=
•k
SI
VI 11
SI*
vi* n
En forma similar-, las variables para un generador se definen
tan'1 [j(Vg* - V g ) / ( V g + Vg*) )
Xg
Qg
j ( V g * Ig - Vg Ig*)/2
Zg =
* 1/2
(Vg Vg )
|vg|
(Vg Ig* + Vg* Ig*)/2
(3.20.a)
Vg
Vg
ig
ig
Zg =
(3.20.b)
z
• |vg|
•*
Sg+Sg'
\
Vg Vg
"Jf
Vg ig * + Vg* ig
21
También, las variables designadas para un generador escogido como oscj_
lante son
/
Pn
(Vn In* + Vn* I n ) / 2
Qn
j ( V n * In - Vn In*)/2
Vn
*
(Vn Vn )
\n =
(3.21.a)
un
tan' 1 (j(Vn* - V n ) / ( V n + Vn*)]
In
In
^ A
Zn =
(3.21,'b)
Vn
Vn
Para elementos de transmisión se definen
Xt
R l ' I It }
(It + It )/2
I m ' {It }
j ( I t * - It)/2
Zt =
(3.22.a)
ut
Gt
(It/Vt + It /Vt)/2
Bt
j(It*/Vt* - It/Vt)/2
22
It
It
It
*
It
*
(3.22.b)
Zt It/Vt
Yt
Yt
*
It* "'. '
Cualquier otro tipo de elemento puede ser definido de la manera
como
se ha realizado para los elementos de transmisión,
Una vez definidas las variables de estado y de cortrol , se
determina
el Jacobiano para cada tipo de elemento que comporen la red» y de aquí se encuentra el inverso del Jacobiano. Analíticamente este proce_
dimiento y los resultados se muestran en el Apéndice A.
La estructura del inverso del Jacobiano se divide en submatrices cada
una de las cuales tiene una dimensión 2x2 y a su vez cada elemento de
estas submatrices son complejos de la forma (£1 + j£2) de igual
ra lo presenta la transpuesta del Jacobiano inverso, así
=1)
(3.23)
Esta partición en submatrices nos ayudará a encontrar las ecuaciones
23
adjuntas.
3.3. ECUACIONES ADJUNTAS
Reemplazando (3.23) en (3.14) se tiene
fbi
(3.24)
fbv
entonces ,
h
=
K
(3.25)
Mu 'fbi + I1i2 fbv
-que es la derivada parcial.de 'jna. función "f" con respecto a los par£_
metros de estado, y
. fbi + M 22
. fbv
(3.26)
que nos dará las derivadas.parciales de una función objetivo "f" con
respecto a los parámetros de control3 es decir en el caso del flujo de potencia obtendremos las derivadas parciales de las variables
de
estado con respecto a las de control de especial interés en el análisis de sensitividad
(14, 15 ).
La forma de las matrices MU , Mi 2 y HDY Para cac*a "^'P0 ^e "-elemento
*J
*V
A,
•*•
de la red se encuentran especificadas en una forma simplificada en el
24
Apéndice B, tomando en cuenta las dos representaciones de las-variables de control y estado que se definió en el subcapítulo -'Variables
del Sistema" (Zb,.Zb);
Además, por analogía en Wb de (3.8) se define sus respectivos compo_
nentes adjuntos como
Vb
Wbv
Vb
Wb =
(3.27)
Wbi
Ib
Ib
con lo que se tiene
fbi = Wbi
(3.28)
fbv = Wbv
(3.29)
que reemplazando en (3.25) y (3.26) da
Ib
Vb
4. M
(3.30.a)
+ M 1 2b
"** *
Ib
Vb*
25
y
v
Vb
(3.30.5)
4- M
+
M 2 2b
•^
Ib
•"- .
Vb
•*:
se debe tener presente que para cada elemento de la red existen dos va_
Hables de estado» por lo cual
r\^x es un vector de dos elementos así
8f
9A
8f
(3.31)
9Xb
3f
9B
donde A y B son variables de estado de cada elemento.
Trabajando en (3.30) llegaremos a obtener dos ecuaciones de la forma:
;12
K
K
**""*
*^*
Iba = Wb 2 + ijj2i
K
\
(3.32)
.Vb
(3.33)
el desarrollo de este procedimiento se muestra en.el Apéndice C.
Se observa que tenemos como incógnitas Ibi , Ib2, V;D;??y.Vb 2s por
lo
'
cual se debe utilizar dos ecuaciones adicionales |pa]ra; poden? I ;.d.e'fi:nn"ir
26
y Vb2.
3.3.1. Modelación adjunta de elementos de transmisión
Debido a la complejidad del análisis matemático se .determinará una mo_
delación de elementos de transmisión para'.luego .generalizar para
to-
dos los componentes de una red.
Se conoce que para elementos de transmisión se tiene
i + j Tt2) = (Vti + j VtzKYti + j Yt¿)
(3.34)
de donde
j Y'ti - Vt
(3.35)
It2 = Vbi 'Yt2 + Vt
(3.36)
escribiendo en forma matricial (3.35).y (3.36) y .generalizando n elementos se tiene
V-fI Li
—
Vt
T 1-2
ÍT,
•=
V-fI T^2
V-fI t-i
(3.37)
VT
~l 2
'v
• VT = ÍT
X
(3.38)
27
donde Yti y Yt2 con matrices diagonales constituidas por sus correspon_
dientes Yti y Yt2, además Vj1, Vy2 , Ij1 e Iy2 son vectores de componen_
tes Vti ^ Vt2 9 Iti .e Itz respectivamente.
Además podemos escribir matricial mente las ecuaciones.(3.32) y (3.33),
generalizando para, n elementos se tiene:
>
x /
X
$11
$12
\
ÍMi
$11
$12
=
$21
$22
ÍM 2
%
?Ml
+
^21
$22
Si
(3.39)
tyvU
donde:
(3.40)
>n
(3.41)
(3.42)
22 - diag {$22 }
(3.43)
(3.44)
- diag' {i(ji2
(3.45)
- diag' {if¡21 }
(3.46)
28
A.'.
= diag
(3.47)
son matrices nxns puede referirse a elementos de carga, generación o
generación oscilante.
Mi
W Mi y W M 2 son vectores compuestos .por Vb : ,. Vb 2 s *¡Mi
, Ib 2s Wbi y Wb 2 -respectivamente.
(3.48)
y
(3.49)
El objetivo es poder reemplazar (3.37) en (3.39) para lo cual deberemos necesariamente definir la matriz de incidencia reducida, ya
que
en (3.39) la formulación es general para todo tipo de elemento rexistente en la red. Este análisis se presenta en el Apéndice É,
obte-
niéndose (3.37) en la forma
- Yt
.MI
(3.50)
Yt
Ahora (3.50) en (3.39) y agrupando términos en VM J y VM £ se tendrá el
sistema adjunto para elementos de transmisión como:
29
Yt2 + $22
Yt
Yti
+ $21
Yt 2 +
-$ 2 i
Yt 2 + $22 Y ti
+
(3.51)
Aquí se puede apreciar la forana.muy p a r t i c u l a r - d e lo que se define cp_
mo matriz adjunta.
La solución de (3,51) implica encontrar los volta_
jes adjuntos, para con e l l o s poder d e f i n i r las derivadas parciales de
una función con respecto a las variables de control:, llamada sensitividad.
--K.
Los vectores constituido
^
por W Ml y W M2 son las derivadas parciales de
la función objetivo "f 11 con respecto a las variables de control,
como
se .aprecia e'i el Apéndice C.
3.3.2. G e n e r a l i z a c i o n . d e la modelación adjunta en el sistema de
poten
cia
Para el efecto se parte de la matriz admitancia de dimensión nxn»
ha1
sido dividida en bloques asociados con los grupos de carga, generación
y barra oscilante, de igual manera se ha repartido los voltajes y
co_
rri-entes, por lo tanto desde (3.50) se tiene:
Y LL
YLQ
Y LN
(3.52)
,nn
30
Ahora eliminamos la barra oscilante^ en donde conocemos su voltaje en
parte real e imaginarla para tener
/
N
YLL
!LG
IL
li
= _
(3.53)
ÍG
sustituyendo (3.53) en (3.39) y.agrupando, en-conveniente forma» se ob_
tiene
22
LL
LG
LG
GG
V
. «e
(3,54)
pero algunos elementos de la matriz adjunta_son complejos, así:
(3.55)
y
^
Vr
LG
(3.56)
GL
(3.57)
BGG
(3.58)
L2
(3.59)
(3.60)
31
^ _ ^
^
(3.61)
WL ~ LI ^ 12
(3.6Z)
entonces se reemplaza (3.55 - 5.60) en (3.54)
j Bu)
Bu.) +cf>r2.(GGL+j B GL )
.-^
—>
>2 2 ( GGG+j B GG )
3GL'
DLL'
i*s
j B LG )
/^J
(3.63)
Gi
Se observa claramente que en la matriz adjunta existen cantidades
plejas, por cuya razón es conveniente el.separar en parte real e imagj
naria el producto matricial. (3.63) para facilitar el cálculo de los ^- .
s*~
-^
s^~
voltajes adjunto V^-, V L £ , V Gi y VG^ que constituyen
VLI- VL 2 -v G l y v¡2. (15..16J
a .-los
vectores
V Gi
^-1
v.
/s
WG,.
WLZ
/**
WL
A.
/^
•
VG I
L1
j^.
W Gi
/-\
j
G
Hl
'^V-J Ct
GPP +
rv
(j)12
G
G
G
, G
>21
,
wiL [_
| i
GL
**j
22
22
2
I i
-v-LL
+
£GG *4-
R
p
U
1
(3.64)
ro
CO
33
Una vez obtenida esta estructura más simple de la matriz adjunta, debj_
do a.que hemos evitado las cantidades complejas» observamos que se
de_
ben determinar los coeficientes ¿ y ^ para cada tipo de componente del
sistema de potencia. Cada <j> ó ij; es función de cada elemento que compo_
nen las submatrlces MU
y M 1 2 del Jacoblano de carga generación
o
transmisión especificados en el Apéndice B; se debe recordar que <j>. ^
se definieron desde (3.3Z) y su forma se tiene en el Apéndice C.
Respecto a la porosidad de la matriz adjunta esta es similar a la del
Jacoblano y a que todos los elementos de Interconexión entre barras de
carga de generación y.oscilante están especificados en la matriz adjun_
ta^ Inclusive el número de voltajes adjuntos a determinarse son 2(n-l)
ya que para cada barra del sistema se debe encontrarla parte real
(Vbi) e imaginarla (Vb2)5 es decir dos veces las n barras del sistema,
menos dos variables que son. especificados desde la barra oscilante nos
dará las 2n-2 voltajes adjuntos a determinarse.
Una apropiada reestructuración de (3.64) permite el encontrar
funcio-
nes más simples de $ o ty para cada tipo de barra de la red y ademas el
poder unificar las dos definiciones que sobre las variables de estado
y de control se hicieron en el subcapftulo 3,2. Este procedimiento
-
nos da la facilidad de aproximar algunas variables, como se muestra
a
continuación.
3.4. SIMPLIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES ADJUNTA
En (3.64) encontramos que se debe determinar <j> y ty para barras de car_
ga y de generación razón por la cual lo haremos en forma separada
y
34
utilizando las definiciones Zb y Zb.
La ecuación (3.30.a) puede ser escrita de la forma:
Ib
Vb
b
>lbx
~
^*
Ib
(3.65)
.- *
Vb
de la cual partiremos para la simplificación. I 153 16 1
3.4.1. Barras de carga
^ x obtenidas en e\e B, en
Reemplazando Mi- 1 3 M^ 1 y y¡h
s^jíi
•sJ-Jw
(3.65)
^ "
y utilizando la definición de Zb dado en (3.19.a)
VI
Vil*
VI
. VI
j VI
-j VI*
Sl
Sl
VI* VL
VI V I 1
TI
i I
- Sl*
^ *
11
J
^
-
VT*
Ji
VI
V 1
9 VI
VI*
S1
8f
VI
3f
961
f
(3.66)
de donde se obtiene que
n =
3 f
VI
2V1
9
+ Sl
9 VI
(3.67)
VI
VI
IV!
2V1
VI
+ Sl
VI
VI
(3.68)
35
colocando (3.67) y (3.68) en forma matricial
s,
1
íi
0
0
VI
S1
vi2'
VI
VI
iJ
f
+Ji
+
f
1I
1'
2
., *
SI
n*
1
f
1
=
0
L( I(VI
VI
1
VI*
VL*
*lÍIV1
V1
1
J
VI
f
^
VI
1
I
1 }
(3.69)
Ahora u t i l i z a n d o l a d e f i n i c i ó n de tj),Tj;dadas en el Apéndice C obtenemos
los valores de- $, ty y W[_ que se dan en la t a b l a 3.1.
1
1
•->•
De i g u a l m a n e r a 3 reemplazando M l l -, M 1 2 y nbx
en
( 3 . 6 5 ) . u t i l i z a n d o la
d e f i n i c i ó n de Zb dada en ( 3 . 1 9 . b ) .
1
Ti
0
*
i
%
VI
vg
9 VI
(3.70)
0
s
1
f
^
n*
0
f
•^
0
8f
vi^
\f
^
8 VI
/
obtendremos $ , fy y Wj_ dados en la t a b l a 3 . 2 .
3 . 4 . 2 . Barras de generación
Igual procedimiento que para las barras 'de carga podemos r e a l i z a r para
barras de generación. U t i l i z a n d o las variables Zb de ( 3 . 2 0 . a ) y la de_
f i n i c i ó n de MU , M Í 2 y nbx ^ Apéndice B s se tiene
36
/
j Vg
-j
*
"íg
Vg
Vg*
8f
vg
«8g
Vg
(3.71)
0
~*
ig
0
>•
j
Vg
-^
/
J
Vg
9f
^ *
Vg
3Qg
j
que en apropiada forma se obtiene los valores mostrados
en- la
Tabla
3.3.
Proceso equivalente se hace con las variables Zb de (3.21.a) con
^.
que se tiene todo el conjunto de <j>^ fy y W para las barras de
ción.
lo
genera-
Esto se muestra en la Tabla 3 . 4 .
TABLA 3.1.
L ,L
ELEMENTOS DE < f > , i|j y W L UTILIZANDO LAS VARIABLES Zb
n
= Re
VI
12 = 0
i(;12
= Img {VI
= O
Re f-^2V1
VI
= Img } -^- f
= Img
VI2
V
2
2V1
k
3f
_
-i
_.
VI
861
9 VI
8 61
VI
37
TABLA 3 . 2 .
ELEMENTOS DE <J>L , / y W L UTILIZANDO. LAS VARIABLES Zb
>n1 -- 11
r 1 - n
i^i
- Re \I[
1
VI 2
11*12= Img S - — }
1
VI 2 }
= Img í- - - j
1
=
1
^92
=
Wh = Re
W1 2 = Img
VI 2 'S
^ SV1
Re (TTT^
TABLA
3.3.
ELEMENTOS DE <¡>G, ^ Y WG UTILIZANDO LAS VARIABLES Zb
*" = 2 I m g { V g }
Wgi = - -M;
$ 129 '= 2 Re jVg }
Wg 2 =
i|;2ig= 2 Img
»H9 =
O
4> 2 2 9 = 2 Re |Vg
|Vg|
9f
3Q9
= 2 Re {Vg}
;9
= O
21° = O
129
.n 9 = 2 Img ÍVg}
ty2í9
= Img {- j -^-}
i|j229 = 2 Re { Vg }
= 2 Img { Vg }
^ 129 = Re ' {j ^Vg^}
fci9
{ Vg
vg
^
f
Wg 2 = Img { Vg —j-
ELEMENTOS DE cj> G , <pG y W G UTILIZANDO LAS VARIABLES Ib
TABLA 3.4.
co
oo
39
Luego de tener ya los valores de <j> 3 $ y W para cada barra se s i m p l i fica la ecuación (3,64) debido a que $' se presenta en i g u a l
forma
^
tanto en la definición en base a la variabla Zb como en Zb, quedan;-.
do entonces como se muestra en la ecuación (3.72).
Se tiene enconces una matriz adjunta más simple de evaluar y
mantie_
.ne las mismas características que la de la ecuación (3.64) con
la
ventaja de que inclusive se tienen submatrices de valor cero.
^
//-.
s~
Una vez calculados los voltajes adjuntos V^-V^ V Gl y VQ compue_s_
tos por sus respectivos VI l y VI 2 , Vg! y Vg 2 se evalúa el vector
nbu
del cual obtendremos las sensitividades, reemplazando en la ecuación
(3.30.b).
Las submatrices M^2i , M*->
22 y ribu se muestran en el Apéndice D.fl4,15l
^
^
/
3.5" ALGORITMO DE SOLUCIÓN DEL FLUJO DE POTENCIA
3.5.1. Análisis de la función "f"
En el estudio anterior no se ha definido la función "f" de
la cual
se obtendrá las sensitividades. En e' flujo de potencia los valores
que nos interesa conocer son los voltajes en parte real e imaginaria
en las barras de carga,, el ángulo del voltaje y la potencia reactiva
en las barras de generación.
Por consiguiente se utilizara" la
defj_
nición de cada variable para cada tipo de barra en función de volta^
jes y corrientes con lo que se define la función "f", asi:
111
p
LL
\
•%
VL:
+
f" ?GL
r
S
N
12
<#'
LL
n
- B LG
(3.7Z)
>12
O
41
-•Para barra de carga
e = -- (VI + V I*)
(3.73)
f = -Í- (VI* - VI)
(3.74)
- Para barra de generación
ó = tan-1 fj(Vg* - Vg)/(Vg + Vg*) 1
^f
(S.75)
Q = j(Vg* Ig - Vg Ig*)
(3.76)
•
Estas definiciones fueron realizadas en (3.20.a).
En al Apéndice C y en las ecuaciones (C.7) y (c.8), se tie'ie que
función "ffí es derivada con respecto a una variable de estado
diendo luego la parte real e imaginaria, tal como se tiene en
la
divilas
ecuaciones (3.32) y (3.33).
Por ejemplo, para obtener la variación de."e" con respecto a VI
tiene
3V1
Re
8 VI (VI + Vl*)/2 =
se
42
o sea
=o
W Ll =
De esta manera trabajando en e, f, ó y Q y como variable de estado a
VI y Vg se obtienen las derivadas parciales' que se muestran
en la
'"•
x".
tabla 3.5. |13|, y que constituyen los elementos de cada W L l > W L2 5
TABLA 3.5.
ariables dependientes
Elementos de W
Elementos de W
L = m
6 = m
L f m
6 i- m
Qg
el
Vmi
1/2
0
ü
-1/2
donde m = L ó G
s
Vg2/2
0
5g_.
0
-V9l/2
barras de carga o generación.
0
43
Por ejemplo^ si deseamos obtener la parte real del voltaje en una ba_
rra de carga (m = L), definiremos que ésta es la función "f" de
la
cual obtendremos las derivadas parciales con respecto a VI y Vg s
te_
niéndose
1/2
Es decir este vector W variará dependiendo de que función "f" se uti_
lice.
Por consiguiente, al obtener e y f (voltaje en parte real
e
imaginaria de una barra), se debe definir 1W 2 veces. Así si desea_
mos obtener de (n - 1) barras el voltaje en parte real e imaginaria,
"W" será definido 2(n-l) veces.
De lo anterior se desprende que para cada "W" se resuelven las
ecua_
ciones adjuntas obteniéndose cada vez un conjunto de Vli,.Vl 2 , Vgi y
Vg 2 , las qu^ reemplazadas en ribu de las tablas D2 del Apéndice nos darán las variaciones con respecto a las variables de control (Pl
Ql en barras de carga),, así
' ^ *
- VI /VI
- VI/VI
y
44
Al observar (3.18) y despejando*Hbu Y operando matemáticamente se ob_
~j
tiene que
vl * S
(3.77)
de donde se puede encontrar la variación Af del voltaje en parte real
e Imaginarla que _ nuestro objetivo.
3.5.2. Algoritmo
Paso 1.
Se calcula P y Q para cada barra asumiendo un valor de
voj[
taje en la primera iteracción.
Cj 1
?
G pq
Qpk = ^ (fpk (eqk G pq + fqk B pq ) - epk (fqk G pq
Paso 2. Se evalúa la variación de potencia activa y reactiva en cada
barra.
=
.(.dado) - H
Paso 3. Se evalúa .los elementos de la matriz adjunta de (3.72) utilj_
zando los valores dados en las tablas 3.1. ó 3.2.
Paso 4.
Resolver las ecuaciones lineales de (3.72), para cada vector
Paso 5. De la solución de (3.72) evaluar el vector riu, que desde
(3.77) tendrá la forma dada por la Tabla 3.6.
Paso 6. Readaptamos las variables dependientes usando
i controla que se"opere en todas las barras.
Paso 7. Si existe convergencia se detiene el proceso, caso contrario
se vuelve al Paso 1.
TABLA 3.6.
SENSITIVIDAD CON RESPECTO A VARIANLES DEPENDIENTES
Variables independientes
Elementos de r\
Pl
Re { - VI/VI
Ql
Img { - VI/VI
Re { - Vg/Vg
|vg|
}
}
}
- Re { I g Vg + .Vg* Ig* } /
Vg
Se determina que los pasos 4, 5 y 6 deberán hacerse 2(n-l) veces
que las (n-1) barras tienen 2 incógnitas, debiéndose readaptar
ya
para
cada "i"-una variable del voltaje de barra.
El valor 2 que multiplica a (3.77) pasará a multiplicarse a los
com
s~*
ponentes de W de la Tabla 3.5. con.lo que se tiene una reducción
de
esfuerzo en la resolución del flujo de potencia.
'TABLA 3.7.
VECTOR W
DE LAS ECUACIONES ADJUNTAS
f^
Elementos de W
Variables dependientes
L.= m
L^m
G = m
•
G ?m
Qg
el
Vmi
1 .
0
Vg 2
0
g
f"íi
5n
Vm 2
- 1
0
- v gi
o
Con la finalidad de facilitar la construcción de la matriz adjunta se
sugiere la siguiente notación.
47
n = número de barras.
rij_ = numero de barras de carga.
n0 = numero de barras de generación.
rig = numero de ramas de la red.
1
= 1s 2 , . . . ^ n[_ denota una barra de carga .
9
= n L+lí
• • • * n t + nG den°ta una barra de generación.
t = n+1 , ...
s
n muestra un elemento de transmisión.
48
CAPITULO IV
APLICACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS
EJEMPLO 1.
Primeramente se presenta un ejemplo He dos barras en donde una.es oscj_
lante y una de carga, se implementa el algoritmo obteniéndose los
tajes en la barra de carga y las sensitividades en el punto de
ción.
Con una convergencia de 0.01. (15).
(2)
Y5=6-j20
•^ SU 5 + J 3
V2=10
"77777?
1. Cálculo de P y Q utilizando
k
Pp
P
n
=
2
q=l
(eqk G
+ fqk B pq )
n
fq
q=l
Con lo que
B pq )
f k (fqk G pq
pq
))
vo]_
solu-
49
P!Ü= O
2. C a l c u l o de la v a r i a c i ó n de P y Q
k
k
p ~ P p(espec1f1cada) ™ "p
k
p
k
=
Q p ( e s p e c i f i c a d a ) " Qp
entonces
3. Evaluación de los elementos de la matriz adjunta.
# de ecuaciones = 2(n-l) = 2(2-1) = 2
&.- j 18
- 6 + j 20
- 6 + j 20
6 - j 17
YR -
Gn +
Mad =
u
50
SI
20
Mad =
- 16
el vector W será evaluado desde la Tabla 3.6
(A) para cálculo de e-]
(B) para cálculo de
con lo que se tiene
6
vu
20
W1-!
= - 16
X
6
VI 2
/
\
(4.1)
51
4. y 5. Resolución de (4.1) por el método L,U,
- Para el caso (A)
V I 2 = - 0.0449
= - 0.01685
Desde la tabla 3 . 6 . se debe evaluar
VI
VI.
= 0.01685 + j 0.0449
- Para el caso (B)
V I 9 = 0.01685
VI ! = - 0.05618
Por consiguiente desde la tabla 3 . 6 .
VI
VI
= 0.05618 - j 0.01685
6. Evaluar las variaciones 'de e y f,
AQ:
Aé,
VI
VI
VI
VI
Re
APi
52
AíV
- 0.01685
0.05618
Af
0.0449
- 1
0.01685
- 5
0.20765
- 0.14043
^ fi° + A f i = - 0.20765
6^ = e/ + Aei = - 0.-20.77
Como Af y Ae con variaciones que no cumplen la convergencia volvemos
al paso 2.
Como el proceso es repetitivo se presenta en la Tabla 4.1. los resul_
tados obtenidos.
Se puede determinar que al. resolver el flujo de potencia y en su
ú]_
tima iteración se obtienen las sensitividades del voltaje en
parte
real (e) con respecto a las potencias activas y reactivas; de
igual
forma las sensitividades del voltaje, en parte imaginario (f)
pecto a las potencias activas y reactivas.
con res
El objetivo del concepto
de "RED ADJUNTA" ha sido establecido al calcular, sensitividades.
53
TABLA 4.1.
FLUJO DE POTENCIA PARA EL EJEMPLO 1
Cantidad
Iteración
APi
- 5.0
0.3805
- 0.0598
- 0.0032
AQ :
- 1.0
- 1.1311
- 0.1794
- 0.0096
-0.0783
0.0876
0.01686
3ei/9Qi
• -0.05396
0.05618
0,0701
0.1027
0.1152
- 0.14043
0.0998
- 0.0231
' - 0.0014
3fi/3P:
- 0.0449
0.04381
0.04305
0.0428
Bfi/3Qi
- 0.01685
- 0.01727
- 0.01826
- 0.0186
Afi
- 0.20765
0.8596
fi
- 0.20765
0.0028 .
0.0007
0.000
0.7598
0.7367
0.7353
- 0.2042
- 0.2041
.- 0.2049
-
54
Al correr el mismo ejemplo por el Método de Newton - Raphson y al com_
pararlo con el Método del Uso de Red Adjunta se determinan las siguien_
tes características:
1. El numero de iteraciones en ambos métodos es igual.
2. Las variaciones de voltaje en parte real e imaginr.vv¿ son similares en cada iteración.
3. El orden de la matriz adjunta es igual al orden del Jacobiano, es
decir 2(n - 1) x 2(n - 1). (14..17]
4.
La forma de f¡u es similar a la transpuesta del inverso del
biano.
barras.
Jaco-
Este particular se enclarecerá al tratar el ejemplo de 3
13, 18|
5. Por cada iteración, en el Método de Newton - Raphson se realiza una sola transformación L.U y se encontrará todas las variaciones
de voltaje. Por el método del uso de Red Adjunta se
realizarán
2(n - 1) transformaciones L.U y luego del cálculo de n
f u determina^
remos las variaciones de voltaje. [ 13, 15, 16, 17 J
6.
La formación de la Matriz Adjunta es más sencilla que la
forma-
ción del Jacobiano, pues inclusive se tienen elementos que se ma_n_
tendrán constantes en todas las .iteraciones.. =[l3 9 14, 15, 16,17]
55
EJEMPLO 2.
Las características 4, 5 y 6 anotadas anteriormente son determinadas
de mejor forma el tratar un ejemplo de 3 barras. [19) . La convergencia es de 0.001..
(2)
DATOS.-
BARRA
p-q
1 - 2
2-3
(p.u.)
BARRA
P
Yp/2
j 0.12
j 0.123
j 0.10
j 0.123
j 0.10
-j 0.686
56
BARRA
VOLTAJE
SUPUESTO
1
1.0 + j 0.0
2
1.0 + j 0.0
0.6
1.0
J*
1.05 + j 0.0
2.0
1.0
GE?IERACION
MW
MVAR
CARGA
MW
MVAR
i:2
0.6
* Barra o s c i l a n t e .
Primera i t e r a c i ó n . -
1. C a l c u l a r P^ ¡V, Ch 0 y Q 2
P!°
= O
Q:° = - 0.623
= O
Q2° = - 0.623
2. V a r i a c i ó n de potencia activa y reactiva
= - 1.2
AP 2 °= 0.6
= 0.023,
AQ2° = 1.623
3. Evaluación de los elementos de la matriz adjunta
57
- 18.21
i.333
= j
YR
8.333
10
- 18.21
10
10
- 20.686
10
Orden t¿ la matriz adjunta = 2(3-1) x 2(3-1) = 4 x 4 .
12
G21
Vli
W9l
2i
12
G2
0.623
(VI 1 !)
Sl
Wl !
-5- = j 0.623
VI
Wl
V9i
Wg :
58
18.833
- 8.333
;.333
18.833
VI i
(4.2)
-17.587
8.333
O
;.333
-17.587
O
W
el vector W es v a r i a b l e y presenta los s i g u i e n t e s valores:
/ariable
fi
Wl
Wg :
Wl
0
O
O
1
0
o :
-i
o .
o
0
4. y 5 t Resolución de ( 4 . 2 ) y obtención de las s e n s i t i v i d a d e s de e l s
£ 2 » fi Y ^2 con respecto a la potencia activa y reactiva.
1. C á l c u l o de voltajes adjuntos resolviendo ( 4 . 2 ) con el primer
s*.
vector W.
59
V l i = 0.0
VI 2 = - 0.066C22
V g i = 0.0
.
V g 2 = - 0..029213
cálculo de sensitividades para la parte real del voltaje en la
barra 1 ( e i ) .
~= j 0.066022
VI
_ -lS_= j 0,0292131
Vg
^- = - Re { - -^- } = O. O
3Pi
Vg
=
_ Re
3P2
8e-
{.
Vg
=
img í - -^r } = 0.066022
3Qi
VI
-^- = Img í - -% >
9Q2
Vg
=
0.0292132
2. Cálculo de voltajes adjuntos resolviendo ( 4 . 2 ) con el segundo ve_c_
tor W.
V l i = 0.0
V I 2 = - 0.029213
Vgi = 0.0
Vg 2 = - 0.066022
Cálculo de sensitividades para la parte real del voltaje en la ba
60
rra 2. (e 2 )
-^V= j 0.029213
,
- -^= j 0.066022
VI
Vg.
vi
Sfe 2 _
= - Re
3P2
= Img
3Qi
*
- ^_ ]
,
' '
- 0.0
Vg
j - ~~ ]
' VI
11~\
= 0.029213
v
= Img
í - ~^r }
Vg
=. 0.066022
3. C á l c u l o de voltajes adjuntos resolviendo ( 4 . 2 ) con el tercer
vec
tor de W.
V l : = - 0.07332
V1 2 = 0.0
Vgi - - 0.03474
Vg 2 = 0.0
Cálculo de sensitividades para la parte imaginaria del voltaje e'i
la barra 1. ( f i )
61
VI
i
= 0.07332
= 0.03474
vg
VI
= 0.07332
-VI
3Pi
= Re
= 0.03474
Vg
_
VI
Tmn
img
9Q
n n
- u. u
VI
L= _
3Q 2
{ . - - [ = 0.0
ímg
Vg
'
4. Cálculo de voltajes adjuntos resolviendo ( 4 . 2 ) con el cuarto
tor
vec-
de W .
= - 0.03474
= 0.0
! = - 0.07332
Vg 2 = 0.0
Cálculo de sensitividades para la parte imaginaria del voltaje , en
la barra 2 ( f z ) .
VI = + 0.03474
5
Ve
Vg
VI
VI
= Re í- -^V] = 0.03474
3P
i
i,-,
VI
)
= + 0.0733^
62
= Re
- -
= 0.07332
Vg
= 0.0
= - Img
3Qi
= - Img \- -^ \3
*
Vg
con lo que
Aei
-Reí- ^}
VI
Afi
-^-}
Vg
-Reí-^V)
VI
V
-Re { - -^}
Vg
Re í - -%} . Reí VI
Re í- -^}
VI
Vg
..Reí - -%}
Vg
VI
Img í- -^-}
VI
Img {VI
Img {-
-Imgí- •—*}
VI
-Imgí-
-Imgí- —
VI
T /
-Img{
reemplazando sus respectivos valores se obtiene
= 0.04894
Img í- -^
Vg
APi
AP:
Vg
A:Q¡
Vg
AQ;
Vg
63
Aé 2 = 0.107825
Afi = - 0.06714
Af 2 = - 0.00234
que sirven para obtener los valores de voltaje^
e\ 1.04894
e*2 = 1.107825
fi = - 0.06714
f\ 0.00234
De aquí se vuelve el paso 1.repitiéndose el proceso.
muestra los resultados obtenidos.
La Tabla 4 . 2 .
64
TABLA 4.2.
FLUJO DE POTENCIA PARA EL EJEMPLO 2
Iteración
.ntidad
1
APi
2
- 1.2
0 1438
'
- 0.0655
3
- 0.00077
AP2 '
0.6
AQi
0.023
- 0.0196
- 0.001
AQ2
1.623
- 0.035452
- 0.000066
A'e'i
0.04894
- 0.001164
0.0000717
Afi
- 0.06714
0.008026
0.0000196
4e,
0.107825
Af2
0.00234
0.0004248 '
0.000028
«'
1.04894
1.047776
1.047847
e2
1.107825
1.1055409
1.105576
- 0.0027841
0.0007
0.0000353
'.
- 0.06714
- 0.059114
- 0.059094
fz
0.00234
0.002764
0.002792
Se tiene que en la Iteración 3 ya se encuentran los valores
convergencia requerida.
con la
65
TABLA 4.3.
SENSITIVIDAD EN EL PUNTO DE CONVERGENCIA PARA EL EJEMPLO 2
9e;
9e
o P1
3Pi
1
M fKro-7o
U . UOo /.u
9Qi
0..030587
9Qi
n nnnd^o
9P 2
3 PI
9e 2
0.003215
9e 2
- 0.002868
8P2
n norn f f
0.065856
n . n^Qfi^i
u
uuyu4-TQ
jy
0.0301375
9Q2
1
3Pi
.
j> ^:
n . nnmn/i
U
UUU JU4-
9Qi
3f2
- 0.0007952
3Qi
n n
"f
oní:
U . Uí-uOÜ
9 f2
0.06003
9P2
3"'1
n nnnvppc;
9Q
- 0,0002102
9Q2
Todas las conclusiones obtenidas para el ejemplo 1 son. válidas para el
ejemplo 2, debiendo agregar:
66
1. Es muy necesario la obtención previa de la matriz admitancia de
barra (Yg)s pues en base a esta se calculan los elementos
de la
matriz adjunta.
2.
El cálculo de los elementos que varfan en la.matriz adjunta
son
más sencillos, además que algunos permanecen constantes en todas
las iteraciones.
3. Existe igual porosidad entre el Jacobiano del método de
Raphson y la matriz adjunta.
Newton-
Pues se tienen todos los elementos
que sirven de interconexión y si no existen en su casillero encontraremos un cero.
s*~
4. Se observa de manera más general la forma de riu> facilitándose -*^r
el cálculo de las variaciones de voltaje.
En definitiva se tienen que presentar las siguientes características
muy importantes- sobre el método de Newton - Raphson:
"El cálculo de los elementos de la matriz adjunta es más sencilla
que la del Jacobiano 11 (13).
- Se obtienen las sensitividades de los voltajes (parte real e imaginaria) con respecto a las potencias activas y reactivas.
67
- Se requieren 2(n-l) transformaciones L. U. por- cada iteración,
en
cambio el de Newton - Raphson emplea una 'transformación L. U. por iteración, por consiguiente el tiempo de ejecución es mayor %
En la Tabla 4.3. se presentan la:> sensitividades de los voltajes (pa_r
te real (e) e imaginaria (f) ) ccn respecto a las potencias
activas
y reactivas. Las cantidades que se muestran tienen un.signo y un va_
lor, estableciéndose un .análisis se encuentra que:
- Si son cantidades positivas se tiene: A un incremento de
potencia
(activa o reactiva) se tendrá un incremento de voltaje (e o f) o, a
un decremento de potencia (activa o reactiva) se experimentará
un
decremento de voltaje (e o f).
Por ejemplo ^eí/^Pl es.positivo entonces, a un aumento de potencia
activa en la barra.1 corresponderá, un aumento de voltaje
( parte
real) en la barra 1, o* a una disminución de potencia activa
en la
barra 1 se tendrá una disminución de voltaje (parte real) en la ba_
rra 1.
- Si son cantidades negati.vas.se tiene: A un incremento
de potencia
(activa o reactiva) se tendrá,un decremento de voltaje (e o f) o, a
un decremento de potencia (activa o reactiva) se experimentará
un
incremento de voltaje (e o f).
Por ejemplo ^f2^QlJ es negativo entonces a un aumento de
potencia
reactiva en la barra 1 corresponderá una disminución de voltaje
(parte imaginaria) en la.barra. 2, o 3 a una disminución de potencia reactiva en la barra 1 existirá .un aumento de voltaje (porte imaginaria) en la barra 2.
Estas sensitividades son de mucho interés para' analizar el
comporta-
miento de un sistema ante cambios de potencias 3 tanto activas
como
reactivas y la forma como afectan en Ta variación de voltajes en cada
barra.
- Respecto "al valor '(8e1/ap1 = 0.008), indica la velocidad, con la que
se produce el cambio de voltaje (e o f) respecto a la .potencia
ti va o reactiva).
En el caso del ejemplo se tiene'que el
(a_c_
voltaje
(parte real) en la barra 1 vari ara3 con respecto a.la potencia acti_
va en la barra 1, a una velocidad de 0.008.
Igualmente este análisis en redes ofrecen al personal de despacho
de
carga, en una empresa eléctrica, el saber el comportamiento del siste_
ma en donde se opera, es entonces una información importante en el ma_
nejo de flujos de potencia.
En el problema de 3 barras se tiene que existirá una mayor velocidad
en el cambio de voltaje (parte imaginaria) en la barra 1 respecto
una variación potencia activa en la misma barra, pues
a
9fi/Spi
0.069044 es el mayor de todos los valores analizados.
EJEMPLO 3.A continuación se analiza un problema de 5 barras (l7], el cual ha sj_
69
do resuelto utilizando el computador de INECEL 4 se presentan los datos
del sistema, la matriz de sensitividades y los resultados del flujo de
potencia con una convergencia de 0.001. El tipo de computador es PRIME
550.
DATOS.-
DE BARRA
Zpq
BARRA
Yp'/2
p-q
(p.U.)
P
1 -2
0.04 + j 0.12
1
j 0.040
1 -4
0.08 + j 0.24
2
j 0.085
2-3
0.06 + j 0.18
3
j 0.055
2 -4
0.06 + j 0.18
4
j 0.055
2 -5
0.02 + j 0.06
5
j 0.0055
3 -4
0.01 + j 0.-3
3 - 5
0.08 + j 0.24
70
Voltaje
Generación
Carga
Barra
supuesto .
MW
MVAR
MW
MVAR
60
10
20
10
15
1
1.0 + j 0.0
2
1.0 + j 0.0
3
1.0 + j 0.0
45
4
*
5
1.0 + j 0.0
40
40-
0
1.06+ j 0.0
30
. -
0
-
.
5
0
RESULTADOS.-
Luego de la cuarta iteración la convergencia requerida 3 en la
4.4. repressentan .los niveles de voltaje para cada barra del
Tabla
sistema
y en la Tabla 4.5. se tiene la matriz de sensitividades en el punto de solución.
TABLA 4.4.
VOLTAJES EN LAS BARRAS
Barra
Carga
Generación
P
V
1
1.01818
- 6.1.6
2
1.04764
- 2.8,1
3
1.02444
- 5.00
45
4
1.02385.
- 5.33
40
5
1.06
(p.u)
6(°)
0.0
MW
40
MVAR
30
MW
MVAR
60
10
20
10
.
15
5
.
0.011312
0.04456
0.04832
0,03686.
0.03934
0.02155
0.0121585
0.04452
0.0/1D21
0.05591
0.01057
0.016519
0.01869
0.01866
0.01548
2
0.05636
1
. 0.07731
0.086901
0.03697
'0.04950
0.02551
0.03007
0.01217
0.017402
3
. 0.09264
0.07711
0.039356
0.05615
0.03218
0.02595
0.01325
0.020465
4 '
.
- 0.03118
- O 02774
- 0.02331
- 0.05869
0.05663
0.04973
0.04572
0.1275
1
MATRIZ DE SENSITIVIDADES
TABLA 4.5.
- 0.01939
- 0.01819
- 0.02121
- 0.02001
0.03794
002551
i
0.04765
0.0454
- 0.04141
- 0.01998
- 0.02639
0.07451
0.08422
0.03588
0.04985
3
0.08974
0.07441
0.03829
0.0566803
4
- 0.04937
- 0.04188
- 0.021586
- 0.03
_
72
La matriz de sensitividades presenta Igual forma -que la transpuesta
del Jacobiano Inverso, por esta razón su interpretación es más
sen_
cilla.
Ap
¿ic
. ae
8e
8P
3Q
3f
8P
9f
3Q
AP
¿ir
=
Af
Al
AH
ñl/
Se observa desde la Tabla.4.5. que a incrementos de potencia activa
o reactiva se tendrá un incremento de voltaje (parte real) en cua_l_
quiera de las barras; de igual manera.ante decrementos de
potencia
activa o reactiva se tendrá un decremento de voltaje (parte real ).
Esta afirmación es hecha debido a que todas las variaciones son positivas.
Ante un incremento de potencia reactiva en una de las barras del sis_
tema se consigue un-decremento de voltaje (parte imaginaria) en cua]_
quier barra del sistema.
La mayor velocidad de variacion.se tiene al producirse un cambio
potencia reactiva en la barra uno teniéndose una variación de
de
volta_
je (parte imaginaria) en la misma barra.
Las características, comparativas con el método de Newton - Raphson anteriormente especificadas son igualmente válidas para este ejemplo.
73
CAPITULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
En el presente trabajo se ha demostrado la utilización del concepto de
red adjunta en los circuitos eléctricos. Como se estableció, esta té£
nica ayuda al cálculo 'de sensitividades y, en una forma apropiada a la
resolución de flujos de potencia.
La definición de red adjunta que se ha obtenido, es general, permitiera
do su utilización para el cálculo de sensitividades en futuros
estu-
dios s sean en circuitos eléctricos, electrónicos, digitales f 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12, 13 )„ etc.
Como principal conclusión se establece que la red adjunta posee
igual
conjunto de voltajes y corrientes de rama e idéntica topología
que la
red original, pero no necesariamente iguales elementos, f 4] Este
con-
cepto ha sido comprobado en el análisis de la red R - L - C, (Capitulo
II) pues se encontró que para la obtención de sensitividades teniéndose I 0 = O en el circuito original 3 en la red adjunta $0 es igual a 1 ,
o sea, se tiene una fuente de corriente de valor unitario en la
de salida del circuito.
ranja
Las expresiones de sensitividad^ en este caso,
son sencillas debiéndose establecer un análisis tanto en la red origj_
nal como en la adjunta.
Para el caso de análisis de flujos de potencia se establece una teoría,
general., pues la función a -ser evaluada (f) y de la-que se requiere su
74
sensitividad, es tratada al definir el algoritmo del flujo de Potencia.
En la ecuación (3.72) se tiene que "f" debe ser una función com_
puesta de los parámetros de estado y de control, -pudiendo ser
esta
cualquiera que el estudio amerite, asi puede ser las funciones de co^
ductancia (G) ó susceptancia (B) de cada elemento de' la red, del ángj¿
i
lo de voltaje en una barra del sistema ( §)» del módulo de voltaje
( V I ) en una barra, de las potencias activas o. reactivas ó de la pa_r
te r-eal e imaginaria del voltaje de barra.
La definición de cada una
de estas funciones ha sido desarrolladas en el Capitulo II y el cálq¿
lo de las sensitividades (n"bu) se obtienen para elementos de carga, ge_
r->
neración o elemento aislante y de transmisión en el Apéndice D.
Al tratar el flujo de. potencia se define previamente las forma de "f"
es decir» las funciones a ser evaluadas. Asi" para una barra.de carga
el voltaje en parte real (e) o imaginaria (f) definen la función,
pa_
ra una barra de generación en cambio lo harán el ángulo de voltaje de
barra (¿íg) y la potencia reactiva (Qg).
Analizando los métodos formales de resolución de flujos de
potencia
se tiene que el mltodo de Newton - Raphson es el de mejores
caracte-
rísticas tanto en tiempo de ejecución como en requerimientos de memc^
ria feo], por Ib cuals el nuevo método aquí analizado es comparado ob_
teniéndose las siguientes conclusiones:
- El numero de iteraciones son iguales en ambos métodos.
- Las variaciones de voltaje en parte real e imaginaria son similares
75
en cada Iteración.
- La barra oscilante no se considera para el calculo de variaciones de
voltaje.
- El orden de la matriz adjunta es igual al.orden del Jacobiano
(2(n-l) x 2(n-l)¿ n = numero de barras)
- El cálculo de los elementos de la Matriz Adjunta es más s-encillo que
el Jacobiano pues,, inclusive existen elementos que. permanecen
cons-
tantes en todas las iteraciones.
- Existe igual porosidad entre el Jacobiano y la matriz adjunta.
- Por cada iteración, se requieren 2(n-l) transformaciones L..U. o reso_
lución de (3.72 ). En cambio el de Newton - Raphso.n emplea una trans_
formación L.U.
Esta sin duda es la mayor desventaja que existe
el método utilizando el concepto de red adjunta, pues los
en
requeri-
•mientos de memoria son mayores; un ejemplo que contemple 20 barras,
por cada iteración se deberán hacer 38 transformaciones L.U. y
alma_.
cenar los voltajes adjuntos calculados en cada transformación
para
luego emplearlos en el cálculo de la matriz de .sensitividades ( ñu).
•o
Es por esta razón que la utilización de este método es aplicable a
redes pequeñas.
- Se obtiene una matriz de sensitividades de los voltajes (e y f) con
respecto a las potencias activas y reactivas de cada barra del siste_
ma. Esto facilita el análisis de la red en estudio tal como se hizo
76
en el Capítulo IV.
En definitiva, la resolución del flujo de potencia .utilizando concepto de red adjunta requiere de una gran capacidad de memoria comparado
con el de Newton - Raphson. El algoritmo descrito presenta una
es-
tructura similar en ambos métodos, lo que facilita la comprensión
la mecánica a seguirse para la resolucion.de flujos
Ho
de
potencia.
La utilización del concepto de. Red Adjunta es los-sistemas
de
poten_
cía ha sido demostrada, pues en base a 'su definición se han obtenido
las sensitividades y con ello la resolución de flujos de potencia.
Es necesario recomendar el.seguir explotando las ventajes del concepto de Red Adjunta en el estudio de redes, pues su aplicación en
p'la-
neación y análisis de sistemas eléctricos de potencia es muy grande,
teniéndose estudios previos [l2*15l que respaldarán los que
dan hacer.
se
pue-
77
APÉNDICES
A-l
APÉNDICE A
A.l. CARGAS
Para una carga el Jacobiano Jl usando el grupo de variables
(3.19.a) se calcula como
8(|V1
61
Pl
Ql J
9 [VI
VI*
II
II j
= Vl*/2
3jSl
3V1
9P1
9Q1
9 VI
9 VI
9P1
= V l / 2 VI
VI
911
=• - J/2V1
=- - j n*/2
-a^*r = j / 2 VI *
9V1
= n/2
9 VI
9
(13*1
VI
9 VI
de
(A.l)
9W1
8 VI
Zl
j U/2
9V1
= O
361
9.11
_
= O
o
o
1
C_t.
o
fD
en
o
fD
tQ
QJ?
OP
¡1
Cb
QJ
O
*
l-i
1
QP
1
0
—1
*
"
i— .
U
o
f—i
0^
QJ
c_j.
II
-O
A.3.
Ahora usando el grupo de ecuaciones definidas en (3.19.b) se
tiene
15
3Z1 T
9Wi
~
9 (VI
VI*
SI
SI*]
. sí\ vi
vi*
ii
n*!T
(A.4)
Itando
1
0
0
0
0
1
0
0
Jí =
(A.5)
-^
11*
0
0
VI
0
11
VI*
0
/
-"
s.
1
0
o
i
0'
-n/vi*
-I1*/V1
o
(JJ- l ) T =
(A.6)
0
0
0
0
0
l/Vl*
l/Vl
0
A.2. GENERADORES
Para un generador el Jacobiano utilizando la definición dada en (3.20.a)
A.4.
se obtiene
Qg
Vg
9Wg
*
|vg
Pg
Ig
Ig
*
las derivadas parciales ya fueron obtenidas para el caso de cargas, en_
tonces de igual manera se tiene
-j/2Vg
j/2 Vg
O
-j Ig*/2
j Ig/2
j Vg*/2
-j Vg/2
Jg =
entonces
(A.7)
Vg /2|Vg|
Vg/2|Vg|
O
ig*/2
Ig/2
Vg /2
Vg/2
-J Vg
j Ig
-j Ig
-d/Vg
j/Vg
[l5j
j Vg
(A.8)
(JT1)' =
Vg/|Vg
Vg*/ Vg
-Ig/|Vg|
-Ig/|Vg
1/Vg
1/Vg
Utilizando el grupo de variables Zg de (3.20.b) se obtiene:
A.5.
f Vg
Ig
|Vg|2
Sg+Sg* ]
^
3
3Wg
/
Vg
Vg
Ig
(A.9)
Ig
o sea
Jg
=
(A.10)
Vg
Vg
vg
vg
y la transpuesta del Jacobiano inverso es
O
-Vg*/Vg
O
(Ig Vg*/Vg2 - Ig*/Vg)
O
1
- Vg /Vg
(A.11)
O
1/Vg
O
O
O
- Ig/Vg:
1/Vg
A.3. GENERADOR OSCILANTE
Para un generador oscilante utilizando (3.21.a) tiene un Jacotr.ano de_
finido por
Í15]
A.6.
3ZnT
3 [Pn
Qn
Vn
8Wn
3 (Vn
Vn*
In
fin
(A.12)
In'
obteniéndose el Jacoblano
•*•
In/2
In/2
Vn*/2
Vn/2
-j In/2
j In/2
j Vn/2
-j Vn/2
Jn =
(A.13)
Vn /2|Vn
Vn/2 Vn
O
-j/2 Vn
j/2 Vn
O
entonces
1/Vn
1/Vn.
-j/Vn
j/Vn
(A.14)
Vn/ Vn
Vn / Vn
-In/ Vn
-In/ Vn
j Vn
. ,, *
-j Vn
.
j In
-j In
*
De igual forma utilizando (3.12.b) (15)
In
3ZnT
Vn
(A.15)
3Wn
8
Vn
Vn
In
In
A.7
con lo que
O
O
O
'
1
(A.16)
Jn =
O
O
O
0
o
o
1
O
0
1
(A.17)
(ürr )
U
O
O
O
A.4. ELEMENTOS DE TRANSMISIÓN
Para elementos de t r a n s m i s i ó n u t i l i z a n d o ( 3 . 2 2 . a ) se tiene el Jacobiano como
szt T
9 Wt
{It}
Vt
I m g { It } Gt
Vt*
It
Bt ]
If
(A.18)
o b t e n i é n d o s e u n Jacobiano
1/2
1/2
- j/2
j/2
Jt =
(A.19)
-It/2Vt2
- It*/2Vt* 2
j It/2Vt2 -j It*/2Vt*2
1/2 Vt
1/2 Vt*
-j/2Vt
j/2Vt*
y la transpuesta del Jacobiano Inverso es
Vt/It
Vt*/It*
j Vt/It
-j Vt*/It*
(ot-1)1 =
(A.20)
-vt2/it
' -vt*2/it
-j vtvit jvt*2/it*
ahora utilizando (3,22.b) se obtiene
SZtT
8 I It
It*
Yt
9 Wt
9 í Vt
Vt*
It
(A.21)
de esta manera
It*|
A.9,
(A.22)
Jt =
1/Vt
~It/Vt:
-It*/Vt*2
O
O
1/Vt*
y por último
\)
Vt/It
o
-vt2/it
o
vt*/it*
o
-vt*2/it*
o
APÉNDICE B
íbx
'112
í.l.
-
, M 1 2 y nbx
VI
-S1/(V1 VI
-SI*/(VI VI )
-j SI/VI
-j VI
j vi
j S1*/V1*
VI*/ VI
vi /T
ELEMENTOS DE CARGA
ELEMENTOS DE M
EN FORMA
- J/Vg*
J Sg*/Vg
J Vg
3f
3f
j Vg
-j Sg/Vg
-3 Vg'
ELEMENTOS DE GENERACIÓN
SIMPLIFICADA USANDO LAS VARIABLES Zb
nbx
Mi;
Mu
13
-u
JjL
SPn
3f
J/Vn
1/Vn
1/Vn1
-J/Vn>
0
0
0
0
GENERADOR OSCILANTE
3/Ty
1/Yt
Imgílt}
8 f
9Re{It}
3f
-J/Yt*
l/Yt*
ELEMENTO DE TRANSMISIÓN
«ai.
no
CD
nbx
'12
'11
1.2.
•
\
0
0
1
I
s
af
1TF
\
3f
gvi
I
0
J
-SI / V I 2
1
0
M 1 2 Y nbx
ELEMENTOS DE CARGA
ELEMENTOS DE M^
EN FORMA
1
0
0
1
3f
aig
3f
3Vg
-Vg*/Vg
-J 2Qg/Vg^
0
" -VgVVg
ELEMENTOS DE GENERACIÓN
SIMPLIFICADA USANDO LAS VARIABLES Zb
-*,
ca
co
112
3f
9ln*
GENERADOR OSCILANTE
1/Yt
T U-l-
9F
d i U"
~
3f
3lt
1/Yt*
ELEMENTOS DE TRANSMISIÓN
C.l.
APÉNDICE C
DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES (3.32) Y (3.33)
Para el efecto se parte de la ecuación (3.30.a) escrita como:
f
>,
fb
Vb
1 11
nbx
= - Mi2b
íb*
(C.l)
Vb*
donde fibx tiene la forma.dada en (3.31)
3A
(C.2)
nbx
3f
3B
Se tiene que MU
Oyl
y M 1 2 para cada tipo de elemento tiene componentes
-W
complejas, los cuales se observan en el apéndice A, por consiguiente
( C . l ) es
Ib
Vb
Ib*
Vb*
3f
3A
(C.3)
3f
I 3
C.2.
Además se sabe que
fb = íbi + j ?b2
(C.4)
Vb = Vbi + j. Vb 2
(C.5)
reemplazando (C.4) y (C.5) y realizando el producto matrlclal se obtienen dos e "piones de la¿ cuales solo una se utiliza, asv:
Ui + j a2)(fbi + j Íb2) + (bi + j b2)(?bi - j Íb2) =
i + J Vb 2 ) - (fi + j f2) (Vb! + j Vb 2 ) + ~^j- (C.6)
separando (C.6) en parte real e Imaginarla:
ai íbi - a 2 Ib2. + bi íbi + b 2 Ib2 = Re{ •—=-> } - 61 Vbi + e 2 Vb 2 +
- fi Vbi - f2 Vb 2
b 2 + a2 íbi - bi
b 2 + b 2 fbi = Img { } - e L Vb 2 - e2 Vbi
oA
i Vb 2 - f2 Vbi
-"~".
(C.7)
^-s_
' ^-
(C.8)
' >•
agrupando términos Ib:i Ib2, Vb x y^Vb 2 en (C.7) y (C.8)
- a2)Ib2 = Re{ A > " (ei+ fi)Vbi + (e2 - f2)Vb >2
(c.9)
C.3.
y
( a 2 + b 2 ) I b i + ( a i - b i ) I b 2 = Img{ -rj- } - (e 2 + f 2 ) V b j + ( f L - e i ) V b 2
(C.10)
de donde se hace
a i + b i = <j>i!
(C.ll)
12b
(C.13)
e 2 - fz = c¡)i2 b
a i - b i = <f)2 2
'
(C.14)
(C.16)
- e2 - f 2 =
f: - e x = * 2 2
(C.18)
Re'{|| } = líbi
(C.19)
(C.20)
C.4.
reemplazando (C.ll) - (C.20) en (C.9) y (C.10) se obtiene
>n b
) 2 i b I b i + <}) 22b Íb 2 = Wb 2 + i|j 21b Vh, + $ 2 2 b V b 2
que son las ecuaciones simplificadas requeridas.
(C.22)
APÉNDICE D
nbu
D.l.
_vi*/vi
-VI/VI*
_j vi*/VI.
J'/VI
-J/VT
JV1/V1*
I/VI
1/VT
ELEMENTOS DE CARGA
1/Vg
-Sg/Vg|Vg|
Vg*/|Vg|
DE GENERACIÓN
VARIABLES Zb
- Vg/Vg* - Vg*/Vg
(Vg Fg + Vg* íg* + Sg* Vg/Vg* + Sg
1/Vg'
-Sg*/Vg*|Vg|
Vg/|Vg|
ELEMENTOS
ELEMENTOS DE M 21b , M 22b y ^bu USANDO
122
'121
j Vn In - Vn* In* - Sn* Vn/Vn* + Sn Vn*/Vn
Vn n + Vn*. n* + Sn* Vn/Vn* + Sn Vn*/Vn
- j Sn/Vn
- Sn/Vn|Vn
-Sn*/Vn* Vn
j Sn*/Vn*
- j Vn*
j Vn
Vn/ Vn
GENERADOR OSCILANTE
/ Vn
j Vt*/Yt*
- Vt*/Yt*
j [ - Vt ft/Yt + Vt* ft*/Yt*
- Vt It/Yt - Vt* It*/Yt*
j Vt/Yt
- Vt/Yt
ELEMENTOS DE TRANSMISIÓN
''22
- VI /VI*
- \n*/vi
I/VI*
0
/
k
/
1/Vg
- Vg/Vg
/
- S g / ( V g Vg* 2 )
0
1/Vg
~V
Íg*/Vg + Sg* V g * / ( V g Vg* 2 )
0
0
I/VI
0
•v
0
0
0
^
0
0
X-
VARIABLES Zb
ELEMENTOS DE GENERACIOIN
USANDO
0
ELEMENTOS DE CARGA
ELEMENTOS DE M 2 i b , M 22b y f?bu
O
co
"22
121
Vt* It*/Yt*
In*
-Vt*/Yt*
Vt It/Yt
-Vt/Yt
ELEMENTOS DE TRANSMISIÓN
In
GENERADOR OSCILANTE
*•
o
(E.l)
APÉNDICE E
INTRODUCCIÓN DE LA MATRIZ' DE INCIDENCIA REDUCIDA
La matriz de incidencia reducida de dimensión nxng (n = número de ba_
rras y ng - número de ramas) se define como:
AM
AT
(E.l)
donde los a.¡j son l s -1 ,o 0; a-jj = 1 si la rama " j " incide en la
r^
ma "i" y orientada en igual forma.
Recordando (3.38) como
Y/ - VT = ÍT
(E.2)
en donde se realiza las transformaciones.
Peso se conoce que la ley de corrientes de Kirchhoff esta dado por:
AM ÍMB + AT ÍT - O
(E.3)
que escrita en conveniente forma es:
AT IT = - AM IMB
Además definiendo la matriz admitancia de barra como
(E.4)
(E.2)
= AT Y TP . ATT
VT
VM
(E.6)
ÍM = A M Í M B
(E.7)
=
AT
(E.5)
reemplazando ( E . 6 ) en ( E . 2 )
multiplicando (E.8) por Aj
*T !TP ATT yM = AT fT
(E.9)
(E.4) y (E.5) en (E.9) dará
YT . V M = - AM I MB
(E.10)
Al reemplazar (E.7) en (E.10) se tiene
YT VM = - IM
(E.11)
PROGRAMA DE COMPUTACIÓN
El programa de computación calcula la matriz admitancia de barra» va_
naciones de potencia y resuelve el flujo de potencia para un ejemplo de 5 barras, pues.el ejemplo es didáctico.
DATOS GENERALES.-
Símbolo
Descripción
NB
Numero total de barras.
NBTC
Numero de barras de tensión controlada.
NS
Numero de la barra flotante.
NE
Número de elementos serie del sistema (Ifneas, transforma_
dores, reactores y/o capacitores serie).
NRC
Número de elementos paralelos del sistema (reactores y/o
capacitores - paralelo).
BASE. '
MVA base del sistema, si se trata en p.u, se debe
poner
1.0.
INS
Indicador que según su valor indica: Cero (0) si se desea
imprimir los resultados Yg; uno (1) s-i no se desea
mir esos resultados.
impri_
Por ultimo, como datos generales se leen dos tarjetas des_
t: nadas a mensajes de identificación del problema en
tra_
tamiento.
DATOS DE BARRAS. -
Símbolo
Descripción
K
Numero de cada barra.
VK
Magnitud de. voltaje especificado en cada, barra. Dado
p.u.
PGK
Potencia activa de generación de la barra K.
QGK
Potencia reactiva de generación , de la barra K.
PLG
Potencia activa de carga, de la barra K.
QLK
Potencia reactiva de carga., de la barra K.
DATOS DE ELEMENTOS DE INTERCONEXIÓN
Símbolo
Descripción
L
Número de la barra de partida (barra p).
en
Símbolo
Descripción
M
Número de la. barra de llegada (barra q).
RR
Según los valores^ L, M y BK representa:
- Resistencia de la linea e n % , s i : L ? í M y B K = 0 .
- Reactancia de un transformador en %3 si: L i- M y B k ^ O .
XX
Según Tos.valores de L, M y BK representa:
/
- Reactancia de la línea expresada en %. si: L f M y B k = 0
SS
Según los valores de L, M y Bk representa:
- La suceptancia total de la linea en NH'AR si: L i- M
y
Bk = 0.
- La relación de transformación vista desde el lado de en_
vio: si L i- M y Bk j 0.
BK
Relación de transformación vista del lado de recepción.
Se deben introducir todos los datos indicados en las variables de entrada de la siguiente manera:
- El nombre o identificación del sistema, se da en dos tarjetas. Si
no se desea esto se deben dejar las dos tarjetas en blanco.
- Los datos generales del sistema<3 se indican-en una sola tarjeta.
- Los datos de líneas., transformadores, reactores .y/o capacitores s_e_
rie y paralelo 3 se indican en una tarjeta por cada línea o elemen_
to.
110
NBTC
no
NS
F10.5
no
F10.5
PGK
F10.5
no
no
- Tarjeta de Fin de Datos
RR
M
L
Datos de Elementos.(1 tarjeta por elemento)
VK
K
Datos de barras (1 tarjeta por barra)
80 Al
- Nombre o I d e n t i f i c a c i ó n del sistema (2 tarjetas)
no
NB
Datos generales del sistema (1 tarjeta)
F 10.5
XX
F10.5
F10.5
ss
F 10.5
PLK
no
no
QGK
NRC
NE
ESQUEMA DE ENTRADA DE DATOS
F10.5
BK
F10.5
QLK
F10.5
BASE
15
1NS
r
c
ESCUELA POLITECMCA N A C I O N A L
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
DEPARTAMENTO D E POTENCTA
r
C
C
r
. . . . .
TESIS DE G R A D O
C
c
c
c
c
c
c
TITULO-: FLUJOS DF POTENCIA UTILIZANDO EL CONCEPTO
OL RED A D J U N T A .
FECHA; ^ARZO HE ±:87
r
R E A L I Z A D O POR: GUSTAVO A « CORONEL VASCONEZ»
DIRIGIDO PO»:
c
c
c
c
VARIABLES
Ifofí.
HELENA
VASS
PRINCIPALES
fvUí t 4 ER 0 DE B A R R A S
NUMERO DE B A R R A S DE TENSIÓN C O N T R O L A D A
IMS
N U M E R O DE LA B A R R A F L O T A N T Í . '
NUMERO DE R E A C T O R E S Y/O C A F A C I T O P E S A T I E R R A
NRC
NE
N U M E R O D E E L E M E N T O S D E I N T f . R C O N E C C ION
ITFP.
ITERACIÓN CORRIENTE- • - ' '
.
- - - - - MAXIT
N U M E R O M Á X I M O CL I T E R A C I O N E S
INS
I N D I C A D O R DE S A L I D A , SI SE D E S E A YB
0 NO
M V A B AS-E
•
* ~ • '•
BASE
C R I T E R I O DE CONVERGENCIA
CONV
VR f }
COMPONENTE REAL DEL VOLTAOil
VIO
C O M P O N E N T E I M A G I N A R I A '°- L V O L T A J E
- •—
• • •
VR1 ( )
COMPONENTE R E A L DE LA C O R R E C C I Ó N DEL V O L T A J E
V 1 1 C ) C O M P O N E N T E I M A G I N A R I A D E L A C O R R E C C I Ó N DEL V O L T A J C
NO DE C )
T I P O TJE B A R R A
G O
C O N D U C T A N C I A S DE LOS E L E M E N T O S DE YB
B C)
S U S C E P T A N C I A S DE LOS E L E M E N T O S DE YB
SUSO
SUSCEPTANCIAS- A TIERRA • ISENDO
S U B Í N D I C E S DE POSICIÓN EN FILA DE LOS ELEMENTOS DE YB
S U B Í N D I C E S DE ' P O S I C I Ó N EN C O L U M N A DE LOS E L E M E N T O S DE
IREC O
1 NE 0
V E C T O R A U X I L L A R P A R A T R A T A T LINEAS CON C I R C U I T O S EN
PARALELO
N6US 0
N U M E R O DE E L E M E N T O S POR F I L A DE YB
PG ( )
POTENCIA A C T I V A GENERADA
- '
POTENCIA A C T I V A DE C A R G A
PL ( )
GG ( )
POTENCIA . R E A C T I V A GENERADA
POTENCIA R E A C T I V A DE CARGA
.PL O
POTEMCIA A C T I V A NETA ESPECIFICADA
FN-( ?
ONO ; P O T E N C I A R E A C T I V A NETA E S P E C I F I C A D A
NB
NBTC
e
c
c
c
'c
c
C
c
c
P R O G R A M A PPIWCI?AL
INSERT
SYSCOfOKFYSiF
-^ ¿<Q
OIWINSIOW
DIMENSIÓN
DIMENSIÓN
DIMENSIÓN
Vf C Í O o) , E í l O ü )T c. ( 3:5 a) ,B (¿RP ) , roo DE (1a O > , N R U S C S S ? í
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DIMENSIÓN A ( í - i O i S í ) ) i F ( 5 0 ? 5 G ) , C C b í r í 5 C )
DIMENSIÓN V l ( l C r ) , V 2 í l D L í )
D I M E N S I Ó N A0(80>80)
DIMENSIÓN SUSÍ55C)
'
'
D I M E N S I Ó N AD1(100) « A D 2 C 1 & 0 )
DI^EHSION D E L C 2 C )
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NIN-1
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2
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"
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•
JW-A
W R I T F (fíIN, e)
F O R M A T C * I N G R E S E A R C H I V O DE D ^ T O S - 6 C A R A C T E R E S " - ) - R E A D < N I W , 9 ) INFIL
FORMAT (A)
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U R I T f ( MIN , ? )
F O R M A T C ''INGRESE A R C H I V O DE S A L I D A ? 6 C A R A C T E R E S 7 )
READ-(NTNj3)OUFIL
'
'
FORMAT (A)
OPEN Í J W , F I L E - 0 U F I L - S T A T U S - ' U N K W O W N ' )
WRITE(JW,325)
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-
-•
L E C T U R A DE DATOS DEL SISTEMA
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TÍTULOS
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CONTINUÉ
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-
•
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I M P R E S I Ó N D E D A T O S nF[_ S I S T E M A
W R I T E Í J W , 3 7 C ) N B i N B T C , N S ? W E f t Ev¡RC,BA S E
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W R I T E ( J U - 4 C u •)
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^
7H
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* L I Z A D O P O R : G U S T A V O A r C O R O N E L VA SC ONFZ * j / ? 12 X , ' D I R I G I D O P O R : I W G
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C A L C U L O DE LAS A D M I T A N C I A S DE LOS ELEMENTOS Y - R E D U C C I O N A C A N T I D A D E S EN P . U , DE LOS V A L O R E S DE LAS
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I F C A B S C VP ( L ) ) . L E . V P M A X ) GO TC
V P K A X =ABS ( V P C L ) )
CONTINUÉ
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60
.....
C
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S U P R O U T I N E 5 0 F L U P C N B ^ f ' r S , NCOE T Q G , GM i PG , PL r GL t BA SE , K-BU S , IR EC • V R r
I V I í G í S i S U S í P i T t l N E * J W i i N L E í 3 TE 1 ? i IP f S S l , K 5 )
D I M E N S I Ó N f l O H E í \»B? . G G C M D ) • C *l( NP ) , OL ( M P ) ? PG ( NB ) i PL ( MP )
D I í ' r N S l C N f< B U S C Ó L E . J , I P E C C N L E ) s V R í TV B ) , VI ( \ ¡ B ) iG C M L D -, ? ( f v L O v S U S ( ML E
*
D I M f T í í S I O K U'E ( N L E > t D E L C M B ) * SSK
DO 2C 1=1 ,NB
IF ( I r E G . N S ) GO TO 20 .
I F < N O D E < I > . N F . 2 ) GO TO 10
O G ( D - Q N C I) - t - Q L f I )
PG CI ) = P G < I ) *BASf
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Q G C I )=rQ6( I ) -BASE
P L C I ) = P L C I) - B A S E
Q L t l > =QL<.n*B-A-St"' .........
CONTINUÉ
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TQG=0*0
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I F C I N E ( L ) , N E . I N E ( J ) ) GO TO 30
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