ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA "FLUJOS DE POTENCIA UTIL^n.lDO EL CONCEPTO DE RED ADJUNTA" GUSTAVO ADRIÁN CORONEL VASCONEZ TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO DE INGENIERO EN SISTEMAS ELECTR^ COS DE POTENCIA !\ Q *./ _1. l~s QUITO, MARZO DE 1987 f s Certifico que el presente trabajo ha sido realizado en su totalidad por el señor Gustavo Coronel Vásconez. \ I?tg>Jd£Ú£r¡§ Vass KDirectora de Tesis A MIS HERMANOS PADRES Y AGRADECIMIENTO Deseo agradecer a la Ing. Helena Vass y al Ing. Gabriel Arguello, por el Invalorable apoyo, continua supervisión y asistencia durante el desarrollo de este trabajo. Agra_ decer de Igual manera a los Ingenieros que componen el Centro de Control de Energía (DOSNI) de INECEL por su comprensión y continuo Interés. Agradecer al Dr. Mohamed A. EL - Kady de Ontario - Hydro, Toronto Canadá y al Dr. Stephen W. Director de CarnegleMellow Unlverslty por el envío de Importante material bj_ bllográfico para la ejecución de esta Tesis. A todas las personas que han ayudado a realizar un sueño.. GRACIAS . ÍNDICE Pag, Capítulo I Capítulo II : INTRODUCCIÓN 1 : DEFINICIÓN DE RED ADJUNTA 2.1. El Teorema de Tellegen 3 2.2. Definición de Red Adjunta.. 7 2.2.1. La red adjunta en circuitos R-L-C 2.3. 9 Aplicaciones —.- —— 12 Capítulo III : EL FLUJO DE POTENCIA UTILIZANDO LA RED ADJUNTA 3.1. Modelación.-del Flujo de Potencia.—- r 3,1.1. Sensitividad de redes 15 •— 17 3.2. Variables del sistema de potencia — 19 3.3. Ecuaciones adjuntas .-— 23 3.3.1. Modelación adjunta de elementos de transmisión 26 3.3.2. Generalización de la modelación adjunta en el siste_ 3.4. ma de potencia T-- 29 Simplificación de las ecuaciones"adjuntas 33 3.4.1. Barras de carga 3.^.2. Barras de-generación 3.5. Algoritmo de solución — 3.5.1. Análisis de la función "f" — - 34 -•— • 35 39 39 Pag. 3.5.2. Algoritmo - 44 Capitulo IV : APLICACIÓN Y. ANÁLISIS-DE RESULTADOS Ejemplo 1 — Ejemplo 2 * Ejemplo 3 Capítulo 48 55 .68 V : CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES APÉNDICES BIBLIOGRAFÍA 73 77 ' 78 CAPITULO I INTRODUCCIÓN El presente trabajo nace de" la necesidad de poder calcular los cambios de los valores de los elementos que componen una red y que afectan la respuesta del mismo, llamada sensitividad, de una manera más eficiente y rápida. Esta sensitividad, debe ser establecida en algunos estudios elé£ trieos, sean funciones de diseño, de planeación, de costos, análisis, etc. de Por tal motivo resulta Importante el establecer una nueva técnica que facilite el cálculo de sensitividades. Como respuesta a estas necesidades se desarrolla el concepto de "RED ADJUNTA" establecido utilizando el Teorema de Tellegen. Su obtención y definición es discutido en el Capítulo II, luego de •\o cual se establece un ejemplo para redes R - L - C, obten se expresiones más sencillas para el cálculo de sensitividades. Pero la ayuda que pueda dar la "RED ADJUNTA" no se limita tan só_ lo a redes R - L - C, pues se establecen algunas de las aplicaciones que se han dado, tanto en el área de circuitos eléctricos como en electrónica, sistemas digitales y en sistemas de poten- cia. [1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]. En el capitulo III se presenta un importante aprovechamiento del concepto de "RED ADJUNTA" en el análisis de sistemas eléctricos cp_ mo es el cálculo de flujos de potencia. Primer úñente se realiza una modelación del problema del flujo, en base al nuevo • concepto introducido, para lo cual se desarrolla una expresión de sensitivi_ dad de redes, incorporándose el Jacobiano de cada uno de los ele- mentos. El análisis matemático ,en todo el transcurso de este capj^ tulo es complejo, pues se realizan varias definiciones que resul- tan claras con una buena comprensión del problema de flujos y el concepto de red adjunta. La incorporación al estudio de redes de la Modelación Adjunta en los sistemas de potencia, nos va a permitir el desarrollar una téc_ nica para el cálculo de sensitividades que luego será aprovechado en la obtención del algoritmo de solución del.flujo de potencia. Una vez obtenido este algoritmo se presentan en el Capítulo IV ejemplos didácticos de aplicación, en donde analizamos las jas y desventajas del nuevo método. 3 venta- La mecánica a seguirse en un ejemplo de 2 barras y otro de 3 barras aclarará los criterios da- dos en el capítulo anterior. Se trata también, una comparación con el método rormal de resolj¿ ción de .flujos.por Newton - Raphson. El análisis en este sentido da una visión más amplia del problema tratado, introduciendo clusiones en base a resultados obtenidos. ' con- CAPITULO II DEFINICIÓN DE RED ADJUNTA 2.1. EL TEOREMA DE TELLEGEN • El Teorema de Tellegen establece que cuando todos los voltajes de ra- ma VN y todas las .¿;- -ientes de rama i, satisfacen las leyes de voltajes y corrientes de Kirchhoff, respectivamente, se tiene: b 2 v,(t) . i, (t) = O k=l K K (2.1) donde el sumatorio incluye todas las ramas del circuito y, "b" es número de ramas, el [l] Para demostrar el teorema se partirá de una red donde arbitrariamente se ha seleccionado un nodo de referencia (1). Entonces, ei = 0. Aho_ ra e y e son los voltajes en el p-ésimo y q-ésimo nodo, respectivar H mente, con respecto al nodo de referencia. Se asume además que el elemento k conecta los nodos (p) y (q) como se muestra en la figura 2.1. y entonces se tiene que i pq es la corriente que fluye por la ra_ ma k desde el nodo (p) al nodo (q), así: Vk • obviamente, v, . i. puede ser escrito en términos de i q p , la corrien te desde el nodo (q) al nodo (p)> como VkK ep eq Fig. 2.1. Una rama k arbitraria, conectando los nodos p y q; la corríen_ te 1^ es designada por i p q 6 - igp. Sumando las ecuaciones (2.2) y (2.3), se obtiene: Vk • Ahora, si se aplica el sumatorio al 7 ado izquierdo de la ecuación (2.4) para todas las ramas en el gráfico, se obtiene 2 v, . i,, k=l K (2.5) El correspondiente sumatorio en el leído derecho de la ecuación ( 2 . 4 ) d^ rá 4- 2 Z Un - Oinn (2.6) donde el doble sumatorio en p y q introduce todos los nodos en el gr£ fico. Igualando (2.5) y (2.6) b Z =l n 1 Vk K n " \ 4- * l < K p=l q=l ' luego que la ecuación (2.7) ha sido establecida, separando en sumato- rios la parte izquierda como se b• - n n p=l " q=l "^ k=l , n n q=l ^ p=l (2.8) n Para cada p-, Z ipq-es'e.l sumatorio de todas la; corrientes de rama q=l en el nodo p. Para cada q, E i es el sumatorio de todas.las corrientes de rama = pq en el dodo q. Por las leyes de Kirchhoff cada uno de estos sumatorios es cero enton- ces : b 2 k=l lo que prueba el teorema. v, . i, = O K [2] K (2.9) Particularizando el estudio -para redes l i n e a l e s invariantes en el tiein po. Por s i m p l i c i d a d se toma una fuente s i n u s o i d a l en la rama 1, se muestra en la figura Z . 2 . Por cada rama se representa el coino voltaje de rama v^ por e l . f a s o r VK y la corriente de rama i u • p o r 1^. V2 •v 13 V3 Fig. 2/2. Red l i n e a l i n v a r i a n t e en el tiempo; V^ e 1^ fasores que presentan los voltajes y corrientes s i n u s o i d a l e s . re- Claramente V l 5 - V 2 » ...... Vfa e I l 3 I 2 , . . . . I b satisfacen las leyes de Kirchhoff. Cumpliéndose entonces: * 2 v —. ( VR(jw) ] [ Ik(jw) ) =O (2.10) J_ que se conoce como el .teorema de conservación de energfa. [2] En la demostración del teorema de Tellegen se muestra fácilmente que (2.10) es válido sin la conjugada de la corriente, es ico es b s R=1 ' í MJW) k. K >1 k MJW) K ^1 = ° (2'U) entonces f\ V,(jw) ]S IS.f Ik(jw)1 -O / X (2.12) 2.2. DEFINICIÓN DE RED ADJUNTA El concepto de "Red Adjunta" nace de la necesidad de poder calcular los cambios de los valores de los elementos que componen una red y que afectan la respuesta del mismo, llamada sensitividad, de una manera más eficiente y rápida. Al escoger dos circuitos con Igual topología, esto es si el primer cir_ culto tiene un conjunto de voltajes de rama v^Ct), v2("i;)s ..., v^(t) y corrientes de rama ú(t)5 i2(t), ...3 l^ít) con polaridades asignadas bajo el sistema de referencia, entonces el segundo circuito tiene un conjunto de voltajes VI(T)s v2(r), ..., ^(T) y corrientes de rama J\. S^ -^- II(T), IZ(T), - . . , "¡b^) con polaridades asignadas come las anteriores existiendo una correspondencia uno a uno entre .los nodos de las ramas de los dos circuitos, entonces el segundo circuito tiene una ra_ ma correspondiente k, no necesariamente el mismo tipo de elemento valor. A este segundo circuito se lo denomina Red Adjunta. SI o esos voltajes y corrientes de rama satisfacen las leyes de Kirchhoff emsus respectivos circuitos, se tiene __ b z k=l b y (t) . í k (r) vk ~ 2T Vi (T) . ik(t) k=l = o (2.13) ( = o ((2.14) xs. 4 D\fe - N -r V0( lVk, Ik i •t 5¡o N + "s( )\ - (o) - iVk,¡k} (b) Fig. 2.3. El circuito principal (a) y su correspondiente Red Adjunta (b) poseen igual,conjunto de voltajes y corrientes de rama pero no necesariamente .el mismo tipo de elemento o valor. Al generalizar las ecuaciones (2.13) y (2.14) en términos de fasores mostrando £ vk(jw) "1 el vector'voltajes de rama de una malla e í Ik(jw) ] el vector corrientes de rama se tiene respectivamente: 2Vk(jw) . Ik(jw) = O (2.15.a) ZVk(jw) . Ik(jw) = O (2.15.b) donde V representa el vector de la red adjunta. 2.2.1. La Red ADjunta en. circuitos R - L - C Como se estableció» se debe calcular la sensitividad del voltaje de salida V 0 con respecto a todos los parámetros de. la red N s compuesta por resistenciasj capacitores e inductores., que tiene una señal de en_ trada V-j midiéndose la señal de -salida a través de una .fuente de rriente de valor 0. co_ . En lo concerniente a. la matriz, adjunta N , se deberá imponer que po- see igual topología que N pero no necesariamente los mismos tipos de elementos en las correspondientes ramas. El voltaje y corrientes f^ ' f -^ rama en N se denotará por- y y $ , respectivamente. [4] Vi Fig. 2.4. Representación simbólica Io=0©Vo de la red. Aplicando el teorema de Tellegen en N y N tenemos: de 10 v(jw) (lk(jw) ) Üw) = O (yk(¿w) ] = O ' . (2.16) (2.17) Al sustraer estas dos expresiones y al existir variación de voltaje.y corriente en N. T {(Vk(jw) ] + T + [ AVR(jw) ) j .[ AI x (jw) } } - ( y k ( j w ) ] T = O (2.18) de lo cual se tiene b ( AVk(jw) $k(jw) - Alk(jw) Yk(jw) ) = O (2.19) k=l al expandir el sumatorio -i Yi + A V 0 $o - A l o Yo + 2 [AV R $R - AI R R YR R AIC YC)+ 2 (AVL $L - AI L YL) Al tenerse variaciones en R 4 L o c se obtendrán variaciones en: AV R = R .AIR + I R . AR (2.21) AI C = j.wc.AVc + jwVc . AC (2.22) 11 o AV¡_ = jwIL. AL + jwL . AI L . (2.23) Sustituyendo estas expresiones en (2.15) se obtendrá S ((R $R - YR) . AI R + I R $R . A K - JWVor Y r{*- L Aí [(jwL $L - YL) AI|_ + ¿wIL \L ] (2.24) Peso se desea -una expresión que relacione el cambio en la salida, AVo con los cambios en los parámetros R, L y C. Eliminamos AI-j si coloca_ mos YI = O- Similarmente'.AlR se elimina si R en N es cambiada a un resistor así: YR = R $R o R $R - YR = O (2.25) igualmente en ramas capacitivas e inductivas. Además el cambiar la ra.^ ma O en N a ser una fuente de corriente de valor unitaria ($0 = 1), la expresión (2.19) queda AV 0 = 2 (- I R $R).AR + Z (jwVc YC)AC + E (- jwl,_ $L)AL K de lo que se concluye que C L (2.26) 12 = jw V c Y -yj^= - Jw I L $L (2.28) . (2.29) En definitiva se muestra que la.sensitividad del- voltaje de salida Vo con respecto .a los parámetros de una red y en' función de la frecuencia pueden ser obtenidas .siguiendo los siguientes pasos: 1. Analizando la red original-y.calculando corrientes y voltajes de rama. 2. Formando la red adjunta, a la cual excitamos con una fuente de co_ rrlente de valor .unitario en la rama de salida correspondiente de la red original, para calcular voltajes y corrientes. 3. Formando los productos de voltaje y corriente en N con los correspondientes en N» como.se/1nd1can desde (2.27) a (2.29). fll 2.3. APLICACIONES El desarrollo de esta, nueva, técnica [4l, ha. reducido el esfuerzo para el calculo de sensitividad,'asi encontramos dos grandes bloques donde ha encontrado aplicación, esto, es en las áreas de la electrónica y los sistemas eléctricos de potencia. en 13 Como una transposición de los filtros digitales.se definen los fil- tros digitales. adjuntos para la derivación de su sensitividad, .para el efecto se definen los diferentes elementos digitales por sus res- pectivos componentes adjuntos. Por otra parte en los amplificadores diferenciales el cálculo de la re_ lación de rechazo en modo común (CMRR), como también para minimizar le. distorsión en el diseño de amplificadores de señal, puede ser encontrados usando la red adjunta y las transformadas de Fourier [6l ., [7] . El concepto de red adjunta y su relevancia en. el diseño automatizado de redes en el dominio del tiempo y de la frecuencia, muestra como el vector gradiente para un tipo de función con respecto a -todos los ele_ mentos existentes puede ser evaluado desde solo dos análisis complejos, uno es tomando la red y otro su equivalente topológico en la red adjun ta. • La red puede contener elementos lineales, invariantes en el tiempo y parámetros distribuidos tales como ITneas.de transmisión o .líneas RC. Los resultados pueden ser incorporados para optimizar algoritmos para obtenerse coeficientes de reflexión, funciones de ganancias yotrasfun_ ciones que se decida obtener, [sj , [9j . El método usual empleado para definir el equivalente de.Thévenin o ton de una red establece dos análisis: un análisis donde definimos el voltaje en circuito abierto o corriente en cortocircuito, el . segundo establece la impedancia equivalente. Pero usando el. concepto de red adjunta se puede demostrar que un simple análisis es suficiente pira determinar los equivalentes de Thévenin o Norton, [icf] . En la mayoría de redes eléctricas el problema de optimización trae con_ sigo una complejidad que requiere una evaluación, computacional de la función. Adicionalmeñte, la optimización eficiente se tiene en el cáj_ culo del gradiente de la función objetivo. Un importante caso se tie_ ne cuando la función es. definida en términos de voltajes y corrientes de puntos terminales, y la variedad de .parámetros a ser incluidos como cantidades eléctricas, dimensiones geométricas (resistencias y longitud de líneas de transmisión) y frecuencia. Con.'su formulación ,, la evaluación del gradiente de la función objetivo es requerida., o sea la evaluación de las derivadas parciales, para el efecto podemos utilizar el concepto de red adjunta evaluándolas cientemente, efi- flll La localización de fallas en sistemas de distribución y transmisión es esencial para el mantenimiento seguro y continuo del servicio. Se pre_ sen'ta una alternativa para la.localización de.falles, procedimiento ba_ sado .en el concepto de. red adjunta y el teorema del número má"ximo4esimulaciones independientes de N terminales. El apro/echamiento teórico es descrito para circuitos abiertos y cortocircuitos. [l2] Se presenta también una forma diferente de resolver los flujos de po_ tencia de un sistema, para lo cual utilizaremos el concepto de Red Ad_ junta. 13 . Este método se desarrolla en el siguiente capítulo. 15 CAPITULO III EL FLUJO DE POTENCIA UTILIZANDO LA RED ADJUNTA El análisis de sensitividad es esencial en el estudio de sistemas de potencia, en este capítulo se presenta un aprovechamiento general ba_ sado en el concepto de red adjunta, llegándose a presentar una solución al flujo de potencia. 3.1. MODELACIÓN DEL FLUJO DE POTENCIA De las ecuaciones (2.15.a) y (2.15.b).y de la definición del teorema de Tellegen se obtiene: Z íb* . AV b * = O (3.1) 2 Vb* . Alb* = O b (3.2) 2 b Ib . AV b = O (3.3) V b . AI b = O (3.4) que en combinación con resulta s\b b . AV b + I b *.AV b * - V b .AI b - V b *.AI b = O (3.5) 16 que escrita en conveniente forma-es 14 S fbT . AW b = O b (3.6) donde fbi "ib íb* ~ fb = á (3.7) pr -v b f bv -v b * fo\ ^^ *"» s S 'dí !o \ N — Wbi - , - vb* ~ Wb = / Vb Wbv ___ ^ A (3.8) Ib Ib* -ír~" significa que se trata de un vector o matriz. Por otro lado, en el flujo de potencia se definen variables de estado (Xb) y de control (ub) asociadas con cada uno de los el amentos> estas variables pueden ser designadas por Xb (3.9) 17 Una variación de Zb en términos de Awb involucra el utilizar la matriz Jacobiana (Jb) de la siguiente manera: Axb AZb = = Jb . AWb (3.10) Aub dc.,J, la matriz jacobiana es la transpuesta de las derivadas parciales de las variables de estado con respecto a los de control. (3.11) despejando de (3.10) Awb y reemplazando en (3.6) se tiene ^T E fbl . 11 . AZb = O (3.12) o en forma apropiada i (Jb" 1 ) T fb | . AZb = O (3.13) que es el sumatorio de donde se partirá para resolver el flujo de tencia. 3.1.1. Sensitividad de redes Definiendo: po_ 18 fb nb = (3.14) nbu y reemplazando en (3.13) se obtiene v ,- T ^ T ' _bx • AXb + '"ib u (3.15) Para una función compleja.f de todas las variables de estado Xb y de control Ub, su derivada con respecto a las de estado será 3f (3.16) que define los elementos adjunto, entonces desde (3.15) (3.17) Af = asi como df du b 3f (3.18) de donde se encuentra las derivadas totales de la función "f" con pecto a las variables de este.do. Las ecuaciones (3.16).y (3.18) representan el cálculo de sensitividades, que resolverán el flujo de potencia. Se debe tener presente que 19 la función "f" va a ser definida para cada tipo de elemento y luego para cada variable a ser determinada, estas definiciones se realizarán una vez obtenida 1 -a forma general de la matriz adjunta. 3. 2.. VARIABLES DEL SISTEMA DE POTENCIA Cada elemento que compone una red posee dos variables de estado -. (Xb) y dos variables de control (ub) ^que se identifican ya sea en coordena_ das polares o rectangulares. A continuación se define estas varia- bles en base a voltajes y corrientes, con la finalidad de poder gene^ ralizar. luego con las variables que se tienen en el teorema de Telle_ gen 'y más precisamente con el concepto de red adjunta, Se usa la notación de "l"-para identificar cargas> "g" para identificar ramas de generación., "n" al tratar con variables del. generador de_ signado como oscilante y "t11 para otro tipo de elementos tales como líneas de transmisión. Las variables, para una carga son usualmente definidas como: IVI * 1/2 (VI VI ) tan'1 (j(Vl* - V1)/(V1 + VI*) ] XI Zl = (3.19.a) ul Pl (VI.II* + Vl*.R)/2 Ql j(Vl* II - V1.Il*)/2 20 ó por ejemplo: ^ VI VI VI* vi* A Zl = (3.19.b) = •k SI VI 11 SI* vi* n En forma similar-, las variables para un generador se definen tan'1 [j(Vg* - V g ) / ( V g + Vg*) ) Xg Qg j ( V g * Ig - Vg Ig*)/2 Zg = * 1/2 (Vg Vg ) |vg| (Vg Ig* + Vg* Ig*)/2 (3.20.a) Vg Vg ig ig Zg = (3.20.b) z • |vg| •* Sg+Sg' \ Vg Vg "Jf Vg ig * + Vg* ig 21 También, las variables designadas para un generador escogido como oscj_ lante son / Pn (Vn In* + Vn* I n ) / 2 Qn j ( V n * In - Vn In*)/2 Vn * (Vn Vn ) \n = (3.21.a) un tan' 1 (j(Vn* - V n ) / ( V n + Vn*)] In In ^ A Zn = (3.21,'b) Vn Vn Para elementos de transmisión se definen Xt R l ' I It } (It + It )/2 I m ' {It } j ( I t * - It)/2 Zt = (3.22.a) ut Gt (It/Vt + It /Vt)/2 Bt j(It*/Vt* - It/Vt)/2 22 It It It * It * (3.22.b) Zt It/Vt Yt Yt * It* "'. ' Cualquier otro tipo de elemento puede ser definido de la manera como se ha realizado para los elementos de transmisión, Una vez definidas las variables de estado y de cortrol , se determina el Jacobiano para cada tipo de elemento que comporen la red» y de aquí se encuentra el inverso del Jacobiano. Analíticamente este proce_ dimiento y los resultados se muestran en el Apéndice A. La estructura del inverso del Jacobiano se divide en submatrices cada una de las cuales tiene una dimensión 2x2 y a su vez cada elemento de estas submatrices son complejos de la forma (£1 + j£2) de igual ra lo presenta la transpuesta del Jacobiano inverso, así =1) (3.23) Esta partición en submatrices nos ayudará a encontrar las ecuaciones 23 adjuntas. 3.3. ECUACIONES ADJUNTAS Reemplazando (3.23) en (3.14) se tiene fbi (3.24) fbv entonces , h = K (3.25) Mu 'fbi + I1i2 fbv -que es la derivada parcial.de 'jna. función "f" con respecto a los par£_ metros de estado, y . fbi + M 22 . fbv (3.26) que nos dará las derivadas.parciales de una función objetivo "f" con respecto a los parámetros de control3 es decir en el caso del flujo de potencia obtendremos las derivadas parciales de las variables de estado con respecto a las de control de especial interés en el análisis de sensitividad (14, 15 ). La forma de las matrices MU , Mi 2 y HDY Para cac*a "^'P0 ^e "-elemento *J *V A, •*• de la red se encuentran especificadas en una forma simplificada en el 24 Apéndice B, tomando en cuenta las dos representaciones de las-variables de control y estado que se definió en el subcapítulo -'Variables del Sistema" (Zb,.Zb); Además, por analogía en Wb de (3.8) se define sus respectivos compo_ nentes adjuntos como Vb Wbv Vb Wb = (3.27) Wbi Ib Ib con lo que se tiene fbi = Wbi (3.28) fbv = Wbv (3.29) que reemplazando en (3.25) y (3.26) da Ib Vb 4. M (3.30.a) + M 1 2b "** * Ib Vb* 25 y v Vb (3.30.5) 4- M + M 2 2b •^ Ib •"- . Vb •*: se debe tener presente que para cada elemento de la red existen dos va_ Hables de estado» por lo cual r\^x es un vector de dos elementos así 8f 9A 8f (3.31) 9Xb 3f 9B donde A y B son variables de estado de cada elemento. Trabajando en (3.30) llegaremos a obtener dos ecuaciones de la forma: ;12 K K **""* *^* Iba = Wb 2 + ijj2i K \ (3.32) .Vb (3.33) el desarrollo de este procedimiento se muestra en.el Apéndice C. Se observa que tenemos como incógnitas Ibi , Ib2, V;D;??y.Vb 2s por lo ' cual se debe utilizar dos ecuaciones adicionales |pa]ra; poden? I ;.d.e'fi:nn"ir 26 y Vb2. 3.3.1. Modelación adjunta de elementos de transmisión Debido a la complejidad del análisis matemático se .determinará una mo_ delación de elementos de transmisión para'.luego .generalizar para to- dos los componentes de una red. Se conoce que para elementos de transmisión se tiene i + j Tt2) = (Vti + j VtzKYti + j Yt¿) (3.34) de donde j Y'ti - Vt (3.35) It2 = Vbi 'Yt2 + Vt (3.36) escribiendo en forma matricial (3.35).y (3.36) y .generalizando n elementos se tiene V-fI Li — Vt T 1-2 ÍT, •= V-fI T^2 V-fI t-i (3.37) VT ~l 2 'v • VT = ÍT X (3.38) 27 donde Yti y Yt2 con matrices diagonales constituidas por sus correspon_ dientes Yti y Yt2, además Vj1, Vy2 , Ij1 e Iy2 son vectores de componen_ tes Vti ^ Vt2 9 Iti .e Itz respectivamente. Además podemos escribir matricial mente las ecuaciones.(3.32) y (3.33), generalizando para, n elementos se tiene: > x / X $11 $12 \ ÍMi $11 $12 = $21 $22 ÍM 2 % ?Ml + ^21 $22 Si (3.39) tyvU donde: (3.40) >n (3.41) (3.42) 22 - diag {$22 } (3.43) (3.44) - diag' {i(ji2 (3.45) - diag' {if¡21 } (3.46) 28 A.'. = diag (3.47) son matrices nxns puede referirse a elementos de carga, generación o generación oscilante. Mi W Mi y W M 2 son vectores compuestos .por Vb : ,. Vb 2 s *¡Mi , Ib 2s Wbi y Wb 2 -respectivamente. (3.48) y (3.49) El objetivo es poder reemplazar (3.37) en (3.39) para lo cual deberemos necesariamente definir la matriz de incidencia reducida, ya que en (3.39) la formulación es general para todo tipo de elemento rexistente en la red. Este análisis se presenta en el Apéndice É, obte- niéndose (3.37) en la forma - Yt .MI (3.50) Yt Ahora (3.50) en (3.39) y agrupando términos en VM J y VM £ se tendrá el sistema adjunto para elementos de transmisión como: 29 Yt2 + $22 Yt Yti + $21 Yt 2 + -$ 2 i Yt 2 + $22 Y ti + (3.51) Aquí se puede apreciar la forana.muy p a r t i c u l a r - d e lo que se define cp_ mo matriz adjunta. La solución de (3,51) implica encontrar los volta_ jes adjuntos, para con e l l o s poder d e f i n i r las derivadas parciales de una función con respecto a las variables de control:, llamada sensitividad. --K. Los vectores constituido ^ por W Ml y W M2 son las derivadas parciales de la función objetivo "f 11 con respecto a las variables de control, como se .aprecia e'i el Apéndice C. 3.3.2. G e n e r a l i z a c i o n . d e la modelación adjunta en el sistema de poten cia Para el efecto se parte de la matriz admitancia de dimensión nxn» ha1 sido dividida en bloques asociados con los grupos de carga, generación y barra oscilante, de igual manera se ha repartido los voltajes y co_ rri-entes, por lo tanto desde (3.50) se tiene: Y LL YLQ Y LN (3.52) ,nn 30 Ahora eliminamos la barra oscilante^ en donde conocemos su voltaje en parte real e imaginarla para tener / N YLL !LG IL li = _ (3.53) ÍG sustituyendo (3.53) en (3.39) y.agrupando, en-conveniente forma» se ob_ tiene 22 LL LG LG GG V . «e (3,54) pero algunos elementos de la matriz adjunta_son complejos, así: (3.55) y ^ Vr LG (3.56) GL (3.57) BGG (3.58) L2 (3.59) (3.60) 31 ^ _ ^ ^ (3.61) WL ~ LI ^ 12 (3.6Z) entonces se reemplaza (3.55 - 5.60) en (3.54) j Bu) Bu.) +cf>r2.(GGL+j B GL ) .-^ —> >2 2 ( GGG+j B GG ) 3GL' DLL' i*s j B LG ) /^J (3.63) Gi Se observa claramente que en la matriz adjunta existen cantidades plejas, por cuya razón es conveniente el.separar en parte real e imagj naria el producto matricial. (3.63) para facilitar el cálculo de los ^- . s*~ -^ s^~ voltajes adjunto V^-, V L £ , V Gi y VG^ que constituyen VLI- VL 2 -v G l y v¡2. (15..16J a .-los vectores V Gi ^-1 v. /s WG,. WLZ /** WL A. /^ • VG I L1 j^. W Gi /-\ j G Hl '^V-J Ct GPP + rv (j)12 G G G , G >21 , wiL [_ | i GL **j 22 22 2 I i -v-LL + £GG *4- R p U 1 (3.64) ro CO 33 Una vez obtenida esta estructura más simple de la matriz adjunta, debj_ do a.que hemos evitado las cantidades complejas» observamos que se de_ ben determinar los coeficientes ¿ y ^ para cada tipo de componente del sistema de potencia. Cada <j> ó ij; es función de cada elemento que compo_ nen las submatrlces MU y M 1 2 del Jacoblano de carga generación o transmisión especificados en el Apéndice B; se debe recordar que <j>. ^ se definieron desde (3.3Z) y su forma se tiene en el Apéndice C. Respecto a la porosidad de la matriz adjunta esta es similar a la del Jacoblano y a que todos los elementos de Interconexión entre barras de carga de generación y.oscilante están especificados en la matriz adjun_ ta^ Inclusive el número de voltajes adjuntos a determinarse son 2(n-l) ya que para cada barra del sistema se debe encontrarla parte real (Vbi) e imaginarla (Vb2)5 es decir dos veces las n barras del sistema, menos dos variables que son. especificados desde la barra oscilante nos dará las 2n-2 voltajes adjuntos a determinarse. Una apropiada reestructuración de (3.64) permite el encontrar funcio- nes más simples de $ o ty para cada tipo de barra de la red y ademas el poder unificar las dos definiciones que sobre las variables de estado y de control se hicieron en el subcapftulo 3,2. Este procedimiento - nos da la facilidad de aproximar algunas variables, como se muestra a continuación. 3.4. SIMPLIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES ADJUNTA En (3.64) encontramos que se debe determinar <j> y ty para barras de car_ ga y de generación razón por la cual lo haremos en forma separada y 34 utilizando las definiciones Zb y Zb. La ecuación (3.30.a) puede ser escrita de la forma: Ib Vb b >lbx ~ ^* Ib (3.65) .- * Vb de la cual partiremos para la simplificación. I 153 16 1 3.4.1. Barras de carga ^ x obtenidas en e\e B, en Reemplazando Mi- 1 3 M^ 1 y y¡h s^jíi •sJ-Jw (3.65) ^ " y utilizando la definición de Zb dado en (3.19.a) VI Vil* VI . VI j VI -j VI* Sl Sl VI* VL VI V I 1 TI i I - Sl* ^ * 11 J ^ - VT* Ji VI V 1 9 VI VI* S1 8f VI 3f 961 f (3.66) de donde se obtiene que n = 3 f VI 2V1 9 + Sl 9 VI (3.67) VI VI IV! 2V1 VI + Sl VI VI (3.68) 35 colocando (3.67) y (3.68) en forma matricial s, 1 íi 0 0 VI S1 vi2' VI VI iJ f +Ji + f 1I 1' 2 ., * SI n* 1 f 1 = 0 L( I(VI VI 1 VI* VL* *lÍIV1 V1 1 J VI f ^ VI 1 I 1 } (3.69) Ahora u t i l i z a n d o l a d e f i n i c i ó n de tj),Tj;dadas en el Apéndice C obtenemos los valores de- $, ty y W[_ que se dan en la t a b l a 3.1. 1 1 •->• De i g u a l m a n e r a 3 reemplazando M l l -, M 1 2 y nbx en ( 3 . 6 5 ) . u t i l i z a n d o la d e f i n i c i ó n de Zb dada en ( 3 . 1 9 . b ) . 1 Ti 0 * i % VI vg 9 VI (3.70) 0 s 1 f ^ n* 0 f •^ 0 8f vi^ \f ^ 8 VI / obtendremos $ , fy y Wj_ dados en la t a b l a 3 . 2 . 3 . 4 . 2 . Barras de generación Igual procedimiento que para las barras 'de carga podemos r e a l i z a r para barras de generación. U t i l i z a n d o las variables Zb de ( 3 . 2 0 . a ) y la de_ f i n i c i ó n de MU , M Í 2 y nbx ^ Apéndice B s se tiene 36 / j Vg -j * "íg Vg Vg* 8f vg «8g Vg (3.71) 0 ~* ig 0 >• j Vg -^ / J Vg 9f ^ * Vg 3Qg j que en apropiada forma se obtiene los valores mostrados en- la Tabla 3.3. Proceso equivalente se hace con las variables Zb de (3.21.a) con ^. que se tiene todo el conjunto de <j>^ fy y W para las barras de ción. lo genera- Esto se muestra en la Tabla 3 . 4 . TABLA 3.1. L ,L ELEMENTOS DE < f > , i|j y W L UTILIZANDO LAS VARIABLES Zb n = Re VI 12 = 0 i(;12 = Img {VI = O Re f-^2V1 VI = Img } -^- f = Img VI2 V 2 2V1 k 3f _ -i _. VI 861 9 VI 8 61 VI 37 TABLA 3 . 2 . ELEMENTOS DE <J>L , / y W L UTILIZANDO. LAS VARIABLES Zb >n1 -- 11 r 1 - n i^i - Re \I[ 1 VI 2 11*12= Img S - — } 1 VI 2 } = Img í- - - j 1 = 1 ^92 = Wh = Re W1 2 = Img VI 2 'S ^ SV1 Re (TTT^ TABLA 3.3. ELEMENTOS DE <¡>G, ^ Y WG UTILIZANDO LAS VARIABLES Zb *" = 2 I m g { V g } Wgi = - -M; $ 129 '= 2 Re jVg } Wg 2 = i|;2ig= 2 Img »H9 = O 4> 2 2 9 = 2 Re |Vg |Vg| 9f 3Q9 = 2 Re {Vg} ;9 = O 21° = O 129 .n 9 = 2 Img ÍVg} ty2í9 = Img {- j -^-} i|j229 = 2 Re { Vg } = 2 Img { Vg } ^ 129 = Re ' {j ^Vg^} fci9 { Vg vg ^ f Wg 2 = Img { Vg —j- ELEMENTOS DE cj> G , <pG y W G UTILIZANDO LAS VARIABLES Ib TABLA 3.4. co oo 39 Luego de tener ya los valores de <j> 3 $ y W para cada barra se s i m p l i fica la ecuación (3,64) debido a que $' se presenta en i g u a l forma ^ tanto en la definición en base a la variabla Zb como en Zb, quedan;-. do entonces como se muestra en la ecuación (3.72). Se tiene enconces una matriz adjunta más simple de evaluar y mantie_ .ne las mismas características que la de la ecuación (3.64) con la ventaja de que inclusive se tienen submatrices de valor cero. ^ //-. s~ Una vez calculados los voltajes adjuntos V^-V^ V Gl y VQ compue_s_ tos por sus respectivos VI l y VI 2 , Vg! y Vg 2 se evalúa el vector nbu del cual obtendremos las sensitividades, reemplazando en la ecuación (3.30.b). Las submatrices M^2i , M*-> 22 y ribu se muestran en el Apéndice D.fl4,15l ^ ^ / 3.5" ALGORITMO DE SOLUCIÓN DEL FLUJO DE POTENCIA 3.5.1. Análisis de la función "f" En el estudio anterior no se ha definido la función "f" de la cual se obtendrá las sensitividades. En e' flujo de potencia los valores que nos interesa conocer son los voltajes en parte real e imaginaria en las barras de carga,, el ángulo del voltaje y la potencia reactiva en las barras de generación. Por consiguiente se utilizara" la defj_ nición de cada variable para cada tipo de barra en función de volta^ jes y corrientes con lo que se define la función "f", asi: 111 p LL \ •% VL: + f" ?GL r S N 12 <#' LL n - B LG (3.7Z) >12 O 41 -•Para barra de carga e = -- (VI + V I*) (3.73) f = -Í- (VI* - VI) (3.74) - Para barra de generación ó = tan-1 fj(Vg* - Vg)/(Vg + Vg*) 1 ^f (S.75) Q = j(Vg* Ig - Vg Ig*) (3.76) • Estas definiciones fueron realizadas en (3.20.a). En al Apéndice C y en las ecuaciones (C.7) y (c.8), se tie'ie que función "ffí es derivada con respecto a una variable de estado diendo luego la parte real e imaginaria, tal como se tiene en la divilas ecuaciones (3.32) y (3.33). Por ejemplo, para obtener la variación de."e" con respecto a VI tiene 3V1 Re 8 VI (VI + Vl*)/2 = se 42 o sea =o W Ll = De esta manera trabajando en e, f, ó y Q y como variable de estado a VI y Vg se obtienen las derivadas parciales' que se muestran en la '"• x". tabla 3.5. |13|, y que constituyen los elementos de cada W L l > W L2 5 TABLA 3.5. ariables dependientes Elementos de W Elementos de W L = m 6 = m L f m 6 i- m Qg el Vmi 1/2 0 ü -1/2 donde m = L ó G s Vg2/2 0 5g_. 0 -V9l/2 barras de carga o generación. 0 43 Por ejemplo^ si deseamos obtener la parte real del voltaje en una ba_ rra de carga (m = L), definiremos que ésta es la función "f" de la cual obtendremos las derivadas parciales con respecto a VI y Vg s te_ niéndose 1/2 Es decir este vector W variará dependiendo de que función "f" se uti_ lice. Por consiguiente, al obtener e y f (voltaje en parte real e imaginaria de una barra), se debe definir 1W 2 veces. Así si desea_ mos obtener de (n - 1) barras el voltaje en parte real e imaginaria, "W" será definido 2(n-l) veces. De lo anterior se desprende que para cada "W" se resuelven las ecua_ ciones adjuntas obteniéndose cada vez un conjunto de Vli,.Vl 2 , Vgi y Vg 2 , las qu^ reemplazadas en ribu de las tablas D2 del Apéndice nos darán las variaciones con respecto a las variables de control (Pl Ql en barras de carga),, así ' ^ * - VI /VI - VI/VI y 44 Al observar (3.18) y despejando*Hbu Y operando matemáticamente se ob_ ~j tiene que vl * S (3.77) de donde se puede encontrar la variación Af del voltaje en parte real e Imaginarla que _ nuestro objetivo. 3.5.2. Algoritmo Paso 1. Se calcula P y Q para cada barra asumiendo un valor de voj[ taje en la primera iteracción. Cj 1 ? G pq Qpk = ^ (fpk (eqk G pq + fqk B pq ) - epk (fqk G pq Paso 2. Se evalúa la variación de potencia activa y reactiva en cada barra. = .(.dado) - H Paso 3. Se evalúa .los elementos de la matriz adjunta de (3.72) utilj_ zando los valores dados en las tablas 3.1. ó 3.2. Paso 4. Resolver las ecuaciones lineales de (3.72), para cada vector Paso 5. De la solución de (3.72) evaluar el vector riu, que desde (3.77) tendrá la forma dada por la Tabla 3.6. Paso 6. Readaptamos las variables dependientes usando i controla que se"opere en todas las barras. Paso 7. Si existe convergencia se detiene el proceso, caso contrario se vuelve al Paso 1. TABLA 3.6. SENSITIVIDAD CON RESPECTO A VARIANLES DEPENDIENTES Variables independientes Elementos de r\ Pl Re { - VI/VI Ql Img { - VI/VI Re { - Vg/Vg |vg| } } } - Re { I g Vg + .Vg* Ig* } / Vg Se determina que los pasos 4, 5 y 6 deberán hacerse 2(n-l) veces que las (n-1) barras tienen 2 incógnitas, debiéndose readaptar ya para cada "i"-una variable del voltaje de barra. El valor 2 que multiplica a (3.77) pasará a multiplicarse a los com s~* ponentes de W de la Tabla 3.5. con.lo que se tiene una reducción de esfuerzo en la resolución del flujo de potencia. 'TABLA 3.7. VECTOR W DE LAS ECUACIONES ADJUNTAS f^ Elementos de W Variables dependientes L.= m L^m G = m • G ?m Qg el Vmi 1 . 0 Vg 2 0 g f"íi 5n Vm 2 - 1 0 - v gi o Con la finalidad de facilitar la construcción de la matriz adjunta se sugiere la siguiente notación. 47 n = número de barras. rij_ = numero de barras de carga. n0 = numero de barras de generación. rig = numero de ramas de la red. 1 = 1s 2 , . . . ^ n[_ denota una barra de carga . 9 = n L+lí • • • * n t + nG den°ta una barra de generación. t = n+1 , ... s n muestra un elemento de transmisión. 48 CAPITULO IV APLICACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS EJEMPLO 1. Primeramente se presenta un ejemplo He dos barras en donde una.es oscj_ lante y una de carga, se implementa el algoritmo obteniéndose los tajes en la barra de carga y las sensitividades en el punto de ción. Con una convergencia de 0.01. (15). (2) Y5=6-j20 •^ SU 5 + J 3 V2=10 "77777? 1. Cálculo de P y Q utilizando k Pp P n = 2 q=l (eqk G + fqk B pq ) n fq q=l Con lo que B pq ) f k (fqk G pq pq )) vo]_ solu- 49 P!Ü= O 2. C a l c u l o de la v a r i a c i ó n de P y Q k k p ~ P p(espec1f1cada) ™ "p k p k = Q p ( e s p e c i f i c a d a ) " Qp entonces 3. Evaluación de los elementos de la matriz adjunta. # de ecuaciones = 2(n-l) = 2(2-1) = 2 &.- j 18 - 6 + j 20 - 6 + j 20 6 - j 17 YR - Gn + Mad = u 50 SI 20 Mad = - 16 el vector W será evaluado desde la Tabla 3.6 (A) para cálculo de e-] (B) para cálculo de con lo que se tiene 6 vu 20 W1-! = - 16 X 6 VI 2 / \ (4.1) 51 4. y 5. Resolución de (4.1) por el método L,U, - Para el caso (A) V I 2 = - 0.0449 = - 0.01685 Desde la tabla 3 . 6 . se debe evaluar VI VI. = 0.01685 + j 0.0449 - Para el caso (B) V I 9 = 0.01685 VI ! = - 0.05618 Por consiguiente desde la tabla 3 . 6 . VI VI = 0.05618 - j 0.01685 6. Evaluar las variaciones 'de e y f, AQ: Aé, VI VI VI VI Re APi 52 AíV - 0.01685 0.05618 Af 0.0449 - 1 0.01685 - 5 0.20765 - 0.14043 ^ fi° + A f i = - 0.20765 6^ = e/ + Aei = - 0.-20.77 Como Af y Ae con variaciones que no cumplen la convergencia volvemos al paso 2. Como el proceso es repetitivo se presenta en la Tabla 4.1. los resul_ tados obtenidos. Se puede determinar que al. resolver el flujo de potencia y en su ú]_ tima iteración se obtienen las sensitividades del voltaje en parte real (e) con respecto a las potencias activas y reactivas; de igual forma las sensitividades del voltaje, en parte imaginario (f) pecto a las potencias activas y reactivas. con res El objetivo del concepto de "RED ADJUNTA" ha sido establecido al calcular, sensitividades. 53 TABLA 4.1. FLUJO DE POTENCIA PARA EL EJEMPLO 1 Cantidad Iteración APi - 5.0 0.3805 - 0.0598 - 0.0032 AQ : - 1.0 - 1.1311 - 0.1794 - 0.0096 -0.0783 0.0876 0.01686 3ei/9Qi • -0.05396 0.05618 0,0701 0.1027 0.1152 - 0.14043 0.0998 - 0.0231 ' - 0.0014 3fi/3P: - 0.0449 0.04381 0.04305 0.0428 Bfi/3Qi - 0.01685 - 0.01727 - 0.01826 - 0.0186 Afi - 0.20765 0.8596 fi - 0.20765 0.0028 . 0.0007 0.000 0.7598 0.7367 0.7353 - 0.2042 - 0.2041 .- 0.2049 - 54 Al correr el mismo ejemplo por el Método de Newton - Raphson y al com_ pararlo con el Método del Uso de Red Adjunta se determinan las siguien_ tes características: 1. El numero de iteraciones en ambos métodos es igual. 2. Las variaciones de voltaje en parte real e imaginr.vv¿ son similares en cada iteración. 3. El orden de la matriz adjunta es igual al orden del Jacobiano, es decir 2(n - 1) x 2(n - 1). (14..17] 4. La forma de f¡u es similar a la transpuesta del inverso del biano. barras. Jaco- Este particular se enclarecerá al tratar el ejemplo de 3 13, 18| 5. Por cada iteración, en el Método de Newton - Raphson se realiza una sola transformación L.U y se encontrará todas las variaciones de voltaje. Por el método del uso de Red Adjunta se realizarán 2(n - 1) transformaciones L.U y luego del cálculo de n f u determina^ remos las variaciones de voltaje. [ 13, 15, 16, 17 J 6. La formación de la Matriz Adjunta es más sencilla que la forma- ción del Jacobiano, pues inclusive se tienen elementos que se ma_n_ tendrán constantes en todas las .iteraciones.. =[l3 9 14, 15, 16,17] 55 EJEMPLO 2. Las características 4, 5 y 6 anotadas anteriormente son determinadas de mejor forma el tratar un ejemplo de 3 barras. [19) . La convergencia es de 0.001.. (2) DATOS.- BARRA p-q 1 - 2 2-3 (p.u.) BARRA P Yp/2 j 0.12 j 0.123 j 0.10 j 0.123 j 0.10 -j 0.686 56 BARRA VOLTAJE SUPUESTO 1 1.0 + j 0.0 2 1.0 + j 0.0 0.6 1.0 J* 1.05 + j 0.0 2.0 1.0 GE?IERACION MW MVAR CARGA MW MVAR i:2 0.6 * Barra o s c i l a n t e . Primera i t e r a c i ó n . - 1. C a l c u l a r P^ ¡V, Ch 0 y Q 2 P!° = O Q:° = - 0.623 = O Q2° = - 0.623 2. V a r i a c i ó n de potencia activa y reactiva = - 1.2 AP 2 °= 0.6 = 0.023, AQ2° = 1.623 3. Evaluación de los elementos de la matriz adjunta 57 - 18.21 i.333 = j YR 8.333 10 - 18.21 10 10 - 20.686 10 Orden t¿ la matriz adjunta = 2(3-1) x 2(3-1) = 4 x 4 . 12 G21 Vli W9l 2i 12 G2 0.623 (VI 1 !) Sl Wl ! -5- = j 0.623 VI Wl V9i Wg : 58 18.833 - 8.333 ;.333 18.833 VI i (4.2) -17.587 8.333 O ;.333 -17.587 O W el vector W es v a r i a b l e y presenta los s i g u i e n t e s valores: /ariable fi Wl Wg : Wl 0 O O 1 0 o : -i o . o 0 4. y 5 t Resolución de ( 4 . 2 ) y obtención de las s e n s i t i v i d a d e s de e l s £ 2 » fi Y ^2 con respecto a la potencia activa y reactiva. 1. C á l c u l o de voltajes adjuntos resolviendo ( 4 . 2 ) con el primer s*. vector W. 59 V l i = 0.0 VI 2 = - 0.066C22 V g i = 0.0 . V g 2 = - 0..029213 cálculo de sensitividades para la parte real del voltaje en la barra 1 ( e i ) . ~= j 0.066022 VI _ -lS_= j 0,0292131 Vg ^- = - Re { - -^- } = O. O 3Pi Vg = _ Re 3P2 8e- {. Vg = img í - -^r } = 0.066022 3Qi VI -^- = Img í - -% > 9Q2 Vg = 0.0292132 2. Cálculo de voltajes adjuntos resolviendo ( 4 . 2 ) con el segundo ve_c_ tor W. V l i = 0.0 V I 2 = - 0.029213 Vgi = 0.0 Vg 2 = - 0.066022 Cálculo de sensitividades para la parte real del voltaje en la ba 60 rra 2. (e 2 ) -^V= j 0.029213 , - -^= j 0.066022 VI Vg. vi Sfe 2 _ = - Re 3P2 = Img 3Qi * - ^_ ] , ' ' - 0.0 Vg j - ~~ ] ' VI 11~\ = 0.029213 v = Img í - ~^r } Vg =. 0.066022 3. C á l c u l o de voltajes adjuntos resolviendo ( 4 . 2 ) con el tercer vec tor de W. V l : = - 0.07332 V1 2 = 0.0 Vgi - - 0.03474 Vg 2 = 0.0 Cálculo de sensitividades para la parte imaginaria del voltaje e'i la barra 1. ( f i ) 61 VI i = 0.07332 = 0.03474 vg VI = 0.07332 -VI 3Pi = Re = 0.03474 Vg _ VI Tmn img 9Q n n - u. u VI L= _ 3Q 2 { . - - [ = 0.0 ímg Vg ' 4. Cálculo de voltajes adjuntos resolviendo ( 4 . 2 ) con el cuarto tor vec- de W . = - 0.03474 = 0.0 ! = - 0.07332 Vg 2 = 0.0 Cálculo de sensitividades para la parte imaginaria del voltaje , en la barra 2 ( f z ) . VI = + 0.03474 5 Ve Vg VI VI = Re í- -^V] = 0.03474 3P i i,-, VI ) = + 0.0733^ 62 = Re - - = 0.07332 Vg = 0.0 = - Img 3Qi = - Img \- -^ \3 * Vg con lo que Aei -Reí- ^} VI Afi -^-} Vg -Reí-^V) VI V -Re { - -^} Vg Re í - -%} . Reí VI Re í- -^} VI Vg ..Reí - -%} Vg VI Img í- -^-} VI Img {VI Img {- -Imgí- •—*} VI -Imgí- -Imgí- — VI T / -Img{ reemplazando sus respectivos valores se obtiene = 0.04894 Img í- -^ Vg APi AP: Vg A:Q¡ Vg AQ; Vg 63 Aé 2 = 0.107825 Afi = - 0.06714 Af 2 = - 0.00234 que sirven para obtener los valores de voltaje^ e\ 1.04894 e*2 = 1.107825 fi = - 0.06714 f\ 0.00234 De aquí se vuelve el paso 1.repitiéndose el proceso. muestra los resultados obtenidos. La Tabla 4 . 2 . 64 TABLA 4.2. FLUJO DE POTENCIA PARA EL EJEMPLO 2 Iteración .ntidad 1 APi 2 - 1.2 0 1438 ' - 0.0655 3 - 0.00077 AP2 ' 0.6 AQi 0.023 - 0.0196 - 0.001 AQ2 1.623 - 0.035452 - 0.000066 A'e'i 0.04894 - 0.001164 0.0000717 Afi - 0.06714 0.008026 0.0000196 4e, 0.107825 Af2 0.00234 0.0004248 ' 0.000028 «' 1.04894 1.047776 1.047847 e2 1.107825 1.1055409 1.105576 - 0.0027841 0.0007 0.0000353 '. - 0.06714 - 0.059114 - 0.059094 fz 0.00234 0.002764 0.002792 Se tiene que en la Iteración 3 ya se encuentran los valores convergencia requerida. con la 65 TABLA 4.3. SENSITIVIDAD EN EL PUNTO DE CONVERGENCIA PARA EL EJEMPLO 2 9e; 9e o P1 3Pi 1 M fKro-7o U . UOo /.u 9Qi 0..030587 9Qi n nnnd^o 9P 2 3 PI 9e 2 0.003215 9e 2 - 0.002868 8P2 n norn f f 0.065856 n . n^Qfi^i u uuyu4-TQ jy 0.0301375 9Q2 1 3Pi . j> ^: n . nnmn/i U UUU JU4- 9Qi 3f2 - 0.0007952 3Qi n n "f oní: U . Uí-uOÜ 9 f2 0.06003 9P2 3"'1 n nnnvppc; 9Q - 0,0002102 9Q2 Todas las conclusiones obtenidas para el ejemplo 1 son. válidas para el ejemplo 2, debiendo agregar: 66 1. Es muy necesario la obtención previa de la matriz admitancia de barra (Yg)s pues en base a esta se calculan los elementos de la matriz adjunta. 2. El cálculo de los elementos que varfan en la.matriz adjunta son más sencillos, además que algunos permanecen constantes en todas las iteraciones. 3. Existe igual porosidad entre el Jacobiano del método de Raphson y la matriz adjunta. Newton- Pues se tienen todos los elementos que sirven de interconexión y si no existen en su casillero encontraremos un cero. s*~ 4. Se observa de manera más general la forma de riu> facilitándose -*^r el cálculo de las variaciones de voltaje. En definitiva se tienen que presentar las siguientes características muy importantes- sobre el método de Newton - Raphson: "El cálculo de los elementos de la matriz adjunta es más sencilla que la del Jacobiano 11 (13). - Se obtienen las sensitividades de los voltajes (parte real e imaginaria) con respecto a las potencias activas y reactivas. 67 - Se requieren 2(n-l) transformaciones L. U. por- cada iteración, en cambio el de Newton - Raphson emplea una 'transformación L. U. por iteración, por consiguiente el tiempo de ejecución es mayor % En la Tabla 4.3. se presentan la:> sensitividades de los voltajes (pa_r te real (e) e imaginaria (f) ) ccn respecto a las potencias activas y reactivas. Las cantidades que se muestran tienen un.signo y un va_ lor, estableciéndose un .análisis se encuentra que: - Si son cantidades positivas se tiene: A un incremento de potencia (activa o reactiva) se tendrá un incremento de voltaje (e o f) o, a un decremento de potencia (activa o reactiva) se experimentará un decremento de voltaje (e o f). Por ejemplo ^eí/^Pl es.positivo entonces, a un aumento de potencia activa en la barra.1 corresponderá, un aumento de voltaje ( parte real) en la barra 1, o* a una disminución de potencia activa en la barra 1 se tendrá una disminución de voltaje (parte real) en la ba_ rra 1. - Si son cantidades negati.vas.se tiene: A un incremento de potencia (activa o reactiva) se tendrá,un decremento de voltaje (e o f) o, a un decremento de potencia (activa o reactiva) se experimentará un incremento de voltaje (e o f). Por ejemplo ^f2^QlJ es negativo entonces a un aumento de potencia reactiva en la barra 1 corresponderá una disminución de voltaje (parte imaginaria) en la.barra. 2, o 3 a una disminución de potencia reactiva en la barra 1 existirá .un aumento de voltaje (porte imaginaria) en la barra 2. Estas sensitividades son de mucho interés para' analizar el comporta- miento de un sistema ante cambios de potencias 3 tanto activas como reactivas y la forma como afectan en Ta variación de voltajes en cada barra. - Respecto "al valor '(8e1/ap1 = 0.008), indica la velocidad, con la que se produce el cambio de voltaje (e o f) respecto a la .potencia ti va o reactiva). En el caso del ejemplo se tiene'que el (a_c_ voltaje (parte real) en la barra 1 vari ara3 con respecto a.la potencia acti_ va en la barra 1, a una velocidad de 0.008. Igualmente este análisis en redes ofrecen al personal de despacho de carga, en una empresa eléctrica, el saber el comportamiento del siste_ ma en donde se opera, es entonces una información importante en el ma_ nejo de flujos de potencia. En el problema de 3 barras se tiene que existirá una mayor velocidad en el cambio de voltaje (parte imaginaria) en la barra 1 respecto una variación potencia activa en la misma barra, pues a 9fi/Spi 0.069044 es el mayor de todos los valores analizados. EJEMPLO 3.A continuación se analiza un problema de 5 barras (l7], el cual ha sj_ 69 do resuelto utilizando el computador de INECEL 4 se presentan los datos del sistema, la matriz de sensitividades y los resultados del flujo de potencia con una convergencia de 0.001. El tipo de computador es PRIME 550. DATOS.- DE BARRA Zpq BARRA Yp'/2 p-q (p.U.) P 1 -2 0.04 + j 0.12 1 j 0.040 1 -4 0.08 + j 0.24 2 j 0.085 2-3 0.06 + j 0.18 3 j 0.055 2 -4 0.06 + j 0.18 4 j 0.055 2 -5 0.02 + j 0.06 5 j 0.0055 3 -4 0.01 + j 0.-3 3 - 5 0.08 + j 0.24 70 Voltaje Generación Carga Barra supuesto . MW MVAR MW MVAR 60 10 20 10 15 1 1.0 + j 0.0 2 1.0 + j 0.0 3 1.0 + j 0.0 45 4 * 5 1.0 + j 0.0 40 40- 0 1.06+ j 0.0 30 . - 0 - . 5 0 RESULTADOS.- Luego de la cuarta iteración la convergencia requerida 3 en la 4.4. repressentan .los niveles de voltaje para cada barra del Tabla sistema y en la Tabla 4.5. se tiene la matriz de sensitividades en el punto de solución. TABLA 4.4. VOLTAJES EN LAS BARRAS Barra Carga Generación P V 1 1.01818 - 6.1.6 2 1.04764 - 2.8,1 3 1.02444 - 5.00 45 4 1.02385. - 5.33 40 5 1.06 (p.u) 6(°) 0.0 MW 40 MVAR 30 MW MVAR 60 10 20 10 . 15 5 . 0.011312 0.04456 0.04832 0,03686. 0.03934 0.02155 0.0121585 0.04452 0.0/1D21 0.05591 0.01057 0.016519 0.01869 0.01866 0.01548 2 0.05636 1 . 0.07731 0.086901 0.03697 '0.04950 0.02551 0.03007 0.01217 0.017402 3 . 0.09264 0.07711 0.039356 0.05615 0.03218 0.02595 0.01325 0.020465 4 ' . - 0.03118 - O 02774 - 0.02331 - 0.05869 0.05663 0.04973 0.04572 0.1275 1 MATRIZ DE SENSITIVIDADES TABLA 4.5. - 0.01939 - 0.01819 - 0.02121 - 0.02001 0.03794 002551 i 0.04765 0.0454 - 0.04141 - 0.01998 - 0.02639 0.07451 0.08422 0.03588 0.04985 3 0.08974 0.07441 0.03829 0.0566803 4 - 0.04937 - 0.04188 - 0.021586 - 0.03 _ 72 La matriz de sensitividades presenta Igual forma -que la transpuesta del Jacobiano Inverso, por esta razón su interpretación es más sen_ cilla. Ap ¿ic . ae 8e 8P 3Q 3f 8P 9f 3Q AP ¿ir = Af Al AH ñl/ Se observa desde la Tabla.4.5. que a incrementos de potencia activa o reactiva se tendrá un incremento de voltaje (parte real) en cua_l_ quiera de las barras; de igual manera.ante decrementos de potencia activa o reactiva se tendrá un decremento de voltaje (parte real ). Esta afirmación es hecha debido a que todas las variaciones son positivas. Ante un incremento de potencia reactiva en una de las barras del sis_ tema se consigue un-decremento de voltaje (parte imaginaria) en cua]_ quier barra del sistema. La mayor velocidad de variacion.se tiene al producirse un cambio potencia reactiva en la barra uno teniéndose una variación de de volta_ je (parte imaginaria) en la misma barra. Las características, comparativas con el método de Newton - Raphson anteriormente especificadas son igualmente válidas para este ejemplo. 73 CAPITULO V CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES En el presente trabajo se ha demostrado la utilización del concepto de red adjunta en los circuitos eléctricos. Como se estableció, esta té£ nica ayuda al cálculo 'de sensitividades y, en una forma apropiada a la resolución de flujos de potencia. La definición de red adjunta que se ha obtenido, es general, permitiera do su utilización para el cálculo de sensitividades en futuros estu- dios s sean en circuitos eléctricos, electrónicos, digitales f 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 )„ etc. Como principal conclusión se establece que la red adjunta posee igual conjunto de voltajes y corrientes de rama e idéntica topología que la red original, pero no necesariamente iguales elementos, f 4] Este con- cepto ha sido comprobado en el análisis de la red R - L - C, (Capitulo II) pues se encontró que para la obtención de sensitividades teniéndose I 0 = O en el circuito original 3 en la red adjunta $0 es igual a 1 , o sea, se tiene una fuente de corriente de valor unitario en la de salida del circuito. ranja Las expresiones de sensitividad^ en este caso, son sencillas debiéndose establecer un análisis tanto en la red origj_ nal como en la adjunta. Para el caso de análisis de flujos de potencia se establece una teoría, general., pues la función a -ser evaluada (f) y de la-que se requiere su 74 sensitividad, es tratada al definir el algoritmo del flujo de Potencia. En la ecuación (3.72) se tiene que "f" debe ser una función com_ puesta de los parámetros de estado y de control, -pudiendo ser esta cualquiera que el estudio amerite, asi puede ser las funciones de co^ ductancia (G) ó susceptancia (B) de cada elemento de' la red, del ángj¿ i lo de voltaje en una barra del sistema ( §)» del módulo de voltaje ( V I ) en una barra, de las potencias activas o. reactivas ó de la pa_r te r-eal e imaginaria del voltaje de barra. La definición de cada una de estas funciones ha sido desarrolladas en el Capitulo II y el cálq¿ lo de las sensitividades (n"bu) se obtienen para elementos de carga, ge_ r-> neración o elemento aislante y de transmisión en el Apéndice D. Al tratar el flujo de. potencia se define previamente las forma de "f" es decir» las funciones a ser evaluadas. Asi" para una barra.de carga el voltaje en parte real (e) o imaginaria (f) definen la función, pa_ ra una barra de generación en cambio lo harán el ángulo de voltaje de barra (¿íg) y la potencia reactiva (Qg). Analizando los métodos formales de resolución de flujos de potencia se tiene que el mltodo de Newton - Raphson es el de mejores caracte- rísticas tanto en tiempo de ejecución como en requerimientos de memc^ ria feo], por Ib cuals el nuevo método aquí analizado es comparado ob_ teniéndose las siguientes conclusiones: - El numero de iteraciones son iguales en ambos métodos. - Las variaciones de voltaje en parte real e imaginaria son similares 75 en cada Iteración. - La barra oscilante no se considera para el calculo de variaciones de voltaje. - El orden de la matriz adjunta es igual al.orden del Jacobiano (2(n-l) x 2(n-l)¿ n = numero de barras) - El cálculo de los elementos de la Matriz Adjunta es más s-encillo que el Jacobiano pues,, inclusive existen elementos que. permanecen cons- tantes en todas las iteraciones. - Existe igual porosidad entre el Jacobiano y la matriz adjunta. - Por cada iteración, se requieren 2(n-l) transformaciones L..U. o reso_ lución de (3.72 ). En cambio el de Newton - Raphso.n emplea una trans_ formación L.U. Esta sin duda es la mayor desventaja que existe el método utilizando el concepto de red adjunta, pues los en requeri- •mientos de memoria son mayores; un ejemplo que contemple 20 barras, por cada iteración se deberán hacer 38 transformaciones L.U. y alma_. cenar los voltajes adjuntos calculados en cada transformación para luego emplearlos en el cálculo de la matriz de .sensitividades ( ñu). •o Es por esta razón que la utilización de este método es aplicable a redes pequeñas. - Se obtiene una matriz de sensitividades de los voltajes (e y f) con respecto a las potencias activas y reactivas de cada barra del siste_ ma. Esto facilita el análisis de la red en estudio tal como se hizo 76 en el Capítulo IV. En definitiva, la resolución del flujo de potencia .utilizando concepto de red adjunta requiere de una gran capacidad de memoria comparado con el de Newton - Raphson. El algoritmo descrito presenta una es- tructura similar en ambos métodos, lo que facilita la comprensión la mecánica a seguirse para la resolucion.de flujos Ho de potencia. La utilización del concepto de. Red Adjunta es los-sistemas de poten_ cía ha sido demostrada, pues en base a 'su definición se han obtenido las sensitividades y con ello la resolución de flujos de potencia. Es necesario recomendar el.seguir explotando las ventajes del concepto de Red Adjunta en el estudio de redes, pues su aplicación en p'la- neación y análisis de sistemas eléctricos de potencia es muy grande, teniéndose estudios previos [l2*15l que respaldarán los que dan hacer. se pue- 77 APÉNDICES A-l APÉNDICE A A.l. CARGAS Para una carga el Jacobiano Jl usando el grupo de variables (3.19.a) se calcula como 8(|V1 61 Pl Ql J 9 [VI VI* II II j = Vl*/2 3jSl 3V1 9P1 9Q1 9 VI 9 VI 9P1 = V l / 2 VI VI 911 =• - J/2V1 =- - j n*/2 -a^*r = j / 2 VI * 9V1 = n/2 9 VI 9 (13*1 VI 9 VI de (A.l) 9W1 8 VI Zl j U/2 9V1 = O 361 9.11 _ = O o o 1 C_t. o fD en o fD tQ QJ? OP ¡1 Cb QJ O * l-i 1 QP 1 0 —1 * " i— . U o f—i 0^ QJ c_j. II -O A.3. Ahora usando el grupo de ecuaciones definidas en (3.19.b) se tiene 15 3Z1 T 9Wi ~ 9 (VI VI* SI SI*] . sí\ vi vi* ii n*!T (A.4) Itando 1 0 0 0 0 1 0 0 Jí = (A.5) -^ 11* 0 0 VI 0 11 VI* 0 / -" s. 1 0 o i 0' -n/vi* -I1*/V1 o (JJ- l ) T = (A.6) 0 0 0 0 0 l/Vl* l/Vl 0 A.2. GENERADORES Para un generador el Jacobiano utilizando la definición dada en (3.20.a) A.4. se obtiene Qg Vg 9Wg * |vg Pg Ig Ig * las derivadas parciales ya fueron obtenidas para el caso de cargas, en_ tonces de igual manera se tiene -j/2Vg j/2 Vg O -j Ig*/2 j Ig/2 j Vg*/2 -j Vg/2 Jg = entonces (A.7) Vg /2|Vg| Vg/2|Vg| O ig*/2 Ig/2 Vg /2 Vg/2 -J Vg j Ig -j Ig -d/Vg j/Vg [l5j j Vg (A.8) (JT1)' = Vg/|Vg Vg*/ Vg -Ig/|Vg| -Ig/|Vg 1/Vg 1/Vg Utilizando el grupo de variables Zg de (3.20.b) se obtiene: A.5. f Vg Ig |Vg|2 Sg+Sg* ] ^ 3 3Wg / Vg Vg Ig (A.9) Ig o sea Jg = (A.10) Vg Vg vg vg y la transpuesta del Jacobiano inverso es O -Vg*/Vg O (Ig Vg*/Vg2 - Ig*/Vg) O 1 - Vg /Vg (A.11) O 1/Vg O O O - Ig/Vg: 1/Vg A.3. GENERADOR OSCILANTE Para un generador oscilante utilizando (3.21.a) tiene un Jacotr.ano de_ finido por Í15] A.6. 3ZnT 3 [Pn Qn Vn 8Wn 3 (Vn Vn* In fin (A.12) In' obteniéndose el Jacoblano •*• In/2 In/2 Vn*/2 Vn/2 -j In/2 j In/2 j Vn/2 -j Vn/2 Jn = (A.13) Vn /2|Vn Vn/2 Vn O -j/2 Vn j/2 Vn O entonces 1/Vn 1/Vn. -j/Vn j/Vn (A.14) Vn/ Vn Vn / Vn -In/ Vn -In/ Vn j Vn . ,, * -j Vn . j In -j In * De igual forma utilizando (3.12.b) (15) In 3ZnT Vn (A.15) 3Wn 8 Vn Vn In In A.7 con lo que O O O ' 1 (A.16) Jn = O O O 0 o o 1 O 0 1 (A.17) (ürr ) U O O O A.4. ELEMENTOS DE TRANSMISIÓN Para elementos de t r a n s m i s i ó n u t i l i z a n d o ( 3 . 2 2 . a ) se tiene el Jacobiano como szt T 9 Wt {It} Vt I m g { It } Gt Vt* It Bt ] If (A.18) o b t e n i é n d o s e u n Jacobiano 1/2 1/2 - j/2 j/2 Jt = (A.19) -It/2Vt2 - It*/2Vt* 2 j It/2Vt2 -j It*/2Vt*2 1/2 Vt 1/2 Vt* -j/2Vt j/2Vt* y la transpuesta del Jacobiano Inverso es Vt/It Vt*/It* j Vt/It -j Vt*/It* (ot-1)1 = (A.20) -vt2/it ' -vt*2/it -j vtvit jvt*2/it* ahora utilizando (3,22.b) se obtiene SZtT 8 I It It* Yt 9 Wt 9 í Vt Vt* It (A.21) de esta manera It*| A.9, (A.22) Jt = 1/Vt ~It/Vt: -It*/Vt*2 O O 1/Vt* y por último \) Vt/It o -vt2/it o vt*/it* o -vt*2/it* o APÉNDICE B íbx '112 í.l. - , M 1 2 y nbx VI -S1/(V1 VI -SI*/(VI VI ) -j SI/VI -j VI j vi j S1*/V1* VI*/ VI vi /T ELEMENTOS DE CARGA ELEMENTOS DE M EN FORMA - J/Vg* J Sg*/Vg J Vg 3f 3f j Vg -j Sg/Vg -3 Vg' ELEMENTOS DE GENERACIÓN SIMPLIFICADA USANDO LAS VARIABLES Zb nbx Mi; Mu 13 -u JjL SPn 3f J/Vn 1/Vn 1/Vn1 -J/Vn> 0 0 0 0 GENERADOR OSCILANTE 3/Ty 1/Yt Imgílt} 8 f 9Re{It} 3f -J/Yt* l/Yt* ELEMENTO DE TRANSMISIÓN «ai. no CD nbx '12 '11 1.2. • \ 0 0 1 I s af 1TF \ 3f gvi I 0 J -SI / V I 2 1 0 M 1 2 Y nbx ELEMENTOS DE CARGA ELEMENTOS DE M^ EN FORMA 1 0 0 1 3f aig 3f 3Vg -Vg*/Vg -J 2Qg/Vg^ 0 " -VgVVg ELEMENTOS DE GENERACIÓN SIMPLIFICADA USANDO LAS VARIABLES Zb -*, ca co 112 3f 9ln* GENERADOR OSCILANTE 1/Yt T U-l- 9F d i U" ~ 3f 3lt 1/Yt* ELEMENTOS DE TRANSMISIÓN C.l. APÉNDICE C DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES (3.32) Y (3.33) Para el efecto se parte de la ecuación (3.30.a) escrita como: f >, fb Vb 1 11 nbx = - Mi2b íb* (C.l) Vb* donde fibx tiene la forma.dada en (3.31) 3A (C.2) nbx 3f 3B Se tiene que MU Oyl y M 1 2 para cada tipo de elemento tiene componentes -W complejas, los cuales se observan en el apéndice A, por consiguiente ( C . l ) es Ib Vb Ib* Vb* 3f 3A (C.3) 3f I 3 C.2. Además se sabe que fb = íbi + j ?b2 (C.4) Vb = Vbi + j. Vb 2 (C.5) reemplazando (C.4) y (C.5) y realizando el producto matrlclal se obtienen dos e "piones de la¿ cuales solo una se utiliza, asv: Ui + j a2)(fbi + j Íb2) + (bi + j b2)(?bi - j Íb2) = i + J Vb 2 ) - (fi + j f2) (Vb! + j Vb 2 ) + ~^j- (C.6) separando (C.6) en parte real e Imaginarla: ai íbi - a 2 Ib2. + bi íbi + b 2 Ib2 = Re{ •—=-> } - 61 Vbi + e 2 Vb 2 + - fi Vbi - f2 Vb 2 b 2 + a2 íbi - bi b 2 + b 2 fbi = Img { } - e L Vb 2 - e2 Vbi oA i Vb 2 - f2 Vbi -"~". (C.7) ^-s_ ' ^- (C.8) ' >• agrupando términos Ib:i Ib2, Vb x y^Vb 2 en (C.7) y (C.8) - a2)Ib2 = Re{ A > " (ei+ fi)Vbi + (e2 - f2)Vb >2 (c.9) C.3. y ( a 2 + b 2 ) I b i + ( a i - b i ) I b 2 = Img{ -rj- } - (e 2 + f 2 ) V b j + ( f L - e i ) V b 2 (C.10) de donde se hace a i + b i = <j>i! (C.ll) 12b (C.13) e 2 - fz = c¡)i2 b a i - b i = <f)2 2 ' (C.14) (C.16) - e2 - f 2 = f: - e x = * 2 2 (C.18) Re'{|| } = líbi (C.19) (C.20) C.4. reemplazando (C.ll) - (C.20) en (C.9) y (C.10) se obtiene >n b ) 2 i b I b i + <}) 22b Íb 2 = Wb 2 + i|j 21b Vh, + $ 2 2 b V b 2 que son las ecuaciones simplificadas requeridas. (C.22) APÉNDICE D nbu D.l. _vi*/vi -VI/VI* _j vi*/VI. J'/VI -J/VT JV1/V1* I/VI 1/VT ELEMENTOS DE CARGA 1/Vg -Sg/Vg|Vg| Vg*/|Vg| DE GENERACIÓN VARIABLES Zb - Vg/Vg* - Vg*/Vg (Vg Fg + Vg* íg* + Sg* Vg/Vg* + Sg 1/Vg' -Sg*/Vg*|Vg| Vg/|Vg| ELEMENTOS ELEMENTOS DE M 21b , M 22b y ^bu USANDO 122 '121 j Vn In - Vn* In* - Sn* Vn/Vn* + Sn Vn*/Vn Vn n + Vn*. n* + Sn* Vn/Vn* + Sn Vn*/Vn - j Sn/Vn - Sn/Vn|Vn -Sn*/Vn* Vn j Sn*/Vn* - j Vn* j Vn Vn/ Vn GENERADOR OSCILANTE / Vn j Vt*/Yt* - Vt*/Yt* j [ - Vt ft/Yt + Vt* ft*/Yt* - Vt It/Yt - Vt* It*/Yt* j Vt/Yt - Vt/Yt ELEMENTOS DE TRANSMISIÓN ''22 - VI /VI* - \n*/vi I/VI* 0 / k / 1/Vg - Vg/Vg / - S g / ( V g Vg* 2 ) 0 1/Vg ~V Íg*/Vg + Sg* V g * / ( V g Vg* 2 ) 0 0 I/VI 0 •v 0 0 0 ^ 0 0 X- VARIABLES Zb ELEMENTOS DE GENERACIOIN USANDO 0 ELEMENTOS DE CARGA ELEMENTOS DE M 2 i b , M 22b y f?bu O co "22 121 Vt* It*/Yt* In* -Vt*/Yt* Vt It/Yt -Vt/Yt ELEMENTOS DE TRANSMISIÓN In GENERADOR OSCILANTE *• o (E.l) APÉNDICE E INTRODUCCIÓN DE LA MATRIZ' DE INCIDENCIA REDUCIDA La matriz de incidencia reducida de dimensión nxng (n = número de ba_ rras y ng - número de ramas) se define como: AM AT (E.l) donde los a.¡j son l s -1 ,o 0; a-jj = 1 si la rama " j " incide en la r^ ma "i" y orientada en igual forma. Recordando (3.38) como Y/ - VT = ÍT (E.2) en donde se realiza las transformaciones. Peso se conoce que la ley de corrientes de Kirchhoff esta dado por: AM ÍMB + AT ÍT - O (E.3) que escrita en conveniente forma es: AT IT = - AM IMB Además definiendo la matriz admitancia de barra como (E.4) (E.2) = AT Y TP . ATT VT VM (E.6) ÍM = A M Í M B (E.7) = AT (E.5) reemplazando ( E . 6 ) en ( E . 2 ) multiplicando (E.8) por Aj *T !TP ATT yM = AT fT (E.9) (E.4) y (E.5) en (E.9) dará YT . V M = - AM I MB (E.10) Al reemplazar (E.7) en (E.10) se tiene YT VM = - IM (E.11) PROGRAMA DE COMPUTACIÓN El programa de computación calcula la matriz admitancia de barra» va_ naciones de potencia y resuelve el flujo de potencia para un ejemplo de 5 barras, pues.el ejemplo es didáctico. DATOS GENERALES.- Símbolo Descripción NB Numero total de barras. NBTC Numero de barras de tensión controlada. NS Numero de la barra flotante. NE Número de elementos serie del sistema (Ifneas, transforma_ dores, reactores y/o capacitores serie). NRC Número de elementos paralelos del sistema (reactores y/o capacitores - paralelo). BASE. ' MVA base del sistema, si se trata en p.u, se debe poner 1.0. INS Indicador que según su valor indica: Cero (0) si se desea imprimir los resultados Yg; uno (1) s-i no se desea mir esos resultados. impri_ Por ultimo, como datos generales se leen dos tarjetas des_ t: nadas a mensajes de identificación del problema en tra_ tamiento. DATOS DE BARRAS. - Símbolo Descripción K Numero de cada barra. VK Magnitud de. voltaje especificado en cada, barra. Dado p.u. PGK Potencia activa de generación de la barra K. QGK Potencia reactiva de generación , de la barra K. PLG Potencia activa de carga, de la barra K. QLK Potencia reactiva de carga., de la barra K. DATOS DE ELEMENTOS DE INTERCONEXIÓN Símbolo Descripción L Número de la barra de partida (barra p). en Símbolo Descripción M Número de la. barra de llegada (barra q). RR Según los valores^ L, M y BK representa: - Resistencia de la linea e n % , s i : L ? í M y B K = 0 . - Reactancia de un transformador en %3 si: L i- M y B k ^ O . XX Según Tos.valores de L, M y BK representa: / - Reactancia de la línea expresada en %. si: L f M y B k = 0 SS Según los valores de L, M y Bk representa: - La suceptancia total de la linea en NH'AR si: L i- M y Bk = 0. - La relación de transformación vista desde el lado de en_ vio: si L i- M y Bk j 0. BK Relación de transformación vista del lado de recepción. Se deben introducir todos los datos indicados en las variables de entrada de la siguiente manera: - El nombre o identificación del sistema, se da en dos tarjetas. Si no se desea esto se deben dejar las dos tarjetas en blanco. - Los datos generales del sistema<3 se indican-en una sola tarjeta. - Los datos de líneas., transformadores, reactores .y/o capacitores s_e_ rie y paralelo 3 se indican en una tarjeta por cada línea o elemen_ to. 110 NBTC no NS F10.5 no F10.5 PGK F10.5 no no - Tarjeta de Fin de Datos RR M L Datos de Elementos.(1 tarjeta por elemento) VK K Datos de barras (1 tarjeta por barra) 80 Al - Nombre o I d e n t i f i c a c i ó n del sistema (2 tarjetas) no NB Datos generales del sistema (1 tarjeta) F 10.5 XX F10.5 F10.5 ss F 10.5 PLK no no QGK NRC NE ESQUEMA DE ENTRADA DE DATOS F10.5 BK F10.5 QLK F10.5 BASE 15 1NS r c ESCUELA POLITECMCA N A C I O N A L FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA DEPARTAMENTO D E POTENCTA r C C r . . . . . TESIS DE G R A D O C c c c c c c TITULO-: FLUJOS DF POTENCIA UTILIZANDO EL CONCEPTO OL RED A D J U N T A . FECHA; ^ARZO HE ±:87 r R E A L I Z A D O POR: GUSTAVO A « CORONEL VASCONEZ» DIRIGIDO PO»: c c c c VARIABLES Ifofí. HELENA VASS PRINCIPALES fvUí t 4 ER 0 DE B A R R A S NUMERO DE B A R R A S DE TENSIÓN C O N T R O L A D A IMS N U M E R O DE LA B A R R A F L O T A N T Í . ' NUMERO DE R E A C T O R E S Y/O C A F A C I T O P E S A T I E R R A NRC NE N U M E R O D E E L E M E N T O S D E I N T f . R C O N E C C ION ITFP. ITERACIÓN CORRIENTE- • - ' ' . - - - - - MAXIT N U M E R O M Á X I M O CL I T E R A C I O N E S INS I N D I C A D O R DE S A L I D A , SI SE D E S E A YB 0 NO M V A B AS-E • * ~ • '• BASE C R I T E R I O DE CONVERGENCIA CONV VR f } COMPONENTE REAL DEL VOLTAOil VIO C O M P O N E N T E I M A G I N A R I A '°- L V O L T A J E - •— • • • VR1 ( ) COMPONENTE R E A L DE LA C O R R E C C I Ó N DEL V O L T A J E V 1 1 C ) C O M P O N E N T E I M A G I N A R I A D E L A C O R R E C C I Ó N DEL V O L T A J C NO DE C ) T I P O TJE B A R R A G O C O N D U C T A N C I A S DE LOS E L E M E N T O S DE YB B C) S U S C E P T A N C I A S DE LOS E L E M E N T O S DE YB SUSO SUSCEPTANCIAS- A TIERRA • ISENDO S U B Í N D I C E S DE POSICIÓN EN FILA DE LOS ELEMENTOS DE YB S U B Í N D I C E S DE ' P O S I C I Ó N EN C O L U M N A DE LOS E L E M E N T O S DE IREC O 1 NE 0 V E C T O R A U X I L L A R P A R A T R A T A T LINEAS CON C I R C U I T O S EN PARALELO N6US 0 N U M E R O DE E L E M E N T O S POR F I L A DE YB PG ( ) POTENCIA A C T I V A GENERADA - ' POTENCIA A C T I V A DE C A R G A PL ( ) GG ( ) POTENCIA . R E A C T I V A GENERADA POTENCIA R E A C T I V A DE CARGA .PL O POTEMCIA A C T I V A NETA ESPECIFICADA FN-( ? ONO ; P O T E N C I A R E A C T I V A NETA E S P E C I F I C A D A NB NBTC e c c c 'c c C c c P R O G R A M A PPIWCI?AL INSERT SYSCOfOKFYSiF -^ ¿<Q OIWINSIOW DIMENSIÓN DIMENSIÓN DIMENSIÓN Vf C Í O o) , E í l O ü )T c. ( 3:5 a) ,B (¿RP ) , roo DE (1a O > , N R U S C S S ? í PG (ICC) , C S C 1 0 C ) » P L i 1 fJ C) «1.3L ( 13: ) , G í i A X í 100) S G M I N ( 10C) Q N C Id*:) ,PM 10¿> , IPEC ( 350 ) i V I < ICO) l$ENDC55^)ilNE(35;.) D I M E N S I Ó N V P l ( I Q H ) , V F 2 C l O ü ) , V P 3 C 1 O ü ) , VK C1 O ? ? , P G K í1 u Ü ) , Q G K ( 1 C C ) D I M t M S I O N V R l C l - 0 ) , V i l í 10 D ) i S S l < 2 ^ C. ) D I M E N S I Ó N PLK í 1 0 0 ) t Q L K C I C C ) -O ^P XK ( 1 O ü ) T CMI fMK ( 1 Q O ) » T P ( 2^ O ) > I G C 2 ^ C DlMfTNSTON I 0 1 < 3 5 u ) * V R 2 í l O O ) i V I 2 í I D O > í D T í C l C O ) i I G 2 C 2 4 0 ) DIMENSIÓN A ( í - i O i S í ) ) i F ( 5 0 ? 5 G ) , C C b í r í 5 C ) DIMENSIÓN V l ( l C r ) , V 2 í l D L í ) D I M E N S I Ó N A0(80>80) DIMENSIÓN SUSÍ55C) ' ' D I M E N S I Ó N AD1(100) « A D 2 C 1 & 0 ) DI^EHSION D E L C 2 C ) D I K E N S I O N GG (ñO ,80 ) t S O L < 1 D*J 1! ) CHARACTER^S INFIL» OUFIL NIN-1 8 9 2 3 c . . " . • JW-A W R I T F (fíIN, e) F O R M A T C * I N G R E S E A R C H I V O DE D ^ T O S - 6 C A R A C T E R E S " - ) - R E A D < N I W , 9 ) INFIL FORMAT (A) OPFI" < Ü R , F I L E = I N F T L * S T A T U S = f UNKNOWN' 1 "-) U R I T f ( MIN , ? ) F O R M A T C ''INGRESE A R C H I V O DE S A L I D A ? 6 C A R A C T E R E S 7 ) READ-(NTNj3)OUFIL ' ' FORMAT (A) OPEN Í J W , F I L E - 0 U F I L - S T A T U S - ' U N K W O W N ' ) WRITE(JW,325) ' " - -• L E C T U R A DE DATOS DEL SISTEMA "rlO c READ(JR»34a>NSfNBTC,NS,NE'rWRC tBASEr]NS I F < N B . G E . 9 9 9 ) G C T C 310 r TÍTULOS DO 2 0 J = l » 2 READCJR.320)(E(I)?I=ltSO) 2J CONTINUÉ WRITECJWt360) r C • C - - • - I M P R E S I Ó N D E D A T O S nF[_ S I S T E M A W R I T E Í J W , 3 7 C ) N B i N B T C , N S ? W E f t Ev¡RC,BA S E •4 t -t T - * f INICIALIZACION DE V A R I A B L E S AUXIt.LARES IIND=0 ' CEROSO, D E T E C C I O . N J DE E ^ R O R F ? NEP = C I F C W B * G T . 2 > G O T O ¿rt NER=NER+1 ri R I T E í J W , 3 *? C ) IFíNEitLT, ITI) GC TO 4^ DATOS GENERALES •-- • ' W R I T E (JW, 29-p) IF(i\'S .GT. 0. A N D ^ v S - L E . M B ) GO TC 50 W R I T E ( J U - 4 C u •) I F C N R C * L E , M C > GC TQ 60 50 W? I TE (JW, 410) I F ( N R C . G E . O ) GO TO 70 NER=NER+1 WRITECJW,42C> 60 ^ 7H - IAUX=NB-2 - " " Ir (N'BTC *GE. O - A M O - N i B T C .LE • I A UX) GO !S!ER=NER+1 w R IT E ( J W » 45 O ) IR'í 90 £1 ^ I F C B A S E » G T . C E R O > GO TO I D O 120 -110 120 .C i'C ..' ' C '"' , ^GE.IAUX) G O - TO 90 TO W R I T E í JW,450) CONTINUÉ - IF(ME,LE.125) GO TO 120 - NER=NER^1 W R I T E Í Jl-S 47?) IF(NER.GT.O) GO TO 310 W R I T E (JW, 350) • '• - - '" • S U B R U T I N A DE I N G R E S O DE DATOS Y F O R M A C I Ó N DE L A ' M A T R I Z A D M I T A N C I A DE B A R R A C A L L I N P U T í K'B,JR , JW ,NS,BASE ,VI,G,B , SUS» Q« V .AX » QHIN » PG,PL» 06 i CLi N O i DE tN B U S - C E R O , VR ,-1, N E f W T i I S E N D *I R E C 9 N L E i INE ,NSEQ > V K , PGK T Q G K * P L K » • 2 0 L K , Q K A X K , Q K I N K ? I N S 1 1 P t I G i S S 1 , K 5 , I 51, IQ2) C ^ c r C 140 • CALCULO •-• • DE LA POTENCIA N E T A ESPECIFICADA 00 15J 1 = 1 ,NB I F C I , E Q * W S ) GO TO 150 - • - P N ( I) =P G ( I) -P L í I > ^ I F C N O D E U ) » E G . 2 > G O T O 150 Q M ( I ) = O G C 13 - Q L í I) 150 • CONTINUÉ INOC-0 ITFR-H IND=0 *•- C ^ C nETEB.MTíCACIC.N DE C ASI 170 CALL C O ^ O EL LAS VARIACIONES DE POTENCIA ACTIVA Y REACTIVA K A Y O R D E S B A L A N C E DE P O T E N C I A Y V O L T A J E V A R P Í W P - T N S i . N B U S í J R E C í V R , V I ,6 , B 5 V P ? P N » Q W i E , N O D E í V P M A X ,N-LF i K'9 t . C C ^ C i C C C R I T E R I O DE COM VERGEr¡C IA D e P O T E N C I A Y " A X I M C ^ D E I T E R A C T Q M E S CONV=0»031 HAXTT=15 P R U E B A D E C O r v V F R G E M C I A DEL M A Y O R P E S E A L A N C E D E P O N E N C I A I F C V P M A X - L E r C O ^ V ) 5 C TO 270 : PRÜraA Hf.L L J M l T r QC KiXIf-'O 3 DE I T E P A C I O M E S rH o rH z; D ~o Ct O O h- _) '-•• en ••*•{, U í. ,H • • *• o rH r-l *- ST SI -^J rO i*) y ' ti l') O O *-- O C3 - LL •^ I? "i <a * •"• C\ C\ f_ rH ^H « ^ .-i ' ^-^ CQ»2! i-l -g ,,-, C\ » LU i,: u 11 u ^ y_ v; ^ « *• 2T 2! ^ * ^ ^ ü r-l »-I 3.' »- jo ^5 3^ Oj ' c-' .,r. > — ^ ¿: i» ^: 2: uj -^ ^: ^ 2: o p •— u] ti u Z) *7> o o 15 ií s: o u ^ -i ^: t: ro 2;!--»-• -~. '^ rH O ~> ^H U LJ ÍX' C¿ O C.) *- x: ^, LL. 3! ~ o _j u . ^» — L.: 11 — — u. ii u •í- <"> -^ _J ZJ * C\ rH C\ • K - / ^ r > ~ K 1 1 v -j 1 * *—' *-* >•<!•!>> — -(• ^ ^ — ^ ~0 "O cu CLJ u u -I CC ^ > LL U. '-< V L..I LJ x _l •-' — ^ " + ^. y: i-* + » i¿ 3T II _J •— a u a_ a; x sr r-1 r=r - - J * r~ :o ^?. i , i *^ -f ~". ^ CvJ .-T» •íh CM «.o ir. C\ O! 01 C\ tH CM rH (\ —> >-' <-> *£• o c- [^ | 0 .-[• rH C\ r-l £X r-1 L!< Oí ^ '^i w l >-H hH 0 =• u_ LJ ui K> o n n o ^ rs ^ <L h>. ^ _J C S" • *r » ^ ^ -^ _j o CJ UI t-^l H-> - ^ !,i.. ^ U 0 Cí <C i-i ^ U 1>-J 1-4 ^ ?j H uj no 2 5c ^ H h- js a í 2: v v h- i:¿r n ^ s¿ s s ^r. u ^ v ?' S 1 ^; u *—• 2: s i; u « t tu LJ u n :¿ :•: 10 o ti rj n ^- sr '- D; 1-1 s: " ^ ;*• CM t-"j ^,: ~ - 1! "• £* i¿ *—* ""» <C -J Q rH ^ r-l CJ - l- XI <í -' tf' » CJ LiJ u -2 C3 11 Z) ^ •t- LU ^ 2H: ^-, r CJ hC/i C) *M «™> <. •**• SI 21 —. 1 vf- *-* CJ CJ 1! i— v: C\ CJ ^ _J : 0 < ^ *~i h- O 1^- a -1 — O <I n; r- C- ^. <r + CV' O -JluLi_LuLL.-HC\J;2; I-H HH 2f '-'NiS'^ 1] O *^ ^ 3T II ÜJ LJ |.,J U i O O O O ^ ' - • O O O L L - ^ - O o O O f -00 U, ^ C C O O - J L L - O O O O | | _ J U . - ' Ó O O C, CJ t J (J LJ O - ¿ - ^ > > > > < < r O C i U . C J O Q Q i - < < o O C l Q O <C hH < O O O o O t H < S O O O O r - r - t - i < * O U i¿ r^ ^ <c o o — c o •> o f ~) <M ^ n o u. o o y y TZ \— ^ QJ C\ rO :±. f-i t-4 ul vJ S.' H-Í i-» ID <r írT 0 || > U _1 _J t-j rH U U) i-» tH Od « S" M H-C r-l CM 1 *-• ül ¿i CM C-J •• H H- CM C'J *• H 1- —J C\ -f ti Ci 11 O •- —' f— t f) L/) í/3 t— J) víí ^. *' H- h- r-~ I— ^ "• .? '^ l Lj C J ti _J r-( <, *• ¿7 ^! c :• < h- C. v: 'E u r; z> n. _j ll It r. i_ ui 11 ti rr> L.Í L, *-t u" U t <H x. riZ 1 1 13 ITj v rr 0 < f) f<; <-* rí- j? e-"» > H-I ::; u <c :¿; h-* O X H H-l IM CJ U Í -*** l_'J (_ •J" L, - k -^ *••>>• (••j * -t*~~- CVJ Cd r-l £• O [••• ."' 4, — ^ t— o <c rH ^~ ^, > 3- -i v^. t-l ^ ^ i: ^ -J; '-N oí a: _J > >* ^ ^ -v • :> £.n ¿¿r L.J '£. _J o O UI U.' u u. O CJ = 1,IT2 D DO ¿05 1=1 ,N2 . AD( I,N1)=G. O CONTINUÉ 205 I F ( K * G E - N ? ) ' GO TO 27 A D Í K j f v l > = -! . C DC 206 S = l i r - J ? A C S , NI) = A D ( S>Nl->~ • CONTINUÉ GO T O 2 8 ADCKiNl >-lr O ' DO 207 T = l , N2 A (T ,,N1> = A D ( T i N l ) 206 -27 207 CONTINUÉ: 23 CONTINUÉ DO ' (" ' ..... 115 N-lt(NT) -- •-' " DO llb J=l , NI AíW,J)=A(K,J)/D- 116 _V -^ - DO 117 H = l .NA — I F f H-NA ) 5 & 9 8 C f i ? 5 6 & ' " - ' 56 D - A CH,N ) • - D O - 5 7 ' J=l .Mí - • • • • • 57 A (H , J j - A C H , J J - A C N - Ü)*D 3D6 CONTINUÉ 117 - COWTI-NUE ••• 115 CONTINUÉ f ...... . ••• ................... ADÍ K,N1 > = 0. O V" :..C- - . C A L C U L O -DE -SET-NSITI V I O A D E S - - r " ^ i' * ' • -• (• '- G G - ( ' i - , K ) - € .0 122 123 m- ---- -: • - - ~ • ....... -• ..... • CONTINUÉ CONTINUÉ ' - • p=° . . . . . . . . . -" Ti1» v p r ^ . " DO 121 J = 1 » N 2 DO 122 K - l , N 2 " -; DO 211 I=líN3 P = P-»-l - • - V E D = V R ( I > * ~ 2 - -*-• V I ( J ) * * 2 ' T=P+1 G G ( L i P ) = ( - V R C I ) - A C P » N 1 > + V I C 1 1 * A ( T , N 1) ) - T=T-l ••- • - • p=p + l ^- •' 211 . 234 "" : * 212 G G ( L » P ) = C - V I ( l ) + A C P t N l ) - VU I) *A CT,N1) ) CONTINUÉ ........... - CONTINUÉ DO 212 1 = 1T N2 SOL- (-Ii 1) -Q .0 - ........ DO 222 K = 1 » M 2 S O L C I , 1 3 = S O L C I í l ! + GG C I - K > -VP1 ( K ) CONTINUÉ DO 223 1=1,N3 VRÍ I ) = VR C I ) + S O L C I >!•> CONTINUÉ 223 224 27 O V I ( I )= V i d ) + S O L ( I »1) - • CONTINUÉ G O T O 10 C A L L G O P L I P Í N B , hiSi KODE:, HG - G N t ' P P * P L - GL9 B ASE , NPUS , IR EC , V R , V I < ^ , GO TO 310 200 310 URITECJW, ¿80JMAXIT CLOSE(JR) • . . . . . - - CLOSE(JW) STOP FORMATOS DE E S C R I T U R A DE D A T O S G E N E R A L E S Y M E N S A J E S DE E R R O R C 320 325 FQRMAT C80A1) " F O P H A T í / / / / / , 1 0 X , * ESCUELA P O L I T É C N I C A M A C I O I \ A L ' t / * 1 C X , ' F ACULT A D D ' I N G E N I E R Í A . E L E C T R I C A ' , / i l O X , ' D E P A R T A M E N T O Di P O T E N C I A f i / / » l G X i ' T E EL + S I S DE* G R A D O ' , / / , ! 8 X , ' T I T U L O : "FLUxJQS D E - P O T E N C I A U T I L I Z A N D O - C O N C E R T Ó DE RED AD J U N T A 1 i / * !9Xi ' F E C H A : M A R Z O D E 1987' , / / , l l X , ' R E A * L I Z A D O P O R : G U S T A V O A r C O R O N E L VA SC ONFZ * j / ? 12 X , ' D I R I G I D O P O R : I W G * HELENA - V A S S ' , / / / / 330 FORHATÍ/20X«8GA1) 340 F O R M A K 5 I 10 , F l G . 5 i 115) V O L T A J E CON 250 - F O R M A T C 2 0 X , 28HTIPO S DE B A R R A * . - S F-LOTANTE^^X^IHT CAP, GA ) ITRQLADOi/,37X,luHC 350 F O » M A T ( / / / , 2 0 X i ' D A TOS G ENER. :ALES 1 , / , 2 Q X , 1 5 ( I H - ) ) • F Q R M A T ( / , 2 0 X , » N ü . T O T A L DE BARR AS : ' «16X-, 15, / / * 2 O ' X » *NO . DE B A R R A S D -370 X » ' N O . D E L A B A R iR A F L O T A N T E : « , i i X u i 1E TENSIÓN C O N T R O L A DA: ' , 15, /. 2 5 - / / , 2 C X , ' N O . D E L I N E A S . C A PÍ / R E A C E N S E R I E , ' , / 2 0 X , ' Y / O T R A N S F O R M A DE C A P / R E A C EN P A R A L E L O : ' , 8 X , i 5 t / / , 2 0 X » 3 D O R E S : ' i l & X í l D * / / ? 2 O X t ' NO 4 ' H V A . B A S E : * . 2 4 X , F 11.3, NO * OE B A R R A S M E N O R QUE 3' ) FQRMATC1QX-'ERROR 3SO FORMATC10X,'ERROR N O , - DE B A R R A S M A Y O R Q.UE l'Q O ' 390 N O . DE B A R R A FLOTANTE > ND . B A R R A S O < 1 ' > 4 00 FORMATC10X?»ERROR NO , DE C AP/R E A C M A Y O R Q U E N O . DE B A R R A S ' ) FQRMATdOX» 'ERROR 410 N O , DE - - C AP/-R-EA"C 'MENOR -QUE C' ) • ;420 FQRMATC10X,'ERROR 430 N O . DE B TC > NO, B A R R A S - 2 0 < O') FOR-MATC10X, 'ERROR NO . ELEM ENTO S I N T E R C O N E X I Ó N < N O » B A R R A S - 1*) FORKATC10X-'ERROR 45Q FORHATÍlOXi'ERROR M V A B A S E < oNO * ELEM Elv'TQ S I N T E R C O N E X I Ó N M A Y O R QUE 125' ) FORMATC10X,?ERROR , -••• .: 470 53H I T E R A C I O N E S NO H/ Y C O N V E R G E N C I A POR EL FORMAK///,20X,2HE H> ' 4 8 0 1METOOO DE M - A * / / / ) END -' •)--• - - ...... - e S U B R U T T K ' A - INPUT -- *- • - - •- -» - • -- •- S I R V E P A R A EL I N G R E S O DE D A T O S DE B A R R A S Y DE E L E M E N T O S DE IMTERCCWECC-ION. ' ADEMAS - C A L C U L A LA M A T R I Z 'ADMITANCIA DE B A R R A A L M A C E N A N D O S O L A M E N T E LOS ELEMENTOS D I S T I N T O S DE CERO EN VECTORES C SUBROUTIN E I N P U T ( N B * J R » J W » N S y B A S E » V I , G , B ? S U U , G M A X , Q H I N , P G , P L , G G NBUS » C E R O , V R , E » W E , Mi I S E W D i I R E C . WLII» INE, I A U X I ? VK , PGK , " - " ' 2QGKiP LK»0 L K , G M A X K , G M - I N K , I N S . I P ? I G í S S l í K 5 . I Q l , I G 2 í V K C N 8 ) i VT ( N B ) » G (.KLE ) , B( NLE ) N O D E í N B ) ,NBUS ( N L E ) T I G 2 Í NLE: ) SIQNDIÑEN D I M E N SION I?END ( N L E ) i P.MAX ( k & > t & H I N C N B ) i P G ( M G ) ,PL f N B ) ,GG C N B ) - Q L (NB DIHF.N SION E t N B ) r S U S C N L E ) , I P £ C ( N L E ) t I N E C N L E ) , I A U X I ( N B ) t V K ( N B ) D I M E W SION P 5 K ( N G ) - i O G K C N E ) . , P L K (NB) » Q L K ( N B ) , Q K A X K ( N B Í . Q M I N K C N B ) D I M E N S I Ó N I P Í N L E 3 9 IG(NLE) t S S l ( N L E ) t I O K NLE" DO 10 1=1 s W B T A U X I (I ) = ^4BUS( I) =0 1 ip C C c c LE CTUR ID EN TI C A NTID E I M P R E S I Ó N DE D A T O S DE P A R R A , C A C I O N DEL T i p o DE B A R R A Y REDUCCIÓN A ~S Eftf P , U . 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